एकल मान: Difference between revisions

Revision as of 23:26, 29 July 2023

गणित में विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में कॉम्पैक्ट ऑपरेटर $T:X\rightarrow Y$ के एकल मान या s-संख्याएँ हिल्बर्ट स्थानों $X$ और $Y$ के मध्य एक्टर स्व-सहायक ऑपरेटर $T^{*}T$ के (आवश्यक रूप से गैर-नकारात्मक) eigenvalues के वर्गमूल हैं (जहाँ $T^{*}$ , $T$ के सहायक संचालक को दर्शाता है)।

एकवचन मान गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जिन्हें सामान्य रूप से घटते क्रम (σ₁(T), σ₂(T), …) में सूचीबद्ध किया जाता है। सबसे बड़ा एकवचन मान σ₁(T), T के ऑपरेटर मानदंड के बराबर है (न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय देखें)।

दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष।

यदि T यूक्लिडियन समष्टि $\mathbb {R} ^{n}$ पर कार्य करता है एवं एकवचन मानों के लिए सरल ज्यामितीय व्याख्या है: इकाई वृत्त की $T$ द्वारा छवि पर विचार करें; यह एक दीर्घवृत्ताकार है और इसके अर्ध-अक्षों की लंबाई, $T$ का एकवचन मान हैं (आंकड़ा $\mathbb {R} ^{2}$ में एक उदाहरण प्रदान करता है)।

एकवचन मान सामान्य मैट्रिक्स A के eigenvalues के पूर्ण मान हैं क्योंकि वर्णक्रमीय प्रमेय को एकात्मक विकर्ण प्राप्त करने के लिए लागू किया जा सकता है $A$ जैसा $A=U\Lambda U^{*}$

इसलिए, ${\textstyle {\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\Lambda ^{*}\Lambda U^{*}}}=U\left|\Lambda \right|U^{*}}$ .

हिल्बर्ट स्पेस ऑपरेटरों पर अध्ययन किए गए अधिकांश मानक रैखिक स्थान को s-संख्याओं का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, Ky फैन-k-मानदंड पहले k एकवचन मानों का योग है, ट्रेस मानदंड सभी एकवचन मानों का योग है और स्कैटन मानदंड एकवचन मानों की pth शक्तियों के योग का pth मूल है। ध्यान दें कि प्रत्येक मानदंड केवल ऑपरेटरों के विशेष वर्ग पर परिभाषित किया गया है इसलिए s-नंबर विभिन्न ऑपरेटरों को वर्गीकृत करने में उपयोगी होते हैं।

परिमित-आयामी स्थितियों में मैट्रिक्स (गणित) को हमेशा $\mathbf {U\Sigma V^{*}}$ रूप में विघटित किया जा सकता है जहाँ $\mathbf {U}$ और $\mathbf {V^{*}}$ एकात्मक मैट्रिक्स हैं और $\mathbf {\Sigma }$ आयताकार विकर्ण मैट्रिक्स है जिसके विकर्ण पर एकवचन मान स्थित हैं। यह एकवचन मूल्य अपघटन है।

मूल गुण

$A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ , और $i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}$ के लिए

एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय। यहाँ $U:\dim(U)=i$ आयाम $i$ , $\mathbb {C} ^{n}$ का उपस्थान है।

{\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}

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 {{Short description|Square roots of the eigenvalues of the self-adjoint operator}}
-गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, एक [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर]] के एकल मान, या ''s''-संख्याएँ <math>T: X \rightarrow Y</math> [[हिल्बर्ट स्थान]]ों के बीच अभिनय  <math>X</math> और <math>Y</math>, स्व-सहायक ऑपरेटर के (आवश्यक रूप से गैर-नकारात्मक) [[eigenvalue]]s के वर्गमूल हैं <math>T^*T</math> (कहाँ <math>T^*</math> के सहायक संचालक को दर्शाता है <math>T</math>).
+गणित में विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर]] <math>T: X \rightarrow Y</math> के एकल मान या ''s''-संख्याएँ [[हिल्बर्ट स्थान|हिल्बर्ट स्थानों]] <math>X</math> और <math>Y</math> के मध्य एक्टर स्व-सहायक ऑपरेटर <math>T^*T</math> के (आवश्यक रूप से गैर-नकारात्मक) [[eigenvalue]]s के वर्गमूल हैं (जहाँ <math>T^*</math>, <math>T</math> के सहायक संचालक को दर्शाता है)।
-एकवचन मान गैर-नकारात्मक [[वास्तविक संख्या]]एँ हैं, जिन्हें आमतौर पर घटते क्रम (σ) में सूचीबद्ध किया जाता है<sub>1</sub>(टी), पी<sub>2</sub>(टी), …)। सबसे बड़ा एकवचन मान σ<sub>1</sub>(टी) टी के [[ऑपरेटर मानदंड]] के बराबर है (एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय#न्यूनतम-अधिकतम सिद्धांत देखें|न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय)।
+एकवचन मान गैर-नकारात्मक [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याएँ]] हैं जिन्हें सामान्य रूप से घटते क्रम (σ<sub>1</sub>(T), σ<sub>2</sub>(T), …) में सूचीबद्ध किया जाता है। सबसे बड़ा एकवचन मान σ<sub>1</sub>(T), T के [[ऑपरेटर मानदंड]] के बराबर है (न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय देखें)।
-[[File:Singular value decomposition.gif|thumb|right|280px|2-आयामी, वास्तविक :en:शीयर मैपिंग एम के एकवचन मूल्य अपघटन (एसवीडी) का विज़ुअलाइज़ेशन। सबसे पहले, हम दो [[मानक आधार]]ों के साथ [[यूनिट डिस्क]] को नीले रंग में देखते हैं। फिर हम एम की क्रिया देखते हैं, जो डिस्क को एक दीर्घवृत्त में विकृत कर देती है। एसवीडी एम को तीन सरल परिवर्तनों में विघटित करता है: एक [[रोटेशन मैट्रिक्स]] वी{{sup|*}}, घुमाए गए समन्वय अक्षों के साथ एक [[स्केलिंग (ज्यामिति)]] Σ और दूसरा घूर्णन यू। Σ एक (वर्ग, इस उदाहरण में) [[विकर्ण मैट्रिक्स]] है जिसमें इसके विकर्ण में एम के एकवचन मान शामिल हैं, जो लंबाई का प्रतिनिधित्व करते हैं σ<sub>1</sub> और पी<sub>2</sub> दीर्घवृत्त के#दीर्घवृत्त के तत्व|दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष।]]यदि T यूक्लिडियन समष्टि पर कार्य करता है <math>\Reals ^n</math>, एकवचन मानों के लिए एक सरल ज्यामितीय व्याख्या है: छवि पर विचार करें <math>T</math> [[एन-क्षेत्र]] का; यह एक दीर्घवृत्ताकार है, और इसके अर्ध-अक्षों की लंबाई एकवचन मान हैं <math>T</math> (आंकड़ा एक उदाहरण प्रदान करता है <math>\Reals^2</math>).
+[[File:Singular value decomposition.gif|thumb|right|280px|2-आयामी, वास्तविक :en:शीयर मैपिंग एम के एकवचन मूल्य अपघटन (एसवीडी) का विज़ुअलाइज़ेशन। सबसे पहले, हम दो [[मानक आधार]]ों के साथ [[यूनिट डिस्क]] को नीले रंग में देखते हैं। फिर हम एम की क्रिया देखते हैं, जो डिस्क को एक दीर्घवृत्त में विकृत कर देती है। एसवीडी एम को तीन सरल परिवर्तनों में विघटित करता है: एक [[रोटेशन मैट्रिक्स]] वी{{sup|*}}, घुमाए गए समन्वय अक्षों के साथ एक [[स्केलिंग (ज्यामिति)]] Σ और दूसरा घूर्णन यू। Σ एक (वर्ग, इस उदाहरण में) [[विकर्ण मैट्रिक्स]] है जिसमें इसके विकर्ण में एम के एकवचन मान शामिल हैं, जो लंबाई का प्रतिनिधित्व करते हैं σ<sub>1</sub> और पी<sub>2</sub> दीर्घवृत्त के#दीर्घवृत्त के तत्व|दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष।]]यदि T यूक्लिडियन समष्टि <math>\Reals ^n</math> पर कार्य करता है एवं एकवचन मानों के लिए सरल ज्यामितीय व्याख्या है: इकाई वृत्त की <math>T</math> द्वारा छवि पर विचार करें; यह एक दीर्घवृत्ताकार है और इसके अर्ध-अक्षों की लंबाई, <math>T</math> का एकवचन मान हैं (आंकड़ा <math>\Reals^2</math> में एक उदाहरण प्रदान करता है)।
-एकवचन मान एक [[सामान्य मैट्रिक्स]] ए के [[eigenvalues]] के पूर्ण मान हैं, क्योंकि [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] को एकात्मक विकर्ण प्राप्त करने के लिए लागू किया जा सकता है <math>A</math> जैसा <math>A = U\Lambda U^*</math>. इसलिए, {{nowrap|<math display="inline">\sqrt{A^* A} = \sqrt{U \Lambda^* \Lambda U^*} = U \left| \Lambda \right| U^*</math>.}}
+एकवचन मान [[सामान्य मैट्रिक्स]] A के [[eigenvalues]] के पूर्ण मान हैं क्योंकि [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] को एकात्मक विकर्ण प्राप्त करने के लिए लागू किया जा सकता है <math>A</math> जैसा <math>A = U\Lambda U^*</math>
-हिल्बर्ट अंतरिक्ष ऑपरेटरों पर अध्ययन किए गए अधिकांश मानक रैखिक स्थान को एस-संख्याओं का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, Ky फैन-k-मानदंड पहले k एकवचन मानों का योग है, ट्रेस मानदंड सभी एकवचन मानों का योग है, और स्कैटन मानदंड एकवचन मानों की pth शक्तियों के योग का pth मूल है। ध्यान दें कि प्रत्येक मानदंड केवल ऑपरेटरों के एक विशेष वर्ग पर परिभाषित किया गया है, इसलिए एस-नंबर विभिन्न ऑपरेटरों को वर्गीकृत करने में उपयोगी होते हैं।
+इसलिए, {{nowrap|<math display="inline">\sqrt{A^* A} = \sqrt{U \Lambda^* \Lambda U^*} = U \left| \Lambda \right| U^*</math>.}}
-परिमित-आयामी मामले में, एक [[मैट्रिक्स (गणित)]] को हमेशा रूप में विघटित किया जा सकता है <math>\mathbf{U\Sigma V^*}</math>, कहाँ <math>\mathbf{U}</math> और <math>\mathbf{V^*}</math> [[एकात्मक मैट्रिक्स]] हैं और <math>\mathbf{\Sigma}</math> एक [[आयताकार विकर्ण मैट्रिक्स]] है जिसके विकर्ण पर एकवचन मान स्थित हैं। यह विलक्षण मूल्य अपघटन है.
+हिल्बर्ट स्पेस ऑपरेटरों पर अध्ययन किए गए अधिकांश मानक रैखिक स्थान को s-संख्याओं का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, Ky फैन-k-मानदंड पहले k एकवचन मानों का योग है, ट्रेस मानदंड सभी एकवचन मानों का योग है और स्कैटन मानदंड एकवचन मानों की pth शक्तियों के योग का pth मूल है। ध्यान दें कि प्रत्येक मानदंड केवल ऑपरेटरों के विशेष वर्ग पर परिभाषित किया गया है इसलिए s-नंबर विभिन्न ऑपरेटरों को वर्गीकृत करने में उपयोगी होते हैं।
+परिमित-आयामी स्थितियों में [[मैट्रिक्स (गणित)]] को हमेशा <math>\mathbf{U\Sigma V^*}</math> रूप में विघटित किया जा सकता है जहाँ <math>\mathbf{U}</math> और <math>\mathbf{V^*}</math> [[एकात्मक मैट्रिक्स]] हैं और <math>\mathbf{\Sigma}</math> [[आयताकार विकर्ण मैट्रिक्स]] है जिसके विकर्ण पर एकवचन मान स्थित हैं। यह एकवचन मूल्य अपघटन है।
 == मूल गुण ==
-के लिए <math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>, और <math>i = 1,2, \ldots, \min \{m,n\}</math>.
+<math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>, और <math>i = 1,2, \ldots, \min \{m,n\}</math> के लिए
-न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय#एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम सिद्धांत|एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय। यहाँ <math>U: \dim(U) = i</math> का एक उपस्थान है <math>\mathbb{C}^n</math> आयाम का <math>i</math>.
+एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय। यहाँ <math>U: \dim(U) = i</math> आयाम <math>i</math>, <math>\mathbb{C}^n</math>का उपस्थान है।
 :<math>\begin{align}

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