डिराक समीकरण: Difference between revisions

Revision as of 12:13, 3 August 2023

कण भौतिकी में, डिराक समीकरण 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक द्वारा प्राप्त सापेक्षतावादी तरंग समीकरण है। अपने स्वतंत्र रूप या विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं सहित, यह सभी प्रचक्रण-½ बड़े कणों का वर्णन करता है, जिन्हें "डायराक कण" कहा जाता है, जैसे इलेक्ट्रॉन और क्वार्क जिनके लिए समता (भौतिकी) समरूपता (भौतिकी) है। यह क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों और विशेष सापेक्षता के सिद्धांत दोनों के अनुरूप है,^[1] और क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में विशेष सापेक्षता को पूरी तरह से ध्यान में रखने वाला पहला सिद्धांत था। इसे पूरी तरह से दृढ़ तरीके से हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला की बारीक संरचना का लेखा-जोखा करके मान्य किया गया था।

समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, प्रतिद्रव्य के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने वोल्फगैंग पाउली के संवृतिशास्त्र (कण भौतिकी) प्रचक्रण (भौतिकी) सिद्धांत में कई घटक तरंग फलन के आरम्भ के लिए सैद्धांतिक औचित्य भी प्रदान किया। डिराक सिद्धांत में तरंग फलन चार समिश्र संख्याओं (बिस्पिनोर के रूप में जाना जाता है) के सदिश हैं, जिनमें से दो गैर-सापेक्षतावादी सीमा में पाउली समीकरण से मिलते जुलते हैं, श्रोडिंगर समीकरण के विपरीत जो केवल समिश्र मान के तरंग फलन का वर्णन करता है। इसके अलावा, शून्य द्रव्यमान की सीमा में, डिराक समीकरण वेइल समीकरण में कम हो जाता है।

हालाँकि डिराक ने पहले तो अपने परिणामों के महत्व को पूरी तरह से नहीं समझा, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता के मिलन के परिणामस्वरूप प्रचक्रण की विस्तृत व्याख्या - और पोजीट्रान की अंतिम खोज - सैद्धांतिक भौतिकी की महान अभिभूत में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। इस उपलब्धि को उनसे पहले आइजैक न्यूटन, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल और अल्बर्ट आइंस्टीन के फलन के बराबर बताया गया है।^[2] क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, प्रचक्रण-1⁄2 कण के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए डिराक समीकरण की पुनर्व्याख्या की गई है।

डिराक समीकरण वेस्टमिन्स्टर ऐबी के पृष्ठ पर पट्टिका पर अंकित है। 13 नवंबर 1995 को अनावरण किया गया, यह पट्टिका पॉल डिराक के जीवन का स्मरण कराती है।^[3]

गणितीय सूत्रीकरण

क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को डिराक स्पिनर क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है $\psi$ समिश्र सदिश समष्टि में मान ले रहा है जिसे ठोस रूप से $\mathbb {C} ^{4}$ वर्णित किया गया है, समतल स्पेसटाइम (मिन्कोवस्की समष्टि) $\mathbb {R} ^{1,3}$ पर परिभाषित किया गया है। इसकी अभिव्यक्ति में गामा आव्यूह और पैरामीटर $m>0$ भी शामिल है जिसे द्रव्यमान के साथ-साथ अन्य भौतिक स्थिरांक के रूप में व्याख्या किया गया है।

क्षेत्र $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{4}$ के संदर्भ में, डिराक समीकरण तब है

डिराक समीकरण

$(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi (x)=0$

और प्राकृतिक इकाइयों में, फेनमैन स्लैश अंकन के साथ,

डिराक समीकरण (प्राकृतिक इकाइयाँ)

$(i\partial \!\!\!/-m)\psi (x)=0$

गामा आव्यूह चार $4\times 4$ समिश्र आव्यूह (तत्व) का समुच्चय है ( ${\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )$ के तत्व) जो परिभाषित विरोधी-कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}

जहाँ $\eta ^{\mu \nu }$ मिन्कोव्स्की मीट्रिक तत्व और सूचकांक $\mu ,\nu$ 0,1,2 और 3 पर ज़ारी है। इन आव्यूह को प्रतिनिधित्व के विकल्प के तहत स्पष्ट रूप से महसूस किया जा सकता है। दो सामान्य विकल्प डिराक प्रतिनिधित्व हैं

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}},

जहाँ

\sigma ^{i}

पॉल के आव्यूह और चिरल प्रतिनिधित्व हैं:

\gamma ^{i}

वही हैं, लेकिन

 $\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.$

स्लैश अंकन कॉम्पैक्ट अंकन है

[1]

[2]

[3]

@@ Line 156: / Line 156: @@
 प्रचक्रण समष्टि पर संबंधित परिवर्तन है
 <math display="block">S[\Lambda] = \exp\left(\frac{1}{2}\omega_{\mu\nu}S^{\mu\nu}\right).</math>
-यह अंकन का दुरुपयोग है, लेकिन मानक है। कारण है <math>S[\Lambda]</math> का सुपरिभाषित फलन <math>\Lambda</math> नहीं है , क्योंकि घटकों के दो अलग-अलग समुच्चय हैं <math>\omega_{\mu\nu}</math> (समतुल्यता तक) जो समान देता है <math>\Lambda</math> लेकिन अलग <math>S[\Lambda]</math>. व्यवहार में हम स्पष्ट रूप से इनमें से एक को चुनते हैं <math>\omega_{\mu\nu}</math> और तब <math>S[\Lambda]</math> के संदर्भ में अच्छी तरह से परिभाषित है <math>\omega_{\mu\nu}.</math>
+यह अंकन का दुरुपयोग है, लेकिन मानक है। इसका कारण यह है कि <math>S[\Lambda]</math>, <math>\Lambda</math> का अच्छी तरह से सुपरिभाषित फलन नहीं है, क्योंकि घटकों <math>\omega_{\mu\nu}</math> के दो अलग-अलग समुच्चय हैं  (समतुल्यता तक) जो एक ही <math>\Lambda</math> देते हैं लेकिन अलग-अलग <math>S[\Lambda]</math> देते हैं। व्यवहार में हम स्पष्ट रूप से इनमें से <math>\omega_{\mu\nu}</math> चुनते हैं और फिर <math>S[\Lambda]</math> है <math>\omega_{\mu\nu}.</math>के संदर्भ में अच्छी तरह से परिभाषित
 लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत, डिराक समीकरण
 <math display="block">i\gamma^\mu\partial_\mu \psi(x) - m \psi(x)</math>
@@ Line 162: / Line 163: @@
 <math display="block">i\gamma^\mu((\Lambda^{-1})_\mu{}^\nu\partial_\nu)S[\Lambda]\psi(\Lambda^{-1} x) - mS[\Lambda]\psi(\Lambda^{-1} x) = 0.</math>
-{{math proof | title = Remainder of proof of Lorentz invariance | proof =
+{{math proof | title = लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनशीलता का शेष प्रमाण | proof =
-Multiplying both sides from the left by <math>S^{-1}[\Lambda]</math> and returning the dummy variable to <math>x</math> gives
+बायीं ओर से दोनों पक्षों को गुणा करने पर <math>S^{-1}[\Lambda]</math> और डमी वेरिएबल को वापस कर रहा <math>x</math> देता है
 <math display="block">iS[\Lambda]^{-1}\gamma^\mu S[\Lambda]((\Lambda^{-1})_\mu{}^\nu\partial_\nu)\psi(x) - m\psi(x) = 0.</math>
-We'll have shown invariance if
+यदि हम अपरिवर्तनशीलता दिखाएंगे
 <math display="block">S[\Lambda]^{-1}\gamma^\mu S[\Lambda](\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu = \gamma^\nu</math>
-or equivalently
+या समकक्ष
 <math display="block">S[\Lambda]^{-1}\gamma^\mu S[\Lambda] = \Lambda^\mu{}_\nu\gamma^\nu.</math>
-This is most easily shown at the algebra level. Supposing the transformations are parametrised by infinitesimal components <math>\omega_{\mu\nu}</math>, then at first order in <math>\omega</math>, on the left-hand side we get
+इसे बीजगणित स्तर पर सबसे आसानी से दिखाया जा सकता है। मान लीजिए कि परिवर्तन अतिसूक्ष्म घटकों द्वारा परिचालित हैं <math>\omega_{\mu\nu}</math>, फिर पहले ऑर्डर में <math>\omega</math>, बायीं ओर हमें मिलता है
 <math display="block">\frac{1}{2}\omega_{\rho\sigma}(M^{\rho\sigma})^\mu{}_\nu \gamma^\nu</math>
-while on the right-hand side we get
+जबकि दाहिनी ओर हमें मिलता है
 <math display="block">\left[\frac{1}{2}\omega_{\rho\sigma}S^{\rho\sigma},\gamma^\mu\right] = \frac{1}{2}\omega_{\rho\sigma}\left[S^{\rho\sigma},\gamma^\mu\right]</math>
-It's a standard exercise to evaluate the commutator on the left-hand side. Writing <math>M^{\rho\sigma}</math> in terms of components completes the proof.
+बाईं ओर कम्यूटेटर का मूल्यांकन करना एक मानक अभ्यास है। लिखना <math>M^{\rho\sigma}</math> घटकों के संदर्भ में प्रमाण को पूरा करता है।
 }}
-लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता से संबद्ध एक संरक्षित नोएथर धारा है, या यूं कहें कि संरक्षित नोएथर धाराओं का एक टेंसर है। <math>(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu</math>. इसी प्रकार, चूंकि अनुवाद के तहत समीकरण अपरिवर्तनीय है, इसलिए संरक्षित नोथर धाराओं का एक टेंसर है <math>T^{\mu\nu}</math>, जिसे सिद्धांत के तनाव-ऊर्जा टेंसर के रूप में पहचाना जा सकता है। लोरेंत्ज़ धारा <math>(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu</math> आंतरिक कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करने वाले टेंसर के अलावा तनाव-ऊर्जा टेंसर के संदर्भ में भी लिखा जा सकता है।
+लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता से संबद्ध संरक्षित नोएथर धारा है, या बल्कि संरक्षित नोएथर धाराओं <math>(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu</math> का एक टेंसर है। इसी तरह, चूंकि अनुवाद के तहत समीकरण अपरिवर्तनीय है, इसलिए संरक्षित नोएथर धाराओं <math>T^{\mu\nu}</math> का टेंसर है, जिसे तनाव-ऊर्जा टेंसर के रूप में पहचाना जा सकता है। लोरेंत्ज़ धारा <math>(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu</math> आंतरिक कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करने वाले टेंसर के अलावा तनाव-ऊर्जा टेंसर के संदर्भ में भी लिखा जा सकता है।
 == ऐतिहासिक विकास और आगे गणितीय विवरण ==

Anonymous

Search

डिराक समीकरण: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 12:13, 3 August 2023

Contents

गणितीय सूत्रीकरण