उपव्युत्पन्न: Difference between revisions

Revision as of 13:06, 18 July 2023

एक उत्तल फलन (नीला) और उपस्पर्शरेखा रेखाएँ

x_{0}

(लाल)।

गणित में, सबयौगिक , सबग्रेडिएंट और सबडिफरेंशियल व्युत्पन्न को उत्तल कार्यों के लिए सामान्यीकृत करते हैं जो आवश्यक रूप से भिन्न कार्य नहीं होते हैं। उत्तल विश्लेषण में उप-व्युत्पन्न उत्पन्न होते हैं, उत्तल कार्यों का अध्ययन, अक्सर उत्तल अनुकूलन के संबंध में।

होने देना $f:I\to \mathbb {R}$ वास्तविक रेखा के खुले अंतराल पर परिभाषित वास्तविक संख्या-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन बनें। ऐसे फ़ंक्शन को सभी बिंदुओं पर भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फ़ंक्शन $f(x)=|x|$ जब यह गैर-विभेदित होता है $x=0$ . हालाँकि, जैसा कि दाईं ओर के ग्राफ़ में देखा गया है (जहाँ $f(x)$ नीले रंग में निरपेक्ष मान फ़ंक्शन के समान गैर-विभेदित किंक हैं), किसी के लिए $x_{0}$ फ़ंक्शन के डोमेन में कोई रेखा खींच सकता है जो बिंदु से होकर जाती है $(x_{0},f(x_{0}))$ और जो हर जगह या तो एफ के ग्राफ को छू रहा है या नीचे है। ऐसी रेखा की ढलान को उप-व्युत्पन्न कहा जाता है।

परिभाषा

कठोरता से, उत्तल फलन का उपव्युत्पन्न $f:I\to \mathbb {R}$ बिंदु पर $x_{0}$ खुले अंतराल में $I$ वास्तविक संख्या है $c$ ऐसा है कि

f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})

सभी के लिए

x\in I

. माध्य मान प्रमेय के व्युत्क्रम द्वारा, उपअवकलजों का समुच्चय (गणित)।

x_{0}

उत्तल फ़ंक्शन के लिए खाली सेट बंद अंतराल है

[a,b]

, कहाँ

a

और

b

एकतरफ़ा सीमाएँ हैं

a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},

b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.

सेट

[a,b]

सभी उपअवकलन को फलन का उपविभेदक कहा जाता है

f

पर

x_{0}

, द्वारा चिह्नित

partial differential f left parenthesis x 0 right parenthesis

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 [[File:Subderivative illustration.png|right|thumb|एक उत्तल फलन (नीला) और उपस्पर्शरेखा रेखाएँ <math>x_0</math> (लाल)।]]गणित में, सब[[ यौगिक ]], सबग्रेडिएंट और सबडिफरेंशियल व्युत्पन्न को [[उत्तल कार्य]]ों के लिए सामान्यीकृत करते हैं जो आवश्यक रूप से भिन्न कार्य नहीं होते हैं। [[उत्तल विश्लेषण]] में उप-व्युत्पन्न उत्पन्न होते हैं, उत्तल कार्यों का अध्ययन, अक्सर [[उत्तल अनुकूलन]] के संबंध में।
-होने देना <math>f:I \to \mathbb{R}</math> वास्तविक रेखा के खुले अंतराल पर परिभाषित एक [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन बनें। ऐसे फ़ंक्शन को सभी बिंदुओं पर भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फ़ंक्शन <math>f(x)=|x|</math> जब यह गैर-विभेदित होता है <math>x=0</math>. हालाँकि, जैसा कि दाईं ओर के ग्राफ़ में देखा गया है (जहाँ <math>f(x)</math> नीले रंग में निरपेक्ष मान फ़ंक्शन के समान गैर-विभेदित किंक हैं), किसी के लिए <math>x_0</math> फ़ंक्शन के डोमेन में कोई एक रेखा खींच सकता है जो बिंदु से होकर जाती है <math>(x_0,f(x_0))</math> और जो हर जगह या तो एफ के ग्राफ को छू रहा है या नीचे है। ऐसी रेखा की [[ढलान]] को उप-व्युत्पन्न कहा जाता है।
+होने देना <math>f:I \to \mathbb{R}</math> वास्तविक रेखा के खुले अंतराल पर परिभाषित [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन बनें। ऐसे फ़ंक्शन को सभी बिंदुओं पर भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फ़ंक्शन <math>f(x)=|x|</math> जब यह गैर-विभेदित होता है <math>x=0</math>. हालाँकि, जैसा कि दाईं ओर के ग्राफ़ में देखा गया है (जहाँ <math>f(x)</math> नीले रंग में निरपेक्ष मान फ़ंक्शन के समान गैर-विभेदित किंक हैं), किसी के लिए <math>x_0</math> फ़ंक्शन के डोमेन में कोई रेखा खींच सकता है जो बिंदु से होकर जाती है <math>(x_0,f(x_0))</math> और जो हर जगह या तो एफ के ग्राफ को छू रहा है या नीचे है। ऐसी रेखा की [[ढलान]] को उप-व्युत्पन्न कहा जाता है।
 == परिभाषा ==
-कठोरता से, उत्तल फलन का एक उपव्युत्पन्न <math>f:I \to \mathbb{R}</math> एक बिंदु पर <math>x_0</math> खुले अंतराल में <math>I</math> एक वास्तविक संख्या है <math>c</math> ऐसा है कि
+कठोरता से, उत्तल फलन का उपव्युत्पन्न <math>f:I \to \mathbb{R}</math> बिंदु पर <math>x_0</math> खुले अंतराल में <math>I</math> वास्तविक संख्या है <math>c</math> ऐसा है कि
- <math display="block">f(x)-f(x_0)\ge c(x-x_0)</math>
+<math display="block">f(x)-f(x_0)\ge c(x-x_0)</math>
-सभी के लिए <math>x\in I</math>. [[माध्य मान प्रमेय]] के व्युत्क्रम द्वारा, उपअवकलजों का समुच्चय (गणित)। <math>x_0</math> उत्तल फ़ंक्शन के लिए एक [[खाली सेट]] [[बंद अंतराल]] है <math>[a,b]</math>, कहाँ <math>a</math> और <math>b</math> [[एकतरफ़ा सीमा]]एँ हैं
+सभी के लिए <math>x\in I</math>. [[माध्य मान प्रमेय]] के व्युत्क्रम द्वारा, उपअवकलजों का समुच्चय (गणित)। <math>x_0</math> उत्तल फ़ंक्शन के लिए [[खाली सेट]] [[बंद अंतराल]] है <math>[a,b]</math>, कहाँ <math>a</math> और <math>b</math> [[एकतरफ़ा सीमा]]एँ हैं
 <math display="block">a=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},</math>
 <math display="block">b=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.</math>
-सेट <math>[a,b]</math> सभी उपअवकलन को फलन का उपविभेदक कहा जाता है <math>f</math> पर <math>x_0</math>, द्वारा चिह्नित <math>\partial f(x_0)</math>. अगर <math>f</math> उत्तल है, तो किसी भी बिंदु पर इसका उपविभेदक गैर-रिक्त है। इसके अलावा, यदि यह उपविभेदक है <math>x_0</math> तो, इसमें बिल्कुल एक उप-व्युत्पन्न शामिल है <math>\partial f(x_0)=\{f'(x_0)\}</math> और <math>f</math> पर भिन्न है <math>x_0</math>.<ref>{{cite book |first=R. T. |last=Rockafellar |author-link=R. T. Rockafellar |title=उत्तल विश्लेषण|publisher=Princeton University Press |year=1970 |isbn=0-691-08069-0 |page=242 [Theorem 25.1] }}</ref>
+सेट <math>[a,b]</math> सभी उपअवकलन को फलन का उपविभेदक कहा जाता है <math>f</math> पर <math>x_0</math>, द्वारा चिह्नित <math>\partial f(x_0)</math>. अगर <math>f</math> उत्तल है, तो किसी भी बिंदु पर इसका उपविभेदक गैर-रिक्त है। इसके अलावा, यदि यह उपविभेदक है <math>x_0</math> तो, इसमें बिल्कुल उप-व्युत्पन्न शामिल है <math>\partial f(x_0)=\{f'(x_0)\}</math> और <math>f</math> पर भिन्न है <math>x_0</math>.<ref>{{cite book |first=R. T. |last=Rockafellar |author-link=R. T. Rockafellar |title=उत्तल विश्लेषण|publisher=Princeton University Press |year=1970 |isbn=0-691-08069-0 |page=242 [Theorem 25.1] }}</ref>
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 == गुण ==
-* एक उत्तल कार्य <math>f:I\to\mathbb{R}</math> पर भिन्न है <math>x_0</math> यदि और केवल यदि उपविभेदक एक सिंगलटन सेट है, जो है <math>\{f'(x_0)\}</math>.
+* एक उत्तल कार्य <math>f:I\to\mathbb{R}</math> पर भिन्न है <math>x_0</math> यदि और केवल यदि उपविभेदक सिंगलटन सेट है, जो है <math>\{f'(x_0)\}</math>.
-* एक बिंदु <math>x_0</math> उत्तल फलन का [[वैश्विक न्यूनतम]] है <math>f</math> यदि और केवल यदि शून्य उपविभेदक में निहित है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त चित्र में, कोई ग्राफ़ के लिए एक क्षैतिज उपस्पर्शरेखा रेखा खींच सकता है <math>f</math> पर <math>(x_0,f(x_0))</math>. यह अंतिम गुण इस तथ्य का सामान्यीकरण है कि स्थानीय न्यूनतम पर अवकलनीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है।
+* एक बिंदु <math>x_0</math> उत्तल फलन का [[वैश्विक न्यूनतम]] है <math>f</math> यदि और केवल यदि शून्य उपविभेदक में निहित है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त चित्र में, कोई ग्राफ़ के लिए क्षैतिज उपस्पर्शरेखा रेखा खींच सकता है <math>f</math> पर <math>(x_0,f(x_0))</math>. यह अंतिम गुण इस तथ्य का सामान्यीकरण है कि स्थानीय न्यूनतम पर अवकलनीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है।
-* अगर <math>f</math> और <math>g</math> उपविभेदकों के साथ उत्तल फलन हैं <math>\partial f(x)</math> और <math>\partial g(x)</math> साथ <math>x</math> कार्यों में से किसी एक का आंतरिक बिंदु होने के नाते, फिर उपविभेदक <math>f + g</math> है <math>\partial(f + g)(x) = \partial f(x) + \partial g(x)</math> (जहां अतिरिक्त ऑपरेटर मिन्कोव्स्की योग को दर्शाता है)। इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है कि किसी योग का उपअंतर, उपविभेदकों का योग होता है।<ref>{{cite book|last1=Lemaréchal|first1=Claude|last2=Hiriart-Urruty|first2=Jean-Baptiste|title=उत्तल विश्लेषण के मूल सिद्धांत|url=https://archive.org/details/fundamentalsconv00hiri|url-access=limited|date=2001|publisher=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|isbn=978-3-642-56468-0|page=[https://archive.org/details/fundamentalsconv00hiri/page/n193 183]}}</ref>
+* अगर <math>f</math> और <math>g</math> उपविभेदकों के साथ उत्तल फलन हैं <math>\partial f(x)</math> और <math>\partial g(x)</math> साथ <math>x</math> कार्यों में से किसी का आंतरिक बिंदु होने के नाते, फिर उपविभेदक <math>f + g</math> है <math>\partial(f + g)(x) = \partial f(x) + \partial g(x)</math> (जहां अतिरिक्त ऑपरेटर मिन्कोव्स्की योग को दर्शाता है)। इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है कि किसी योग का उपअंतर, उपविभेदकों का योग होता है।<ref>{{cite book|last1=Lemaréchal|first1=Claude|last2=Hiriart-Urruty|first2=Jean-Baptiste|title=उत्तल विश्लेषण के मूल सिद्धांत|url=https://archive.org/details/fundamentalsconv00hiri|url-access=limited|date=2001|publisher=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|isbn=978-3-642-56468-0|page=[https://archive.org/details/fundamentalsconv00hiri/page/n193 183]}}</ref>
 == उपग्रेडिएंट ==
-उप-व्युत्पन्न और उप-अंतर की अवधारणाओं को कई चर के कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। अगर <math>f:U\to\mathbb{R}</math> [[ यूक्लिडियन स्थान ]] में [[उत्तल सेट]] [[ खुला सेट ]] पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन है <math>\mathbb{R}^n</math>, एक वेक्टर <math> v</math> उस स्थान को उपग्रेडिएंट कहा जाता है <math>x_0\in U</math> यदि किसी के लिए <math>x\in U</math> एक के पास वह है
+उप-व्युत्पन्न और उप-अंतर की अवधारणाओं को कई चर के कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। अगर <math>f:U\to\mathbb{R}</math> [[ यूक्लिडियन स्थान |यूक्लिडियन स्थान]] में [[उत्तल सेट]] [[ खुला सेट |खुला सेट]] पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन है <math>\mathbb{R}^n</math>, वेक्टर <math> v</math> उस स्थान को उपग्रेडिएंट कहा जाता है <math>x_0\in U</math> यदि किसी के लिए <math>x\in U</math> के पास वह है
 :<math>f(x)-f(x_0)\ge v\cdot (x-x_0),</math>
 जहां डॉट [[डॉट उत्पाद]] को दर्शाता है।
-सभी उपग्रेडिएंट्स का सेट <math>x_0</math> ''x'' पर उपविभेदक कहा जाता है<sub>0</sub> और दर्शाया गया है <math>\partial f(x_0)</math>. उपविभेदक हमेशा एक गैर-रिक्त उत्तल [[कॉम्पैक्ट सेट]] होता है।
+सभी उपग्रेडिएंट्स का सेट <math>x_0</math> ''x'' पर उपविभेदक कहा जाता है<sub>0</sub> और दर्शाया गया है <math>\partial f(x_0)</math>. उपविभेदक हमेशा गैर-रिक्त उत्तल [[कॉम्पैक्ट सेट]] होता है।
-ये अवधारणाएँ उत्तल कार्यों को और अधिक सामान्यीकृत करती हैं <math>f:U\to\mathbb{R}</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल स्थान]] में उत्तल सेट पर <math>V</math>. एक कार्यात्मक <math>v^*</math> दोहरे स्थान में <math>V^*</math> को उपग्रेडिएंट कहा जाता है <math>x_0</math> में <math>U</math> यदि सभी के लिए <math>x\in U</math>,
+ये अवधारणाएँ उत्तल कार्यों को और अधिक सामान्यीकृत करती हैं <math>f:U\to\mathbb{R}</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल स्थान]] में उत्तल सेट पर <math>V</math>. कार्यात्मक <math>v^*</math> दोहरे स्थान में <math>V^*</math> को उपग्रेडिएंट कहा जाता है <math>x_0</math> में <math>U</math> यदि सभी के लिए <math>x\in U</math>,
 :<math>f(x)-f(x_0)\ge v^*(x-x_0).</math>
-सभी उपग्रेडिएंट्स का सेट <math>x_0</math> पर उपविभेदक कहा जाता है <math>x_0</math> और फिर से दर्शाया गया है <math>\partial f(x_0)</math>. उपविभेदक हमेशा एक उत्तल [[बंद सेट]] होता है। यह एक खाली सेट हो सकता है; उदाहरण के लिए एक [[अनबाउंड ऑपरेटर]] पर विचार करें, जो उत्तल है, लेकिन उसका कोई सबग्रेडिएंट नहीं है। अगर <math>f</math> सतत है, उपविभेदक अरिक्त है।
+सभी उपग्रेडिएंट्स का सेट <math>x_0</math> पर उपविभेदक कहा जाता है <math>x_0</math> और फिर से दर्शाया गया है <math>\partial f(x_0)</math>. उपविभेदक हमेशा उत्तल [[बंद सेट]] होता है। यह खाली सेट हो सकता है; उदाहरण के लिए [[अनबाउंड ऑपरेटर]] पर विचार करें, जो उत्तल है, लेकिन उसका कोई सबग्रेडिएंट नहीं है। अगर <math>f</math> सतत है, उपविभेदक अरिक्त है।
 == इतिहास ==
-उत्तल कार्यों पर उपविभेदक की शुरुआत 1960 के दशक की शुरुआत में [[ जीन-जैक्स मोरो ]] और आर. टायरेल रॉकफेलर द्वारा की गई थी। गैर-उत्तल कार्यों के लिए सामान्यीकृत उपविभेदक एफ.एच. क्लार्क और आर.टी. द्वारा पेश किया गया था। 1980 के दशक की शुरुआत में रॉकफेलर।<ref>
+उत्तल कार्यों पर उपविभेदक की शुरुआत 1960 के दशक की शुरुआत में [[ जीन-जैक्स मोरो |जीन-जैक्स मोरो]] और आर. टायरेल रॉकफेलर द्वारा की गई थी। गैर-उत्तल कार्यों के लिए सामान्यीकृत उपविभेदक एफ.एच. क्लार्क और आर.टी. द्वारा पेश किया गया था। 1980 के दशक की शुरुआत में रॉकफेलर।<ref>
   {{cite book|last=Clarke|first=Frank H.|title=Optimization and nonsmooth analysis|url=https://archive.org/details/optimizationnons0000clar|url-access=registration|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|year=1983|pages=xiii+308|isbn=0-471-87504-X|mr=0709590}}</ref>
-<!-- this reference is not recognized by the optimization community
-<ref>
-Georgios Stavroulakis, "Quasidifferentiable optimization" in Christodoulos A. Floudas, P.M. Pardalos, eds., ''Encyclopedia of Optimization'' 2001, {{isbn|0-7923-6932-7}}, [http://books.google.com/books?id=gtoTkL7heS0C&pg=PA452#v=snippet&q=subdifferential%20moreau&f=false p. 452''ff'']</ref>
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