गणनांक: Difference between revisions

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{{Short description|Definition of the number of elements in a set}}
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[[File:Platonic Solids Transparent.svg|thumb|250px|सभी[[ प्लेटोनिक ठोस | सैद्धांतिक ठोसों]] के समुच्चय <math>S</math> में 5 तत्व होते हैं। इस प्रकार <math>S</math> का गणनांक 5 या, प्रतीकों में, <math>|S|=5</math> है।]]गणित में, किसी [[ सेट (गणित) |समुच्चय]] का '''गणनांक''' समुच्चय के[[ तत्व (गणित) | तत्वों]] की संख्या का माप है। उदाहरण के लिए, समुच्चय <math>A = \{2, 4, 6\}</math> में 3 तत्व हैं, और इसलिए <math>A</math> का गणनांक 3 है। 19वीं सदी के अंत में आरंभ करते हुए, इस अवधारणा को अनंत समुच्चयों के लिए सामान्यीकृत किया गया था, जो किसी को विभिन्न प्रकार के अनंत के मध्य अंतर करने और उन पर[[ कार्डिनल अंकगणित | अंकगणित]] करने की अनुमति देता है। गणनांक के दो दृष्टिकोण हैं: एक जो[[ द्विभाजन ]]और अंतःक्षेपक का उपयोग करके स्पष्ट रुप से समुच्चयों की तुलना करता है, और दूसरा जो[[ बुनियादी संख्या | गणन संख्या]] का उपयोग करता है।<ref>{{MathWorld |title=Cardinal Number |id=CardinalNumber }}</ref> किसी समुच्चय का गणनांक को उसका आकार भी कहा जाता है, जब आकार की अन्य धारणाओं के साथ कोई भ्रम संभव नहीं होता है।<ref>Such as [[length]] and [[area]] in [[geometry]]. – A line of finite length is a set of points that has infinite cardinality.</ref>   
[[File:Platonic Solids Transparent.svg|thumb|250px|सभी[[ प्लेटोनिक ठोस | प्लेटोनिक ठोस]] के समुच्चय <math>S</math> में 5 तत्व होते हैं। इस प्रकार <math>S</math> का गणनांक 5 या, प्रतीकों में, <math>|S|=5</math> है।]]गणित में, किसी [[ सेट (गणित) |समुच्चय]] का '''गणनांक''' समुच्चय[[ तत्व (गणित) | तत्वों]] की संख्या का माप है। उदाहरण के लिए, समुच्चय <math>A = \{2, 4, 6\}</math> में 3 तत्व हैं, और इसलिए <math>A</math> का गणनांक 3 है। 19वीं सदी के अंत में आरंभ करते हुए, इस अवधारणा को अनंत समुच्चयों के लिए सामान्यीकृत किया गया था, जो किसी को विभिन्न प्रकार के अनंत के मध्य अंतर करने और उन पर[[ कार्डिनल अंकगणित | अंकगणित]] करने की अनुमति देता है। गणनांक के दो दृष्टिकोण हैं: जो[[ द्विभाजन ]]और अंतःक्षेपक का उपयोग करके स्पष्ट रुप से समुच्चयों की तुलना करते है, और दूसरा जो[[ बुनियादी संख्या | गणन संख्या]] का उपयोग करते है।<ref>{{MathWorld |title=Cardinal Number |id=CardinalNumber }}</ref> किसी समुच्चय के गणनांक को उसका आकार भी कहा जाता है, जब आकार की अन्य धारणाओं के साथ कोई भ्रम संभव नहीं होता है।<ref>Such as [[length]] and [[area]] in [[geometry]]. – A line of finite length is a set of points that has infinite cardinality.</ref>   


समुच्चय <math>A</math> का गणनांक को सामान्यतः <math>|A|</math> दर्शाया जाता है, जिसमें प्रत्येक तरफ एक ऊर्ध्वाधर पट्टी होती है;<ref>{{Cite web|title=कार्डिनैलिटी {{!}} शानदार गणित और विज्ञान विकी|url=https://brilliant.org/wiki/cardinality/|access-date=2020-08-23|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> यह[[ निरपेक्ष मूल्य | निरपेक्ष मूल्य]] के समान ही संकेतन है, और अर्थ संदर्भ पर निर्भर करता है। समुच्चय <math>A</math> का गणनांक को वैकल्पिक रूप से <math>n(A)</math>, <math>A</math> <math>\operatorname{card}(A)</math>, या <math>\#A</math> द्वारा दर्शाया जा सकता है।
समुच्चय <math>A</math> के गणनांक को सामान्यतः <math>|A|</math> दर्शाया जाता है, जिसमें प्रत्येक पृष्ठ एक ऊर्ध्वाधर पट्टी होती है;<ref>{{Cite web|title=कार्डिनैलिटी {{!}} शानदार गणित और विज्ञान विकी|url=https://brilliant.org/wiki/cardinality/|access-date=2020-08-23|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> यह[[ निरपेक्ष मूल्य | निरपेक्ष मूल्य]] के समान ही संकेतन है, और अर्थ संदर्भ पर निर्भर करता है। समुच्चय <math>A</math> के गणनांक को वैकल्पिक रूप से <math>n(A)</math>, <math>A</math> <math>\operatorname{card}(A)</math>, या <math>\#A</math> द्वारा दर्शाया जा सकता है।


==इतिहास==
==इतिहास==
गणनांक की एक अपरिष्कृत भावना, एक जानकारी है कि वस्तु या घटनाओं के समूह की तुलना अन्य समूहों से अधिक, जिसमें अधिक, कम, या समान संख्या में उदाहरणों के द्वारा की जाती है, वर्तमान समय की विभिन्न पशु प्रजातियों में देखा गया है, जो लाखों साल पहले एक उत्पत्ति का सुझाव देता है।<ref>Cepelewicz, Jordana  ''[https://www.quantamagazine.org/animals-can-count-and-use-zero-how-far-does-their-number-sense-go-20210809/ Animals Count and Use Zero. How Far Does Their Number Sense Go?]'', [[Quanta Magazine|Quanta]], August 9, 2021</ref> गणनांक की मानवीय अभिव्यक्ति {{val|40000}} साल पहले देखी गई थी, जिसमें एक समूह के आकार को अभिलिखित नौच के समूह, या अन्य वस्तु के प्रतिनिधि संग्रह, जैसे कि छड़ी और सीपियाँ के साथ समान किया गया था।<ref>{{Cite web|url=https://mathtimeline.weebly.com/early-human-counting-tools.html|title=प्रारंभिक मानव गणना उपकरण|website=Math Timeline|access-date=2018-04-26}}</ref> एक संख्या के रूप में गणनांक की अमूर्तता 3000 ईसा पूर्व से सुमेरियन गणित में और वस्तु या घटनाओं के एक विशिष्ट समूह के संदर्भ के बिना संख्याओं के प्रहस्तन में स्पष्ट है।<ref>Duncan J. Melville (2003). [http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/chronology.html Third Millennium Chronology] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180707213616/http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/chronology.html |date=2018-07-07 }}, ''Third Millennium Mathematics''. [[St. Lawrence University]].</ref>
गणनांक की एक अपरिष्कृत भावना, एक जानकारी है कि वस्तु या घटनाओं के समूह की तुलना अन्य समूहों से अधिक, जिसमें अधिक, कम, या समान संख्या में उदाहरणों के द्वारा की जाती है, वर्तमान समय की विभिन्न पशु प्रजातियों में देखा गया है, जो लाखों साल पहले एक उत्पत्ति का सुझाव देता है।<ref>Cepelewicz, Jordana  ''[https://www.quantamagazine.org/animals-can-count-and-use-zero-how-far-does-their-number-sense-go-20210809/ Animals Count and Use Zero. How Far Does Their Number Sense Go?]'', [[Quanta Magazine|Quanta]], August 9, 2021</ref> गणनांक की मानवीय अभिव्यक्ति {{val|40000}} साल पहले देखी गई थी, जिसमें एक समूह के आकार को अभिलिखित नौच के समूह, या अन्य वस्तु के प्रतिनिधि संग्रह, जैसे कि छड़ी और सीपियाँ के साथ समान किया गया था।<ref>{{Cite web|url=https://mathtimeline.weebly.com/early-human-counting-tools.html|title=प्रारंभिक मानव गणना उपकरण|website=Math Timeline|access-date=2018-04-26}}</ref> एक संख्या के रूप में गणनांक की अमूर्तता 3000 ईसा पूर्व से सुमेरियन गणित में और वस्तु या घटनाओं के एक विशिष्ट समूह के संदर्भ के बिना संख्याओं के प्रहस्तन में स्पष्ट है।<ref>Duncan J. Melville (2003). [http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/chronology.html Third Millennium Chronology] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180707213616/http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/chronology.html |date=2018-07-07 }}, ''Third Millennium Mathematics''. [[St. Lawrence University]].</ref>


छठी शताब्दी ईसा पूर्व से, ग्रीक दार्शनिकों के लेखन अनंत समुच्चयों का गणनांक का पहला संकेत मिलता है। जबकि वे अनंत की धारणा को क्रियाओं की एक अंतहीन श्रृंखला के रूप में मानते थे, जैसे कि किसी संख्या में बार-बार 1 जोड़ना, उन्होंने संख्याओं के अनंत समुच्चय के आकार को एक वस्तु नहीं माना है।<ref name="Allen">{{Cite web |last=Allen |first=Donald |date=2003 |title=अनंत का इतिहास|url=https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf |access-date=Nov 15, 2019 |website=Texas A&M Mathematics}}</ref> अनंत की प्राचीन यूनानी धारणा ने वस्तु को बिना किसी सीमा के दोहराए गए भागों में विभाजित करने पर भी विचार किया गया था। यूक्लिड के तत्वों में, [[ अनुरूपता (गणित) |अनुरूपता]] को दो रेखा खंडों, ''a'' और ''b'' की लंबाई की अनुपात के रूप में तुलना करने की क्षमता के रूप में वर्णित किया गया था, जब तक एक तीसरा खंड था, चाहे वह कितना भी छोटा क्यों न हो, उसे ''a'' और ''b'' दोनों में एक से दूसरे अंत तक कई बार रखा जा सकता था। [[ अपरिमेय संख्या |अपरिमेय संख्या]] के अनवेषण के साथ, यह देखा गया कि सभी परिमेय संख्याओं का अनंत समुच्चय भी प्रत्येक संभावित रेखाखंड की लंबाई का वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं था।<ref>{{cite journal|title=मेटापोंटम के हिप्पस द्वारा असंगति की खोज|author=Kurt Von Fritz|journal=The Annals of Mathematics|year=1945}}</ref> फिर भी, अनंत समुच्चय की ऐसी कोई अवधारणा नहीं थी, जिसमें गणनांक थी।
छठी शताब्दी ईसा पूर्व से, ग्रीक दार्शनिकों के लेखन अनंत समुच्चयों का गणनांक का पहला संकेत मिलता है। जबकि वे अनंत की धारणा को क्रियाओं की एक अंतहीन श्रृंखला के रूप में मानते थे, जैसे कि किसी संख्या में बार-बार 1 जोड़ना, उन्होंने संख्याओं के अनंत समुच्चय के आकार को एक वस्तु नहीं माना है।<ref name="Allen">{{Cite web |last=Allen |first=Donald |date=2003 |title=अनंत का इतिहास|url=https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf |access-date=Nov 15, 2019 |website=Texas A&M Mathematics}}</ref> अनंत की प्राचीन यूनानी धारणा ने वस्तु को बिना किसी सीमा के दोहराए गए भागों में विभाजित करने पर भी विचार किया था। यूक्लिड के तत्वों में, [[ अनुरूपता (गणित) |अनुरूपता]] को दो रेखा खंडों, ''a'' और ''b'' की लंबाई के अनुपात के रूप में तुलना करने की क्षमता के रूप में वर्णित किया गया था, जब तक एक तीसरा खंड था, चाहे वह कितना भी छोटा क्यों न हो, उसे ''a'' और ''b'' दोनों में एक से दूसरे अंत तक कई बार रखा जा सकता था। [[ अपरिमेय संख्या |अपरिमेय संख्या]] के अनवेषण के साथ, यह देखा गया कि सभी परिमेय संख्याओं का अनंत समुच्चय भी प्रत्येक संभावित रेखाखंड की लंबाई का वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं था।<ref>{{cite journal|title=मेटापोंटम के हिप्पस द्वारा असंगति की खोज|author=Kurt Von Fritz|journal=The Annals of Mathematics|year=1945}}</ref> फिर भी, अनंत समुच्चय की ऐसी कोई अवधारणा नहीं थी, जिसमें गणनांक था।


अनंत समुच्चयों को श्रेष्ठतर समझने के लिए, समुच्चय सिद्धांत के प्रवर्तक[[ जॉर्ज कैंटोर | जॉर्ज कैंटोर]] द्वारा 1880 के आसपास गणनांक की धारणा तैयार की गई थी। उन्होंने दो समुच्चयों को एक अद्वितीय संबंध के आधार पर दो समुच्चयों के तत्वों के मध्य प्रत्येक से अलग समानता के साथ समीकरण करने की प्रक्रिया की जांच की थी। 1891 में, कैंटर के विकर्ण तर्क के प्रकाशन के साथ उन्होंने प्रदर्शित किया कि संख्याओं के ऐसे समुच्चय हैं जिन्हें प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के साथ प्रत्येक से अलग समानता में नहीं रखा जा सकता है, अर्थात अगणनीय समुच्चय जिनमें प्राकृतिक संख्याओं के अनंत समुच्चय की तुलना में अधिक तत्व होते हैं।<ref>{{cite journal | author=Georg Cantor | title=मैनिफोल्डनेस के सिद्धांत के एक प्राथमिक प्रश्न के बारे में| journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung | volume=1 | pages=75–78 | year=1891 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/pdfcache/PPN37721857X_0001/PPN37721857X_0001___LOG_0029.pdf}}</ref>
अनंत समुच्चयों को श्रेष्ठतर समझने के लिए, समुच्चय सिद्धांत के प्रवर्तक[[ जॉर्ज कैंटोर | जॉर्ज कैंटोर]] द्वारा 1880 के आसपास गणनांक की धारणा तैयार की गई थी। उन्होंने दो समुच्चयों को एक अद्वितीय संबंध के आधार पर दो समुच्चयों के तत्वों के मध्य प्रत्येक से अलग समानता के साथ समीकरण करने की प्रक्रिया की जांच की थी। 1891 में, कैंटर के विकर्ण तर्क के प्रकाशन के साथ उन्होंने प्रदर्शित किया कि संख्याओं के ऐसे समुच्चय हैं जिन्हें प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के साथ प्रत्येक से अलग समानता में नहीं रखा जा सकता है, अर्थात अगणनीय समुच्चय जिनमें प्राकृतिक संख्याओं के अनंत समुच्चय की तुलना में अधिक तत्व होते हैं।<ref>{{cite journal | author=Georg Cantor | title=मैनिफोल्डनेस के सिद्धांत के एक प्राथमिक प्रश्न के बारे में| journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung | volume=1 | pages=75–78 | year=1891 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/pdfcache/PPN37721857X_0001/PPN37721857X_0001___LOG_0029.pdf}}</ref>
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=== परिभाषा 1: {{abs|''A''}} = {{abs|''B''}}===
=== परिभाषा 1: {{abs|''A''}} = {{abs|''B''}}===
: यदि A से B तक एक द्विभाजन (उर्फ, प्रत्येक से अलग समानता) उपस्तिथ है,<ref name=":1">{{Cite web|date=2019-12-05|title=अनंत सेट और कार्डिनैलिटी|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/Supplemental_Modules_for_Discrete_Math/Additional_Discrete_Topics_(Dean)/Infinite_Sets_and_Cardinality|access-date=2020-08-23|website=Mathematics LibreTexts|language=en}}</ref> तो दो समुच्चय A और B में समान गणनांक है, अर्थात A से B तक एक फलन जो[[ इंजेक्शन | अंतःक्षेपक]] और[[ विशेषण ]]दोनों है। ऐसे समुच्चयों को ''समविभव'', ''समान'' या[[ समनुक्रमिक | ''समसंख्यक'']] कहा जाता है। इस संबंध को A ≈ B या A ~ B से भी दर्शाया जा सकता है।
: यदि A से B तक एक द्विभाजन (उर्फ, प्रत्येक से अलग समानता) उपस्तिथ है,<ref name=":1">{{Cite web|date=2019-12-05|title=अनंत सेट और कार्डिनैलिटी|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/Supplemental_Modules_for_Discrete_Math/Additional_Discrete_Topics_(Dean)/Infinite_Sets_and_Cardinality|access-date=2020-08-23|website=Mathematics LibreTexts|language=en}}</ref> तो दो समुच्चय ''A'' और ''B'' में समान गणनांक है, अर्थात ''A'' से ''B'' तक एक फलन जो[[ इंजेक्शन | अंतःक्षेपक]] और[[ विशेषण ]]दोनों है। ऐसे समुच्चयों को ''समविभव'', ''समान'' या[[ समनुक्रमिक | ''समसंख्यक'']] कहा जाता है। इस संबंध को ''A ≈ B'' या ''A ~ B'' से भी दर्शाया जा सकता है।


:उदाहरण के लिए, गैर-ऋणात्मक सम संख्याओं के समुच्चय ''E'' = {0, 2, 4, 6, ...} में प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय '''N''' = {0, 1, 2, 3, ... } के समान गणनांक होती है, क्योंकि फलन ''f(n)'' = 2''n'' '''N''' से E की ओर एक द्विभाजन है (चित्र देखें)।
:उदाहरण के लिए, गैर-ऋणात्मक सम संख्याओं के समुच्चय ''E'' = {0, 2, 4, 6, ...} में प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय '''N''' = {0, 1, 2, 3, ... } के समान गणनांक होता है, क्योंकि फलन ''f(n)'' = 2''n'' '''N''' से ''E'' की ओर एक द्विभाजन है (चित्र देखें)।


:परिमित समुच्चय ''A'' और ''B'' के लिए, यदि ''A'' से ''B'' तक ''कुछ'' द्विभाजन प्रस्तुत है, तो ''A'' से ''B'' तक प्रत्येक अंतःक्षेपक या विशेषण फलन एक द्विभाजन है। यह अब अनंत ''A'' और ''B'' के लिए यथार्थ नहीं है। उदाहरण के लिए, ''g''(''n'') = 4''n'' द्वारा परिभाषित '''N''' से ''E'' तक फलन ''g'' अंतःक्षेपक है, लेकिन विशेषण नहीं है, और '''N''' से ''E'' तक ''h, h(n) = n - (n mod 2)'' द्वारा परिभाषित विशेषण है, लेकिन अंतःक्षेपक नहीं है। ''g'' और ''h'' दोनों में से कोई भी {{abs|''E''}} = {{abs|'''N'''}} को चुनौती दे सकते हैं, जो कि ''f'' के अस्तित्व द्वारा स्थापित किया गया था।
:परिमित समुच्चय ''A'' और ''B'' के लिए, यदि ''A'' से ''B'' तक ''कुछ'' द्विभाजन प्रस्तुत है, तो ''A'' से ''B'' तक प्रत्येक अंतःक्षेपक या विशेषण फलन एक द्विभाजन है। यह अब अनंत ''A'' और ''B'' के लिए यथार्थ नहीं है। उदाहरण के लिए, ''g''(''n'') = 4''n'' द्वारा परिभाषित '''N''' से ''E'' तक फलन ''g'' अंतःक्षेपक है, लेकिन विशेषण नहीं है, और '''N''' से ''E'' तक ''h, h(n) = n - (n mod 2)'' द्वारा परिभाषित विशेषण है, लेकिन अंतःक्षेपक नहीं है। ''g'' और ''h'' दोनों में से कोई भी {{abs|''E''}} = {{abs|'''N'''}} को चुनौती दे सकते हैं, जो कि ''f'' के अस्तित्व द्वारा स्थापित किया गया था।


=== परिभाषा 2: {{abs|''A''}} ≤ {{abs|''B''}}===
=== परिभाषा 2: {{abs|''A''}} ≤ {{abs|''B''}}===
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समान गणनांक होने के संबंध को[[ समरूपता | समसंख्याकता]] कहा जाता है, और यह सभी समुच्चयों के वर्ग (समुच्चय थ्योरी) पर एक[[ तुल्यता संबंध | समतुल्यता संबंध]] है। इस संबंध के अंतर्गत समुच्चय ''A'' के समतुल्य वर्ग में वे सभी समुच्चय सम्मिलित होते हैं जिनका गणनांक ''A'' के समान होता है। समुच्चय के गणनांक को परिभाषित करने के दो प्रकार हैं:
समान गणनांक होने के संबंध को[[ समरूपता | समसंख्याकता]] कहा जाता है, और यह सभी समुच्चयों के वर्ग (समुच्चय थ्योरी) पर एक[[ तुल्यता संबंध | समतुल्यता संबंध]] है। इस संबंध के अंतर्गत समुच्चय ''A'' के समतुल्य वर्ग में वे सभी समुच्चय सम्मिलित होते हैं जिनका गणनांक ''A'' के समान होता है। समुच्चय के गणनांक को परिभाषित करने के दो प्रकार हैं:


# किसी समुच्चय ''A'' के गणनांक को समसंख्यता के अंतर्गत उसके[[ तुल्यता वर्ग ]] के रूप में परिभाषित किया गया है।
# किसी समुच्चय ''A'' के गणनांक को समसंख्यता के अंतर्गत उसके[[ तुल्यता वर्ग | तुल्यता वर्ग]] के रूप में परिभाषित किया गया है।
# प्रत्येक समतुल्य वर्ग के लिए एक प्रतिनिधि समुच्चय निर्दिष्ट किया गया है। सबसे सामान्य विकल्प उस कक्षा में प्रारंभिक क्रमसूचक है। इसे सामान्यतः[[ स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत | स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत]] में गणनसंख्या की परिभाषा के रूप में लिया जाता है।
# प्रत्येक समतुल्य वर्ग के लिए एक प्रतिनिधि समुच्चय निर्दिष्ट किया गया है। सबसे सामान्य विकल्प उस कक्षा में प्रारंभिक क्रमसूचक है। इसे सामान्यतः[[ स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत | स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत]] में गणनसंख्या की परिभाषा के रूप में लिया जाता है।


चयन के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, अनंत समुच्चयों का गणनांक को दर्शाया गया है
चयन के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, अनंत समुच्चयों का गणनांक को दर्शाया गया है।
:<math>\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \ldots . </math>
:<math>\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \ldots . </math>
प्रत्येक क्रमसूचक <math>\alpha</math> के लिए, <math>\aleph_{\alpha + 1}</math> <math>\aleph_\alpha</math>से बड़ी सबसे छोटी गणनसंख्या है।
प्रत्येक क्रमसूचक <math>\alpha</math> के लिए, <math>\aleph_{\alpha + 1}</math> <math>\aleph_\alpha</math>से बड़ी सबसे छोटी गणनसंख्या है।


[[ प्राकृतिक संख्या |प्राकृतिक संख्याओं]] का गणनांक को एलेफ-नल (<math>\aleph_0</math>) द्वारा दर्शाया जाता है, जबकि वास्तविक संख्याओं का गणनांक को <math>\mathfrak c</math> (एक लोअरकेस फ्रैक्टूर आलेख <nowiki>''c''</nowiki>) द्वारा दर्शाया जाता है, और इसे[[ सातत्य की कार्डिनैलिटी | सांतत्यक के गणनांक]] के रूप में भी जाना जाता है। कैंटर के विकर्ण तर्क का उपयोग <math>{\mathfrak c} >\aleph_0</math> दिखाया गया है। हम दिखा सकते हैं कि <math>\mathfrak c = 2^{\aleph_0}</math>, यह प्राकृत संख्याओं के सभी उपसमुच्चयों के समुच्चय का गणनांक भी है।
[[ प्राकृतिक संख्या |प्राकृतिक संख्याओं]] का गणनांक को एलेफ-नल (<math>\aleph_0</math>) द्वारा दर्शाया जाता है, जबकि वास्तविक संख्याओं का गणनांक को <math>\mathfrak c</math> (एक लोअरकेस फ्रैक्टूर आलेख <nowiki>''c''</nowiki>) द्वारा दर्शाया जाता है, और इसे[[ सातत्य की कार्डिनैलिटी | सांतत्यक के गणनांक]] के रूप में भी जाना जाता है। कैंटर के विकर्ण तर्क का उपयोग <math>{\mathfrak c} >\aleph_0</math> दिखाया गया है। हम दिखा सकते हैं कि <math>\mathfrak c = 2^{\aleph_0}</math>, यह प्राकृतिक संख्याओं के सभी उपसमुच्चयों के समुच्चय का गणनांक भी है।


सातत्य परिकल्पना कहती है कि <math>\aleph_1 = 2^{\aleph_0}</math>, अर्थात <math>2^{\aleph_0}</math> <math>\aleph_0</math> से बड़ी सबसे छोटी गणनसंख्या है, अर्थात ऐसा कोई समुच्चय नहीं है जिसका गणनांक पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं के मध्य है। सांतत्यक परिकल्पना ZFC से स्वतंत्र है, जो समुच्चय सिद्धांत का एक मानक स्वयंसिद्धकरण है; अर्थात्, ZFC से सातत्य परिकल्पना या उसके निषेध को सिद्ध करना असंभव है - परंतु ZFC संगत है। अधिक विवरण के लिए, नीचे § सातत्य का गणनांक देखें।<ref>{{Cite journal
सातत्य परिकल्पना कहती है कि <math>\aleph_1 = 2^{\aleph_0}</math>, अर्थात <math>2^{\aleph_0}</math> <math>\aleph_0</math> से बड़ी सबसे छोटी गणनसंख्या है, अर्थात ऐसा कोई समुच्चय नहीं है जिसका गणनांक पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं के मध्य है। सांतत्यक परिकल्पना ZFC से स्वतंत्र है, जो समुच्चय सिद्धांत का एक मानक स्वयंसिद्धकरण है; अर्थात्, ZFC से सातत्य परिकल्पना या उसके निषेध को सिद्ध करना असंभव है - परंतु ZFC संगत है। अधिक विवरण के लिए, नीचे § सातत्य का गणनांक देखें।<ref>{{Cite journal
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== अनंत समुच्चय ==
== अनंत समुच्चय ==
उन्नीसवीं सदी के उत्तरार्ध में जॉर्ज कैंटर, [[ थैंक गॉड फ्रीज |थैंक गॉड फ्रीज]], [[ रिचर्ड डेडेकिंड |रिचर्ड डेडेकिंड]] और अन्य ने इस विचार को अस्वीकृत कर दिया कि पूरे भाग के आकार के समान नहीं हो सकता है।<ref name="Cantor.1932">{{citation | author=Georg Cantor | title=Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten |journal=[[Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik]]| volume=91 |pages=81–125 |year=1887 }}<BR>Reprinted in: {{citation | author=Georg Cantor |editor1=Adolf Fraenkel (Lebenslauf) |editor2=Ernst Zermelo | title=Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts| publisher= Springer | location=Berlin | year=1932 | pages=378–439 | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN237853094&DMDID=DMDLOG_0060}} Here: p.413 bottom</ref>{{citation needed|reason=Give more early references by Frege, Dedekind, and others. There might also be an earlier reference by Cantor?|date=November 2019}} इसका एक उदाहरण हिल्बर्ट का ग्रैंड होटल का विरोधाभास है। वास्तव में, डेडेकाइंड ने एक अनंत समुच्चय को एक ऐसे रूप में परिभाषित किया है जिसे एक यथार्थ उपसमुच्चय के साथ प्रत्येक से अलग समतुल्यता में रखा जा सकता है (अर्थात, कैंटर के अर्थ में समान आकार वाला); अनंत की इस धारणा को[[ डेडेकाइंड अनंत ]]कहा जाता है। कैंटर ने गणनसंख्या को प्रस्तावित किया, और दिखाया- आकार की उनकी द्विभाजन-आधारित परिभाषा के अनुसार- कि कुछ अनंत समुच्चय दूसरों की तुलना में अधिक हैं। सबसे छोटी अनंत गणनांक प्राकृतिक संख्या (<math>\aleph_0</math>) की है।
उन्नीसवीं सदी के उत्तरार्ध में जॉर्ज कैंटर, [[ थैंक गॉड फ्रीज |थैंक गॉड फ्रीज]], [[ रिचर्ड डेडेकिंड |रिचर्ड डेडेकिंड]] और अन्य ने इस विचार को अस्वीकृत कर दिया कि पूरे भाग के आकार के समान नहीं हो सकता है।<ref name="Cantor.1932">{{citation | author=Georg Cantor | title=Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten |journal=[[Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik]]| volume=91 |pages=81–125 |year=1887 }}<BR>Reprinted in: {{citation | author=Georg Cantor |editor1=Adolf Fraenkel (Lebenslauf) |editor2=Ernst Zermelo | title=Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts| publisher= Springer | location=Berlin | year=1932 | pages=378–439 | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN237853094&DMDID=DMDLOG_0060}} Here: p.413 bottom</ref>{{citation needed|reason=Give more early references by Frege, Dedekind, and others. There might also be an earlier reference by Cantor?|date=November 2019}} इसका एक उदाहरण हिल्बर्ट का ग्रैंड होटल का विरोधाभास है। वास्तव में, डेडेकाइंड ने एक अनंत समुच्चय को एक ऐसे रूप में परिभाषित किया है जिसे एक यथार्थ उपसमुच्चय के साथ प्रत्येक से अलग समतुल्यता में रखा जा सकता है (अर्थात, कैंटर के अर्थ में समान आकार वाला); अनंत की इस धारणा को[[ डेडेकाइंड अनंत ]]कहा जाता है। कैंटर ने गणनसंख्या को प्रस्तावित किया, और दिखाया- आकार की उनकी द्विभाजन-आधारित परिभाषा के अनुसार- कि कुछ अनंत समुच्चय दूसरों की तुलना में अधिक हैं। सबसे छोटी अनंत गणनांक प्राकृतिक संख्या (<math>\aleph_0</math>) है।


=== सातत्य का गणनांक ===
=== सातत्य का गणनांक ===
{{main article|सातत्य का गणनांक}}
{{main article|सातत्य का गणनांक}}


कैंटर के सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक यह था कि सातत्य (<math>\mathfrak{c}</math>) का गणनांक प्राकृतिक संख्याओं (<math>\aleph_0</math>) से अधिक है; अर्थात्, प्राकृतिक संख्याएँ '''N''' की तुलना में अधिक वास्तविक संख्याएँ '''R''' हैं। अर्थात्, कैंटर ने दिखाया कि <math>\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} = \beth_1</math> (बेथ एक देखें) संतुष्ट करता है:
कैंटर के सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक यह था कि सातत्य (<math>\mathfrak{c}</math>) का गणनांक प्राकृतिक संख्याओं (<math>\aleph_0</math>) से अधिक है; अर्थात्, प्राकृतिक संख्या '''N''' की तुलना में अधिक वास्तविक संख्या '''R''' हैं। अर्थात्, कैंटर ने दिखाया कि <math>\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} = \beth_1</math> (बेथ एक देखें) संतुष्ट करता है:
:<math>2^{\aleph_0} > \aleph_0</math>
:<math>2^{\aleph_0} > \aleph_0</math>
:(कैंटर का विकर्ण तर्क या कैंटर का पहला अगणनीय प्रमाण देखें)।
:(कैंटर का विकर्ण तर्क या कैंटर का पहला अगणनीय प्रमाण देखें)।


सातत्य परिकल्पना बताती है कि वास्तविक संख्याओं का गणनांक और प्राकृतिक संख्याओं के गणनांक के मध्य कोई गणनसंख्या नहीं है, अर्थात,
सातत्य परिकल्पना बताता है कि वास्तविक संख्याओं का गणनांक और प्राकृतिक संख्याओं के गणनांक के मध्य कोई गणनसंख्या नहीं है, अर्थात,
:<math>2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>
:<math>2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>
हालाँकि, यदि[[ ZFC ]]सुसंगत है, तो इस परिकल्पना को व्यापक रूप से स्वीकृत ZFC स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के अंतर्गत न तो सिद्ध किया जा सकता है और न ही अस्वीकृत किया जा सकता है।
हालाँकि, यदि[[ ZFC ]]सुसंगत है, तो इस परिकल्पना को व्यापक रूप से स्वीकृत ZFC स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के अंतर्गत न तो सिद्ध किया जा सकता है और न ही अस्वीकृत किया जा सकता है।


कार्डिनल अंकगणित का उपयोग न केवल यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि[[ वास्तविक संख्या रेखा ]]में बिंदुओं की संख्या उस रेखा के किसी भी[[ रेखा खंड | खंड]] में बिंदुओं की संख्या के समान है, लेकिन यह एक समतल पर और वास्तव में, किसी भी परिमित-विमीय समष्टि में बिंदुओं की संख्या के समान है। यह परिणाम अत्यधिक प्रतिकूल हैं, क्योंकि उनका तात्पर्य यह है कि अनंत समुच्चय ''S'' के उचित उपसमुच्चय और[[ उचित सुपरसेट | उचित अधिसमुच्चय]] उपस्थित हैं, जिनका आकार ''S'' के समान है, हालांकि ''S'' में ऐसे तत्व सम्मिलित हैं जो इसके उपसमुच्चय से संबंधित नहीं हैं, और ''S'' के अधिसमुच्चय में ऐसे तत्व सम्मिलित हैं जो इसमें सम्मिलित नहीं हैं।
कार्डिनल अंकगणित का उपयोग न केवल यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि[[ वास्तविक संख्या रेखा ]]में बिंदुओं की संख्या उस रेखा के किसी भी[[ रेखा खंड | खंड]] में बिंदुओं की संख्या के समान है, लेकिन यह एक समतल और वास्तव में, किसी भी परिमित-विमीय समष्टि में बिंदुओं की संख्या के समान है। यह परिणाम अत्यधिक प्रतिकूल हैं, क्योंकि उनका तात्पर्य यह है कि अनंत समुच्चय ''S'' के उचित उपसमुच्चय और[[ उचित सुपरसेट | उचित अधिसमुच्चय]] उपस्थित हैं, जिनका आकार ''S'' के समान है, हालांकि ''S'' में ऐसे तत्व सम्मिलित हैं जो इसके उपसमुच्चय से संबंधित नहीं हैं, और ''S'' के अधिसमुच्चय में ऐसे तत्व सम्मिलित हैं जो इसमें सम्मिलित नहीं हैं।


इनमें से पहला परिणाम, उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा फलन पर विचार करके स्पष्ट होता है, जो [[ अंतराल (गणित) |अंतराल]] (-½π, ½π) और '''R''' के मध्य प्रत्येक से अलग समतुल्यता प्रदान करता है (ग्रैंड होटल के हिल्बर्ट विरोधाभास भी देखें) होटल)।
इनमें से पहला परिणाम, उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा फलन पर विचार करके स्पष्ट होता है, जो [[ अंतराल (गणित) |अंतराल]] (-½π, ½π) और '''R''' के मध्य प्रत्येक से अलग समतुल्यता प्रदान करता है (ग्रैंड होटल के हिल्बर्ट विरोधाभास भी देखें) होटल)।


दूसरा परिणाम पहली बार 1878 में कैंटर द्वारा प्रदर्शित किया गया था, लेकिन यह 1890 में और अधिक स्पष्ट हो गया, जब[[ ग्यूसेप पीनो ]]ने समष्टि-भरण वक्र, वक्र रेखाएं प्रस्तावित कीं जो किसी भी वर्ग, या घन, या [[ अतिविम |अतिविम]] या परिमित-आयामी समष्टि को भरने के लिए पर्याप्त रूप से मुड़ती और घूमती हैं। ये वक्र इस बात का प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं हैं कि एक रेखा में परिमित-आयामी समष्टि के समान बिंदुओं की संख्या होती है, लेकिन इनका उपयोग इस तरह का प्रमाण प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।
दूसरा परिणाम पहली बार 1878 में कैंटर द्वारा प्रदर्शित किया गया था, लेकिन यह 1890 में और अधिक स्पष्ट हो गया, जब[[ ग्यूसेप पीनो ]]ने समष्टि-भरण वक्र, वक्र रेखाएं प्रस्तावित कीं जो किसी भी वर्ग, घन, या [[ अतिविम |अतिविम]] या परिमित-आयामी समष्टि को भरने के लिए पर्याप्त रूप से मुड़ती और घूमती हैं। ये वक्र इस बात का प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं हैं कि एक रेखा में परिमित-आयामी समष्टि के समान बिंदुओं की संख्या होती है, लेकिन इनका उपयोग इस तरह का प्रमाण प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।


कैंटर ने यह भी दिखाया कि <math>\mathfrak c</math> से अधिक गणनांक वाले समुच्चय प्रस्तुत हैं (उनके सामान्यीकृत विकर्ण तर्क और प्रमेय देखें)। उनमें सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए:
कैंटर ने यह भी दिखाया कि <math>\mathfrak c</math> से अधिक गणनांक वाले समुच्चय प्रस्तुत हैं (उनके सामान्यीकृत विकर्ण तर्क और प्रमेय देखें)। उनमें सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए:


:* '''R''' के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय, अर्थात, '''R''' का घात समुच्चय, ''P''('''R''') या 2<sup>'''R'''</sup> लिखा जाता है
:* '''R''' के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय, अर्थात, '''R''' का घात समुच्चय, ''P''('''R''') या 2<sup>'''R'''</sup> लिखा जाता है।
:* '''R''' से '''R''' तक सभी फलनों का समुच्चय '''R<sup>R</sup>'''
:* '''R''' से '''R''' तक सभी फलनों का समुच्चय '''R<sup>R</sup>''' है। 


दोनों में गणनांक है
दोनों में गणनांक '''R<sup>R</sup>'''
:<math>2^\mathfrak {c} = \beth_2 > \mathfrak c </math>
:<math>2^\mathfrak {c} = \beth_2 > \mathfrak c </math>
:(बेथ दो देखें)।
:(बेथ दो देखें)।


प्रमुख समानताएं <math>\mathfrak{c}^2 = \mathfrak{c},</math> <math>\mathfrak c^{\aleph_0} = \mathfrak c,</math> और <math>\mathfrak c ^{\mathfrak c} = 2^{\mathfrak c}</math> को गणनांक अंकगणित का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है:
प्रमुख समानता <math>\mathfrak{c}^2 = \mathfrak{c},</math> <math>\mathfrak c^{\aleph_0} = \mathfrak c,</math> और <math>\mathfrak c ^{\mathfrak c} = 2^{\mathfrak c}</math> को गणनांक अंकगणित का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है:
:<math>\mathfrak{c}^2 = \left(2^{\aleph_0}\right)^2 = 2^{2\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c},</math>
:<math>\mathfrak{c}^2 = \left(2^{\aleph_0}\right)^2 = 2^{2\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c},</math>
:<math>\mathfrak c^{\aleph_0} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{{\aleph_0}\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c},</math>
:<math>\mathfrak c^{\aleph_0} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{{\aleph_0}\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c},</math>
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==उदाहरण और गुण ==
==उदाहरण और गुण ==
* यदि ''X'' = {''a'', ''b'', ''c''} और ''Y'' = {सेब, संतरे, आड़ू}, जहां ''a'', ''b'', और ''c'' भिन्न हैं, तो | X | = | ''Y'' | क्योंकि {(''a'', सेब), (''b'', संतरे), (''c'', आड़ू)} समुच्चय ''X'' और ''Y'' के मध्य एक द्विभाजन है। ''X'' और ''Y'' में से प्रत्येक का गणनांक 3 है।
* यदि ''X'' = {''a'', ''b'', ''c''} और ''Y'' = {सेब, संतरे, आड़ू}, जहां ''a'', ''b'', और ''c'' भिन्न हैं, तो | X | = | ''Y'' | क्योंकि {(''a'', सेब), (''b'', संतरे), (''c'', आड़ू)} समुच्चय ''X'' और ''Y'' के मध्य एक द्विभाजन है। ''X'' और ''Y'' में से प्रत्येक का गणनांक 3 है।
* अगर | X | | Y |, तो ''Z'' का अस्तित्व इस प्रकार है कि | X | = | Z | और  ''Z'' ⊆ ''Y''।
* अगर | X | | Y |, तो ''Z'' का अस्तित्व इस प्रकार है कि | X | = | Z | और  ''Z'' ⊆ ''Y'' हैं।
*अगर | ''X'' | ≤ | ''Y'' | और | ''Y'' | ≤ | ''X'' |, फिर | ''X'' | = | ''Y'' | है। यह अनंत प्रमुख के लिए भी मान्य है, और इसे कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
*अगर | ''X'' | ≤ | ''Y'' | और | ''Y'' | ≤ | ''X'' |, फिर | ''X'' | = | ''Y'' | है। यह अनंत प्रमुख के लिए भी मान्य है, और इसे कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
* सातत्य का गणनांक वाले समुच्चय में सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, सभी अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय और अंतराल <math>[0, 1]</math> सम्मिलित है।
* सातत्य का गणनांक समुच्चय में सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, सभी अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय और अंतराल <math>[0, 1]</math> सम्मिलित है।


==संयोग और प्रतिच्छेदन ==
==संघ और प्रतिच्छेदन ==


यदि ''A'' और ''B'' असंयुक्त समुच्चय हैं, तो
यदि ''A'' और ''B'' असंयुक्त समुच्चय हैं, तो
:<math>\left\vert A \cup B \right\vert = \left\vert A \right\vert + \left\vert B \right\vert.</math>
:<math>\left\vert A \cup B \right\vert = \left\vert A \right\vert + \left\vert B \right\vert.</math>
इससे, कोई यह दिखा सकता है कि सामान्य रूप में, संयोग और प्रतिच्छेदन का गणनांक निम्नलिखित समीकरण से संबंधित हैं:<ref>Applied Abstract Algebra, K.H. Kim, F.W. Roush, Ellis Horwood Series, 1983, {{ISBN|0-85312-612-7}} (student edition), {{ISBN|0-85312-563-5}} (library edition)</ref>
इससे, कोई यह दिखा सकता है कि सामान्य रूप में संघ और प्रतिच्छेदन का गणनांक निम्नलिखित समीकरण से संबंधित हैं:<ref>Applied Abstract Algebra, K.H. Kim, F.W. Roush, Ellis Horwood Series, 1983, {{ISBN|0-85312-612-7}} (student edition), {{ISBN|0-85312-563-5}} (library edition)</ref>
:<math> \left\vert C \cup D \right\vert + \left\vert C \cap D \right\vert = \left\vert C \right\vert + \left\vert D \right\vert.</math>
:<math> \left\vert C \cup D \right\vert + \left\vert C \cap D \right\vert = \left\vert C \right\vert + \left\vert D \right\vert.</math>
==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
* [[अलेफ संख्या]]
* [[अलेफ संख्या]]
*[[ बेथ नंबर | बेथ संख्या]]
*[[ बेथ नंबर |बेथ संख्या]]
*[[कैंटोर का विरोधाभास]]
*[[कैंटोर का विरोधाभास]]
* [[कैंटर का प्रमेय]]
* [[कैंटर का प्रमेय]]

Revision as of 16:01, 26 July 2023

For other uses, see गणनांक (disambiguation).
File:Platonic Solids Transparent.svg
सभी प्लेटोनिक ठोस के समुच्चय में 5 तत्व होते हैं। इस प्रकार का गणनांक 5 या, प्रतीकों में, है।

गणित में, किसी समुच्चय का गणनांक समुच्चय तत्वों की संख्या का माप है। उदाहरण के लिए, समुच्चय में 3 तत्व हैं, और इसलिए का गणनांक 3 है। 19वीं सदी के अंत में आरंभ करते हुए, इस अवधारणा को अनंत समुच्चयों के लिए सामान्यीकृत किया गया था, जो किसी को विभिन्न प्रकार के अनंत के मध्य अंतर करने और उन पर अंकगणित करने की अनुमति देता है। गणनांक के दो दृष्टिकोण हैं: जोद्विभाजन और अंतःक्षेपक का उपयोग करके स्पष्ट रुप से समुच्चयों की तुलना करते है, और दूसरा जो गणन संख्या का उपयोग करते है।[1] किसी समुच्चय के गणनांक को उसका आकार भी कहा जाता है, जब आकार की अन्य धारणाओं के साथ कोई भ्रम संभव नहीं होता है।[2]

समुच्चय के गणनांक को सामान्यतः दर्शाया जाता है, जिसमें प्रत्येक पृष्ठ एक ऊर्ध्वाधर पट्टी होती है;[3] यह निरपेक्ष मूल्य के समान ही संकेतन है, और अर्थ संदर्भ पर निर्भर करता है। समुच्चय