लॉगिट

0 से 1 के डोमेन में लॉगिट (x) का प्लॉट, जहां लघुगणक का आधार ई है।

आंकड़ों में लॉगिट (/ˈloʊdʒɪt/ LOH-jit) फंक्शन मानक लॉजिस्टिक वितरण से जुड़ा एक क्वांटाइल(बिभाजक) फंक्शन है। डेटा विश्लेषण और मशीन लर्निंग में इसके कई उपयोग हैं, विशेष रूप से इसका उपयोग डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी) में किया जाता है|

गणितीय रूप से लॉगिट, लॉजिस्टिक फंक्शन$\sigma (x)=1/(1+e^{-x})$ का व्युत्क्रम फंक्शन है, इसलिए लॉगिट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\operatorname {logit} p=\sigma ^{-1}(p)=\ln {\frac {p}{1-p}}\quad {\text{for}}\quad p\in (0,1)$.

इसके लिय लॉगिट को लॉग-ऑड्स भी कहा जाता है क्योंकि यह ऑड्स के लघुगणक ${\frac {p}{1-p}}$ के बराबर है जहां p एक प्रायिकता है। इस प्रकार लॉगिट एक प्रकार का फंक्शन है जो $(0,1)$वास्तविक संख्याओं में $(-\infty ,+\infty )$, प्रोबिट फंक्शन के समान संभावित मानों को मैप करता है।

परिभाषा

यदि p एक संभावना है, तो p/(1 − p) संगत संभावना है; लॉगिट का लघुगणक ऑड्स का लघुगणक है, अर्थात:

$\operatorname {logit} (p)=\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right)=\ln(p)-\ln(1-p)=-\ln \left({\frac {1}{p}}-1\right)=2\operatorname {atanh} (2p-1)$

वर्तमान लेख में प्रयुक्त लघुगणक फंक्शन का आधार बहुत कम महत्व रखता है, जब तक यह 1 से अधिक है, लेकिन आधार e के साथ प्राकृतिक लघुगणक e सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। आधार का चयन मान के लिए लघुगणकीय इकाई के चयन के सामान होता है: इसीप्रकार से आधार 2 एक शैनन (इकाई), आधारe एक "नैट (इकाई)", और आधार 10 से एक हार्टले (इकाई) के सामान होता है ; इन इकाइयों का उपयोग विशेष रूप से सूचना-सैद्धांतिक व्याख्याओं के रूप में किया जाता है। इन आधार के प्रत्येक विकल्प के लिए लॉगिट फंक्शन ऋणात्मक और धनात्मक अनंत के बीच के मान को प्राप्त करता है।

किसी भी संख्या $\alpha$ का लॉजिस्टिक फंक्शन व्युत्क्रम-लॉगिट द्वारा दिया गया है

$\operatorname {logit} ^{-1}(\alpha )=\operatorname {logistic} (\alpha )={\frac {1}{1+\operatorname {exp} (-\alpha )}}={\frac {\operatorname {exp} (\alpha )}{\operatorname {exp} (\alpha )+1}}={\frac {\tanh({\frac {\alpha }{2}})+1}{2}}$

दो संभावनाओं के लघुगणक के बीच का अंतर विषम अनुपात (R) का लघुगणक है, इस प्रकार केवल जोड़कर और घटाकर विषम अनुपातों का सही संयोजन लिखने के लिए एक संक्षिप्त लिपि प्रदान की जाती है:

$\operatorname {ln} (R)=\ln \left({\frac {{p_{1}}/(1-p_{1})}{{p_{2}}/(1-p_{2})}}\right)=\ln \left({\frac {p_{1}}{1-p_{1}}}\right)-\ln \left({\frac {p_{2}}{1-p_{2}}}\right)=\operatorname {logit} (p_{1})-\operatorname {logit} (p_{2})\,.$

इतिहास

रैखिक प्रतिगमन विधियों को ऐसे डोमेन में रूपांतरित करने के कई प्रयास किए गए हैं जहां किसी वास्तविक संख्या$(-\infty ,+\infty )$ के अतिरिक्त आउटपुट का संभावित मान$(0,1)$ है, कई कारकों में ऐसे प्रयासों ने रेंज $(0,1)$ से $(-\infty ,+\infty )$ को मैप करके और फिर इन परिवर्तित मानों पर रैखिक प्रतिगमन बिधि को लागू करके इस समस्या को मॉडलिंग करने पर ध्यान केंद्रित किया गया।

1934 में चेस्टर इटनर ब्लिस ने इस मैपिंग को करने के लिए संचयी सामान्य वितरण फंक्शन का उपयोग किया और अपने मॉडल प्रोबिट को संभावित इकाई का संक्षिप्त नाम दिया। हालाँकि, यह कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक महंगा है। 1944 में जोसेफ बर्कसन ने ऑड्स लॉग का उपयोग किया और इस फंक्शन को लॉगिट कहा गया, प्रोबिट के एनालॉग के बाद 'लॉजिस्टिक यूनिट' का संक्षिप्त नाम दिया:

लॉग ऑड्स का उपयोग