उपव्युत्पन्न: Difference between revisions

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{{Short description|Generalization of derivatives to real-valued functions}}
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[[File:Subderivative illustration.png|right|thumb|एक उत्तल फलन (नीला) और उपस्पर्शरेखा रेखाएँ <math>x_0</math> (लाल)।]]गणित में, सब[[ यौगिक ]], सबग्रेडिएंट और सबडिफरेंशियल व्युत्पन्न को [[उत्तल कार्य]]ों के लिए सामान्यीकृत करते हैं जो आवश्यक रूप से भिन्न कार्य नहीं होते हैं। [[उत्तल विश्लेषण]] में उप-व्युत्पन्न उत्पन्न होते हैं, उत्तल कार्यों का अध्ययन, अक्सर [[उत्तल अनुकूलन]] के संबंध में।
[[File:Subderivative illustration.png|right|thumb|एक उत्तल फलन (नीला) और उपस्पर्शरेखा रेखाएँ <math>x_0</math> (लाल)।]]गणित में, सब[[ यौगिक ]], '''सबग्रेडिएंट''' और '''सबडिफरेंशियल''' व्युत्पन्न को [[उत्तल कार्य|उत्तल फलन]] के लिए सामान्यीकृत करते हैं जो आवश्यक रूप से भिन्न कार्य नहीं होते हैं। [[उत्तल विश्लेषण]] में उप-व्युत्पन्न उत्पन्न होते हैं, उत्तल फलन का अध्ययन, अक्सर [[उत्तल अनुकूलन]] के संबंध में उपयोग किया जाता है।


होने देना <math>f:I \to \mathbb{R}</math> वास्तविक रेखा के खुले अंतराल पर परिभाषित [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन बनें। ऐसे फ़ंक्शन को सभी बिंदुओं पर भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फ़ंक्शन <math>f(x)=|x|</math> जब यह गैर-विभेदित होता है <math>x=0</math>. हालाँकि, जैसा कि दाईं ओर के ग्राफ़ में देखा गया है (जहाँ <math>f(x)</math> नीले रंग में निरपेक्ष मान फ़ंक्शन के समान गैर-विभेदित किंक हैं), किसी के लिए <math>x_0</math> फ़ंक्शन के डोमेन में कोई रेखा खींच सकता है जो बिंदु से होकर जाती है <math>(x_0,f(x_0))</math> और जो हर जगह या तो एफ के ग्राफ को छू रहा है या नीचे है। ऐसी रेखा की [[ढलान]] को उप-व्युत्पन्न कहा जाता है।
माना <math>f:I \to \mathbb{R}</math> वास्तविक रेखा के संवृत अंतराल पर परिभाषित [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान उत्तल फलन बनें थे। ऐसे फलन को सभी बिंदुओं पर भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फलन <math>f(x)=|x|</math> जब यह गैर-विभेदित <math>x=0</math> होता है चूँकि, जैसा कि दाईं ओर के ग्राफ़ में देखा गया है (जहाँ <math>f(x)</math> नीले रंग में निरपेक्ष मान फलन के समान गैर-विभेदित किंक हैं), किसी के लिए <math>x_0</math> फलन के डोमेन में कोई रेखा खींच सकता है जो बिंदु <math>(x_0,f(x_0))</math> से होकर जाती है  और जो प्रत्येक समिष्ट या तो एफ के ग्राफ को छू रहा है या नीचे है। ऐसी रेखा की [[ढलान|स्लोप]] को उप-व्युत्पन्न कहा जाता है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा                                                                                                                                                           ==
कठोरता से, उत्तल फलन का उपव्युत्पन्न <math>f:I \to \mathbb{R}</math> बिंदु पर <math>x_0</math> खुले अंतराल में <math>I</math> वास्तविक संख्या है <math>c</math> ऐसा है कि
कठोरता से, उत्तल फलन का उपव्युत्पन्न <math>f:I \to \mathbb{R}</math> बिंदु पर <math>x_0</math> संवृत अंतराल में <math>I</math> वास्तविक संख्या <math>c</math> है  ऐसा है कि
<math display="block">f(x)-f(x_0)\ge c(x-x_0)</math>
<math display="block">f(x)-f(x_0)\ge c(x-x_0)</math>
सभी के लिए <math>x\in I</math>. [[माध्य मान प्रमेय]] के व्युत्क्रम द्वारा, उपअवकलजों का समुच्चय (गणित)। <math>x_0</math> उत्तल फ़ंक्शन के लिए [[खाली सेट]] [[बंद अंतराल]] है <math>[a,b]</math>, कहाँ <math>a</math> और <math>b</math> [[एकतरफ़ा सीमा]]एँ हैं
सभी के लिए <math>x\in I</math>. [[माध्य मान प्रमेय]] के व्युत्क्रम द्वारा, उपअवकलजों का समुच्चय (गणित) <math>x_0</math> उत्तल फलन के लिए [[खाली सेट|खाली]] समुच्चय [[बंद अंतराल|विवृत अंतराल]] है <math>[a,b]</math>, जहाँ <math>a</math> और <math>b</math> [[एकतरफ़ा सीमा]]एँ हैं
<math display="block">a=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},</math>
<math display="block">a=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},</math>
<math display="block">b=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.</math>
<math display="block">b=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.</math>
सेट <math>[a,b]</math> सभी उपअवकलन को फलन का उपविभेदक कहा जाता है <math>f</math> पर <math>x_0</math>, द्वारा चिह्नित <math>\partial f(x_0)</math>. अगर <math>f</math> उत्तल है, तो किसी भी बिंदु पर इसका उपविभेदक गैर-रिक्त है। इसके अलावा, यदि यह उपविभेदक है <math>x_0</math> तो, इसमें बिल्कुल उप-व्युत्पन्न शामिल है <math>\partial f(x_0)=\{f'(x_0)\}</math> और <math>f</math> पर भिन्न है <math>x_0</math>.<ref>{{cite book |first=R. T. |last=Rockafellar |author-link=R. T. Rockafellar |title=उत्तल विश्लेषण|publisher=Princeton University Press |year=1970 |isbn=0-691-08069-0 |page=242 [Theorem 25.1] }}</ref>
समुच्चय <math>[a,b]</math> सभी उपअवकलन को फलन <math>f</math> पर <math>x_0</math>, द्वारा चिह्नित <math>\partial f(x_0)</math> का उपविभेदक कहा जाता है. यदि <math>f</math> उत्तल है, तो किसी भी बिंदु पर इसका उपविभेदक गैर-रिक्त है। इसके अतिरिक्त, यदि यह उपविभेदक <math>x_0</math> है  इसमें बिल्कुल उप-व्युत्पन्न सम्मिलित है इस प्रकार <math>\partial f(x_0)=\{f'(x_0)\}</math> और <math>f</math> पर भिन्न <math>x_0</math> है <ref>{{cite book |first=R. T. |last=Rockafellar |author-link=R. T. Rockafellar |title=उत्तल विश्लेषण|publisher=Princeton University Press |year=1970 |isbn=0-691-08069-0 |page=242 [Theorem 25.1] }}</ref>




== उदाहरण ==
== उदाहरण ==


फ़ंक्शन पर विचार करें <math>f(x)=|x|</math> जो उत्तल है. फिर, मूल पर उपविभेदक अंतराल है <math>[-1,1]</math>. किसी भी बिंदु पर उपविभेदक <math>x_0<0</math> [[सिंगलटन सेट]] है <math>\{-1\}</math>, जबकि किसी भी बिंदु पर उपविभेदक <math>x_0>0</math> सिंगलटन सेट है <math>\{1\}</math>. यह [[साइन फ़ंक्शन]] के समान है, लेकिन एकल-मूल्यवान नहीं है <math>0</math>, इसके बजाय सभी संभावित उप-व्युत्पन्न शामिल हैं।
फलन <math>f(x)=|x|</math> पर विचार करें  जो उत्तल है. फिर <math>[-1,1]</math> मूल पर उपविभेदक अंतराल है . किसी भी बिंदु पर उपविभेदक <math>x_0<0</math> [[सिंगलटन सेट|सिंगलटन]] समुच्चय <math>\{-1\}</math> है , जबकि किसी भी बिंदु पर उपविभेदक <math>x_0>0</math> सिंगलटन समुच्चय <math>\{1\}</math> है  यह [[साइन फ़ंक्शन|साइन फलन]] के समान है, किन्तु एकल-मूल्यवान <math>0</math> नहीं है , इसके अतिरिक्त सभी संभावित उप-व्युत्पन्न सम्मिलित हैं।


== गुण ==
== गुण ==


* एक उत्तल कार्य <math>f:I\to\mathbb{R}</math> पर भिन्न है <math>x_0</math> यदि और केवल यदि उपविभेदक सिंगलटन सेट है, जो है <math>\{f'(x_0)\}</math>.
* एक उत्तल कार्य <math>f:I\to\mathbb{R}</math> पर भिन्न <math>x_0</math> है  यदि और केवल यदि उपविभेदक सिंगलटन समुच्चय है, जो <math>\{f'(x_0)\}</math> है .
* एक बिंदु <math>x_0</math> उत्तल फलन का [[वैश्विक न्यूनतम]] है <math>f</math> यदि और केवल यदि शून्य उपविभेदक में निहित है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त चित्र में, कोई ग्राफ़ के लिए क्षैतिज उपस्पर्शरेखा रेखा खींच सकता है <math>f</math> पर <math>(x_0,f(x_0))</math>. यह अंतिम गुण इस तथ्य का सामान्यीकरण है कि स्थानीय न्यूनतम पर अवकलनीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है।
* एक बिंदु <math>x_0</math> उत्तल फलन का [[वैश्विक न्यूनतम]] <math>f</math> है यदि और केवल यदि शून्य उपविभेदक में निहित है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त चित्र में, कोई ग्राफ़ के लिए क्षैतिज उपस्पर्शरेखा <math>f</math> पर <math>(x_0,f(x_0))</math> रेखा खींच सकता है यह अंतिम गुण इस तथ्य का सामान्यीकरण है कि समिष्टीय न्यूनतम पर अवकलनीय फलन का व्युत्पन्न शून्य है।
* अगर <math>f</math> और <math>g</math> उपविभेदकों के साथ उत्तल फलन हैं <math>\partial f(x)</math> और <math>\partial g(x)</math> साथ <math>x</math> कार्यों में से किसी का आंतरिक बिंदु होने के नाते, फिर उपविभेदक <math>f + g</math> है <math>\partial(f + g)(x) = \partial f(x) + \partial g(x)</math> (जहां अतिरिक्त ऑपरेटर मिन्कोव्स्की योग को दर्शाता है)। इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है कि किसी योग का उपअंतर, उपविभेदकों का योग होता है।<ref>{{cite book|last1=Lemaréchal|first1=Claude|last2=Hiriart-Urruty|first2=Jean-Baptiste|title=उत्तल विश्लेषण के मूल सिद्धांत|url=https://archive.org/details/fundamentalsconv00hiri|url-access=limited|date=2001|publisher=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|isbn=978-3-642-56468-0|page=[https://archive.org/details/fundamentalsconv00hiri/page/n193 183]}}</ref>
* यदि <math>f</math> और <math>g</math> उपविभेदकों के साथ उत्तल फलन हैं इस प्रकार <math>\partial f(x)</math> और <math>\partial g(x)</math> साथ <math>x</math> कार्यों में से किसी का आंतरिक बिंदु होते है, फिर उपविभेदक <math>f + g</math> है <math>\partial(f + g)(x) = \partial f(x) + \partial g(x)</math> (जहां अतिरिक्त ऑपरेटर मिन्कोव्स्की योग को दर्शाता है)। इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है कि किसी योग का उपअंतर, उपविभेदकों का योग होता है।<ref>{{cite book|last1=Lemaréchal|first1=Claude|last2=Hiriart-Urruty|first2=Jean-Baptiste|title=उत्तल विश्लेषण के मूल सिद्धांत|url=https://archive.org/details/fundamentalsconv00hiri|url-access=limited|date=2001|publisher=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|isbn=978-3-642-56468-0|page=[https://archive.org/details/fundamentalsconv00hiri/page/n193 183]}}</ref>




== उपग्रेडिएंट ==
== उपग्रेडिएंट ==
उप-व्युत्पन्न और उप-अंतर की अवधारणाओं को कई चर के कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। अगर <math>f:U\to\mathbb{R}</math> [[ यूक्लिडियन स्थान |यूक्लिडियन स्थान]] में [[उत्तल सेट]] [[ खुला सेट |खुला सेट]] पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन है <math>\mathbb{R}^n</math>, वेक्टर <math> v</math> उस स्थान को उपग्रेडिएंट कहा जाता है <math>x_0\in U</math> यदि किसी के लिए <math>x\in U</math> के पास वह है
उप-व्युत्पन्न और उप-अंतर की अवधारणाओं को कई चर के कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यदि <math>f:U\to\mathbb{R}</math> [[ यूक्लिडियन स्थान |यूक्लिडियन समिष्ट]] में [[उत्तल सेट|उत्तल]] समुच्चय [[ खुला सेट |खुला]] समुच्चय पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान उत्तल फलन <math>\mathbb{R}^n</math> है , वेक्टर <math> v</math> उस समिष्ट को उपग्रेडिएंट <math>x_0\in U</math> कहा जाता है  यदि किसी के लिए <math>x\in U</math> के पास वह है
:<math>f(x)-f(x_0)\ge v\cdot (x-x_0),</math>
:<math>f(x)-f(x_0)\ge v\cdot (x-x_0),</math>
जहां डॉट [[डॉट उत्पाद]] को दर्शाता है।
जहां डॉट [[डॉट उत्पाद]] को दर्शाता है। सभी उपग्रेडिएंट्स का समुच्चय <math>x_0</math> ''x<sub>0</sub>'' पर उपविभेदक कहा जाता है और <math>\partial f(x_0)</math> द्वारा दर्शाया गया है . उपविभेदक सदैव गैर-रिक्त उत्तल [[कॉम्पैक्ट सेट|कॉम्पैक्ट]] समुच्चय होता है।
सभी उपग्रेडिएंट्स का सेट <math>x_0</math> ''x'' पर उपविभेदक कहा जाता है<sub>0</sub> और दर्शाया गया है <math>\partial f(x_0)</math>. उपविभेदक हमेशा गैर-रिक्त उत्तल [[कॉम्पैक्ट सेट]] होता है।


ये अवधारणाएँ उत्तल कार्यों को और अधिक सामान्यीकृत करती हैं <math>f:U\to\mathbb{R}</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल स्थान]] में उत्तल सेट पर <math>V</math>. कार्यात्मक <math>v^*</math> दोहरे स्थान में <math>V^*</math> को उपग्रेडिएंट कहा जाता है <math>x_0</math> में <math>U</math> यदि सभी के लिए <math>x\in U</math>,
ये अवधारणाएँ उत्तल कार्यों <math>f:U\to\mathbb{R}</math> को और अधिक सामान्यीकृत करती हैं  [[स्थानीय रूप से उत्तल स्थान|समिष्टीय रूप से उत्तल समिष्ट]] में उत्तल समुच्चय पर <math>V</math>. कार्यात्मक <math>v^*</math> दोहरे समिष्ट में <math>V^*</math> को उपग्रेडिएंट <math>x_0</math> <math>U</math> कहा जाता है  यदि सभी के लिए <math>x\in U</math>,
:<math>f(x)-f(x_0)\ge v^*(x-x_0).</math>
:<math>f(x)-f(x_0)\ge v^*(x-x_0).</math>
सभी उपग्रेडिएंट्स का सेट <math>x_0</math> पर उपविभेदक कहा जाता है <math>x_0</math> और फिर से दर्शाया गया है <math>\partial f(x_0)</math>. उपविभेदक हमेशा उत्तल [[बंद सेट]] होता है। यह खाली सेट हो सकता है; उदाहरण के लिए [[अनबाउंड ऑपरेटर]] पर विचार करें, जो उत्तल है, लेकिन उसका कोई सबग्रेडिएंट नहीं है। अगर <math>f</math> सतत है, उपविभेदक अरिक्त है।
सभी उपग्रेडिएंट्स का समुच्चय <math>x_0</math> पर उपविभेदक <math>x_0</math> कहा जाता है  और फिर <math>\partial f(x_0)</math> से दर्शाया गया है . उपविभेदक सदैव उत्तल [[बंद सेट|विवृत]] समुच्चय होता है। यह खाली समुच्चय हो सकता है; उदाहरण के लिए [[अनबाउंड ऑपरेटर]] पर विचार करें, जो उत्तल है, किन्तु उसका कोई सबग्रेडिएंट नहीं है। यदि <math>f</math> सतत है, उपविभेदक अरिक्त है।


== इतिहास ==
== इतिहास ==


उत्तल कार्यों पर उपविभेदक की शुरुआत 1960 के दशक की शुरुआत में [[ जीन-जैक्स मोरो |जीन-जैक्स मोरो]] और आर. टायरेल रॉकफेलर द्वारा की गई थी। गैर-उत्तल कार्यों के लिए सामान्यीकृत उपविभेदक एफ.एच. क्लार्क और आर.टी. द्वारा पेश किया गया था। 1980 के दशक की शुरुआत में रॉकफेलर।<ref>
उत्तल कार्यों पर उपविभेदक की प्रारंभ 1960 के दशक की प्रारंभ में [[ जीन-जैक्स मोरो |जीन-जैक्स मोरो]] और आर. टायरेल रॉकफेलर द्वारा की गई थी। गैर-उत्तल कार्यों के लिए सामान्यीकृत उपविभेदक एफ.एच. क्लार्क और आर.टी. द्वारा प्रस्तुत किया गया था। 1980 के दशक की प्रारंभ में रॉकफेलर आया था।<ref>
  {{cite book|last=Clarke|first=Frank H.|title=Optimization and nonsmooth analysis|url=https://archive.org/details/optimizationnons0000clar|url-access=registration|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|year=1983|pages=xiii+308|isbn=0-471-87504-X|mr=0709590}}</ref>
  {{cite book|last=Clarke|first=Frank H.|title=Optimization and nonsmooth analysis|url=https://archive.org/details/optimizationnons0000clar|url-access=registration|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|year=1983|pages=xiii+308|isbn=0-471-87504-X|mr=0709590}}</ref>


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== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[कमजोर व्युत्पन्न]]
* [[कमजोर व्युत्पन्न|अशक्त व्युत्पन्न]]
[[उपग्रेडिएंट विधि]] विधि
*[[उपग्रेडिएंट विधि]]


== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
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== बाहरी संबंध ==
== बाहरी संबंध                                                                                                                                                                                                                     ==
*{{cite web |title=Uses of <math>\lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}</math> |date=September 18, 2011 |work=[[Stack Exchange]] |url=https://math.stackexchange.com/q/65569 }}
*{{cite web |title=Uses of <math>\lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}</math> |date=September 18, 2011 |work=[[Stack Exchange]] |url=https://math.stackexchange.com/q/65569 }}
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Revision as of 13:23, 18 July 2023

एक उत्तल फलन (नीला) और उपस्पर्शरेखा रेखाएँ (लाल)।

गणित में, सबयौगिक , सबग्रेडिएंट और सबडिफरेंशियल व्युत्पन्न को उत्तल फलन के लिए सामान्यीकृत करते हैं जो आवश्यक रूप से भिन्न कार्य नहीं होते हैं। उत्तल विश्लेषण में उप-व्युत्पन्न उत्पन्न होते हैं, उत्तल फलन का अध्ययन, अक्सर उत्तल अनुकूलन के संबंध में उपयोग किया जाता है।

माना वास्तविक रेखा के संवृत अंतराल पर परिभाषित वास्तविक संख्या-मूल्यवान उत्तल फलन बनें थे। ऐसे फलन को सभी बिंदुओं पर भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फलन जब यह गैर-विभेदित होता है चूँकि, जैसा कि दाईं ओर के ग्राफ़ में देखा गया है (जहाँ नीले रंग में निरपेक्ष मान फलन के समान गैर-विभेदित किंक हैं), किसी के लिए फलन के डोमेन में कोई रेखा खींच सकता है जो बिंदु