राउंड-ऑफ़ एरर: Difference between revisions

[[ कम्प्यूटिंग |अभिकलन]] में, एक राउंडऑफ़ त्रुटि,<ref>{{citation |title=Introduction to Numerical Analysis Using MATLAB |author-first=Rizwan |author-last=Butt |publisher=Jones & Bartlett Learning |date=2009 |isbn=978-0-76377376-2 |pages=11–18 |url=https://books.google.com/books?id=QWub-UVGxqkC&pg=PA11}}</ref> जिसे राउंडिंग त्रुटि भी कहा जाता है,<ref>{{citation |title=Numerical Computation 1: Methods, Software, and Analysis |author-first=Christoph W. |author-last=Ueberhuber |publisher=Springer |date=1997 |isbn=978-3-54062058-7 |url=https://books.google.com/books?id=JH9I7EJh3JUC&pg=PA139 |pages=139–146}}</ref> सटीक [[अंकगणित]] का उपयोग करके दिए गए [[कलन विधि]] द्वारा उत्पादित परिणाम और परिमित-सटीक, गोलाकार अंकगणित का उपयोग करके उसी कलन विधि द्वारा उत्पादित परिणाम के मध्य का अंतर है।<ref name="Forrester_2018">{{cite book |title= गणित/Comp241 संख्यात्मक विधियाँ (व्याख्यान नोट्स)|author-first=Dick |author-last=Forrester |publisher=[[Dickinson College]] |date=2018}}</ref> राउंडिंग त्रुटियाँ [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के निरूपण और उनके साथ किए गए अंकगणितीय संक्रियाओं में अशुद्धि के कारण होती हैं। यह [[परिमाणीकरण त्रुटि]] का एक रूप है। सन्निकटन [[समीकरण|समीकरणों]] या कलन विधियों का उपयोग करते समय, विशेष रूप से वास्तविक संख्याओं (जिनमें सिद्धांत रूप में अनंत रूप से कई अंक होते हैं) का प्रतिनिधित्व करने के लिए सीमित कई अंकों का उपयोग करते समय, [[संख्यात्मक विश्लेषण]] का एक लक्ष्य गणना त्रुटियों का [[त्रुटि विश्लेषण (गणित)|अनुमान]] लगाना है। संगणना त्रुटियाँ, जिन्हें [[संख्यात्मक त्रुटि|संख्यात्मक त्रुटियाँ]] भी कहा जाता है, जिनमें छिन्नन त्रुटियाँ और राउंडऑफ़ त्रुटियाँ दोनों सम्मिलित हैं।

जब किसी राउंडऑफ त्रुटि वाले निविष्टि के साथ गणना का क्रम बनाया जाता है, तो त्रुटियां संचित हो सकती हैं, जो कभी-कभी गणना पर प्रभावी हो जाती हैं। खराब स्थिति वाली समस्याओं में, महत्वपूर्ण त्रुटि संचित हो सकती है।

# संख्याओं के परिमाण और सटीकता दोनों का प्रतिनिधित्व करने की अभिकलक की क्षमता स्वाभाविक रूप से सीमित है।

# कुछ संख्यात्मक प्रकलन राउंडऑफ़ त्रुटियों के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होते हैं। यह गणितीय विचारों के साथ-साथ अभिकलक द्वारा अंकगणितीय संचालन करने के तरीके दोनों के परिणामस्वरूप हो सकता है।

अंकों की एक सीमित श्रृंखला का उपयोग करके किसी संख्या का प्रतिनिधित्व करने का प्रयास करने से उत्पन्न त्रुटि राउंडऑफ़ त्रुटि का एक रूप है जिसे प्रतिनिधित्व त्रुटि कहा जाता है।<ref name="Laplante_2000">{{cite book |title=कंप्यूटर विज्ञान, इंजीनियरिंग और प्रौद्योगिकी का शब्दकोश|first=Philip A. |last=Laplante |publisher=[[CRC Press]] |date=2000 |isbn=978-0-84932691-2 |page=420 |url=https://books.google.com/books?id=U1M3clUwCfEC&pg=PA420}}</ref> यहां दशमलव निरूपण में निरूपण त्रुटि के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं:

किसी प्रतिनिधित्व में अनुमत अंकों की संख्या बढ़ाने से संभावित राउंडऑफ़ त्रुटियों की भयावहता कम हो जाती है, परन्तु सीमित संख्या में कई अंकों तक सीमित कोई भी प्रतिनिधित्व अभी भी अनगिनत वास्तविक संख्याओं के लिए कुछ हद तक राउंडऑफ त्रुटि का कारण बनेगा। गणना के मध्यवर्ती चरणों के लिए उपयोग किए जाने वाले अतिरिक्त अंकों को गार्ड अंक के रूप में जाना जाता है।<ref name="Higham_2002">{{cite book |title=संख्यात्मक एल्गोरिदम की सटीकता और स्थिरता|edition=2 |author-first=Nicholas John |author-link=Nicholas Higham |author-last=Higham |publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] (SIAM) |date=2002 |isbn=978-0-89871521-7 |pages=43–44 |url=https://books.google.com/books?id=epilvM5MMxwC&pg=PA43}}</ref>

कई बार पूर्णांकन करने से त्रुटि संचित हो सकती है।<ref name="Volkov_1990">{{cite book |title=संख्यात्मक तरीके|author-first=E. A. |author-last=Volkov |publisher=[[Taylor & Francis]] |date=1990 |isbn=978-1-56032011-1 |page=24 |url=https://books.google.com/books?id=ubfrNN8GGOIC&pg=PA24}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि 9.945309 को दो दशमलव स्थानों (9.95) तक पूर्णांकित किया जाता है, फिर एक दशमलव स्थान (10.0) तक पूर्णांकित किया जाता है, तो कुल त्रुटि 0.054691 होती है। एक चरण में 9.945309 को एक दशमलव स्थान (9.9) तक पूर्णांकित करने पर कम त्रुटि (0.045309) आती है। यह तब हो सकता है, उदाहरण के लिए, जब सॉफ़्टवेयर x86 80-बिट चल बिन्दु में अंकगणित करता है और फिर परिणाम को [[डबल-परिशुद्धता फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप|आईईईई]] 754 द्विचर 64 चल बिन्दु में राउंड करता है।

[[निश्चित-बिंदु अंकगणित|चल बिन्दु]] संख्या प्रणाली की तुलना में, चल बिन्दु संख्या प्रणाली वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने में अधिक कुशल है, इसलिए आधुनिक अभिकलकों में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जबकि वास्तविक संख्या <math>\mathbb{R}</math> अनंत और सतत हैं, एक चल बिन्दु संख्या प्रणाली <math>F</math> परिमित और असतत है। इस प्रकार, प्रतिनिधित्व त्रुटि, जो राउंडऑफ़ त्रुटि की ओर ले जाती है, चल बिन्दु संख्या प्रणाली के अंतर्गत होती है।

=== चल बिन्दु संख्या प्रणाली की संकेत पद्धति ===

एक चल बिन्दु संख्या प्रणाली <math>F</math> द्वारा <math>4</math> पूर्णांक चित्रित है:

*<math> \beta </math>: आधार या मूलांक,

*<math>p</math>: परिशुद्धता,

*<math> [L, U] </math>: घातांक सीमा, जहाँ <math>L</math> निचली सीमा है और <math>U</math> ऊपरी सीमा है।

कोई <math>x \in F</math> का निम्नलिखित रूप है:

<math display="block"> x = \pm (\underbrace{d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}}_\text{mantissa})_{\beta}  \times \beta ^{\overbrace{E}^\text{exponent}} = \pm d_{0}\times \beta ^{E}+d_{1}\times \beta ^{E-1}+\ldots+ d_{p-1}\times \beta ^{E-(p-1)}</math>

जहाँ <math>d_{i}</math> एक पूर्णांक ऐसा <math>0 \leq d_{i} \leq \beta-1</math> है, <math>i = 0, 1, \ldots, p-1</math> और <math>E</math> के लिए, एक पूर्णांक <math>L \leq E \leq U</math> है।

* एक चल बिन्दु संख्या प्रणाली को सामान्यीकृत किया जाता है यदि अग्रणी अंक <math>d_{0}</math> जब तक संख्या शून्य न हो, तब तक सदैव शून्येतर होता है।<ref name="Forrester_2018"/>चूंकि अपूर्णांश <math>d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}</math> है, एक सामान्यीकृत प्रणाली में एक गैर-शून्य संख्या का अपूर्णांश <math>1 \leq \text{mantissa} < \beta</math> संतुष्ट होता है। इस प्रकार, एक गैर-शून्य [[इंस्टीट्यूट ऑफ़ इलेक्ट्रिकल एंड इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियर्स|आईईईई]] चल बिन्दु संख्या <math>\pm 1.bb \ldots b \times 2^{E}</math> का सामान्यीकृत रूप है, जहाँ <math>b \in {0, 1}</math> है। द्विचर में, अग्रणी अंक सदैव <math>1</math> होता है इसलिए इसे लिखा नहीं जाता है और इसे अंतर्निहित बिट कहा जाता है। यह अतिरिक्त सटीकता देता है ताकि प्रतिनिधित्व त्रुटि के कारण होने वाली राउंडऑफ़ त्रुटि कम हो जाए।

* चूंकि चल बिन्दु संख्या प्रणाली <math>F</math> परिमित और असतत है, यह सभी वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है जिसका अर्थ है कि अनंत वास्तविक संख्याओं को केवल पूर्णांकन नियमों के माध्यम से कुछ सीमित संख्याओं द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। किसी दी गई वास्तविक संख्या का चल बिन्दु सन्निकटन <math>x</math> द्वारा <math>fl(x)</math> को निरूपित किया जा सकता है।

** सामान्यीकृत चल बिन्दु संख्याओं की कुल संख्या है; <math display="block">2(\beta -1)\beta^{p-1} (U-L+1)+1,</math> जहाँ

*** <math>2</math> धनात्मक या ऋणात्मक होने पर संकेत के चयन की गणना की जाती है।

*** <math>(\beta -1)</math> अग्रणी अंक के चयन की गणना की जाती है।

*** <math>\beta^{p-1}</math> शेष अपूर्णांश की गणना की जाती है।

*** <math>U-L+1</math> घातांकों के चयन की गणना की जाती है।

*** <math>1</math> संख्या होने पर स्थिति <math>0</math> की गणना की जाती है।

आईईईई मानक में आधार द्विचर है, अर्थात <math>\beta = 2</math>, और सामान्यीकरण का उपयोग किया जाता है। आईईईई मानक एक चल बिन्दु शब्द के अलग-अलग क्षेत्रों में संकेत, प्रतिपादक और अपूर्णांश को संग्रहीत करता है, जिनमें से प्रत्येक की एक निश्चित चौड़ाई (बिट्स की संख्या) होती है। चल बिन्दु संख्याओं के लिए परिशुद्धता के दो सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले स्तर एकल परिशुद्धता और दोहरी परिशुद्धता हैं।

! परिशुद्धता

! अपूर्णांश (बिट्स)

|दोहरी || 1 || 11 || 52

== यंत्र ईपीएसलॉन ==

चल बिन्दु संख्या प्रणाली में राउंडऑफ़ त्रुटि के स्तर को मापने के लिए यंत्र एप्सिलॉन का उपयोग किया जा सकता है। यहां दो अलग-अलग परिभाषाएं हैं।<ref name="Forrester_2018"/>

* यंत्र एप्सिलॉन, निरूपित <math>\epsilon_\text{mach}</math>, चल बिन्दु संख्या प्रणाली में एक गैर-शून्य वास्तविक संख्या <math>x</math> प्रतिनिधित्व करने में अधिकतम संभव पूर्ण सापेक्ष त्रुटि है।<math display="block">\epsilon_\text{mach} = \max_{x} \frac{|x-fl(x)|}{|x|}</math>

* यंत्र एप्सिलॉन, निरूपित <math>\epsilon_\text{mach}</math>, सबसे छोटी संख्या <math>\epsilon</math> ऐसे कि <math>fl(1+\epsilon) > 1</math> है। इस प्रकार, <math>fl(1+\delta)=fl(1)=1</math> जब भी <math>|\delta| < \epsilon_\text{mach}</math> है।

== विभिन्न पूर्णांकन नियमों के अंतर्गत राउंडऑफ़ त्रुटि ==

पूर्णांकन के दो सामान्य नियम: चोंप के द्वारा राउंड और राउंड-से-निकटतम हैं। आईईईई मानक राउंड-से-निकटतम का उपयोग करता है।

* चोंप के द्वारा राउंड: आधार-<math>\beta</math> का विस्तार <math>x</math> के बाद <math>(p-1)</math>-वाँ अंक छोटा कर दिया गया है।

* राउंड-से-निकटतम: <math>fl(x)</math> को निकटतम चल बिन्दु संख्या <math>x</math> पर व्यवस्थित किया गया है। जब कोई टाई होती है, तो चल बिन्दु संख्या जिसका अंतिम संग्रहीत अंक सम है (साथ ही, अंतिम अंक, द्विचर रूप में, 0 के बराबर है) का उपयोग किया जाता है।

** आईईईई मानक के लिए, जहां आधार <math>\beta</math>, <math>2</math> है, इसका अर्थ है कि जब कोई टाई होता है तो इसे गोल किया जाता है ताकि अंतिम अंक <math>0</math> के बराबर हो।

** यह पूर्णांकन नियम अधिक सटीक है परन्तु अभिकलनीयतः अधिक बहुमूल्य है।

** पूर्णांकन ताकि अंतिम संग्रहीत अंक एक समान हो जब कोई टाई हो, यह सुनिश्चित करता है कि इसे व्यवस्थित रूप से ऊपर या नीचे गोल नहीं किया गया है। इसका उद्देश्य केवल पक्षपाती पूर्णांकन के कारण लंबी गणनाओं में अवांछित धीमे विस्थापन की संभावना से बचना है।

* निम्नलिखित उदाहरण दो पूर्णांकन नियमों के अंतर्गत राउंडऑफ़ त्रुटि के स्तर को दर्शाता है।<ref name="Forrester_2018"/>पूर्णांकन नियम, राउंड-से-निकटतम, सामान्य तौर पर राउंडऑफ़ त्रुटि को कम करता है।

! चोंप के द्वारा राउंड

मान लीजिए कि राउंड-से-निकटतम और आईईईई दोहरी परिशुद्धता का उपयोग किया जाता है।

* उदाहरण: दशमलव संख्या <math>(9.4)_{10}=(1001.{\overline{0110}})_{2}</math> में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: <math display="block">+1.\underbrace{0010110011001100110011001100110011001100110011001100}_\text{52 bits}110 \ldots \times 2^{3}</math> चूँकि द्विचर बिंदु के दाईं ओर 53-वां बिट 1 है और उसके बाद अन्य गैर-शून्य बिट्स आते हैं, राउंड-से-निकटतम नियम के लिए एकत्र करने की आवश्यकता होती है, अर्थात 52-वें बिट में 1 बिट जोड़ें। इस प्रकार, आईईईई मानक 9.4 में सामान्यीकृत चल बिन्दु प्रतिनिधित्व है:

* अब प्रतिनिधित्व करते समय राउंडऑफ़ त्रुटि <math>9.4</math> के साथ <math>fl(9.4)</math> की गणना की जा सकती है।

यह निरूपण अनंत पश्चभाग को त्यागकर प्राप्त किया गया है: <math display="block">0.{\overline{1100}} \times 2^{-52}\times 2^{3} = 0.{\overline{0110}} \times 2^{-51} \times 2^{3}=0.4 \times 2^{-48}</math> पूर्णांकित चरण में,दाहिने पश्चभाग से और फिर <math>1 \times 2^{-52} \times 2^{3}=2^{-49}</math> जोड़ा गया है।

:तब <math>fl(9.4) = 9.4-0.4 \times 2^{-48} + 2^{-49} = 9.4+(0.2)_{10} \times 2^{-49}</math>,

:इस प्रकार, राउंडऑफ़ त्रुटि <math>(0.2 \times 2^{-49})_{10}</math> है।

# राउंड-से-निकटतम: <math>\epsilon_\text{mach} = \frac{1}{2}\beta^{1-p}</math>

राउंड-से-निकटतम का प्रमाण समान है।

* ध्यान दें कि राउंड-से-निकटतम नियम का उपयोग करते समय यंत्र एप्सिलॉन की पहली परिभाषा दूसरी परिभाषा के बिल्कुल बराबर नहीं है, परन्तु यह राउंड-बाय-चॉप के बराबर है।

\end{align}</math>{{Break}}इसे इस रूप में सहेजा गया है <math>1.\underbrace{00\ldots 0}_\text{52 bits}\times 2^{0}</math> चूंकि आईईईई मानक में राउंड-से-निकटतम का उपयोग किया जाता है। इसलिए, <math>1+2^{-53}</math> के बराबर है <math>1</math> आईईईई में दोहरी परिशुद्धता और राउंडऑफ़ त्रुटि है <math>2^{-53}</math>.

यह उदाहरण दर्शाता है कि बड़ी संख्या और छोटी संख्या को जोड़ने पर राउंडऑफ़ त्रुटि उत्पन्न हो सकती है। घातांकों का मिलान करने के लिए अपूर्णांश में दशमलव बिंदुओं को स्थानांतरित करने से कुछ कम महत्वपूर्ण अंकों की हानि होता है। परिशुद्धता की हानि को अवशोषण के रूप में वर्णित किया जा सकता है।<ref>{{cite book |last1=Biran |first1=Adrian B. |last2=Breiner |first2=Moshe |title=प्रत्येक इंजीनियर को MATLAB और सिमुलिंक के बारे में क्या पता होना चाहिए|date=2010 |publisher=[[CRC Press]] |publication-place=[[Boca Raton]], [[Florida]] |isbn=978-1-4398-1023-1 |pages=193–194 |chapter=5}}</ref>

सामान्य तौर पर, 2-अंकीय अपूर्णांश के उत्पाद में 2पी अंक तक होते हैं, इसलिए परिणाम अपूर्णांश में फिट नहीं हो सकता है।<ref name="Forrester_2018"/>इस प्रकार परिणाम में राउंडऑफ़ त्रुटि सम्मिलित होगी।

* उदाहरण के लिए, आधार के साथ एक सामान्यीकृत चल बिन्दु संख्या प्रणाली पर विचार करें <math>\beta=10</math> और अपूर्णांश अंक अधिकतम हैं <math>2</math>. तब <math>fl(77) = 7.7 \times 10^{1}</math> और <math>fl(88) = 8.8 \times 10^{1}</math>. ध्यान दें कि <math>77 \times 88=6776</math> परन्तु <math>fl(6776) = 6.7 \times 10^{3}</math> चूंकि वहां अधिक से अधिक <math>2</math> अपूर्णांश अंक. राउंडऑफ़ त्रुटि होगी <math>6776 - fl(6776)  = 6776 - 6.7 \times 10^{3}=76</math>.