डिराक समीकरण: Difference between revisions
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निरंतरता समीकरण से निम्नलिखित संभाव्यता वर्तमान और घनत्व के संरक्षण के साथ: | निरंतरता समीकरण से निम्नलिखित संभाव्यता वर्तमान और घनत्व के संरक्षण के साथ: | ||
<math display="block">\nabla\cdot J + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0~.</math> | <math display="block">\nabla\cdot J + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0~.</math> | ||
'''तथ्य यह है कि घनत्व घनात्मक-निश्चित फलन है और इस निरंतरता समीकरण के अनुसार संवहन का अर्थ है कि कोई एक निश्चित डोमेन पर घनत्व को एकीकृत कर सकता है और कुल 1 पर समुच्चय कर सकता है, और यह स्थिति [[संरक्षण कानून]] द्वारा बनाए रखी जाएगी। संभाव्यता घनत्व धारा के साथ एक उचित सापेक्षतावादी सिद्धांत को भी इस सुविधा को साझा करना चाहिए। संवहित घ'''नत्व की धारणा को बनाए रखने के लिए, किसी को घनत्व और वर्तमान की श्रोडिंगर अभिव्यक्ति को सामान्य बनाना चाहिए ताकि समष्टि और समय व्युत्पन्न फिर से | '''तथ्य यह है कि घनत्व घनात्मक-निश्चित फलन है और इस निरंतरता समीकरण के अनुसार संवहन का अर्थ है कि कोई एक निश्चित डोमेन पर घनत्व को एकीकृत कर सकता है और कुल 1 पर समुच्चय कर सकता है, और यह स्थिति [[संरक्षण कानून|संरक्षण नियम]] द्वारा बनाए रखी जाएगी। संभाव्यता घनत्व धारा के साथ एक उचित सापेक्षतावादी सिद्धांत को भी इस सुविधा को साझा करना चाहिए। संवहित घ'''नत्व की धारणा को बनाए रखने के लिए, किसी को घनत्व और वर्तमान की श्रोडिंगर अभिव्यक्ति को सामान्य बनाना चाहिए ताकि समष्टि और समय व्युत्पन्न फिर से अदिश तरंग फलन के संबंध में सममित रूप से प्रवेश कर सकें। श्रोडिंगर अभिव्यक्ति को वर्तमान के लिए रखा जा सकता है, लेकिन संभाव्यता घनत्व को सममित रूप से गठित अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए{{explain|reason=Why?|date=November 2021}} | ||
<math display="block">\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2} \left(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^* \right) .</math> | <math display="block">\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2} \left(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^* \right) .</math> | ||
जो अब स्पेसटाइम सदिश का चौथा घटक बन गया है, और संपूर्ण संभाव्यता धारा | संभाव्यता 4-वर्तमान घनत्व में सापेक्ष रूप से सहसंयोजक अभिव्यक्ति है | जो अब स्पेसटाइम सदिश का चौथा घटक बन गया है, और संपूर्ण संभाव्यता धारा | संभाव्यता 4-वर्तमान घनत्व में सापेक्ष रूप से सहसंयोजक अभिव्यक्ति है | ||
<math display="block">J^\mu = \frac{i\hbar}{2m} \left(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^* \right) .</math> | <math display="block">J^\mu = \frac{i\hbar}{2m} \left(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^* \right) .</math> | ||
निरंतरता समीकरण पहले जैसा | निरंतरता समीकरण पहले जैसा है। अब सब कुछ सापेक्षता के अनुकूल है, लेकिन घनत्व के लिए अभिव्यक्ति अब घनात्मक रूप से निश्चित नहीं है; दोनों के प्रारंभिक मान {{math|''ψ''}} और {{math|∂<sub>''t''</sub>''ψ''}} को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है, और घनत्व इस प्रकार नकारात्मक हो सकता है, कुछ ऐसा जो वैध संभाव्यता घनत्व के लिए असंभव है। इस प्रकार, किसी को इस भोली धारणा के तहत श्रोडिंगर समीकरण का सरल सामान्यीकरण नहीं मिल सकता है कि तरंग फलन एक सापेक्ष अदिश राशि है, और यह जिस समीकरण को संतुष्ट करता है, वह समय में दूसरे क्रम का है। | ||
यद्यपि यह श्रोडिंगर समीकरण का एक सफल सापेक्षतावादी सामान्यीकरण नहीं है, इस समीकरण को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में पुनर्जीवित किया गया है, जहां इसे क्लेन-गॉर्डन समीकरण के रूप में जाना जाता है, और एक स्पिनलेस कण क्षेत्र (उदाहरण के लिए [[सन मेसन]] या [[हिग्स बॉसन]]) का वर्णन करता है। ऐतिहासिक रूप से, श्रोडिंगर स्वयं अपने नाम वाले समीकरण से पहले इस समीकरण पर पहुंचे थे लेकिन जल्द ही इसे खारिज कर दिया। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, अनिश्चित घनत्व को चार्ज घनत्व के अनुरूप समझा जाता है, जो घनात्मक या नकारात्मक हो सकता है, न कि संभाव्यता घनत्व। | यद्यपि यह श्रोडिंगर समीकरण का एक सफल सापेक्षतावादी सामान्यीकरण नहीं है, इस समीकरण को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में पुनर्जीवित किया गया है, जहां इसे क्लेन-गॉर्डन समीकरण के रूप में जाना जाता है, और एक स्पिनलेस कण क्षेत्र (उदाहरण के लिए [[सन मेसन]] या [[हिग्स बॉसन]]) का वर्णन करता है। ऐतिहासिक रूप से, श्रोडिंगर स्वयं अपने नाम वाले समीकरण से पहले इस समीकरण पर पहुंचे थे लेकिन जल्द ही इसे खारिज कर दिया। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, अनिश्चित घनत्व को चार्ज घनत्व के अनुरूप समझा जाता है, जो घनात्मक या नकारात्मक हो सकता है, न कि संभाव्यता घनत्व। | ||
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जहां कोष्ठक अभिव्यक्ति | जहां कोष्ठक अभिव्यक्ति | ||
<math display="block">\{a, b\} = ab + ba</math> | <math display="block">\{a, b\} = ab + ba</math> | ||
[[एंटीकम्यूटेटर]] को दर्शाता है। ये [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] के साथ छद्म-ऑर्थोगोनल 4-आयामी समष्टि पर क्लिफ़ोर्ड बीजगणित के परिभाषित संबंध हैं {{math|(+ − − −)}} | [[एंटीकम्यूटेटर]] को दर्शाता है। ये [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] के साथ छद्म-ऑर्थोगोनल 4-आयामी समष्टि पर क्लिफ़ोर्ड बीजगणित के परिभाषित संबंध हैं {{math|(+ − − −)}}। डिराक समीकरण में नियोजित विशिष्ट क्लिफ़ोर्ड बीजगणित को आज डिराक बीजगणित के रूप में जाना जाता है। हालाँकि समीकरण तैयार किए जाने के समय डिराक द्वारा इसे मान्यता नहीं दी गई थी, लेकिन बाद में इस [[ज्यामितीय बीजगणित]] के आरम्भ क्वांटम सिद्धांत के विकास में एक बड़ी प्रगति का प्रतिनिधित्व करती है। | ||
डिराक समीकरण की व्याख्या अब एक [[eigenvalue]] समीकरण के रूप में की जा सकती है, जहां शेष द्रव्यमान [[4-पल ऑपरेटर]] के आइगेनवैल्यू के समानुपाती होता है, आनुपातिकता स्थिरांक प्रकाश की गति होती है: | डिराक समीकरण की व्याख्या अब एक [[eigenvalue]] समीकरण के रूप में की जा सकती है, जहां शेष द्रव्यमान [[4-पल ऑपरेटर]] के आइगेनवैल्यू के समानुपाती होता है, आनुपातिकता स्थिरांक प्रकाश की गति होती है: | ||
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=== पाउली सिद्धांत === | === पाउली सिद्धांत === | ||
{{See also|Pauli equation}} | {{See also|Pauli equation}} | ||
आधे-पूर्णांक प्रचक्रण (भौतिकी) को शुरू करने की आवश्यकता प्रयोगात्मक रूप से स्टर्न-गेरलाच प्रयोग के परिणामों पर आधारित है। परमाणुओं की एक किरण को एक मजबूत समरूपता और विषमता [[चुंबकीय क्षेत्र]] के माध्यम से चलाया जाता है, जो फिर विभाजित हो जाता है {{math|''N''}}परमाणुओं की प्रचक्रण (भौतिकी) के आधार पर भाग। यह पाया गया कि चांदी के परमाणुओं के लिए, किरण दो भागों में विभाजित थी; इसलिए जमीनी स्थिति [[पूर्णांक]] नहीं हो सकती, क्योंकि भले ही परमाणुओं की आंतरिक कोणीय गति यथासंभव छोटी हो, 1, किरण को परमाणुओं के अनुरूप तीन भागों में विभाजित किया जाएगा {{math|''L<sub>z</sub>'' {{=}} −1, 0, +1}} | आधे-पूर्णांक प्रचक्रण (भौतिकी) को शुरू करने की आवश्यकता प्रयोगात्मक रूप से स्टर्न-गेरलाच प्रयोग के परिणामों पर आधारित है। परमाणुओं की एक किरण को एक मजबूत समरूपता और विषमता [[चुंबकीय क्षेत्र]] के माध्यम से चलाया जाता है, जो फिर विभाजित हो जाता है {{math|''N''}}परमाणुओं की प्रचक्रण (भौतिकी) के आधार पर भाग। यह पाया गया कि चांदी के परमाणुओं के लिए, किरण दो भागों में विभाजित थी; इसलिए जमीनी स्थिति [[पूर्णांक]] नहीं हो सकती, क्योंकि भले ही परमाणुओं की आंतरिक कोणीय गति यथासंभव छोटी हो, 1, किरण को परमाणुओं के अनुरूप तीन भागों में विभाजित किया जाएगा {{math|''L<sub>z</sub>'' {{=}} −1, 0, +1}}। निष्कर्ष यह है कि चांदी के परमाणुओं में शुद्ध आंतरिक कोणीय गति होती है {{frac|1|2}}। वोल्फगैंग पाउली ने एक सिद्धांत स्थापित किया, जिसने हैमिल्टन के सिद्धांत में दो-घटक तरंग फलन और संबंधित सुधार शब्द को पेश करके इस विभाजन को समझाया, जो इस तरंग फलन के अर्ध-चिरसम्मत युग्मन को एक लागू चुंबकीय क्षेत्र में दर्शाता है, जैसा कि एसआई इकाइयों में होता है: (ध्यान दें कि बोल्ड चेहरे वाले अक्षर 3 आयामों में [[यूक्लिडियन सदिश]] दर्शाते हैं, जबकि मिन्कोव्स्की समष्टि [[चार-वेक्टर|चार-सदिश]] {{math|''A''<sub>''μ''</sub>}} को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है <math>A_\mu = (\phi/c,-\mathbf A)</math>।) | ||
<math display="block">H = \frac{1}{2m}\left( \boldsymbol{\sigma}\cdot\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right)^2 + e\phi ~.</math> | <math display="block">H = \frac{1}{2m}\left( \boldsymbol{\sigma}\cdot\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right)^2 + e\phi ~.</math> | ||
यहाँ {{math|'''A'''}} और <math>\phi</math> उनके मानक एसआई इकाइयों में [[विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता]] के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और तीन सिग्मा पाउली आव्यूह हैं। पहले पद का वर्ग करने पर, चुंबकीय क्षेत्र के साथ एक अवशिष्ट अंतःक्रिया पाई जाती है, साथ ही सामान्य संवेग#क्षेत्र में कण एसआई इकाइयों में एक लागू क्षेत्र के साथ अंतःक्रिया करता है: | यहाँ {{math|'''A'''}} और <math>\phi</math> उनके मानक एसआई इकाइयों में [[विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता]] के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और तीन सिग्मा पाउली आव्यूह हैं। पहले पद का वर्ग करने पर, चुंबकीय क्षेत्र के साथ एक अवशिष्ट अंतःक्रिया पाई जाती है, साथ ही सामान्य संवेग#क्षेत्र में कण एसआई इकाइयों में एक लागू क्षेत्र के साथ अंतःक्रिया करता है: | ||
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यह हैमिल्टनियन अब एक है {{nowrap|2 × 2}} आव्यूह, इसलिए इस पर आधारित श्रोडिंगर समीकरण को दो-घटक तरंग फलन का उपयोग करना चाहिए। बाहरी विद्युत चुम्बकीय 4-सदिश क्षमता को डायराक समीकरण में एक समान तरीके से पेश करने पर, जिसे [[न्यूनतम युग्मन]] के रूप में जाना जाता है, यह रूप लेता है: | यह हैमिल्टनियन अब एक है {{nowrap|2 × 2}} आव्यूह, इसलिए इस पर आधारित श्रोडिंगर समीकरण को दो-घटक तरंग फलन का उपयोग करना चाहिए। बाहरी विद्युत चुम्बकीय 4-सदिश क्षमता को डायराक समीकरण में एक समान तरीके से पेश करने पर, जिसे [[न्यूनतम युग्मन]] के रूप में जाना जाता है, यह रूप लेता है: | ||
<math display="block">\left(\gamma^\mu(i\hbar\partial_\mu - eA_\mu) - mc\right) \psi = 0 ~.</math> | <math display="block">\left(\gamma^\mu(i\hbar\partial_\mu - eA_\mu) - mc\right) \psi = 0 ~.</math> | ||
डिराक ऑपरेटर का दूसरा अनुप्रयोग अब पाउली शब्द को बिल्कुल पहले की तरह पुन: पेश करेगा, क्योंकि स्थानिक डिराक आव्यूह को गुणा किया जाता है {{math|''i''}}, पाउली मैट्रिसेस के समान ही वर्ग और कम्यूटेशन गुण हैं। इससे भी अधिक, पाउली के नए शब्द के सामने खड़े इलेक्ट्रॉन के [[जाइरोमैग्नेटिक अनुपात]] के मान को पहले सिद्धांतों से समझाया गया है। यह डिराक समीकरण की एक बड़ी उपलब्धि थी और इससे भौतिकविदों को इसकी समग्र शुद्धता पर बहुत विश्वास हुआ। हालाँकि और भी बहुत कुछ | डिराक ऑपरेटर का दूसरा अनुप्रयोग अब पाउली शब्द को बिल्कुल पहले की तरह पुन: पेश करेगा, क्योंकि स्थानिक डिराक आव्यूह को गुणा किया जाता है {{math|''i''}}, पाउली मैट्रिसेस के समान ही वर्ग और कम्यूटेशन गुण हैं। इससे भी अधिक, पाउली के नए शब्द के सामने खड़े इलेक्ट्रॉन के [[जाइरोमैग्नेटिक अनुपात]] के मान को पहले सिद्धांतों से समझाया गया है। यह डिराक समीकरण की एक बड़ी उपलब्धि थी और इससे भौतिकविदों को इसकी समग्र शुद्धता पर बहुत विश्वास हुआ। हालाँकि और भी बहुत कुछ है। पाउली सिद्धांत को निम्नलिखित तरीके से डिराक सिद्धांत की निम्न ऊर्जा सीमा के रूप में देखा जा सकता है। पहले समीकरण को एसआई इकाइयों के साथ 2-स्पिनर्स के लिए युग्मित समीकरणों के रूप में लिखा गया है: | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
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(E - e\phi) \psi_{+} - c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right) \psi_{-} &= mc^2 \psi_{+} \\ | (E - e\phi) \psi_{+} - c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right) \psi_{-} &= mc^2 \psi_{+} \\ | ||
-(E - e\phi) \psi_{-} + c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right) \psi_{+} &= mc^2 \psi_{-} \end{align}</math> | -(E - e\phi) \psi_{-} + c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right) \psi_{+} &= mc^2 \psi_{-} \end{align}</math> | ||
यह मानते हुए कि क्षेत्र कमजोर है और इलेक्ट्रॉन की गति गैर-सापेक्षात्मक है, इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा लगभग उसकी [[बाकी ऊर्जा]] के बराबर है, और गति | यह मानते हुए कि क्षेत्र कमजोर है और इलेक्ट्रॉन की गति गैर-सापेक्षात्मक है, इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा लगभग उसकी [[बाकी ऊर्जा]] के बराबर है, और गति चिरसम्मत मान पर जा रही है, | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
E - e\phi &\approx mc^2 \\ | E - e\phi &\approx mc^2 \\ | ||
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जो सुव्यवस्थित है {{math|{{sfrac|''v''|''c''}}}} - इस प्रकार विशिष्ट ऊर्जाओं और वेगों पर, मानक प्रतिनिधित्व में डिराक स्पिनर के निचले घटक शीर्ष घटकों की तुलना में बहुत अधिक दबे हुए हैं। इस अभिव्यक्ति को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर कुछ पुनर्व्यवस्था के बाद प्राप्त होता है | जो सुव्यवस्थित है {{math|{{sfrac|''v''|''c''}}}} - इस प्रकार विशिष्ट ऊर्जाओं और वेगों पर, मानक प्रतिनिधित्व में डिराक स्पिनर के निचले घटक शीर्ष घटकों की तुलना में बहुत अधिक दबे हुए हैं। इस अभिव्यक्ति को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर कुछ पुनर्व्यवस्था के बाद प्राप्त होता है | ||
<math display="block"> \left(E - mc^2\right) \psi_{+} = \frac{1}{2m} \left[\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right]^2 \psi_{+} + e\phi \psi_{+} </math> | <math display="block"> \left(E - mc^2\right) \psi_{+} = \frac{1}{2m} \left[\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right]^2 \psi_{+} + e\phi \psi_{+} </math> | ||
बाईं ओर का ऑपरेटर अपनी शेष ऊर्जा द्वारा कम की गई कण ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि सिर्फ | बाईं ओर का ऑपरेटर अपनी शेष ऊर्जा द्वारा कम की गई कण ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि सिर्फ चिरसम्मत ऊर्जा है, इसलिए कोई भी गैर-सापेक्षवादी सन्निकटन में डायराक स्पिनर के शीर्ष घटकों के साथ अपने 2-स्पिनर की पहचान करके पाउली के सिद्धांत को पुनर्प्राप्त कर सकता है। एक और सन्निकटन पाउली सिद्धांत की सीमा के रूप में श्रोडिंगर समीकरण देता है। इस प्रकार, श्रोडिंगर समीकरण को डिराक समीकरण के सुदूर गैर-सापेक्षवादी सन्निकटन के रूप में देखा जा सकता है जब कोई प्रचक्रण की उपेक्षा कर सकता है और केवल कम ऊर्जा और वेग पर काम कर सकता है। यह नए समीकरण के लिए भी एक बड़ी जीत थी, क्योंकि इसने रहस्यमय का पता लगा लिया {{math|''i''}} जो इसमें दिखाई देता है, और एक समिश्र तरंग फलन की आवश्यकता, डिराक बीजगणित के माध्यम से स्पेसटाइम की ज्यामिति पर वापस आती है। यह इस बात पर भी प्रकाश डालता है कि श्रोडिंगर समीकरण, हालांकि सतही तौर पर [[प्रसार समीकरण]] के रूप में है, वास्तव में तरंगों के प्रसार का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
इस बात पर दृढ़ता से जोर दिया जाना चाहिए कि डिराक स्पिनर का बड़े और छोटे घटकों में पृथक्करण स्पष्ट रूप से कम-ऊर्जा सन्निकटन पर निर्भर करता है। संपूर्ण डिराक स्पिनर एक अघुलनशील संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, और पाउली सिद्धांत तक पहुंचने के लिए जिन घटकों को यहां उपेक्षित किया गया है, वे सापेक्षतावादी शासन में नई घटनाएं लाएंगे - एंटीमैटर और [[पदार्थ निर्माण]] और कणों के [[विनाश]] का विचार। | इस बात पर दृढ़ता से जोर दिया जाना चाहिए कि डिराक स्पिनर का बड़े और छोटे घटकों में पृथक्करण स्पष्ट रूप से कम-ऊर्जा सन्निकटन पर निर्भर करता है। संपूर्ण डिराक स्पिनर एक अघुलनशील संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, और पाउली सिद्धांत तक पहुंचने के लिए जिन घटकों को यहां उपेक्षित किया गया है, वे सापेक्षतावादी शासन में नई घटनाएं लाएंगे - एंटीमैटर और [[पदार्थ निर्माण]] और कणों के [[विनाश]] का विचार। | ||
=== वेइल सिद्धांत === | === वेइल सिद्धांत === | ||
जनहीन मामले में <math>m = 0</math>, डिराक समीकरण वेइल समीकरण में बदल जाता है, जो सापेक्ष द्रव्यमान रहित प्रचक्रण का वर्णन करता है-{{frac|2}} | जनहीन मामले में <math>m = 0</math>, डिराक समीकरण वेइल समीकरण में बदल जाता है, जो सापेक्ष द्रव्यमान रहित प्रचक्रण का वर्णन करता है-{{frac|2}} कण।<ref name="Ohlsson2011">{{cite book |first=Tommy |last=Ohlsson |author-link=Tommy Ohlsson |date=22 September 2011 |title=Relativistic Quantum Physics: From advanced quantum mechanics to introductory quantum field theory |page=86 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-139-50432-4 |url=https://books.google.com/books?id=hRavtAW5EFcC&pg=PA86}}</ref> | ||
सिद्धांत एक सेकंड प्राप्त करता है <math>\text{U}(1)</math> समरूपता: नीचे | सिद्धांत एक सेकंड प्राप्त करता है <math>\text{U}(1)</math> समरूपता: नीचे देखें। | ||
== भौतिक व्याख्या == | == भौतिक व्याख्या == | ||
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क्वांटम सिद्धांत में महत्वपूर्ण भौतिक प्रश्न यह है: सिद्धांत द्वारा परिभाषित भौतिक रूप से देखने योग्य मात्राएँ क्या हैं? क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं के अनुसार, ऐसी मात्राएँ [[हर्मिटियन ऑपरेटर]]ों द्वारा परिभाषित की जाती हैं जो किसी प्रणाली की संभावित अवस्थाओं के हिल्बर्ट समष्टि पर फलन करती हैं। इन ऑपरेटरों के eigenvalues तब संबंधित भौतिक मात्रा की माप समस्या के संभावित परिणाम होते हैं। श्रोडिंगर सिद्धांत में, ऐसी सबसे सरल वस्तु समग्र हैमिल्टनियन है, जो सिस्टम की कुल ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है। डिराक सिद्धांत को पारित करने पर इस व्याख्या को बनाए रखने के लिए, हैमिल्टनियन को लिया जाना चाहिए | क्वांटम सिद्धांत में महत्वपूर्ण भौतिक प्रश्न यह है: सिद्धांत द्वारा परिभाषित भौतिक रूप से देखने योग्य मात्राएँ क्या हैं? क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं के अनुसार, ऐसी मात्राएँ [[हर्मिटियन ऑपरेटर]]ों द्वारा परिभाषित की जाती हैं जो किसी प्रणाली की संभावित अवस्थाओं के हिल्बर्ट समष्टि पर फलन करती हैं। इन ऑपरेटरों के eigenvalues तब संबंधित भौतिक मात्रा की माप समस्या के संभावित परिणाम होते हैं। श्रोडिंगर सिद्धांत में, ऐसी सबसे सरल वस्तु समग्र हैमिल्टनियन है, जो सिस्टम की कुल ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है। डिराक सिद्धांत को पारित करने पर इस व्याख्या को बनाए रखने के लिए, हैमिल्टनियन को लिया जाना चाहिए | ||
<math display="block">H = \gamma^0 \left[mc^2 + c \gamma^k \left(p_k - q A_k\right) \right] + c q A^0.</math> | <math display="block">H = \gamma^0 \left[mc^2 + c \gamma^k \left(p_k - q A_k\right) \right] + c q A^0.</math> | ||
जहां, हमेशा की तरह, दो बार दोहराए गए सूचकांक पर आइंस्टीन अंकन है {{math|''k'' {{=}} 1, 2, 3}} | जहां, हमेशा की तरह, दो बार दोहराए गए सूचकांक पर आइंस्टीन अंकन है {{math|''k'' {{=}} 1, 2, 3}}। यह आशाजनक लगता है, क्योंकि कोई भी कण की बाकी ऊर्जा का निरीक्षण करके देख सकता है और, इस मामले में {{math|'''A''' {{=}} 0}}, विद्युत विभव में रखे गए आवेश की ऊर्जा {{math|''cqA''<sup>0</sup>}}। सदिश क्षमता से जुड़े शब्द के बारे में क्या? चिरसम्मत विद्युत्गतिकी में, किसी लागू क्षमता में गतिमान आवेश की ऊर्जा होती है | ||
<math display="block">H = c\sqrt{\left(\mathbf{p} - q\mathbf{A}\right)^2 + m^2c^2} + qA^0.</math> | <math display="block">H = c\sqrt{\left(\mathbf{p} - q\mathbf{A}\right)^2 + m^2c^2} + qA^0.</math> | ||
इस प्रकार, डिराक हैमिल्टनियन मूल रूप से अपने | इस प्रकार, डिराक हैमिल्टनियन मूल रूप से अपने चिरसम्मत समकक्ष से अलग है, और इस सिद्धांत में जो देखने योग्य है उसे सही ढंग से पहचानने के लिए बहुत सावधानी बरतनी चाहिए। डायराक समीकरण द्वारा निहित अधिकांश स्पष्ट रूप से विरोधाभासी व्यवहार इन अवलोकनों की गलत पहचान के बराबर है।{{Citation needed|date=January 2020}} | ||
=== छिद्र सिद्धांत === | === छिद्र सिद्धांत === | ||
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इसे कुल कोणीय गति के रूप में समझा जा सकता है। यह स्पिनर क्षेत्र पर फलन करता है | इसे कुल कोणीय गति के रूप में समझा जा सकता है। यह स्पिनर क्षेत्र पर फलन करता है | ||
<math display="block">\psi^\prime(x) = \exp\left(\frac{-i}{2} \omega^{\mu\nu} J_{\mu\nu}\right) \psi(x)</math> | <math display="block">\psi^\prime(x) = \exp\left(\frac{-i}{2} \omega^{\mu\nu} J_{\mu\nu}\right) \psi(x)</math> | ||
ध्यान दें <math>x</math> उपरोक्त में कोई प्राइम नहीं है: उपरोक्त को रूपांतरित करके प्राप्त किया जाता है <math>x \mapsto x'</math> में परिवर्तन प्राप्त करना <math>\psi(x)\mapsto \psi'(x')</math> और फिर मूल समन्वय प्रणाली पर वापस लौटना <math>x' \mapsto x</math> | ध्यान दें <math>x</math> उपरोक्त में कोई प्राइम नहीं है: उपरोक्त को रूपांतरित करके प्राप्त किया जाता है <math>x \mapsto x'</math> में परिवर्तन प्राप्त करना <math>\psi(x)\mapsto \psi'(x')</math> और फिर मूल समन्वय प्रणाली पर वापस लौटना <math>x' \mapsto x</math>। | ||
उपरोक्त की ज्यामितीय व्याख्या यह है कि [[फ़्रेम फ़ील्ड|फ़्रेम क्षेत्र]] [[एफ़िन स्पेस|एफ़िन समष्टि]] है, जिसका कोई पसंदीदा मूल नहीं है। जेनरेटर <math>J_{\mu\nu}</math> इस समष्टि की समरूपता उत्पन्न करता है: यह एक निश्चित बिंदु की पुनः लेबलिंग प्रदान करता है <math>x~.</math> जनरेटर <math>\sigma_{\mu\nu}</math> तंतु में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक गति उत्पन्न करता है: से एक गति <math>x \mapsto x'</math> दोनों के साथ <math>x</math> और <math>x'</math> अभी भी उसी स्पेसटाइम बिंदु के अनुरूप है <math>a.</math> इन संभवतः अस्पष्ट टिप्पणियों को स्पष्ट बीजगणित के साथ स्पष्ट किया जा सकता है। | उपरोक्त की ज्यामितीय व्याख्या यह है कि [[फ़्रेम फ़ील्ड|फ़्रेम क्षेत्र]] [[एफ़िन स्पेस|एफ़िन समष्टि]] है, जिसका कोई पसंदीदा मूल नहीं है। जेनरेटर <math>J_{\mu\nu}</math> इस समष्टि की समरूपता उत्पन्न करता है: यह एक निश्चित बिंदु की पुनः लेबलिंग प्रदान करता है <math>x~.</math> जनरेटर <math>\sigma_{\mu\nu}</math> तंतु में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक गति उत्पन्न करता है: से एक गति <math>x \mapsto x'</math> दोनों के साथ <math>x</math> और <math>x'</math> अभी भी उसी स्पेसटाइम बिंदु के अनुरूप है <math>a.</math> इन संभवतः अस्पष्ट टिप्पणियों को स्पष्ट बीजगणित के साथ स्पष्ट किया जा सकता है। | ||
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<math display="block">S(\Lambda) \gamma^\mu S^{-1}(\Lambda) = {\left(\Lambda^{-1}\right)^\mu}_\nu \gamma^\nu</math> | <math display="block">S(\Lambda) \gamma^\mu S^{-1}(\Lambda) = {\left(\Lambda^{-1}\right)^\mu}_\nu \gamma^\nu</math> | ||
के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति <math>S(\Lambda)</math> (ऊपर दी गई अभिव्यक्ति के बराबर) पहचान परिवर्तन के निकट अनंतिम घूर्णन के लोरेंत्ज़ परिवर्तन पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है: | के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति <math>S(\Lambda)</math> (ऊपर दी गई अभिव्यक्ति के बराबर) पहचान परिवर्तन के निकट अनंतिम घूर्णन के लोरेंत्ज़ परिवर्तन पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है: | ||
<math display="block">{\Lambda^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu + {\omega^\mu}_\nu\ ,\ {(\Lambda^{-1})^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu - {\omega^\mu}_\nu</math> जहाँ <math>{g^\mu}_{\nu}</math> मीट्रिक टेंसर है: <math>{g^\mu}_{\nu}=g^{\mu\nu'}g_{\nu'\nu}={\delta^\mu}_{\nu}</math> और जबकि सममित है <math>\omega_{\mu\nu}={\omega^{\alpha}}_{\nu} g_{\alpha\mu}</math> प्रतिसममित | <math display="block">{\Lambda^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu + {\omega^\mu}_\nu\ ,\ {(\Lambda^{-1})^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu - {\omega^\mu}_\nu</math> जहाँ <math>{g^\mu}_{\nu}</math> मीट्रिक टेंसर है: <math>{g^\mu}_{\nu}=g^{\mu\nu'}g_{\nu'\nu}={\delta^\mu}_{\nu}</math> और जबकि सममित है <math>\omega_{\mu\nu}={\omega^{\alpha}}_{\nu} g_{\alpha\mu}</math> प्रतिसममित है। प्लगिंग और चगिंग के बाद, एक प्राप्त होता है | ||
<math display="block">S(\Lambda) = I + \frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu} + \mathcal{O}\left(\Lambda^2\right)</math> | <math display="block">S(\Lambda) = I + \frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu} + \mathcal{O}\left(\Lambda^2\right)</math> | ||
जो कि (अनंतिमल) रूप है <math>S</math> ऊपर और संबंध उत्पन्न करता है <math>\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2} [\gamma^\mu,\gamma^\nu]</math> | जो कि (अनंतिमल) रूप है <math>S</math> ऊपर और संबंध उत्पन्न करता है <math>\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2} [\gamma^\mu,\gamma^\nu]</math> । एफ़िन रीलेबलिंग प्राप्त करने के लिए लिखें | ||
<math display="block"> \begin{align} | <math display="block"> \begin{align} | ||
\psi'(x') &= \left(I + \frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu} \right) \psi(x) \\ | \psi'(x') &= \left(I + \frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu} \right) \psi(x) \\ | ||
| Line 438: | Line 438: | ||
&= \left(I + \frac{-i}{2} \omega^{\mu\nu} J_{\mu\nu} \right) \psi(x') \\ | &= \left(I + \frac{-i}{2} \omega^{\mu\nu} J_{\mu\nu} \right) \psi(x') \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
ठीक से एंटीसिमेट्रिज़िंग के बाद, व्यक्ति को समरूपता का जनरेटर प्राप्त होता है <math>J_{\mu\nu}</math> पहले दिया | ठीक से एंटीसिमेट्रिज़िंग के बाद, व्यक्ति को समरूपता का जनरेटर प्राप्त होता है <math>J_{\mu\nu}</math> पहले दिया गया। इस प्रकार, दोनों <math>J_{\mu\nu}</math> और <math>\sigma_{\mu\nu}</math> लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के जनरेटर कहा जा सकता है, लेकिन एक सूक्ष्म अंतर के साथ: पहला एफ़िन फ्रेम बंडल पर बिंदुओं की रीलेबलिंग से मेल खाता है, जो [[स्पिन बंडल|प्रचक्रण बंडल]] पर स्पिनर के फाइबर के साथ अनुवाद को मजबूर करता है, जबकि दूसरा प्रचक्रण बंडल के फाइबर के साथ अनुवाद से मेल खाता है (एक आंदोलन के रूप में लिया गया) <math>x \mapsto x'</math> फ्रेम बंडल के साथ-साथ एक आंदोलन भी <math>\psi \mapsto \psi'</math> प्रचक्रण बंडल के फाइबर के साथ।) वेनबर्ग कुल और आंतरिक कोणीय गति के रूप में इनकी भौतिक व्याख्या के लिए अतिरिक्त तर्क प्रदान करता है।<ref>Weinberg, "Gravitation", ''op cit.'' ''(See chapter 2.9 "Spin", pages 46-47.)''</ref> | ||
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=== युग्मित वेइल स्पिनर्स === | === युग्मित वेइल स्पिनर्स === | ||
जैसा कि उल्लेखित डिराक समीकरण#अक्षीय समरूपता है, द्रव्यमान रहित डिराक समीकरण तुरंत सजातीय वेइल समीकरण में कम हो जाता है। गामा आव्यूह#वेइल (चिरल) आधार का उपयोग करके, गैर-द्रव्यमान | '''जैसा कि उल्लेखित डिराक समीकरण#अक्षीय समरूपता है, द्रव्यमान रहित डिराक समीकरण तुरंत सजातीय वेइल समीकरण में कम हो जाता है। गामा आव्यूह#वेइल (चिरल) आधार का उपयोग करके, गैर-द्रव्यमान समीकर'''ण को मूल चार-घटक स्पिनर के सूचकांकों के पहले और आखिरी जोड़े पर फलन करने वाले युग्मित अमानवीय वेइल समीकरणों की एक जोड़ी में विघटित किया जा सकता है, यानी। <math>\psi = \begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix}</math>, जहाँ <math>\psi_L</math> और <math>\psi_R</math> प्रत्येक दो-घटक [[वेइल स्पिनर]] हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि चिरल गामा आव्यूह के तिरछे ब्लॉक रूप का मतलब है कि वे स्वैप करते हैं <math>\psi_L</math> और <math>\psi_R</math> और प्रत्येक पर दो-दो-दो पाउली मैट्रिसेस लागू करें: | ||
<math>\gamma^\mu \begin{pmatrix}\psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sigma^\mu \psi_R \\ \overline{\sigma}^\mu \psi_L \end{pmatrix}</math> | <math>\gamma^\mu \begin{pmatrix}\psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sigma^\mu \psi_R \\ \overline{\sigma}^\mu \psi_L \end{pmatrix}</math>। | ||
तो डिराक समीकरण | तो डिराक समीकरण | ||
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<math> | <math> | ||
i\overline{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi_L = m \psi_R | i\overline{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi_L = m \psi_R | ||
</math> | </math>।{{clarify|reason=In the Penrose source the RHS is divided by \sqrt{2} and there is no imaginary unit on the LHS, but he does not go into the derivation. Other sources -- and the Axial symmetry section above -- seem to agree with the form given here.|date=June 2023}} | ||
इसे [[हिलाने की गति]] की सहज व्याख्या के रूप में प्रस्तावित किया गया है, क्योंकि ये द्रव्यमान रहित घटक प्रकाश की गति से फैलेंगे और विपरीत दिशाओं में आगे बढ़ेंगे, क्योंकि हेलीसिटी गति की दिशा पर प्रचक्रण का प्रक्षेपण है।<ref name="PenroseZigzag">{{cite book |last1=Penrose |first1=Roger |title=वास्तविकता की राह|date=2004 |publisher=Alfred A. Knopf |isbn=0-224-04447-8 |pages=628–632 |edition=Sixth Printing}}</ref> यहां जनसमूह की भूमिका है <math>m</math> वेग को प्रकाश की गति से कम नहीं करना है, बल्कि उस औसत दर को नियंत्रित करना है जिस पर ये उलटाव होते हैं; विशेष रूप से, उत्क्रमण को [[पॉइसन प्रक्रिया]] के रूप में तैयार किया जा सकता है।<ref name="PRL_1984_07_30">{{cite journal |last1=Gaveau |first1=B. |last2=Jacobson |first2=T. |last3=Kac |first3=M. |last4=Schulman |first4=L. S. |title=क्वांटम यांत्रिकी और ब्राउनियन मोशन के बीच सादृश्य का सापेक्ष विस्तार|journal=Physical Review Letters |date=30 July 1984 |volume=53 |issue=5 |pages=419-422}}</ref> | इसे [[हिलाने की गति]] की सहज व्याख्या के रूप में प्रस्तावित किया गया है, क्योंकि ये द्रव्यमान रहित घटक प्रकाश की गति से फैलेंगे और विपरीत दिशाओं में आगे बढ़ेंगे, क्योंकि हेलीसिटी गति की दिशा पर प्रचक्रण का प्रक्षेपण है।<ref name="PenroseZigzag">{{cite book |last1=Penrose |first1=Roger |title=वास्तविकता की राह|date=2004 |publisher=Alfred A. Knopf |isbn=0-224-04447-8 |pages=628–632 |edition=Sixth Printing}}</ref> यहां जनसमूह की भूमिका है <math>m</math> वेग को प्रकाश की गति से कम नहीं करना है, बल्कि उस औसत दर को नियंत्रित करना है जिस पर ये उलटाव होते हैं; विशेष रूप से, उत्क्रमण को [[पॉइसन प्रक्रिया]] के रूप में तैयार किया जा सकता है।<ref name="PRL_1984_07_30">{{cite journal |last1=Gaveau |first1=B. |last2=Jacobson |first2=T. |last3=Kac |first3=M. |last4=Schulman |first4=L. S. |title=क्वांटम यांत्रिकी और ब्राउनियन मोशन के बीच सादृश्य का सापेक्ष विस्तार|journal=Physical Review Letters |date=30 July 1984 |volume=53 |issue=5 |pages=419-422}}</ref> | ||
== | == U(1) समरूपता == | ||
इस अनुभाग में प्राकृतिक इकाइयों का उपयोग किया जाता है। युग्मन स्थिरांक को परंपरा के अनुसार लेबल किया जाता है <math>e</math>: इस पैरामीटर को इलेक्ट्रॉन चार्ज के मॉडलिंग के रूप में भी देखा जा सकता है। | इस अनुभाग में प्राकृतिक इकाइयों का उपयोग किया जाता है। युग्मन स्थिरांक को परंपरा के अनुसार लेबल किया जाता है <math>e</math>: इस पैरामीटर को इलेक्ट्रॉन चार्ज के मॉडलिंग के रूप में भी देखा जा सकता है। | ||
=== सदिश समरूपता === | === सदिश समरूपता === | ||
डिराक समीकरण और क्रिया | डिराक समीकरण और क्रिया <math>\text{U}(1)</math> समरूपता को स्वीकार करती है जहां <math>\psi, \bar\psi</math> के रूप में बदल जाते हैं | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
\psi(x) &\mapsto e^{i\alpha}\psi(x), \\ | \psi(x) &\mapsto e^{i\alpha}\psi(x), \\ | ||
\bar\psi(x) &\mapsto e^{-i\alpha}\bar\psi(x). | \bar\psi(x) &\mapsto e^{-i\alpha}\bar\psi(x). | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
यह | यह वैश्विक समरूपता है, जिसे <math>\text{U}(1)</math> '''सदिश''' समरूपता (विपरीत) <math>\text{U}(1)</math> '''अक्षीय''' समरूपता: नीचे देखें) के रूप में जाना जाता है। नोएथर के प्रमेय के अनुसार संगत संरक्षित धारा होती है: इसका उल्लेख पहले किया जा चुका है | ||
<math display="block">J^\mu(x) = \bar\psi(x)\gamma^\mu\psi(x).</math> | <math display="block">J^\mu(x) = \bar\psi(x)\gamma^\mu\psi(x).</math>'''<big>समरूपता का आकलन</big>''' | ||
{{See also|क्वाण्टम विद्युत्गतिकी}} | |||
यदि हम वैश्विक समरूपता को 'बढ़ावा' देते हैं, जो स्थिरांक <math>\alpha</math> द्वारा परिचालित है, स्थानीय समरूपता के लिए, फलन <math>\alpha:\mathbb{R}^{1,3} \to \mathbb{R}</math> द्वारा परिचालित किया गया, या समकक्ष <math>e^{i\alpha}: \mathbb{R}^{1,3} \to \text{U}(1),</math> डिराक समीकरण अब अपरिवर्तनीय नहीं है: इसका अवशिष्ट व्युत्पन्न <math>\alpha(x)</math> है। | |||
[[स्केलर इलेक्ट्रोडायनामिक्स|अदिश विद्युत्गतिकी]] के अनुसार निश्चित आगे बढ़ता है: आंशिक व्युत्पन्न को सहसंयोजक व्युत्पन्न <math>D_\mu</math> में बढ़ावा दिया जाता है | |||
<math display="block">D_\mu \psi = \partial_\mu \psi + i e A_\mu\psi,</math><math display="block">D_\mu \bar\psi = \partial_\mu \bar\psi - i e A_\mu\bar\psi.</math> | |||