गणनांक: Difference between revisions

{{Short description|Definition of the number of elements in a set}}

{{Other uses}}

==इतिहास==

कार्डिनैलिटी की एक क्रूड भावना, एक जागरूकता है कि चीजों या घटनाओं के समूह अन्य समूहों के साथ तुलना करते हैं, जिसमें अधिक, कम, या समान संख्या में उदाहरण होते हैं, वर्तमान में विभिन्न प्रकार की पशु प्रजातियों में मनाया जाता है, जो लाखों साल पहले एक उत्पत्ति का सुझाव देता है। .<ref>Cepelewicz, Jordana  ''[https://www.quantamagazine.org/animals-can-count-and-use-zero-how-far-does-their-number-sense-go-20210809/ Animals Count and Use Zero. How Far Does Their Number Sense Go?]'', [[Quanta Magazine|Quanta]], August 9, 2021</ref> कार्डिनैलिटी की मानवीय अभिव्यक्ति को जल्द से जल्द देखा जाता है {{val|40000}} वर्षों पहले, रिकॉर्ड किए गए पायदानों के समूह के साथ एक समूह के आकार की बराबरी करने के साथ, या अन्य चीजों के प्रतिनिधि संग्रह, जैसे कि लाठी और गोले।<ref>{{Cite web|url=https://mathtimeline.weebly.com/early-human-counting-tools.html|title=प्रारंभिक मानव गणना उपकरण|website=Math Timeline|access-date=2018-04-26}}</ref> एक संख्या के रूप में कार्डिनैलिटी की अमूर्तता 3000 ईसा पूर्व, गणित के सुमेरियन इतिहास और चीजों या घटनाओं के एक विशिष्ट समूह के संदर्भ के बिना संख्याओं के हेरफेर में स्पष्ट है।<ref>Duncan J. Melville (2003). [http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/chronology.html Third Millennium Chronology] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180707213616/http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/chronology.html |date=2018-07-07 }}, ''Third Millennium Mathematics''. [[St. Lawrence University]].</ref>

=== परिभाषा 1: {{abs|''A''}} = {{abs|''B''}}===

:उदाहरण के लिए, गैर-ऋणात्मक सम संख्याओं के समुच्चय E = {0, 2, 4, 6, ...} की कार्डिनैलिटी समुच्चय 'N' = {0, 1, 2, 3, ... } प्राकृत संख्याओं का, क्योंकि फलन f(n) = 2n 'N' से E की ओर एक द्विभाजन है (चित्र देखें)।

=== परिभाषा 2: {{abs|''A''}} ≤ {{abs|''B''}}===

=== परिभाषा 3: {{abs|''A''}} < {{abs|''B''}}===

यदि {{abs|''A''}} ≤ {{abs|''B''}} तथा {{abs|''B''}} ≤ {{abs|''A''}}, फिर {{abs|''A''}} = {{abs|''B''}} (एक तथ्य जिसे श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय के रूप में जाना जाता है)। पसंद का स्वयंसिद्ध कथन के समतुल्य है कि {{abs|''A''}} ≤ {{abs|''B''}} या {{abs|''B''}} ≤ {{abs|''A''}} प्रत्येक ए, बी के लिए<ref>{{citation | author=Friedrich M. Hartogs | author-link=Friedrich M. Hartogs | editor=Felix Klein | editor-link=Felix Klein |editor2=Walther von Dyck |editor2-link=Walther von Dyck |editor3=David Hilbert |editor3-link=David Hilbert |editor4=Otto Blumenthal |editor4-link=Otto Blumenthal | title=Über das Problem der Wohlordnung | journal=[[Mathematische Annalen]] | volume=76 | number=4 | publisher=B.&nbsp;G. Teubner | location=Leipzig | year=1915 | pages=438–443 | issn=0025-5831 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0076&DMDID=DMDLOG_0037&L=1 | doi=10.1007/bf01458215| s2cid=121598654 }}</ref><ref>{{citation | author=Felix Hausdorff | author-link=Felix Hausdorff | editor=Egbert Brieskorn | editor-link=Egbert Brieskorn |editor2=Srishti D. Chatterji| title=Grundzüge der Mengenlehre | edition=1. | publisher=Springer | location=Berlin/Heidelberg | year=2002 | pages=587 | isbn=3-540-42224-2| url=https://books.google.com/books?id=3nth_p-6DpcC|display-editors=etal}} - [https://jscholarship.library.jhu.edu/handle/1774.2/34091 Original edition (1914)]</ref>

== कार्डिनल नंबर ==

{{main article|Cardinal number}}

# समुच्चय A की कार्डिनैलिटी को समनुक्रमिकता के तहत इसके [[ तुल्यता वर्ग ]] के रूप में परिभाषित किया गया है।

:<math>\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \ldots . </math>

प्रत्येक सामान्य संख्या के लिए <math>\alpha</math>, <math>\aleph_{\alpha + 1}</math> से कम से कम कार्डिनल संख्या है <math>\aleph_\alpha</math>.

[[ प्राकृतिक संख्या ]]ओं की कार्डिनैलिटी को [[ अलेफ नंबर ]] | एलेफ-नल (<math>\aleph_0</math>), जबकि वास्तविक संख्याओं की कार्डिनैलिटी को द्वारा निरूपित किया जाता है<math>\mathfrak c</math>(एक लोअरकेस फ्रैक्टूर (स्क्रिप्ट) सी), और इसे [[ सातत्य की कार्डिनैलिटी ]] के रूप में भी जाना जाता है। कैंटर ने कैंटर के विकर्ण तर्क का उपयोग करते हुए दिखाया कि <math>{\mathfrak c} >\aleph_0</math>. हम दिखा सकते हैं कि <math>\mathfrak c = 2^{\aleph_0}</math>, यह प्राकृत संख्याओं के सभी उपसमुच्चयों के समुच्चय की प्रमुखता भी है।

  | first = Paul J. | last = Cohen

  | title = सातत्य परिकल्पना की स्वतंत्रता| journal = Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America

  | doi-access = free

  }}</ref><ref>{{Citation|first=R|last=Penrose|author-link=Roger Penrose|title=The Road to Reality: A Complete guide to the Laws of the Universe|publisher=Vintage Books|year=2005|isbn=0-09-944068-7}}</ref>

यदि पसंद का स्वयंसिद्ध धारण करता है, तो [[ ट्राइकोटॉमी (गणित) ]] कार्डिनैलिटी के लिए है। इस प्रकार हम निम्नलिखित परिभाषाएँ बना सकते हैं:

*कोई भी समुच्चय X जिसकी कार्डिनैलिटी प्राकृत संख्याओं से कम है, या | X | < | 'N' |, एक परिमित समुच्चय कहा जाता है।

== अनंत समुच्चय ==

परिमित समुच्चयों से प्राप्त हमारा अंतर्ज्ञान अनंत समुच्चयों के साथ व्यवहार करते समय टूट जाता है। उन्नीसवीं सदी के उत्तरार्ध में जॉर्ज कैंटर, [[ थैंक गॉड फ्रीज ]], [[ रिचर्ड डेडेकिंड ]] और अन्य ने इस विचार को खारिज कर दिया कि पूरे हिस्से के आकार के समान नहीं हो सकते।<ref name="Cantor.1932">{{citation | author=Georg Cantor | title=Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten |journal=[[Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik]]| volume=91 |pages=81–125 |year=1887 }}<BR>Reprinted in: {{citation | author=Georg Cantor |editor1=Adolf Fraenkel (Lebenslauf) |editor2=Ernst Zermelo | title=Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts| publisher= Springer | location=Berlin | year=1932 | pages=378–439 | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN237853094&DMDID=DMDLOG_0060}} Here: p.413 bottom</ref>{{citation needed|reason=Give more early references by Frege, Dedekind, and others. There might also be an earlier reference by Cantor?|date=November 2019}} इसका एक उदाहरण ग्रैंड होटल के हिल्बर्ट का विरोधाभास है।

=== सातत्य की कार्डिनैलिटी ===

:(कैंटोर का विकर्ण तर्क या कैंटर का पहला बेशुमार प्रमाण देखें)।

:<math>2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>

दूसरा परिणाम पहली बार 1878 में कैंटर द्वारा प्रदर्शित किया गया था, लेकिन यह 1890 में और अधिक स्पष्ट हो गया, जब [[ ग्यूसेप पीनो ]] ने अंतरिक्ष-भरने वाले घटता, घुमावदार रेखाएं पेश कीं जो किसी भी वर्ग, या घन, या [[ अतिविम ]] को भरने के लिए पर्याप्त मोड़ और मोड़ देती हैं। या परिमित-आयामी स्थान। ये वक्र प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं हैं कि एक रेखा में परिमित-आयामी स्थान के समान अंक होते हैं, लेकिन इनका उपयोग अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है # प्रमाण है कि एक वर्ग और उसके पक्ष में समान अंक होते हैं।

:* R के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय, अर्थात, R का घात समुच्चय, लिखा हुआ ''P''(R) या 2^आर

दोनों में कार्डिनैलिटी है

:<math>\mathfrak c^{\aleph_0} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{{\aleph_0}\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c},</math>

:<math> \mathfrak c ^{\mathfrak c} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\mathfrak c} = 2^{\mathfrak c\times\aleph_0} = 2^{\mathfrak c}.</math>

==उदाहरण और गुण ==