बहुपद वितरण: Difference between revisions

Multinomial
Parameters	number of trials (integer); number of mutually exclusive events (integer); event probabilities, where
Support
PMF
Mean
Variance	;
Entropy

@@ Line 99: / Line 99: @@
 एवं
 :<math>\operatorname{Var}(\mathbf{X}) = n \lbrace \operatorname{diag}(\mathbf{p}) - \mathbf{p} \mathbf{p}^{\rm T} \rbrace ,\,</math>
-साथ {{math|'''p'''<sup>T</sup>}} = स्तंभ वेक्टर का पंक्ति वेक्टर स्थानान्तरण {{math|'''p'''}}.
+{{math|'''p'''<sup>T</sup>}} के साथ = स्तंभ वेक्टर {{math|'''p'''}} का पंक्ति वेक्टर स्थानान्तरण है।
-=== विज़ुअलाइज़ेशन ===
+=== प्रत्योक्षकरण ===
 ==== सामान्यीकृत पास्कल त्रिकोण के स्लाइस के रूप में ====
-जैसे कोई द्विपद वितरण की व्याख्या पास्कल के त्रिकोण के (सामान्यीकृत) एक-आयामी (1D) स्लाइस के रूप में कर सकता है, वैसे ही कोई बहुपद वितरण की व्याख्या पास्कल के पिरामिड के 2D (त्रिकोणीय) स्लाइस, या 3D/4D/+ (पिरामिड-) के रूप में कर सकता है। पास्कल के त्रिकोण के उच्च-आयामी एनालॉग्स के आकार के) टुकड़े। इससे वितरण की सीमा (सांख्यिकी) की व्याख्या का पता चलता है, मनमाने आयाम में विच्छेदित समबाहु पिरामिड - यानी। ग्रिड के साथ [[संकेतन]]
+जैसे कोई द्विपद वितरण की व्याख्या पास्कल के त्रिकोण के (सामान्यीकृत) एक-आयामी (1D) स्लाइस के रूप में कर सकता है, वैसे ही कोई बहुपद वितरण की व्याख्या पास्कल के पिरामिड के 2D (त्रिकोणीय) स्लाइस, या 3D/4D/+ (पिरामिड) के रूप में कर सकता है। इससे वितरण की सीमा (सांख्यिकी) की व्याख्या का पता चलता है, आयाम में विच्छेदित समबाहु पिरामिड है अर्थात ग्रिड के साथ [[संकेतन|संकेतन है।]]
 ==== बहुपद गुणांक के रूप में ====
-इसी प्रकार, जैसे कोई द्विपद वितरण की व्याख्या बहुपद गुणांक के रूप में कर सकता है <math>(p + q)^n</math> जब विस्तारित किया जाता है, तो कोई बहुपद वितरण की व्याख्या गुणांक के रूप में कर सकता है <math>(p_1 + p_2 + p_3 + \cdots + p_k)^n</math> जब विस्तारित किया जाता है, तो यह ध्यान में रखते हुए कि केवल गुणांकों का योग 1 होना चाहिए।
+इसी प्रकार, जैसे कोई द्विपद वितरण की व्याख्या <math>(p + q)^n</math>के बहुपद गुणांक के रूप में कर सकता है, जब विस्तारित किया जाता है, तो कोई बहुपद वितरण की व्याख्या <math>(p_1 + p_2 + p_3 + \cdots + p_k)^n</math> के गुणांक के रूप में कर सकता है विस्तारित होने पर, तो यह ध्यान में रखते हुए कि केवल गुणांकों का योग 1 होना चाहिए।
 ==संबंधित वितरण==
-[[प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण]] जैसे कुछ क्षेत्रों में, श्रेणीबद्ध एवं बहुपद वितरण पर्यायवाची हैं एवं जब श्रेणीबद्ध वितरण वास्तव में होता है तो बहुपद वितरण की बात करना आम बात है। यह इस तथ्य से उपजा है कि किसी श्रेणीबद्ध वितरण के परिणाम को एक पूर्णांक के अतिरिक्त 1-के-के वेक्टर (वेक्टर जिसमें तत्व 1 एवं अन्य सभी तत्वों में 0 होता है) के रूप में व्यक्त करना सुविधाजनक होता है। श्रेणी <math>1 \dots K</math>; इस रूप में, एक श्रेणीबद्ध वितरण एकल परीक्षण पर बहुपद वितरण के बराबर है।
+[[प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण]] जैसे कुछ क्षेत्रों में, श्रेणीबद्ध एवं बहुपद वितरण पर्यायवाची हैं एवं जब श्रेणीबद्ध वितरण वास्तव में होता है तो बहुपद वितरण की बात करना सामान्य है। यह इस तथ्य से उपजा है कि किसी श्रेणीबद्ध वितरण के परिणाम को  पूर्णांक के अतिरिक्त 1-के-k वेक्टर (वेक्टर जिसमें तत्व 1 एवं अन्य सभी तत्वों में 0 होता है) के रूप में व्यक्त करना सुविधाजनक होता है। श्रेणी <math>1 \dots K</math>; इस रूप में, श्रेणीबद्ध वितरण एकल परीक्षण पर बहुपद वितरण के समान है।
 * जब k = 2, बहुपद वितरण द्विपद वितरण होता है।
 * श्रेणीबद्ध वितरण, प्रत्येक परीक्षण का वितरण; k = 2 के लिए, यह बर्नौली वितरण है।
 * डिरिचलेट वितरण बायेसियन सांख्यिकी में बहुपद से पूर्व का संयुग्म है।
-* [[डिरिचलेट-बहुपद वितरण]]।
+* [[डिरिचलेट-बहुपद वितरण]]
-* [[बीटा-द्विपद वितरण]]।
+* [[बीटा-द्विपद वितरण]]
 * [[नकारात्मक बहुपद वितरण]]
-* हार्डी-वेनबर्ग सिद्धांत (यह संभावनाओं के साथ त्रिपद वितरण है <math>(\theta^2, 2 \theta (1-\theta), (1-\theta)^2) </math>) है।
+* हार्डी-वेनबर्ग सिद्धांत (यह संभावनाओं के साथ त्रिपद वितरण <math>(\theta^2, 2 \theta (1-\theta), (1-\theta)^2) </math>है।
 ==सांख्यिकीय अनुमान ==
@@ Line 125: / Line 125: @@
 तुल्यता परीक्षण का लक्ष्य सैद्धांतिक बहुपद वितरण एवं प्रेक्षित गणना आवृत्तियों के मध्य समझौता स्थापित करना है। सैद्धांतिक वितरण पूर्ण प्रकार से निर्दिष्ट बहुपद वितरण या बहुपद वितरण का पैरामीट्रिक परिवार हो सकता है।
-होने देना <math>q</math> सैद्धांतिक बहुपद वितरण को निरूपित करें एवं जाने दें  <math>p</math> सच्चा अंतर्निहित वितरण बनें। वितरण  <math>p</math> एवं <math>q</math> यदि समतुल्य माना जाता है <math>d(p,q)<\varepsilon</math> दूरी के लिए <math>d</math> एवं सहिष्णुता पैरामीटर <math>\varepsilon>0</math> है। तुल्यता परीक्षण समस्या है <math>H_0=\{d(p,q)\geq\varepsilon\}</math> बनाम  <math>H_1=\{d(p,q)<\varepsilon\}</math>है, वास्तविक अंतर्निहित वितरण <math>p</math> अज्ञात है। इसके अतिरिक्त, गिनती की आवृत्तियाँ  <math>p_n</math>मनाया जाता है, जहां <math>n</math>  प्रतिरूप आकार है, तुल्यता परीक्षण  <math>p_n</math>का उपयोग करता है  अस्वीकार करना <math>H_0</math>. यदि <math>H_0</math> तब मध्य की समानता को अस्वीकार किया जा सकता है, <math>p</math> एवं <math>q</math> किसी दिए गए महत्व स्तर पर दिखाया गया है। यूक्लिडियन दूरी के लिए समतुल्यता परीक्षण वेलेक (2010) की पाठ्य पुस्तक में पाया जा सकता है।<ref>{{Cite book|title=समतुल्यता और गैर-हीनता की सांख्यिकीय परिकल्पनाओं का परीक्षण करना|last=Wellek|first=Stefan|publisher=Chapman and Hall/CRC|year=2010|isbn=978-1439808184}}</ref> कुल भिन्नता दूरी के लिए तुल्यता परीक्षण ओस्ट्रोव्स्की (2017) में विकसित किया गया है।<ref>{{cite journal|last1=Ostrovski|first1=Vladimir|date=May 2017|title=बहुपद वितरणों की तुल्यता का परीक्षण|journal=Statistics & Probability Letters|volume=124|pages=77–82|doi=10.1016/j.spl.2017.01.004|s2cid=126293429}}[http://dx.doi.org/10.1016/j.spl.2017.01.004 Official web link (subscription required)]. [https://www.researchgate.net/publication/312481284_Testing_equivalence_of_multinomial_distributions Alternate, free web link].</ref> विशिष्ट संचयी दूरी के लिए सटीक तुल्यता परीक्षण फ्रे (2009) में प्रस्तावित है।<ref>{{cite journal|last1=Frey|first1=Jesse|date=March 2009|title=समतुल्यता के लिए एक सटीक बहुपद परीक्षण|journal=The Canadian Journal of Statistics|volume=37|pages=47–59|doi=10.1002/cjs.10000|s2cid=122486567 }}[http://www.jstor.org/stable/25653460 Official web link (subscription required)].</ref>वास्तविक अंतर्निहित वितरण के मध्य की दूरी <math>p</math> एवं बहुपद वितरण का परिवार <math>\mathcal{M}</math> द्वारा <math>d(p, \mathcal{M})=\min_{h\in\mathcal{M}}d(p,h)  </math>परिभाषित किया गया है फिर तुल्यता परीक्षण <math>H_0=\{d(p,\mathcal{M})\geq \varepsilon\}</math> एवं <math>H_1=\{d(p,\mathcal{M})< \varepsilon\}</math> समस्या दी गई है। दूरी <math>d(p,\mathcal{M})</math> सामान्यतः संख्यात्मक अनुकूलन का उपयोग करके गणना की जाती है। इस विषय के परीक्षण वर्तमान में ओस्ट्रोव्स्की (2018) में विकसित किए गए हैं।<ref>{{cite journal|last1=Ostrovski|first1=Vladimir|date=March 2018|title=स्वतंत्रता मॉडल के अनुप्रयोग के साथ बहुराष्ट्रीय वितरण के परिवारों के लिए तुल्यता का परीक्षण|journal=Statistics & Probability Letters|volume=139|pages=61–66|doi=10.1016/j.spl.2018.03.014|s2cid=126261081}}[https://doi.org/10.1016/j.spl.2018.03.014 Official web link (subscription required)]. [https://www.researchgate.net/publication/324124605_Testing_equivalence_to_families_of_multinomial_distributions_with_application_to_the_independence_model Alternate, free web link].</ref>
+<math>q</math> सैद्धांतिक बहुपद वितरण को निरूपित करें एवं  <math>p</math> अंतर्निहित वितरण बनें। वितरण  <math>p</math> एवं <math>q</math> यदि समतुल्य माना जाता है तो <math>d(p,q)<\varepsilon</math> दूरी के लिए <math>d</math> एवं सहिष्णुता पैरामीटर <math>\varepsilon>0</math> है। तुल्यता परीक्षण समस्या <math>H_0=\{d(p,q)\geq\varepsilon\}</math> विपरीत  <math>H_1=\{d(p,q)<\varepsilon\}</math>है, वास्तविक अंतर्निहित वितरण <math>p</math> अज्ञात है। इसके अतिरिक्त, गिनती की आवृत्तियाँ  <math>p_n</math>मनाया जाता है, जहां <math>n</math>  प्रतिरूप आकार है, तुल्यता परीक्षण  <math>p_n</math>का उपयोग <math>H_0</math> को अस्वीकार करने के लिए होता है। यदि <math>H_0</math> तब मध्य की समानता को अस्वीकार किया जा सकता है, <math>p</math> एवं <math>q</math> किसी दिए गए महत्व स्तर पर प्रदर्शित किया गया है। यूक्लिडियन दूरी के लिए समतुल्यता परीक्षण वेलेक (2010) की पाठ्य पुस्तक में पाया जा सकता है।<ref>{{Cite book|title=समतुल्यता और गैर-हीनता की सांख्यिकीय परिकल्पनाओं का परीक्षण करना|last=Wellek|first=Stefan|publisher=Chapman and Hall/CRC|year=2010|isbn=978-1439808184}}</ref> कुल भिन्नता दूरी के लिए तुल्यता परीक्षण ओस्ट्रोव्स्की (2017) में विकसित किया गया है।<ref>{{cite journal|last1=Ostrovski|first1=Vladimir|date=May 2017|title=बहुपद वितरणों की तुल्यता का परीक्षण|journal=Statistics & Probability Letters|volume=124|pages=77–82|doi=10.1016/j.spl.2017.01.004|s2cid=126293429}}[http://dx.doi.org/10.1016/j.spl.2017.01.004 Official web link (subscription required)]. [https://www.researchgate.net/publication/312481284_Testing_equivalence_of_multinomial_distributions Alternate, free web link].</ref> विशिष्ट संचयी दूरी के लिए सटीक तुल्यता परीक्षण फ्रे (2009) में प्रस्तावित है।<ref>{{cite journal|last1=Frey|first1=Jesse|date=March 2009|title=समतुल्यता के लिए एक सटीक बहुपद परीक्षण|journal=The Canadian Journal of Statistics|volume=37|pages=47–59|doi=10.1002/cjs.10000|s2cid=122486567 }}[http://www.jstor.org/stable/25653460 Official web link (subscription required)].</ref>वास्तविक अंतर्निहित वितरण के मध्य की दूरी <math>p</math> एवं बहुपद वितरण का परिवार <math>\mathcal{M}</math> द्वारा <math>d(p, \mathcal{M})=\min_{h\in\mathcal{M}}d(p,h)  </math> परिभाषित किया गया है फिर तुल्यता परीक्षण <math>H_0=\{d(p,\mathcal{M})\geq \varepsilon\}</math> एवं <math>H_1=\{d(p,\mathcal{M})< \varepsilon\}</math> समस्या दी गई है। दूरी <math>d(p,\mathcal{M})</math> की सामान्यतः संख्यात्मक अनुकूलन का उपयोग करके गणना की जाती है। इस विषय के परीक्षण वर्तमान में ओस्ट्रोव्स्की (2018) में विकसित किए गए हैं।<ref>{{cite journal|last1=Ostrovski|first1=Vladimir|date=March 2018|title=स्वतंत्रता मॉडल के अनुप्रयोग के साथ बहुराष्ट्रीय वितरण के परिवारों के लिए तुल्यता का परीक्षण|journal=Statistics & Probability Letters|volume=139|pages=61–66|doi=10.1016/j.spl.2018.03.014|s2cid=126261081}}[https://doi.org/10.1016/j.spl.2018.03.014 Official web link (subscription required)]. [https://www.researchgate.net/publication/324124605_Testing_equivalence_to_families_of_multinomial_distributions_with_application_to_the_independence_model Alternate, free web link].</ref>
@@ Line 131: / Line 131: @@
 {{further|Non-uniform random variate generation}}
-सबसे पूर्व, मापदंडों को पुन: व्यवस्थित  <math>p_1, \ldots, p_k</math>करें, इस प्रकार कि उन्हें अवरोही क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है (यह केवल गणना में तीव्रता लाने के लिए है एवं सख्ती से आवश्यक नहीं है)। अब, प्रत्येक परीक्षण के लिए, समान (0, 1) वितरण से सहायक चर X बनाएं। परिणामी परिणाम घटक है
+सबसे पूर्व, मापदंडों <math>p_1, \ldots, p_k</math> को पुन: व्यवस्थित करें, इस प्रकार कि उन्हें अवरोही क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है (यह केवल गणना में तीव्रता लाने के लिए है)। अब, प्रत्येक परीक्षण के लिए, समान (0, 1) वितरण से सहायक चर X बनाएं। परिणामी परिणाम घटक
 : <math>j = \min \left\{ j' \in \{1,\dots,k\} : \left(\sum_{i=1}^{j'} p_i\right) - X \geq 0 \right\}</math> है,

Anonymous

Search

बहुपद वितरण: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 18:05, 11 July 2023

Parameters	$n>0$ number of trials (integer) $k>0$ number of mutually exclusive events (integer) $p_{1},\ldots ,p_{k}$ event probabilities, where $p_{1}+\dots +p_{k}=1$
Support	$\left\lbrace (x_{1},\dots ,x_{k})\,{\Big \vert }\,\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n,x_{i}>0(i=1,\dots ,k)\right\rbrace$
PMF	${\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}$
Mean	$\operatorname {E} (X_{i})=np_{i}$
Variance	$\operatorname {Var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i})$ $\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}~~(i\neq j)$
Entropy	$- \log (n!) - n \sum_{i = 1}^{k} p_{i} \log (p_{i}) + \sum_{i = 1}^{k} \sum_{x_{i} = 0}^{n} (\binom{n}{x_{i}}) p_{i}^{x_{i}} {(1 - p_{i})}^{n -}$