अभाज्य-गणना फलन: Difference between revisions

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:<math>\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n}) = 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{(\log x)^k}{k! k \zeta(k+1)}</math>
:<math>\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n}) = 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{(\log x)^k}{k! k \zeta(k+1)}</math>
रीमैन का आर-फंक्शन है<ref name="mathworld_r">{{MathWorld |title=Riemann Prime Counting Function |urlname=RiemannPrimeCountingFunction}}</ref> और {{math|''μ''(''n'')}} मोबियस फ़ंक्शन है। इसके लिए हँसी श्रृंखला को जोर्जेन पेडरसन ग्राम श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।<ref name="Riesel94">{{cite book | title=Prime Numbers and Computer Methods for Factorization | edition=2nd | first=Hans | last=Riesel | author-link=Hans Riesel | series=Progress in Mathematics | volume=126 | publisher=Birkhäuser | year=1994 | isbn=0-8176-3743-5 | pages=50–51 }}</ref><ref name="mathworld_gram">{{MathWorld |title=Gram Series |urlname=GramSeries}}</ रेफ> क्योंकि <math>\log(x) < x</math> सभी के लिए <math>x > 0</math>, यह श्रृंखला के लिए श्रृंखला के साथ तुलना करके सभी धनात्मक x के लिए अभिसरण करती है <math>e^x</math>. गैर-तुच्छ शून्य योगदान पर योग की ग्राम श्रृंखला में लघुगणक का मूल्यांकन किया जाना चाहिए <math>\rho\log x
रीमैन का आर-फंक्शन है<ref name="mathworld_r">{{MathWorld |title=Riemann Prime Counting Function |urlname=RiemannPrimeCountingFunction}}</ref> और {{math|''μ''(''n'')}} मोबियस फ़ंक्शन है। इसके लिए हँसी श्रृंखला को जोर्जेन पेडरसन ग्राम श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।<ref name="Riesel94">{{cite book | title=Prime Numbers and Computer Methods for Factorization | edition=2nd | first=Hans | last=Riesel | author-link=Hans Riesel | series=Progress in Mathematics | volume=126 | publisher=Birkhäuser | year=1994 | isbn=0-8176-3743-5 | pages=50–51 }}</ref><ref name="mathworld_gram">{{MathWorld |title=Gram Series |urlname=GramSeries}}</ref> जब यह अनुमान लगाया जाता है कि रीमैन ज़ेटा फलन  के सभी शून्य सरल हैं,<ref group="note">[[Hugh Lowell Montgomery|Montgomery]] showed that (assuming the Riemann hypothesis) at least 2/3 of all zeros are simple.</ref> वह
</math> और नहीं <math>\log x^\rho
</math>.
 
लोकमार बोर्नमैन ने परीक्षण किया,<nowiki><ref></nowiki>{{cite web |last=Bornemann | first=Folkmar |title=Solution of a Problem Posed by Jörg Waldvogel |url=http://www-m3.ma.tum.de/bornemann/RiemannRZero.pdf }}</ref> जब यह अनुमान लगाया जाता है कि रीमैन ज़ेटा फलन  के सभी शून्य सरल हैं,<ref group="note">[[Hugh Lowell Montgomery|Montgomery]] showed that (assuming the Riemann hypothesis) at least 2/3 of all zeros are simple.</ref> वह
:<math>\operatorname{R}(e^{-2\pi t})=\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta(2k+1)}+\frac12\sum_{\rho}\frac{t^{-\rho}}{\rho\cos(\pi\rho/2)\zeta'(\rho)}</math>
:<math>\operatorname{R}(e^{-2\pi t})=\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta(2k+1)}+\frac12\sum_{\rho}\frac{t^{-\rho}}{\rho\cos(\pi\rho/2)\zeta'(\rho)}</math>
जहाँ  <math>\rho</math> रीमैन ज़ेटा फलन  के गैर-नगण्य शून्यों पर चलता है और <math>t>0</math>.
जहाँ  <math>\rho</math> रीमैन ज़ेटा फलन  के गैर-नगण्य शून्यों पर चलता है और <math>t>0</math>.

Revision as of 17:41, 2 August 2023

गणित में, अभाज्य-गणना फलन वह फलन (गणित) है जो किसी वास्तविक संख्या x से कम या उसके समान अभाज्य संख्याओं की संख्या की गणना करता है।[1][2] इसे π(x) (संख्या π से असंबंधित ) द्वारा दर्शाया जाता है.

के मान π(एन) पहले 60 सकारात्मक पूर्णांकों के लिए

विकास दर

Main article: अभाज्य संख्या प्रमेय

संख्या सिद्धांत में बहुत रुचि प्रधान-गणना फलन का स्पर्शोन्मुख विश्लेषण है।[3][4] और 18वीं शताब्दी के अंत में कार्ल फ्रेडरिक गॉस और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा अनुमान लगाया गया था कि यह लगभग होना चाहिए।

जहाँ लॉग प्राकृतिक लघुगणक है, इस अर्थ में कि
यह कथन प्रधान संख्या प्रमेय है। समतुल्य कथन है

इस प्रकार से जहां ली लघुगणकीय समाकल फलन है। अभाज्य संख्या प्रमेय को प्रथम समय 1896 में जैक्स हैडमार्ड और चार्ल्स जीन डे ला वल्ली-पौसिन द्वारा सिद्ध किया गया था। चार्ल्स डे ला वेली पॉसिन स्वतंत्र रूप से, 1859 में बर्नहार्ड रीमैन द्वारा प्रस्तुत किए गए रीमैन ज़ेटा फलन के गुणों का उपयोग करते हुए। अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाण नहीं ज़ेटा फलन या जटिल विश्लेषण का उपयोग 1948 के चारों-ओर एटले सेलबर्ग और पॉल एर्डोस (अधिकांश भाग के लिए स्वतंत्र रूप से) द्वारा पाया गया था।[5]

अधिक स्पष्ट अनुमान

1899 में,चार्ल्स जीन डे ला वेली पॉसिन ने यह सिद्ध किया

[6]

कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए a. जहाँ , O(...) उच्च O अंकन है।

का अधिक स्पष्ट अनुमान अब जाने जाते हैं। उदाहरण के लिए, 2002 में, केविन फोर्ड (गणितज्ञ) ने यह सिद्ध कर दिया[7]

मॉसिंगहॉफ और ट्रुडजियन ने[8] और के मध्य अंतर के लिए एक स्पष्ट ऊपरी सीमा सिद्ध की है:

के लिए .

के मूल्यों के लिए जो अनुचित रूप से बड़े नहीं हैं, , से उच्च है हालाँकि . , अनगिनत बार राशि परिवर्तन के लिए जाना जाता है। इसकी चर्चा के लिए स्केव्स का नंबर देखें।

स्पष्ट रूप

के लिए दें जब एक अभाज्य संख्या हो, और अन्यथा