Nवे मूल: Difference between revisions
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{{short description|Arithmetic operation}} | {{short description|Arithmetic operation}} | ||
{{about|nth-roots of real and complex numbers|other uses|Root (disambiguation)#Mathematics}} | {{about|nth-roots of real and complex numbers|other uses|Root (disambiguation)#Mathematics}}गणित में, संख्या ''x'' का ''n''वाँ मूल संख्या ''r'' होती है, जिसे जब घात ''n'' तक बढ़ाया जाता है, तो ''x'' प्राप्त होता है: | ||
गणित में, संख्या ''x'' का ''n''वाँ मूल | |||
:<math>r^n = x,</math> | :<math>r^n = x,</math> | ||
जहाँ n | जहाँ n धनात्मक पूर्णांक है, जिसे कभी-कभी मूल की घात कहा जाता है। डिग्री 2 की जड़ को वर्गमूल और डिग्री 3 की जड़ को घनमूल कहा जाता है। उच्च श्रेणी के मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी जड़, बीसवीं जड़, आदि। की गणना {{math|''n''}}जड़ जड़ निष्कर्षण है। | ||
उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3 है{{sup|2}} = 9, और −3 भी 9 का | उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3 है{{sup|2}} = 9, और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3){{sup|2}} = 9. | ||
किसी भी गैर-शून्य संख्या को | किसी भी गैर-शून्य संख्या को सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है {{math|''n''}} अलग जटिल {{math|''n''}}वें मूल, वास्तविक संख्या वालों सहित (अधिकतम दो)। {{math|''n''}}'}}सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए 0 का मूल शून्य होता है {{math|''n''}}, जबसे {{math|0{{sup|''n''}} {{=}} 0}}. विशेष रूप से, अगर {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} सकारात्मक वास्तविक संख्या है, इसका {{math|''n''}}जड़ें वास्तविक और सकारात्मक हैं, नकारात्मक है, और अन्य (जब {{math|''n'' > 2}}) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं {{math|''n''}}वीं जड़ें असली हैं। यदि {{math|''n''}} विषम है और {{math|''x''}} वास्तविक है, {{math|''n''}}मूल वास्तविक है और इसका चिन्ह समान है {{math|''x''}}, जबकि अन्य ({{math|''n'' – 1}}) जड़ें वास्तविक नहीं हैं। अंत में, अगर {{math|''x''}} वास्तविक नहीं है, तो इसका कोई नहीं {{math|''n''}}वें मूल वास्तविक हैं। | ||
वास्तविक संख्याओं की जड़ें आमतौर पर मूलांक प्रतीक या मूलांक का उपयोग करके लिखी जाती हैं <math>\sqrt{{~^~}^~\!\!}</math>, साथ <math>\sqrt{x}</math> के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना {{mvar|x}} यदि {{mvar|x}} सकारात्मक है; उच्च जड़ों के लिए, <math>\sqrt[n]{x}</math> वास्तविक को दर्शाता है {{math|''n''}}की जड़ें {{math|''n''}} विषम है, और धनात्मक nवाँ मूल यदि है {{math|''n''}} सम है और {{mvar|x}} सकारात्मक है। अन्य मामलों में, प्रतीक आमतौर पर अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में <math>\sqrt[n]{x}</math>, पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है {{mvar|x}} रेडिकैंड कहा जाता है। | वास्तविक संख्याओं की जड़ें आमतौर पर मूलांक प्रतीक या मूलांक का उपयोग करके लिखी जाती हैं <math>\sqrt{{~^~}^~\!\!}</math>, साथ <math>\sqrt{x}</math> के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना {{mvar|x}} यदि {{mvar|x}} सकारात्मक है; उच्च जड़ों के लिए, <math>\sqrt[n]{x}</math> वास्तविक को दर्शाता है {{math|''n''}}की जड़ें {{math|''n''}} विषम है, और धनात्मक nवाँ मूल यदि है {{math|''n''}} सम है और {{mvar|x}} सकारात्मक है। अन्य मामलों में, प्रतीक आमतौर पर अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में <math>\sqrt[n]{x}</math>, पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है {{mvar|x}} रेडिकैंड कहा जाता है। | ||
जब जटिल {{mvar|n}}वें जड़ों पर विचार किया जाता है, यह अक्सर जड़ों में से | जब जटिल {{mvar|n}}वें जड़ों पर विचार किया जाता है, यह अक्सर जड़ों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे प्रिंसिपल रूट कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। आम पसंद प्रिंसिपल चुनना है {{mvar|n}}की जड़ {{mvar|x}} के रूप में {{mvar|n}}वें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग के साथ, और जब दो होते हैं (के लिए {{mvar|x}} वास्तविक और नकारात्मक), सकारात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह बनाता है {{mvar|n}}वें रूट फ़ंक्शन (गणित) है जो वास्तविक और सकारात्मक है {{mvar|x}} वास्तविक और सकारात्मक, और के मूल्यों को छोड़कर, पूरे जटिल विमान में निरंतर कार्य करता है {{mvar|x}} जो वास्तविक और नकारात्मक हैं। | ||
इस विकल्प के साथ | इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन {{mvar|n}}जड़ असली नहीं है। उदाहरण के लिए, <math>-8</math> तीन घनमूल हैं, <math>-2</math>, <math>1 + i\sqrt{3}</math> तथा <math>1 - i\sqrt{3}.</math> वास्तविक घनमूल है <math>-2</math> और मुख्य घनमूल है <math>1 + i\sqrt{3}.</math> | ||
एक अनसुलझी जड़, विशेष रूप से | एक अनसुलझी जड़, विशेष रूप से कट्टरपंथी प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी के रूप में जाना जाता है<ref>{{cite book |title=सीबीएसई गणित IX के लिए नया दृष्टिकोण|first=R.K. |last=Bansal |page=25 |year=2006 |isbn=978-81-318-0013-3 |publisher=Laxmi Publications |url=https://books.google.com/books?id=1C4iQNUWLBwC&pg=PA25}}</ref> या कट्टरपंथी।<ref name=silver>{{cite book|last=Silver|first=Howard A.|title=बीजगणित और त्रिकोणमिति|year=1986|publisher=Prentice-Hall|location=Englewood Cliffs, NJ|isbn=978-0-13-021270-2|url-access=registration|url=https://archive.org/details/algebratrigonome00silv}}</ref> कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को ''मूल व्यंजक'' कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तो इसे ''बीजगणितीय व्यंजक'' कहा जाता है। ''। | ||
जड़ों को घातांक के विशेष मामलों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक | जड़ों को घातांक के विशेष मामलों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक अंश (गणित) है: | ||
:<math>\sqrt[n]{x} = x^{1/n}.</math> | :<math>\sqrt[n]{x} = x^{1/n}.</math> | ||
<डिव क्लास = राइट>{{Arithmetic operations}}</div> | <डिव क्लास = राइट>{{Arithmetic operations}}</div> | ||
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{{Main article|Square root#History|Cube root#History}} | {{Main article|Square root#History|Cube root#History}} | ||
nवें मूलों को लेने की संक्रिया के लिए | nवें मूलों को लेने की संक्रिया के लिए पुरातन शब्द विकिरण है।<ref>{{cite web|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/radication|title=विकिरण की परिभाषा|website=www.merriam-webster.com}}</ref><ref>{{cite web|url=https://en.oxforddictionaries.com/definition/radication|archive-url=https://web.archive.org/web/20180403112348/https://en.oxforddictionaries.com/definition/radication|url-status=dead|archive-date=April 3, 2018|title=रेडिकेशन - ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी द्वारा अंग्रेजी में रेडिकेशन की परिभाषा|website=Oxford Dictionaries }}</ref> | ||
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[[File:NegativeOne4Root.svg|thumb|−1 के चार चौथे मूल,<br /> इनमें से कोई भी वास्तविक नहीं है]] | [[File:NegativeOne4Root.svg|thumb|−1 के चार चौथे मूल,<br /> इनमें से कोई भी वास्तविक नहीं है]] | ||
[[File:NegativeOne3Root.svg|thumb|−1 के तीन तीसरे मूल,<br /> जिनमें से | [[File:NegativeOne3Root.svg|thumb|−1 के तीन तीसरे मूल,<br /> जिनमें से ऋणात्मक वास्तविक है]]किसी संख्या ''x'' का ''n'' वाँ मूल, जहाँ ''n'' धनात्मक पूर्णांक है, कोई भी ''n'' वास्तविक या सम्मिश्र संख्या ''r'' है जिसका ''n'' ''वीं शक्ति ''x'' है: | ||
:<math>r^n = x.</math> | :<math>r^n = x.</math> | ||
प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या x का | प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या x का धनात्मक nवां मूल होता है, जिसे मूल मान कहते हैं, जिसे लिखा जाता है <math>\sqrt[n]{x}</math>. n बराबर 2 के लिए इसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है और n को छोड़ दिया जाता है। nवें मूल को x के रूप में घातांक का उपयोग करके भी प्रदर्शित किया जा सकता है{{sup|1/n}}. | ||
n के सम मानों के लिए, धनात्मक संख्याओं का ऋणात्मक nवां मूल भी होता है, जबकि ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक nवां मूल नहीं होता है। n के विषम मानों के लिए, प्रत्येक ऋणात्मक संख्या x का वास्तविक ऋणात्मक nवां मूल होता है। उदाहरण के लिए, −2 का वास्तविक 5वां मूल है, <math>\sqrt[5]{-2} = -1.148698354\ldots</math> लेकिन -2 का कोई वास्तविक छठा मूल नहीं है। | n के सम मानों के लिए, धनात्मक संख्याओं का ऋणात्मक nवां मूल भी होता है, जबकि ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक nवां मूल नहीं होता है। n के विषम मानों के लिए, प्रत्येक ऋणात्मक संख्या x का वास्तविक ऋणात्मक nवां मूल होता है। उदाहरण के लिए, −2 का वास्तविक 5वां मूल है, <math>\sqrt[5]{-2} = -1.148698354\ldots</math> लेकिन -2 का कोई वास्तविक छठा मूल नहीं है। | ||
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परिमेय संख्याओं के सभी nवें मूल बीजगणितीय संख्याएँ हैं, और पूर्णांकों के सभी nवें मूल बीजगणितीय पूर्णांक हैं। | परिमेय संख्याओं के सभी nवें मूल बीजगणितीय संख्याएँ हैं, और पूर्णांकों के सभी nवें मूल बीजगणितीय पूर्णांक हैं। | ||
करणी शब्द ख़्वारिज़्मी|अल-ख़्वारिज़्मी (सी. 825) से जुड़ा है, जिन्होंने परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को क्रमशः श्रव्य और अश्रव्य के रूप में संदर्भित किया। यह बाद में अरबी शब्द का कारण बना{{lang|tg-Arab|أصم}}(असम, जिसका अर्थ है बहरा या गूंगा) अपरिमेय संख्या के लिए लैटिन में सूरदस (अर्थात् बहरा या मूक) के रूप में अनुवादित किया जा रहा है। क्रेमोना के जेरार्ड (सी। 1150), फाइबोनैचि (1202), और फिर रॉबर्ट रिकॉर्डे (1551) सभी ने इस शब्द का इस्तेमाल अनसुलझे अपरिमेय जड़ों को संदर्भित करने के लिए किया, जो कि रूप की अभिव्यक्ति है। <math>\sqrt[n]{i},</math> जिसमें <math>n</math> तथा <math>i</math> पूर्णांक संख्याएँ हैं और संपूर्ण व्यंजक | करणी शब्द ख़्वारिज़्मी|अल-ख़्वारिज़्मी (सी. 825) से जुड़ा है, जिन्होंने परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को क्रमशः श्रव्य और अश्रव्य के रूप में संदर्भित किया। यह बाद में अरबी शब्द का कारण बना{{lang|tg-Arab|أصم}}(असम, जिसका अर्थ है बहरा या गूंगा) अपरिमेय संख्या के लिए लैटिन में सूरदस (अर्थात् बहरा या मूक) के रूप में अनुवादित किया जा रहा है। क्रेमोना के जेरार्ड (सी। 1150), फाइबोनैचि (1202), और फिर रॉबर्ट रिकॉर्डे (1551) सभी ने इस शब्द का इस्तेमाल अनसुलझे अपरिमेय जड़ों को संदर्भित करने के लिए किया, जो कि रूप की अभिव्यक्ति है। <math>\sqrt[n]{i},</math> जिसमें <math>n</math> तथा <math>i</math> पूर्णांक संख्याएँ हैं और संपूर्ण व्यंजक अपरिमेय संख्या को दर्शाता है।<ref>{{cite web |url=http://jeff560.tripod.com/s.html |title=गणित के कुछ शब्दों का सबसे पुराना ज्ञात उपयोग|publisher=Mathematics Pages by Jeff Miller|access-date=2008-11-30}}</ref> द्विघात अपरिमेय संख्याएँ, अर्थात् रूप की अपरिमेय संख्याएँ <math>\sqrt{i},</math> द्विघात करणी भी कहलाती हैं। | ||
===वर्गमूल=== | ===वर्गमूल=== | ||
[[Image:Square-root function.svg|thumb|right|लेखाचित्र <math>y=\pm \sqrt{x}</math>.]] | [[Image:Square-root function.svg|thumb|right|लेखाचित्र <math>y=\pm \sqrt{x}</math>.]] | ||
{{Main article|Square root}} | {{Main article|Square root}} | ||
एक संख्या ''x'' का | एक संख्या ''x'' का वर्गमूल संख्या ''r'' है, जो वर्ग (बीजगणित) होने पर ''x'' बन जाता है: | ||
:<math>r^2 = x.</math> | :<math>r^2 = x.</math> | ||
प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या के दो वर्गमूल होते हैं, | प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या के दो वर्गमूल होते हैं, धनात्मक और ऋणात्मक। उदाहरण के लिए, 25 के दो वर्गमूल 5 और -5 हैं। धनात्मक वर्गमूल को प्रधान वर्गमूल के रूप में भी जाना जाता है, और इसे मूल चिह्न के साथ दर्शाया जाता है: | ||
:<math>\sqrt{25} = 5.</math> | :<math>\sqrt{25} = 5.</math> | ||
चूँकि प्रत्येक वास्तविक संख्या का वर्ग अऋणात्मक होता है, ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक वर्गमूल नहीं होता। हालाँकि, प्रत्येक ऋणात्मक वास्तविक संख्या के लिए दो काल्पनिक संख्या वर्गमूल होते हैं। उदाहरण के लिए, -25 के वर्गमूल 5i और -5i हैं, जहां काल्पनिक इकाई | चूँकि प्रत्येक वास्तविक संख्या का वर्ग अऋणात्मक होता है, ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक वर्गमूल नहीं होता। हालाँकि, प्रत्येक ऋणात्मक वास्तविक संख्या के लिए दो काल्पनिक संख्या वर्गमूल होते हैं। उदाहरण के लिए, -25 के वर्गमूल 5i और -5i हैं, जहां काल्पनिक इकाई संख्या का प्रतिनिधित्व करती है जिसका वर्ग है {{math|−1}}. | ||
=== घनमूल === | === घनमूल === | ||
[[Image:cube-root function.svg|thumb|right|लेखाचित्र <math>y=\sqrt[3]{x}</math>.]] | [[Image:cube-root function.svg|thumb|right|लेखाचित्र <math>y=\sqrt[3]{x}</math>.]] | ||
{{Main article|Cube root}} | {{Main article|Cube root}} | ||
एक संख्या ''x'' का घनमूल | एक संख्या ''x'' का घनमूल संख्या ''r'' है जिसका घन (बीजगणित) ''x'' है: | ||
:<math>r^3 = x.</math> | :<math>r^3 = x.</math> | ||
प्रत्येक वास्तविक संख्या x का ठीक | प्रत्येक वास्तविक संख्या x का ठीक वास्तविक घनमूल लिखा होता है <math>\sqrt[3]{x}</math>. उदाहरण के लिए, | ||
:<math>\sqrt[3]{8} = 2</math> तथा <math>\sqrt[3]{-8} = -2.</math> | :<math>\sqrt[3]{8} = 2</math> तथा <math>\sqrt[3]{-8} = -2.</math> | ||
प्रत्येक वास्तविक संख्या में दो अतिरिक्त सम्मिश्र संख्या घनमूल होते हैं। | प्रत्येक वास्तविक संख्या में दो अतिरिक्त सम्मिश्र संख्या घनमूल होते हैं। | ||
== पहचान और गुण == | == पहचान और गुण == | ||
nवें मूल की घात को उसके घातांक रूप में व्यक्त करना, जैसा कि में है <math>x^{1/n}</math>, शक्तियों और जड़ों में हेरफेर करना आसान बनाता है। यदि <math>a</math> | nवें मूल की घात को उसके घातांक रूप में व्यक्त करना, जैसा कि में है <math>x^{1/n}</math>, शक्तियों और जड़ों में हेरफेर करना आसान बनाता है। यदि <math>a</math> गैर-ऋणात्मक संख्या है|गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या, | ||
:<math>\sqrt[n]{a^m} = (a^m)^{1/n} = a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[n]a)^m.</math> | :<math>\sqrt[n]{a^m} = (a^m)^{1/n} = a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[n]a)^m.</math> | ||
प्रत्येक गैर-ऋणात्मक संख्या में वास्तव में | प्रत्येक गैर-ऋणात्मक संख्या में वास्तव में गैर-ऋणात्मक वास्तविक nवां मूल होता है, और इसलिए गैर-ऋणात्मक मूलांक वाले करणी के संचालन के नियम <math>a</math> तथा <math>b</math> वास्तविक संख्या में सीधे हैं: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
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# हर में कोई रेडिकल नहीं हैं। | # हर में कोई रेडिकल नहीं हैं। | ||
उदाहरण के लिए, मूल अभिव्यक्ति लिखने के लिए <math>\sqrt{\tfrac{32}{5}}</math> सरलीकृत रूप में, हम निम्नानुसार आगे बढ़ सकते हैं। सबसे पहले, वर्गमूल चिन्ह के नीचे | उदाहरण के लिए, मूल अभिव्यक्ति लिखने के लिए <math>\sqrt{\tfrac{32}{5}}</math> सरलीकृत रूप में, हम निम्नानुसार आगे बढ़ सकते हैं। सबसे पहले, वर्गमूल चिन्ह के नीचे पूर्ण वर्ग की तलाश करें और इसे हटा दें: | ||
:<math>\sqrt{\tfrac{32}{5}} = \sqrt{\tfrac{16 \cdot 2}{5}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{\tfrac{2}{5}} = 4 \sqrt{\tfrac{2}{5}}</math> | :<math>\sqrt{\tfrac{32}{5}} = \sqrt{\tfrac{16 \cdot 2}{5}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{\tfrac{2}{5}} = 4 \sqrt{\tfrac{2}{5}}</math> | ||
अगला, मूल चिह्न के नीचे | अगला, मूल चिह्न के नीचे अंश है, जिसे हम निम्नानुसार बदलते हैं: | ||
:<math>4 \sqrt{\tfrac{2}{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}</math> | :<math>4 \sqrt{\tfrac{2}{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}</math> | ||
अंत में, हम निम्न प्रकार से भाजक से मूलांक को हटाते हैं: | अंत में, हम निम्न प्रकार से भाजक से मूलांक को हटाते हैं: | ||
:<math>\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{10}}{5} = \frac{4}{5}\sqrt{10}</math> | :<math>\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{10}}{5} = \frac{4}{5}\sqrt{10}</math> | ||
जब करणी में | जब करणी में भाजक होता है तो अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए अंश और हर दोनों को गुणा करने के लिए कारक खोजना हमेशा संभव होता है।<ref>B.F. Caviness, R.J. Fateman, [http://www.eecs.berkeley.edu/~fateman/papers/radcan.pdf "Simplification of Radical Expressions"], ''Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation'', p. 329.</ref><ref>Richard Zippel, "Simplification of Expressions Involving Radicals", ''Journal of Symbolic Computation'' '''1''':189–210 (1985) {{doi|10.1016/S0747-7171(85)80014-6}}.</ref> उदाहरण के लिए दो घनों के गुणनखंडन#योग/अंतर का उपयोग करना: | ||
:<math> | :<math> | ||
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जब तक वांछित सटीकता प्राप्त नहीं हो जाती। कम्प्यूटेशनल दक्षता के लिए, पुनरावृत्ति संबंध आमतौर पर फिर से लिखा जाता है | जब तक वांछित सटीकता प्राप्त नहीं हो जाती। कम्प्यूटेशनल दक्षता के लिए, पुनरावृत्ति संबंध आमतौर पर फिर से लिखा जाता है | ||
:<math>x_{k+1} = \frac{n-1}{n}\,x_k+\frac{A}{n}\,\frac 1{x_k^{n-1}}.</math> | :<math>x_{k+1} = \frac{n-1}{n}\,x_k+\frac{A}{n}\,\frac 1{x_k^{n-1}}.</math> | ||
यह केवल | यह केवल घातांक रखने की अनुमति देता है, और प्रत्येक शब्द के पहले कारक के लिए बार गणना करने की अनुमति देता है। | ||
उदाहरण के लिए, 34 का पाँचवाँ मूल ज्ञात करने के लिए, हम प्लग इन करते हैं {{math|1=''n'' = 5, ''A'' = 34}} तथा {{math|1=''x''<sub>0</sub> = 2}} (आरंभिक अनुमान)। पहले 5 पुनरावृत्तियाँ हैं, लगभग: | उदाहरण के लिए, 34 का पाँचवाँ मूल ज्ञात करने के लिए, हम प्लग इन करते हैं {{math|1=''n'' = 5, ''A'' = 34}} तथा {{math|1=''x''<sub>0</sub> = 2}} (आरंभिक अनुमान)। पहले 5 पुनरावृत्तियाँ हैं, लगभग: | ||
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=== दशमलव के प्रमुख मूल (आधार 10) संख्याओं की अंक-दर-अंकीय गणना === | === दशमलव के प्रमुख मूल (आधार 10) संख्याओं की अंक-दर-अंकीय गणना === | ||
[[Image:PascalForDecimalRoots.svg|right|thumb|पास्कल का त्रिभुज | पास्कल का त्रिभुज दिखा रहा है <math>P(4,1) = 4</math>.]]वर्गमूल की गणना के तरीकों पर निर्माण#दशमलव (आधार 10)|एक वर्गमूल की अंक-दर-अंक गणना, यह देखा जा सकता है कि सूत्र का उपयोग किया गया है, <math>x(20p + x) \le c</math>, या <math>x^2 + 20xp \le c</math>, पास्कल के त्रिकोण से जुड़े | [[Image:PascalForDecimalRoots.svg|right|thumb|पास्कल का त्रिभुज | पास्कल का त्रिभुज दिखा रहा है <math>P(4,1) = 4</math>.]]वर्गमूल की गणना के तरीकों पर निर्माण#दशमलव (आधार 10)|एक वर्गमूल की अंक-दर-अंक गणना, यह देखा जा सकता है कि सूत्र का उपयोग किया गया है, <math>x(20p + x) \le c</math>, या <math>x^2 + 20xp \le c</math>, पास्कल के त्रिकोण से जुड़े पैटर्न का अनुसरण करता है। किसी संख्या के nवें मूल के लिए <math>P(n,i)</math> तत्व के मूल्य के रूप में परिभाषित किया गया है <math>i</math> पंक्ति में <math>n</math> पास्कल के त्रिभुज का ऐसा है कि <math>P(4,1) = 4</math>, हम अभिव्यक्ति को फिर से लिख सकते हैं <math>\sum_{i=0}^{n-1}10^i P(n,i)p^i x^{n-i}</math>. सुविधा के लिए, इस व्यंजक के परिणाम को कॉल करें <math>y</math>. इस अधिक सामान्य अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए, किसी भी सकारात्मक मूल रूट की गणना, अंक-दर-अंक, निम्नानुसार की जा सकती है। | ||
मूल संख्या को दशमलव रूप में लिखिए। संख्याएँ दीर्घ विभाजन एल्गोरिथम के समान लिखी जाती हैं, और, दीर्घ विभाजन की तरह, मूल को ऊपर की रेखा पर लिखा जाएगा। अब अंकों को दशमलव बिंदु से शुरू करते हुए और बाएँ और दाएँ दोनों ओर जाते हुए, निकाले जा रहे मूल के बराबर अंकों के समूहों में अलग करें। मूल का दशमलव बिंदु रेडिकैंड के दशमलव बिंदु से ऊपर होगा। मूल संख्या के अंकों के प्रत्येक समूह के ऊपर मूल का | मूल संख्या को दशमलव रूप में लिखिए। संख्याएँ दीर्घ विभाजन एल्गोरिथम के समान लिखी जाती हैं, और, दीर्घ विभाजन की तरह, मूल को ऊपर की रेखा पर लिखा जाएगा। अब अंकों को दशमलव बिंदु से शुरू करते हुए और बाएँ और दाएँ दोनों ओर जाते हुए, निकाले जा रहे मूल के बराबर अंकों के समूहों में अलग करें। मूल का दशमलव बिंदु रेडिकैंड के दशमलव बिंदु से ऊपर होगा। मूल संख्या के अंकों के प्रत्येक समूह के ऊपर मूल का अंक दिखाई देगा। | ||
अंकों के सबसे बाएँ समूह से प्रारंभ करते हुए, प्रत्येक समूह के लिए निम्न प्रक्रिया करें: | अंकों के सबसे बाएँ समूह से प्रारंभ करते हुए, प्रत्येक समूह के लिए निम्न प्रक्रिया करें: | ||
# बाईं ओर से शुरू करते हुए, अभी तक उपयोग नहीं किए गए अंकों के सबसे महत्वपूर्ण (सबसे बाएं) समूह को नीचे लाएं (यदि सभी अंकों का उपयोग किया गया है, तो 0 को | # बाईं ओर से शुरू करते हुए, अभी तक उपयोग नहीं किए गए अंकों के सबसे महत्वपूर्ण (सबसे बाएं) समूह को नीचे लाएं (यदि सभी अंकों का उपयोग किया गया है, तो 0 को समूह बनाने के लिए आवश्यक संख्या लिखें) और उन्हें शेष के दाईं ओर लिखें पिछले चरण से (पहले चरण पर, कोई शेष नहीं रहेगा)। दूसरे शब्दों में, शेष को गुणा करें <math>10^n</math> और अगले समूह से अंक जोड़ें। यह वर्तमान मूल्य 'सी' होगा। | ||
# इस प्रकार ''पी'' और ''एक्स'' खोजें: | # इस प्रकार ''पी'' और ''एक्स'' खोजें: | ||
#* होने देना <math>p</math> किसी भी दशमलव बिंदु को अनदेखा करते हुए, अब तक प्राप्त रूट का हिस्सा बनें। (पहले चरण के लिए, <math>p = 0</math>). | #* होने देना <math>p</math> किसी भी दशमलव बिंदु को अनदेखा करते हुए, अब तक प्राप्त रूट का हिस्सा बनें। (पहले चरण के लिए, <math>p = 0</math>). | ||
#* सबसे बड़ा अंक निर्धारित करें <math>x</math> ऐसा है कि <math>y \le c</math>. | #* सबसे बड़ा अंक निर्धारित करें <math>x</math> ऐसा है कि <math>y \le c</math>. | ||
#* अंक लगाएं <math>x</math> रूट के अगले अंक के रूप में, यानी अंकों के उस समूह के ऊपर जिसे आपने अभी नीचे लाया है। इस प्रकार अगला पी पुराना पी गुणा 10 प्लस एक्स होगा। | #* अंक लगाएं <math>x</math> रूट के अगले अंक के रूप में, यानी अंकों के उस समूह के ऊपर जिसे आपने अभी नीचे लाया है। इस प्रकार अगला पी पुराना पी गुणा 10 प्लस एक्स होगा। | ||
# घटाना <math>y</math> से <math>c</math> | # घटाना <math>y</math> से <math>c</math> नया अवशेष बनाने के लिए। | ||
# यदि शेषफल शून्य है और नीचे लाने के लिए और अंक नहीं हैं, तो एल्गोरिथम समाप्त हो गया है। अन्यथा दूसरे पुनरावृत्ति के लिए चरण 1 पर वापस जाएँ। | # यदि शेषफल शून्य है और नीचे लाने के लिए और अंक नहीं हैं, तो एल्गोरिथम समाप्त हो गया है। अन्यथा दूसरे पुनरावृत्ति के लिए चरण 1 पर वापस जाएँ। | ||
==== उदाहरण ==== | ==== उदाहरण ==== | ||
152.2756 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।<syntaxhighlight> | |||
152.2756 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए। | 1 2. 3 4 | ||
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\/ 01 52.27 56 | |||
</syntaxhighlight> | |||
01 10{{sup|0}}·1·0{{sup|0}}·1{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·0{{sup|1}}·1{{sup|1}} ≤ 1 < 10{{sup|0}}·1·0{{sup|0}}·2{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·0{{sup|1}}·2{{sup|1}} एक्स = 1 | |||
<यू> 01 </यू> वाई = 10{{sup|0}}·1·0{{sup|0}}·1{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·0{{sup|1}}·1{{sup|1}} = 1 + 0 = 1 | |||
00 52 10{{sup|0}}·1·1{{sup|0}}·2{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·1{{sup|1}}·2{{sup|1}} ≤ 52 < 10{{sup|0}}·1·1{{sup|0}}·3{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·1{{sup|1}}·3{{sup|1}} एक्स = 2 | |||
<यू> 00 44 </यू> वाई = 10{{sup|0}}·1·1{{sup|0}}·2{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·1{{sup|1}}·2{{sup|1}} = 4 + 40 = 44 | |||
08 27 10{{sup|0}}·1·12{{sup|0}}·3{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·12{{sup|1}}·3{{sup|1}} ≤ 827 < 10{{sup|0}}·1·12{{sup|0}}·4{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·12{{sup|1}}·4{{sup|1}} एक्स = 3 | |||
<यू> 07 29 </यू> वाई = 10{{sup|0}}·1·12{{sup|0}}·3{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·12{{sup|1}}·3{{sup|1}} = 9 + 720 = 729 | |||
98 56 10{{sup|0}}·1·123{{sup|0}}·4{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·123{{sup|1}}·4{{sup|1}} ≤ 9856 < 10{{sup|0}}·1·123{{sup|0}}·5{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·123{{sup|1}}·5{{sup|1}} एक्स = 4 | |||
<यू> 98 56 </यू> वाई = 10{{sup|0}}·1·123{{sup|0}}·4{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·123{{sup|1}}·4{{sup|1}} = 16 + 9840 = 9856 | |||
00 00 एल्गोरिथम टर्मिनेट: उत्तर 12.34 है | |||
4192 का निकटतम सौवें भाग का घनमूल ज्ञात कीजिए। | 4192 का निकटतम सौवें भाग का घनमूल ज्ञात कीजिए। | ||
<यू> 1 6. 1 2 4</यू> | |||
<यू>3</यू> / | <यू>3</यू> / | ||
\/ 004 192.000 000 000 | |||
004 10{{sup|0}}·1·0{{sup|0}}·1{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·0{{sup|1}}·1{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·0{{sup|2}}·1{{sup|1}} ≤ 4 < 10{{sup|0}}·1·0{{sup|0}}·2{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·0{{sup|1}}·2{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·0{{sup|2}}·2{{sup|1}} एक्स = 1 | |||
<यू> 001 </यू> वाई = 10{{sup|0}}·1·0{{sup|0}}·1{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·0{{sup|1}}·1{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·0{{sup|2}}·1{{sup|1}} = 1 + 0 + 0 = 1 | |||
003 192 10{{sup|0}}·1·1{{sup|0}}·6{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·1{{sup|1}}·6{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·1{{sup|2}}·6{{sup|1}} ≤ 3192 < 10{{sup|0}}·1·1{{sup|0}}·7{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·1{{sup|1}}·7{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·1{{sup|2}}·7{{sup|1}} एक्स = 6 | |||
<यू> 003 096 </यू> वाई = 10{{sup|0}}·1·1{{sup|0}}·6{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·1{{sup|1}}·6{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·1{{sup|2}}·6{{sup|1}} = 216 + 1,080 + 1,800 = 3,096 | |||
096 000 10{{sup|0}}·1·16{{sup|0}}·1{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·16{{sup|1}}·1{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·16{{sup|2}}·1{{sup|1}} ≤ 96000 < 10{{sup|0}}·1·16{{sup|0}}·2{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·16{{sup|1}}·2{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·16{{sup|2}}·2{{sup|1}} एक्स = 1 | |||
<यू> 077 281 </यू> वाई = 10{{sup|0}}·1·16{{sup|0}}·1{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·16{{sup|1}}·1{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·16{{sup|2}}·1{{sup|1}} = 1 + 480 + 76,800 = 77,281 | |||
018 719 000 10{{sup|0}}·1·161{{sup|0}}·2{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·161{{sup|1}}·2{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·161{{sup|2}}·2{{sup|1}} ≤ 18719000 < 10{{sup|0}}·1·161{{sup|0}}·3{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·161{{sup|1}}·3{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·161{{sup|2}}·3{{sup|1}} एक्स = 2 | |||
<यू> 015 571 928 </यू> वाई = 10{{sup|0}}·1·161{{sup|0}}·2{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·161{{sup|1}}·2{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·161{{sup|2}}·2{{sup|1}} = 8 + 19,320 + 15,552,600 = 15,571,928 | |||