केन्द्रीयता: Difference between revisions

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[[ग्राफ सिद्धांत]] और [[नेटवर्क सिद्धांत|केंद्रीयता]] के नेटवर्क विश्लेषण सूचक ग्राफ के भीतर अपनी नेटवर्क स्थिति के अनुरूप नोड्स को संख्या या रैंकिंग के रूप में निर्दिष्ट करते हैं। जबकि अनुप्रयोगों में [[सामाजिक नेटवर्क|सोशल नेटवर्क]] में सबसे प्रभावशाली व्यक्तियों की पहचान करते है और इस प्रकार [[इंटरनेट]] या [[शहरी नेटवर्क|अर्बन नेटवर्क]] में प्रमुख मौलिक ढांचे के नोड्स, डिजीज के [[सुपर-स्प्रेडर|सुपर-स्प्रेडर्स]] और ब्रेन नेटवर्क के रूप में सम्मलित होते है।<ref name= 10.1016/j.tics.2013.09.012 >{{cite journal | vauthors = van den Heuvel MP, Sporns O | title = मानव मस्तिष्क में नेटवर्क हब| journal = Trends in Cognitive Sciences | volume = 17 | issue = 12 | pages = 683–96 | date = December 2013 | pmid = 24231140 | doi = 10.1016/j.tics.2013.09.012 | s2cid = 18644584 }}</ref><ref name= 10.1038/s41598-021-81767-7 >{{cite journal | vauthors = Saberi M, Khosrowabadi R, Khatibi A, Misic B, Jafari G | title = आराम-अवस्था मस्तिष्क नेटवर्क की स्थिरता पर नकारात्मक लिंक का टोपोलॉजिकल प्रभाव| journal = Scientific Reports | date = January 2021 | volume = 11 | issue = 1 | page = 2176 | pmid = 33500525 | pmc = 7838299 | doi = 10.1038/s41598-021-81767-7 | url = }}</ref> केंद्रीयता अवधारणाओं को सबसे पहले [[सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण|सोशल]] [[सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण|नेटवर्क विश्लेषण]] में विकसित किया गया था और केंद्रीयता को मापने के लिए उपयोग किए जाने वाले कई शब्द उनके समाजशास्त्र मूल को दर्शाते हैं।

==केंद्रीयता सूचकांकों की परिभाषा और ~~लक्षण वर्णन~~==

==केंद्रीयता सूचकांकों की परिभाषा और कैरिक्टरिज़ेशन==

केंद्रीयता सूचकांक इस प्रश्न का उत्तर हैं कि एक महत्वपूर्ण शीर्ष की फीचर क्या है? इसका उत्तर ग्राफ़ के शीर्षों पर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन के संदर्भ में दिया जाता है, जहां उत्पादन मान एक रैंकिंग प्रदान करने की उम्मीद कर रहे हैं, जो सबसे महत्वपूर्ण नोड्स की पहचान करती है।<ref name="Bonacich1987">{{cite journal |last1= Bonacich |first1= Phillip|year= 1987 |title= Power and Centrality: A Family of Measures | journal=American Journal of Sociology |volume= 92|issue= 5|pages= 1170–1182|doi=10.1086/228631 |s2cid= 145392072}}</ref><ref name="Borgatti2005">{{cite journal |last1= Borgatti |first1= Stephen P.|year= 2005 |title= केंद्रीयता और नेटवर्क प्रवाह|journal=Social Networks |volume= 27|pages= 55–71|doi=10.1016/j.socnet.2004.11.008 |citeseerx= 10.1.1.387.419}}</ref><ref name="Christian F. A. Negre, Uriel N. Morzan, Heidi P. Hendrickson, Rhitankar Pal, George P. Lisi, J. Patrick Loria, Ivan Rivalta, Junming Ho, Victor S. Batista. 2018 E12201--E12208">{{cite journal |

author = Christian F. A. Negre, Uriel N. Morzan, Heidi P. Hendrickson, Rhitankar Pal, George P. Lisi, J. Patrick Loria, Ivan Rivalta, Junming Ho, Victor S. Batista.|

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केंद्रीयता के उपाय यद्यपि सभी नहीं होते हैं पर केंद्रीयता के मापन में किसी दिये गये शीर्ष से गुजरने वाले किसी प्रकार के [[पथ (ग्राफ सिद्धांत)]] की संख्या को भी सम्मलित किया जा सकता है। जिसे वॉक भी कहा जाता है प्रासंगिक वॉक को कैसे परिभाषित और प्रभावी ढंग से गिना जाता है, इसके उपाय भिन्न -भिन्न हैं। इस समूह पर विचार को सीमित करने से टैक्सोनॉमी की अनुमति मिलती है जो एक स्पेक्ट्रम पर कई केंद्रीयताओं को रखती है, जो कि एक [[डिग्री की केंद्रीयता]] की लंबाई से लेकर अनंत वॉक की अभिलक्षणिक मान केंद्रीयता तक होता है। <ref name="Bonacich1987" /><ref name="Benzi2013">{{cite journal | last1=Benzi | first1=Michele | last2=Klymko| first2=Christine | year=2013 |title= विभिन्न केंद्रीयता उपायों का एक मैट्रिक्स विश्लेषण|arxiv=1312.6722 | doi=10.1137/130950550 | volume=36 | issue=2 | journal=SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications | pages=686–706| s2cid=7088515 }}</ref> अन्य केंद्रीयता उपाय, जैसे मध्यनेस की केंद्रीयता न केवल समग्र कनेक्टिविटी पर ध्यान केंद्रित करती है, बल्कि उन स्थितियों पर ध्यान केंद्रित करती है, जो नेटवर्क की कनेक्टिविटी के लिए महत्वपूर्ण होते हैं।

===नेटवर्क प्रवाह द्वारा ~~फीचर ा~~===

===नेटवर्क प्रवाह द्वारा कैरिक्टरिज़ेशन===

नेटवर्क को पथ का विवरण माना जा सकता है जिनके साथ कुछ प्रवाह होता है। यह प्रवाह के प्रकार और केंद्रीयता द्वारा एन्कोड किए गए पथ प्रकार के आधार पर लक्षण वर्णन की अनुमति देता है और इस प्रकार प्रवाह स्थानांतरण पर आधारित हो सकता है, जहां प्रत्येक अविभाज्य वस्तु एक नोड से दूसरे नोड में जाती है, जैसे पैकेज डिलीवरी साइट से ग्राहक के घर तक जाती है। दूसरी स्थिति क्रमिक दोहराव के रूप में होती है, जिसमें एक आइटम को दोहराया जाता है जिससे कि स्रोत और लक्ष्य दोनों के पास वह हो सकती है। इसका एक उदाहरण गॉसिप के माध्यम से सूचना का प्रसार किया जाता है, जिसमें सूचना को निजी तरीके से प्रचारित किया जाता है और प्रक्रिया के अंत में स्रोत और लक्ष्य नोड्स दोनों को सूचित किया जाता है। अंतिम विषय समानांतर दोहराव के रूप में होता है, जिसमें आइटम को एक ही समय में कई लिंक पर डुप्लिकेट किया जाता है, जैसे एक रेडियो प्रसारण जो एक ही समय में कई श्रोताओं को एक ही जानकारी प्रदान करता है।<ref name=Borgatti2005/>

इसी तरह, पथ के प्रकार को दूरी (ग्राफ़ सिद्धांत) के सबसे छोटे पथ पर बाध्य किया जा सकता है इससे अधिक बार किसी भी शीर्ष पर एक से अधिक बार निरीक्षण नहीं किया जा सकता है और इस प्रकार ग्राफ़ सिद्धांत के शब्दों की शब्दावली शीर्षों पर कई बार जाया जा सकता है, किसी भी किनारे को एक से अधिक बार पार नहीं किया जाता है या ग्राफ़ सिद्धांत शब्दों की शब्दावली वॉक शीर्षों और किनारों पर अनेक बार देखा और पार किया जा सकता है।<ref name=Borgatti2005/>

===वॉक संरचना द्वारा ~~लक्षण वर्णन~~===

===वॉक संरचना द्वारा कैरिक्टरिज़ेशन===

वैकल्पिक वर्गीकरण इस बात से प्राप्त किया जा सकता है कि केंद्रीयता का निर्माण कैसे किया जाता है। यह पुनः दो वर्गों में विभाजित हो जाता है। केन्द्रीयताएँ या तो रेडियल या औसत दर्जे की होती हैं। रेडियल केन्द्रीयताएँ उन वॉक की गिनती करती हैं जो दिए गए शीर्ष से ~~शुरू~~ या समाप्ति होती हैं। डिग्री केंद्रीयता और अभिलक्षणिक मान केंद्रीयताएं रेडियल केंद्रीयता के उदाहरण हैं और इस प्रकार रेडियल केंद्रीयताएं लंबाई अनन्तता क्षेत्र की संख्या की गणना मध्यवर्ती केंद्रता में दूरी की गणना होती है। जो दिए गए शीर्ष से होकर गुजरती हैं। इसका कैनोनिकल उदाहरण है और इस प्रकार फ्रीमैन की मध्यवर्ती केंद्रीयता है और दिए गए शीर्ष से गुजरने वाले सबसे छोटे रास्तों की संख्या के रूप में होता है।<ref name=Borgatti2006/>

वैकल्पिक वर्गीकरण इस बात से प्राप्त किया जा सकता है कि केंद्रीयता का निर्माण कैसे किया जाता है। यह पुनः दो वर्गों में विभाजित हो जाता है। केन्द्रीयताएँ या तो रेडियल या औसत दर्जे की होती हैं। रेडियल केन्द्रीयताएँ उन वॉक की गिनती करती हैं जो दिए गए शीर्ष से प्रारंभ या समाप्ति होती हैं। डिग्री केंद्रीयता और अभिलक्षणिक मान केंद्रीयताएं रेडियल केंद्रीयता के उदाहरण हैं और इस प्रकार रेडियल केंद्रीयताएं लंबाई अनन्तता क्षेत्र की संख्या की गणना मध्यवर्ती केंद्रता में दूरी की गणना होती है। जो दिए गए शीर्ष से होकर गुजरती हैं। इसका कैनोनिकल उदाहरण है और इस प्रकार फ्रीमैन की मध्यवर्ती केंद्रीयता है और दिए गए शीर्ष से गुजरने वाले सबसे छोटे रास्तों की संख्या के रूप में होता है।<ref name=Borgatti2006/>

इसी तरह, गिनती या तो वॉक की मात्रा या लंबाई को कैप्चर कर सकती है। वॉल्यूम दिए गए प्रकार के वॉक की कुल संख्या होती है। पिछले पैराग्राफ के तीन उदाहरण इस श्रेणी में आते हैं। इस प्रकार लंबाई ग्राफ़ में दिए गए शीर्ष से शेष शीर्ष तक की दूरी को दर्शाती है। जिससे निकटता केंद्रीयता किसी दिए गए शीर्ष से अन्य सभी शीर्षों तक की कुल भूभौतिकी दूरी का सबसे अच्छा ज्ञात उदाहरण है।<ref name=Borgatti2006/> ध्यान दें कि यह वर्गीकरण गिने जाने वाले वॉक के प्रकार से स्वतंत्र है अर्थात वॉक, ट्रेल, पगडंडी, पथ, जियोडेसिक के रूप में होते है।

बोर्गट्टी और एवरेट का प्रस्ताव है कि यह टाइपोलॉजी केंद्रीयता मापन की तुलना करने के सर्वोत्तम तरीके के बारे में अंतर्दृष्टि प्रदान करती है। इस 2×2 वर्गीकरण में एक ही बॉक्स में रखी गई केन्द्रीयताएँ प्रशंसनीय विकल्प बनाने के लिए पर्याप्त समान हैं और इस प्रकार कोई भी उचित रूप से तुलना कर सकता है कि किसी दिए गए एप्लिकेशन के लिए कौन सा अच्छा है। चूंकि, विभिन्न बक्सों के माप स्पष्ट रूप से भिन्न होते हैं। जबकि सापेक्ष फिटनेस का कोई भी मूल्यांकन केवल पूर्व निर्धारित करने के संदर्भ में हो सकता है कि कौन सी श्रेणी अधिक प्रयुक्त है, जिससे तुलना विवादास्पद रूप में हो सकती है।<ref name=Borgatti2006/>

===रेडियल-वॉल्यूम केंद्रीयताएं स्पेक्ट्रम पर ~~मौजूद~~ होती हैं===

===रेडियल-वॉल्यूम केंद्रीयताएं स्पेक्ट्रम पर उपस्थित होती हैं===

वॉक संरचना द्वारा कैरिक्टरिज़ेशन से पता चलता है कि व्यापक उपयोग में लगभग सभी केंद्रीयताएं रेडियल-वॉल्यूम माप के रूप में होती है। ये इस बिलीफ को कूटबद्ध करते हैं कि एक शीर्ष की केंद्रीयता उन शीर्षों की केंद्रीयता का एक कार्य है जिनके साथ यह जुड़ा हुआ होता है। केंद्रीयताएं खुद को भिन्न करती हैं कि एसोसिएशन कैसे परिभाषित किया जाता है।

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[[File:Game-theoretic centrality.png|खेल-सैद्धांतिक केंद्रीयता का उदाहरण]]

उदाहरण के लिए, किसी महामारी को रोकने की समस्या पर विचार करते है और इस प्रकार नेटवर्क की उपरोक्त छवि को देखते हुए हमें इन नोड्स का टीकाकरण करना होता है और जबकि पहले वर्णित मापन के आधार पर हम उन नोड्स की पहचान करते हैं। जो डिजीज फैलाने में सबसे महत्वपूर्ण होते है। केवल केंद्रीयताओं पर आधारित दृष्टिकोण जो नोड्स की व्यक्तिगत फीचर पर ध्यान केंद्रित करता है, यह एक अच्छा विचार नहीं हो सकता है। लाल वर्ग में नोड्स, व्यक्तिगत रूप से बीमारी को फैलने से नहीं रोक सकते हैं, लेकिन उन्हें एक समूह के रूप में विचार करने पर हम स्पष्ट रूप से देखते हैं कि यदि नोड्स में डिजीज ~~शुरू~~ हो गई है तो वे डिजीज को रोक सकते हैं। इस प्रकार <math>v_1</math>, <math>v_4</math>, और <math>v_5</math>. गेम-सैद्धांतिक केंद्रीयताएं गेम-थ्योरी के टूल का उपयोग करके वर्णित समस्याओं और अपॉर्चुनिटी से परामर्श करने का प्रयास करती हैं और इस प्रकार प्रस्तावित दृष्टिकोण <ref>Michalak, Aadithya, Szczepański, Ravindran, & Jennings {{ArXiv|1402.0567}}</ref> शैप्ले मान का उपयोग करता है। [[शेपली मूल्य]] गणना की समय सम्मिश्र कठोरता के कारण होता है, इस डोमेन में अधिकांश प्रयास नवीन कलनविधि और विधियो को प्रयुक्त करने में प्रेरित होते हैं, जो नेटवर्क की एक विशिष्ट टोपोलॉजी या समस्या के एक विशेष करैक्टर पर निर्भर करते हैं। इस तरह के दृष्टिकोण से समय सम्मिश्र को घातांक से बहुपद तक कम करने में मदद मिलती है।

उदाहरण के लिए, किसी महामारी को रोकने की समस्या पर विचार करते है और इस प्रकार नेटवर्क की उपरोक्त छवि को देखते हुए हमें इन नोड्स का टीकाकरण करना होता है और जबकि पहले वर्णित मापन के आधार पर हम उन नोड्स की पहचान करते हैं। जो डिजीज फैलाने में सबसे महत्वपूर्ण होते है। केवल केंद्रीयताओं पर आधारित दृष्टिकोण जो नोड्स की व्यक्तिगत फीचर पर ध्यान केंद्रित करता है, यह एक अच्छा विचार नहीं हो सकता है। लाल वर्ग में नोड्स, व्यक्तिगत रूप से बीमारी को फैलने से नहीं रोक सकते हैं, लेकिन उन्हें एक समूह के रूप में विचार करने पर हम स्पष्ट रूप से देखते हैं कि यदि नोड्स में डिजीज प्रारंभ हो गई है तो वे डिजीज को रोक सकते हैं। इस प्रकार <math>v_1</math>, <math>v_4</math>, और <math>v_5</math>. गेम-सैद्धांतिक केंद्रीयताएं गेम-थ्योरी के टूल का उपयोग करके वर्णित समस्याओं और अपॉर्चुनिटी से परामर्श करने का प्रयास करती हैं और इस प्रकार प्रस्तावित दृष्टिकोण <ref>Michalak, Aadithya, Szczepański, Ravindran, & Jennings {{ArXiv|1402.0567}}</ref> शैप्ले मान का उपयोग करता है। [[शेपली मूल्य]] गणना की समय सम्मिश्र कठोरता के कारण होता है, इस डोमेन में अधिकांश प्रयास नवीन कलनविधि और विधियो को प्रयुक्त करने में प्रेरित होते हैं, जो नेटवर्क की एक विशिष्ट टोपोलॉजी या समस्या के एक विशेष करैक्टर पर निर्भर करते हैं। इस तरह के दृष्टिकोण से समय सम्मिश्र को घातांक से बहुपद तक कम करने में मदद मिलती है।

इसी प्रकार, समाधान अवधारणा प्राधिकरण वितरण (<ref>{{cite journal |last1=Hu |first1=Xingwei |first2=Lloyd |last2=Shapley |title=संगठनों में प्राधिकरण वितरण पर|journal=Games and Economic Behavior |volume=45 |pages=132–170 |year=2003 | doi = 10.1016/s0899-8256(03)00130-1 }}</ref>) खिलाड़ियों के बीच द्विपक्षीय प्रत्यक्ष प्रभाव को मापने के लिए शेपली मूल्य के अतिरिक्त [[शेपली-शुबिक पावर इंडेक्स]] प्रयुक्त करता है। वितरण वास्तव में एक प्रकार की अभिलक्षणिक मान केंद्रीयता के रूप में है। इसका उपयोग (2020) में बड़े डेटा ऑब्जेक्ट को सॉर्ट करने के लिए किया जाता है।<ref>{{cite journal|last=Hu|first=Xingwei|year=2020|volume=7|title=कॉलेज रैंकिंग के अनुप्रयोग के साथ प्रकट प्राथमिकता के आधार पर बड़े डेटा को क्रमबद्ध करना|journal=Journal of Big Data|doi=10.1186/s40537-020-00300-1| arxiv=2003.12198|doi-access=free}}</ref> जैसे कि अमेरिकी कॉलेजों की रैंकिंग इत्यादि में होता है ।

==महत्वपूर्ण सीमाएँ==

केंद्रीयता सूचकांकों की दो महत्वपूर्ण सीमाएँ ~~हैं~~, एक स्पष्ट और दूसरी ~~सूक्ष्म। स्पष्ट~~ सीमा यह है कि एक केंद्रीयता जो एक अनुप्रयोग के लिए इष्टतम है, ~~अक्सर~~ एक भिन्न अनुप्रयोग के लिए उप-इष्टतम होती ~~है। दरअसल, अगर~~ ऐसा नहीं होता, तो हमें इतनी सारी भिन्न -भिन्न केंद्रीयताओं की आवश्यकता नहीं होती। इस घटना का एक उदाहरण [[क्रैकहार्ट पतंग ग्राफ]] द्वारा प्रदान किया ~~गया~~ है, जिसके लिए केंद्रीयता की तीन भिन्न -भिन्न धारणाएं सबसे केंद्रीय शीर्ष के तीन भिन्न -भिन्न विकल्प देती हैं।<ref>{{cite journal|title=Assessing the Political Landscape: Structure, Cognition, and Power in Organizations|first=David|last=Krackhardt|author-link=David Krackhardt|journal=Administrative Science Quarterly|volume=35|issue=2|date=June 1990|pages=342–369|doi=10.2307/2393394|jstor=2393394}}</ref>

केंद्रीयता सूचकांकों की दो महत्वपूर्ण सीमाएँ होती है, एक स्पष्ट और दूसरी सूक्ष्म सीमा यह है कि एक केंद्रीयता जो एक अनुप्रयोग के लिए इष्टतम रूप में होती है, इस प्रकार अधिकांशतः एक भिन्न अनुप्रयोग के लिए उप-इष्टतम होती है और इस प्रकार यदि ऐसा नहीं होता है तो हमें इतनी सारी भिन्न -भिन्न केंद्रीयताओं की आवश्यकता नहीं होती। इस घटना का एक उदाहरण [[क्रैकहार्ट पतंग ग्राफ|क्रैकहार्ट काईट ग्राफ]] द्वारा प्रदान किया जाता है, जिसके लिए केंद्रीयता की तीन भिन्न -भिन्न धारणाएं सबसे केंद्रीय शीर्ष के तीन भिन्न -भिन्न विकल्प देती हैं।<ref>{{cite journal|title=Assessing the Political Landscape: Structure, Cognition, and Power in Organizations|first=David|last=Krackhardt|author-link=David Krackhardt|journal=Administrative Science Quarterly|volume=35|issue=2|date=June 1990|pages=342–369|doi=10.2307/2393394|jstor=2393394}}</ref>

अधिक सूक्ष्म सीमा आम तौर पर मानी जाने वाली भ्रांति है कि शीर्ष केंद्रीयता शीर्षों के सापेक्ष महत्व को इंगित करती है। केंद्रीयता सूचकांक स्पष्ट रूप से एक रैंकिंग उत्पन्न करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं जो सबसे महत्वपूर्ण शीर्षों के संकेत की अनुमति देता है।<ref name=Bonacich1987/><ref name=Borgatti2005/>यह वे अभी बताई गई सीमा के अनुसार अच्छा करते हैं। वे सामान्य रूप से नोड्स के प्रभाव को मापने के लिए डिज़ाइन नहीं किए गए हैं। हाल ही में, नेटवर्क भौतिकविदों ने इस समस्या के समाधान के लिए नोड प्रभाव मेट्रिक्स विकसित करना शुरू कर दिया है।

~~त्रुटि दोतरफा है. सबसे पहले, रैंकिंग केवल महत्व~~ के ~~आधार पर शीर्षों को क्रमित करती~~ है~~, यह रैंकिंग के विभिन्न स्तरों~~ के ~~बीच~~ महत्व ~~के अंतर~~ को ~~निर्धारित नहीं~~ करती है। ~~प्रश्न में~~ केंद्रीयता ~~माप~~ के लिए ~~#फ्रीमैन केंद्रीकरण को प्रयुक्त करके इसे कम किया जा सकता है,~~ जो ~~उनके केंद्रीकरण स्कोर~~ के अंतर के आधार पर नोड्स के महत्व के बारे में कुछ जानकारी प्रदान करता है। इसके अलावा, फ्रीमैन केंद्रीकरण किसी को उनके उच्चतम केंद्रीकरण स्कोर की तुलना करके कई नेटवर्क की ~~तुलना करने में सक्षम बनाता~~ है।<ref name="~~Freeman1979~~"/>~~चूंकि ,~~ यह ~~दृष्टिकोण व्यवहार~~ में ~~कम ही देखा जाता~~ है।{{citation needed|reason=I've come across quite some theoretical studies that indicate otherwise. My suggestion is to remove this sentence, if reasonable citation is not provided.|date=September 2015}}

अतिसूक्ष्म सीमा सामान्यतः मानी जाने वाली भ्रांति के रूप में होती है और शीर्ष केंद्रीयता के सापेक्ष महत्व को इंगित करती है। केंद्रीयता सूचकांक विशेष रूप से एक रैंकिंग उत्पन्न करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं जो सबसे महत्वपूर्ण शीर्षों के संकेत की अनुमति देता है।<ref name="Bonacich1987" /><ref name="Borgatti2005" /> यह इस प्रकार बताई गई सीमा के अनुसार अच्छा करते हैं। वे सामान्य रूप से नोड्स के प्रभाव को मापने के लिए डिज़ाइन नहीं किए गए हैं। वर्तमान में, नेटवर्क भौतिकविदों ने इस समस्या के समाधान के लिए नोड प्रभाव आव्यूह विकसित करना प्रारंभ कर देते है।

~~दूसरे, जो फीचर (सही ढंग से) किसी दिए गए नेटवर्क/एप्लिकेशन में~~ सबसे ~~महत्वपूर्ण~~ शीर्षों ~~की पहचान~~ करती ~~हैं~~, ~~वे आवश्यक रूप से शेष शीर्षों~~ के ~~लिए सामान्यीकृत~~ नहीं ~~होती हैं।~~

एरर दो तरफा है और सबसे पहले रैंकिंग केवल महत्व के आधार पर शीर्षों को क्रमित करती है, यह रैंकिंग के विभिन्न स्तरों के बीच महत्व के अंतर को निर्धारित नहीं करती है। प्रश्न में केंद्रीयता माप के लिए फ्रीमैन केंद्रीकरण को प्रयुक्त करके इसे कम किया जा सकता है, जो उनके केंद्रीकरण स्कोर के अंतर के आधार पर नोड्स के महत्व के बारे में कुछ जानकारी प्रदान करता है। इसके अतिरिक्त फ्रीमैन केंद्रीकरण किसी को उनके उच्चतम केंद्रीकरण स्कोर की तुलना करके कई नेटवर्क की तुलना करने में सक्षम बनाता है।<ref name="Freeman1979" />चूंकि, यह दृष्टिकोण व्यवहार में शायद कम ही देखा जाता है।

~~अधिकांश अन्य नेटवर्क नोड्स~~ के लिए रैंकिंग अर्थहीन हो सकती है।<ref name="Lawyer2015" /><ref name="daSilva2012">{{cite journal | last1=da Silva|first1=Renato |last2=Viana|first2=Matheus|last3=da F. Costa |first3=Luciano| title=प्रसारकों की व्यक्तिगत विशेषताओं से महामारी फैलने की भविष्यवाणी करना| journal=J. Stat. Mech.: Theory Exp. | year=2012|volume=2012|pages=P07005|number=7 | doi=10.1088/1742-5468/2012/07/p07005|arxiv=1202.0024|bibcode=2012JSMTE..07..005A|s2cid=2530998 }}</ref><ref name="Bauer2012">{{cite journal | last1=Bauer|first1=Frank | last2=Lizier|first2=Joseph|title=Identifying influential spreaders and efficiently estimating infection numbers in epidemic models: A walk counting approach| journal=Europhys Lett | year=2012| volume=99| pages=68007|number=6 | doi=10.1209/0295-5075/99/68007|arxiv=1203.0502|bibcode=2012EL.....9968007B|s2cid=9728486 }}</ref><ref name="Sikic2013">{{ cite journal| last1= Sikic| first1=Mile|last2=Lancic|first2=Alen|last3=Antulov-Fantulin|first3=Nino|last4=Stefanic|first4=Hrvoje| title = Epidemic centrality -- is there an underestimated epidemic impact of network peripheral nodes? |journal = The European Physical Journal B |volume=86 |number=10 |pages=1–13 |year=2013 | doi=10.1140/epjb/e2013-31025-5|arxiv=1110.2558 | bibcode=2013EPJB...86..440S| s2cid=12052238}}</ref> यह बताता है कि, ~~उदाहरण~~ के ~~लिए, Google छवि खोज~~ के ~~केवल पहले~~ कुछ ~~परिणाम ही उचित क्रम~~ में क्यों दिखाई देते हैं। पेजरैंक एक अत्यधिक अस्थिर माप है, जो जंप पैरामीटर के छोटे समायोजन के बाद लगातार रैंक उलटफेर दिखाता है।<ref name="~~Ghoshal2011~~">{{cite journal | last1=Ghoshal | first1= G. | last2= Barabsi |first2= A L | title = जटिल नेटवर्क में रैंकिंग स्थिरता और सुपर-स्थिर नोड्स।| journal = Nat Commun | volume =2 | page = 394| year= 2011 | doi=10.1038/~~ncomms1396 | pmid= 21772265 | bibcode=2011NatCo...2..394G | doi-access= free }}</ref~~>

चूंकि शेष नेटवर्क के लिए केंद्रीयता सूचकांकों को सामान्यीकृत करने में विफलता पहली बार में प्रति-सहज ज्ञान युक्त लग सकती है, यह ~~उपरोक्त परिभाषाओं से सीधे अनुसरण करती है।~~

~~सम्मिश्र नेटवर्क~~ में ~~विषम टोपोलॉजी होती~~ है। इस हद तक कि इष्टतम माप सबसे महत्वपूर्ण शीर्षों की नेटवर्क संरचना पर निर्भर करता है, एक माप जो ऐसे शीर्षों के लिए इष्टतम है, नेटवर्क के शेष भाग के लिए उप-इष्टतम है।<ref name="Lawyer2015">{{cite journal |last1= Lawyer |first1= Glenn |year= 2015 |title= Understanding the spreading power of all nodes in a network: a continuous-time perspective |journal=Sci Rep |volume=5|pages=8665|doi=10.1038/srep08665 |pmid=25727453 |pmc=4345333|arxiv=1405.6707|bibcode=2015NatSR...5E8665L}}</ref>

दूसरे, जो फीचर सही ढंग से किसी दिए गए नेटवर्क एप्लिकेशन में सबसे महत्वपूर्ण शीर्षों की पहचान करती हैं और इस प्रकार वे आवश्यक रूप से शेष शीर्षों के लिए सामान्यीकृत नहीं होती हैं। अधिकांश अन्य नेटवर्क नोड्स के लिए रैंकिंग अर्थहीन रूप में होती है।<ref name="Lawyer2015" /><ref name="daSilva2012">{{cite journal | last1=da Silva|first1=Renato |last2=Viana|first2=Matheus|last3=da F. Costa |first3=Luciano| title=प्रसारकों की व्यक्तिगत विशेषताओं से महामारी फैलने की भविष्यवाणी करना| journal=J. Stat. Mech.: Theory Exp. | year=2012|volume=2012|pages=P07005|number=7 | doi=10.1088/1742-5468/2012/07/p07005|arxiv=1202.0024|bibcode=2012JSMTE..07..005A|s2cid=2530998 }}</ref><ref name="Bauer2012">{{cite journal | last1=Bauer|first1=Frank | last2=Lizier|first2=Joseph|title=Identifying influential spreaders and efficiently estimating infection numbers in epidemic models: A walk counting approach| journal=Europhys Lett | year=2012| volume=99| pages=68007|number=6 | doi=10.1209/0295-5075/99/68007|arxiv=1203.0502|bibcode=2012EL.....9968007B|s2cid=9728486 }}</ref><ref name="Sikic2013">{{cite journal| last1= Sikic| first1=Mile|last2=Lancic|first2=Alen|last3=Antulov-Fantulin|first3=Nino|last4=Stefanic|first4=Hrvoje| title = Epidemic centrality -- is there an underestimated epidemic impact of network peripheral nodes? |journal = The European Physical Journal B |volume=86 |number=10 |pages=1–13 |year=2013 | doi=10.1140/epjb/e2013-31025-5|arxiv=1110.2558 | bibcode=2013EPJB...86..440S| s2cid=12052238}}</ref> यह बताता है कि उदाहरण के लिए गूगल छवि खोज के केवल पहले कुछ परिणाम ही उचित क्रम में दिखाई देते हैं। पेजरैंक एक अत्यधिक अस्थिर माप है, जो जंप पैरामीटर के छोटे समायोजन के बाद लगातार रैंक उलटफेर दिखाता है।<ref name="Ghoshal2011">{{cite journal | last1=Ghoshal | first1= G. | last2= Barabsi |first2= A L | title = जटिल नेटवर्क में रैंकिंग स्थिरता और सुपर-स्थिर नोड्स।| journal = Nat Commun | volume =2 | page = 394| year= 2011 | doi=10.1038/ncomms1396 | pmid= 21772265 | bibcode=2011NatCo...2..394G | doi-access= free }}</ref>

चूंकि, शेष नेटवर्क के लिए केंद्रीयता सूचकांकों को सामान्यीकृत करने में विफलता पहली बार में प्रति-सहज ज्ञान युक्त लगती है, यह उपरोक्त परिभाषाओं के रूप में सीधे अनुसरण करती है। सम्मिश्र नेटवर्क में विषम टोपोलॉजी होती है। इस सीमा तक कि इष्टतम माप सबसे महत्वपूर्ण शीर्षों की नेटवर्क संरचना पर निर्भर करता है, जबकि माप जो ऐसे शीर्षों के लिए इष्टतम नेटवर्क के शेष भाग के लिए उप-इष्टतम होता है।<ref name="Lawyer2015">{{cite journal |last1= Lawyer |first1= Glenn |year= 2015 |title= Understanding the spreading power of all nodes in a network: a continuous-time perspective |journal=Sci Rep |volume=5|pages=8665|doi=10.1038/srep08665 |pmid=25727453 |pmc=4345333|arxiv=1405.6707|bibcode=2015NatSR...5E8665L}}</ref>

==डिग्री केंद्रीयता==

[[File:Wp-01.png|thumb|505x505px|ए) बिटवीननेस केंद्रीयता, बी) [[निकटता केंद्रीयता]], सी) अभिलक्षणिक मान केंद्रीयता, डी) [[डिग्री केंद्रीयता]], ई) #हार्मोनिक केंद्रीयता और एफ) एक ही यादृच्छिक ज्यामितीय ग्राफ की [[काट्ज़ केंद्रीयता]] के उदाहरण।]]ऐतिहासिक रूप से पहला और संकल्पनात्मक रूप से सबसे सरल [[डिग्री]] केंद्रीयता है, जिसे एक नोड पर घटने वाले लिंक की संख्या (यानी, एक नोड में मौजूद संबंधों की संख्या) के रूप में परिभाषित किया गया है। नेटवर्क के माध्यम से जो कुछ भी प्रवाहित हो रहा है (जैसे वायरस, या कुछ जानकारी) उसे पकड़ने के लिए नोड के तत्काल जोखिम के संदर्भ में डिग्री की व्याख्या की जा सकती है। एक निर्देशित नेटवर्क (जहां संबंधों की दिशा होती है) के मामले में, हम ~~आम तौर पर~~ डिग्री केंद्रीयता के दो भिन्न -भिन्न मापन को परिभाषित करते हैं, अर्थात् इंडिग्री और [[आउटडिग्री]]। तदनुसार, इंडिग्री नोड को निर्देशित संबंधों की संख्या की गणना है और आउटडिग्री उन संबंधों की संख्या है जो नोड दूसरों को निर्देशित करता है। जब संबंध दोस्ती या सहयोग जैसे कुछ सकारात्मक पहलुओं से जुड़े होते हैं, तो इंडिग्री को ~~अक्सर~~ लोकप्रियता के रूप में और आउटडिग्री को मिलनसारिता के रूप में व्याख्यायित किया जाता है।

[[File:Wp-01.png|thumb|505x505px|ए) बिटवीननेस केंद्रीयता, बी) [[निकटता केंद्रीयता]], सी) अभिलक्षणिक मान केंद्रीयता, डी) [[डिग्री केंद्रीयता]], ई) #हार्मोनिक केंद्रीयता और एफ) एक ही यादृच्छिक ज्यामितीय ग्राफ की [[काट्ज़ केंद्रीयता]] के उदाहरण।]]ऐतिहासिक रूप से पहला और संकल्पनात्मक रूप से सबसे सरल [[डिग्री]] केंद्रीयता है, जिसे एक नोड पर घटने वाले लिंक की संख्या (यानी, एक नोड में मौजूद संबंधों की संख्या) के रूप में परिभाषित किया गया है। नेटवर्क के माध्यम से जो कुछ भी प्रवाहित हो रहा है (जैसे वायरस, या कुछ जानकारी) उसे पकड़ने के लिए नोड के तत्काल जोखिम के संदर्भ में डिग्री की व्याख्या की जा सकती है। एक निर्देशित नेटवर्क (जहां संबंधों की दिशा होती है) के मामले में, हम सामान्यतः डिग्री केंद्रीयता के दो भिन्न -भिन्न मापन को परिभाषित करते हैं, अर्थात् इंडिग्री और [[आउटडिग्री]]। तदनुसार, इंडिग्री नोड को निर्देशित संबंधों की संख्या की गणना है और आउटडिग्री उन संबंधों की संख्या है जो नोड दूसरों को निर्देशित करता है। जब संबंध दोस्ती या सहयोग जैसे कुछ सकारात्मक पहलुओं से जुड़े होते हैं, तो इंडिग्री को अधिकांशतः लोकप्रियता के रूप में और आउटडिग्री को मिलनसारिता के रूप में व्याख्यायित किया जाता है।

एक शीर्ष की डिग्री केंद्रीयता <math>v</math>, किसी दिए गए ग्राफ़ के लिए <math>G:=(V,E)</math> साथ <math>|V|</math> शिखर और <math>|E|</math> किनारों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

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तो, किसी भी ग्राफ़ के लिए <math>G:=(V,E),</math>

:<math>C_D(G)= \frac{\sum^{|V|}_{i=1} [C_D(v*)-C_D(v_i)] }{|V|^2-3|V|+2}</math>

इसके ~~अलावा~~, डिग्री केंद्रीयता के लिए टेंडेंसी टू मेक हब (टीएमएच) नाम का एक नया व्यापक वैश्विक उपाय इस प्रकार परिभाषित करता है: <ref name= 10.1038/s41598-021-81767-7 />

इसके अतिरिक्त , डिग्री केंद्रीयता के लिए टेंडेंसी टू मेक हब (टीएमएच) नाम का एक नया व्यापक वैश्विक उपाय इस प्रकार परिभाषित करता है: <ref name= 10.1038/s41598-021-81767-7 />

:<math>\text{TMH} = \frac{\sum^{|V|}_{i=1} \deg(v)^2 }{\sum^{|V|}_{i=1} \deg(v) }</math>

जहां नेटवर्क में डिग्री केंद्रीयता की उपस्थिति से टीएमएच बढ़ता है।

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कहाँ <math>\sigma_{st}</math> नोड से सबसे छोटे पथों की कुल संख्या है <math>s</math> नोड करने के लिए <math>t</math> और <math>\sigma_{st}(v)</math> उन पथों की संख्या है जो गुजरते हैं <math>v</math>. बीच की स्थिति को v सहित शीर्षों के जोड़े की संख्या से विभाजित करके सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो [[डिग्राफ (गणित)]] के लिए है <math>(n-1)(n-2)</math> और अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के लिए है <math>(n-1)(n-2)/2</math>. उदाहरण के लिए, एक अप्रत्यक्ष स्टार (ग्राफ सिद्धांत) में, केंद्र शीर्ष (जो हर संभव सबसे छोटे पथ में समाहित है) के बीच की दूरी होगी <math>(n-1)(n-2)/2</math> (1, यदि सामान्यीकृत किया जाता है) जबकि पत्तियों (जो किसी भी सबसे छोटे पथ में समाहित नहीं हैं) के बीच 0 का अंतर होगा।

गणना के पहलू से, एक ग्राफ़ में सभी शीर्षों की बीच और निकटता दोनों केंद्रीयताओं में एक ग्राफ़ पर सभी शीर्षों के जोड़े के बीच सबसे छोटे पथ की गणना सम्मलित होती है, जिसके लिए बिग ओ नोटेशन की आवश्यकता होती है।<math>O(V^3)</math>फ़्लॉइड-वॉर्शल एल्गोरिथम के साथ समय। चूंकि , विरल ग्राफ़ पर, जॉनसन का कलन विधि बिग ओ नोटेशन लेते हुए अधिक कुशल हो सकता है<math>O(V^2 \log V + V E)</math>समय। अभारित ग्राफ़ के मामले में गणना ब्रैंड्स एल्गोरिथम के साथ की जा सकती है<ref name=brandes/>जो बिग ओ नोटेशन लेता है|<math>O(V E)</math>समय। ~~आम तौर पर~~, ये कलन विधि मानते हैं कि ग्राफ़ अप्रत्यक्ष हैं और लूप और एकाधिक किनारों के भत्ते से जुड़े हुए हैं। विशेष रूप से नेटवर्क ग्राफ़ के साथ काम करते समय, सरल संबंध बनाए रखने के लिए ~~अक्सर~~ ग्राफ़ लूप या एकाधिक किनारों के बिना होते हैं (जहां किनारे दो लोगों या शीर्षों के बीच कनेक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं)। इस मामले में, ब्रैंड्स के कलन विधि का उपयोग करके प्रत्येक सबसे छोटे पथ को दो बार गिना जाने के लिए अंतिम केंद्रीयता स्कोर को 2 से विभाजित किया जाएगा।<ref name="brandes" />

गणना के पहलू से, एक ग्राफ़ में सभी शीर्षों की बीच और निकटता दोनों केंद्रीयताओं में एक ग्राफ़ पर सभी शीर्षों के जोड़े के बीच सबसे छोटे पथ की गणना सम्मलित होती है, जिसके लिए बिग ओ नोटेशन की आवश्यकता होती है।<math>O(V^3)</math>फ़्लॉइड-वॉर्शल एल्गोरिथम के साथ समय। चूंकि , विरल ग्राफ़ पर, जॉनसन का कलन विधि बिग ओ नोटेशन लेते हुए अधिक कुशल हो सकता है<math>O(V^2 \log V + V E)</math>समय। अभारित ग्राफ़ के मामले में गणना ब्रैंड्स एल्गोरिथम के साथ की जा सकती है<ref name=brandes/>जो बिग ओ नोटेशन लेता है|<math>O(V E)</math>समय। सामान्यतः , ये कलन विधि मानते हैं कि ग्राफ़ अप्रत्यक्ष हैं और लूप और एकाधिक किनारों के भत्ते से जुड़े हुए हैं। विशेष रूप से नेटवर्क ग्राफ़ के साथ काम करते समय, सरल संबंध बनाए रखने के लिए अधिकांशतः ग्राफ़ लूप या एकाधिक किनारों के बिना होते हैं (जहां किनारे दो लोगों या शीर्षों के बीच कनेक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं)। इस मामले में, ब्रैंड्स के कलन विधि का उपयोग करके प्रत्येक सबसे छोटे पथ को दो बार गिना जाने के लिए अंतिम केंद्रीयता स्कोर को 2 से विभाजित किया जाएगा।<ref name="brandes" />

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:<math>\mathbf{Ax} = {\lambda}\mathbf{x}</math>

सामान्य तौर पर, कई भिन्न -भिन्न स्वदेशी मूल्य होंगे <math>\lambda</math> जिसके लिए एक गैर-शून्य अभिलक्षणिक मान समाधान मौजूद है। चूँकि आसन्न आव्यूह में प्रविष्टियाँ गैर-नकारात्मक हैं, पेरोन-फ्रोबेनियस प्रमेय द्वारा एक अद्वितीय सबसे बड़ा आइगेनवैल्यू है, जो वास्तविक और सकारात्मक है। इस सबसे बड़े eigenvalue के परिणामस्वरूप वांछित केंद्रीयता माप प्राप्त होता है।<ref>{{cite journal | author = M. E. J. Newman | title = नेटवर्क का गणित| url = http://www-personal.umich.edu/~mejn/papers/palgrave.pdf | access-date = 2006-11-09 | archive-date = 2021-01-22 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210122220704/http://www-personal.umich.edu/~mejn/papers/palgrave.pdf | url-status = live }}</ref> <math>v^{th}</math> h> संबंधित eigenvector का घटक फिर शीर्ष का सापेक्ष केंद्रीयता स्कोर देता है <math>v</math> नेटवर्क में. आइजेनवेक्टर को केवल एक सामान्य कारक तक परिभाषित किया गया है, इसलिए केवल शीर्षों की केंद्रीयताओं के अनुपात को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है। निरपेक्ष स्कोर को परिभाषित करने के लिए किसी को आइजनवेक्टर को सामान्य करना होगा, उदाहरण के लिए, जैसे कि सभी शीर्षों का योग 1 या शीर्षों की कुल संख्या n हो। पावर पुनरावृत्ति कई [[eigenvalue एल्गोरिथ्म]] में से एक है जिसका उपयोग इस प्रमुख आइजेनवेक्टर को खोजने के लिए किया जा सकता है।<ref name="ams" />इसके ~~अलावा~~, इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि ए में प्रविष्टियां कनेक्शन की ताकत का �

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केन्द्रीयता: Difference between revisions

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 [[ग्राफ सिद्धांत]] और [[नेटवर्क सिद्धांत|केंद्रीयता]] के नेटवर्क विश्लेषण सूचक ग्राफ के भीतर अपनी नेटवर्क स्थिति के अनुरूप नोड्स को संख्या या रैंकिंग के रूप में निर्दिष्ट करते हैं। जबकि अनुप्रयोगों में [[सामाजिक नेटवर्क|सोशल नेटवर्क]] में सबसे प्रभावशाली व्यक्तियों की पहचान करते है और इस प्रकार [[इंटरनेट]] या [[शहरी नेटवर्क|अर्बन नेटवर्क]] में प्रमुख मौलिक ढांचे के नोड्स, डिजीज के [[सुपर-स्प्रेडर|सुपर-स्प्रेडर्स]] और ब्रेन नेटवर्क के रूप में सम्मलित होते है।<ref name= 10.1016/j.tics.2013.09.012 >{{cite journal | vauthors = van den Heuvel MP, Sporns O | title = मानव मस्तिष्क में नेटवर्क हब| journal = Trends in Cognitive Sciences | volume = 17 | issue = 12 | pages = 683–96 | date = December 2013 | pmid = 24231140 | doi = 10.1016/j.tics.2013.09.012 | s2cid = 18644584 }}</ref><ref name= 10.1038/s41598-021-81767-7 >{{cite journal | vauthors = Saberi M, Khosrowabadi R, Khatibi A, Misic B, Jafari G | title = आराम-अवस्था मस्तिष्क नेटवर्क की स्थिरता पर नकारात्मक लिंक का टोपोलॉजिकल प्रभाव| journal = Scientific Reports | date = January 2021 | volume = 11 | issue = 1 | page = 2176 | pmid = 33500525 | pmc = 7838299 | doi = 10.1038/s41598-021-81767-7 | url = }}</ref> केंद्रीयता अवधारणाओं को सबसे पहले [[सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण|सोशल]] [[सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण|नेटवर्क विश्लेषण]] में विकसित किया गया था और केंद्रीयता को मापने के लिए उपयोग किए जाने वाले कई शब्द उनके समाजशास्त्र मूल को दर्शाते हैं।
-==केंद्रीयता सूचकांकों की परिभाषा और लक्षण वर्णन==
+==केंद्रीयता सूचकांकों की परिभाषा और कैरिक्टरिज़ेशन==
 केंद्रीयता सूचकांक इस प्रश्न का उत्तर हैं कि एक महत्वपूर्ण शीर्ष की फीचर क्या है? इसका उत्तर ग्राफ़ के शीर्षों पर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन के संदर्भ में दिया जाता है, जहां उत्पादन मान एक रैंकिंग प्रदान करने की उम्मीद कर रहे हैं, जो सबसे महत्वपूर्ण नोड्स की पहचान करती है।<ref name="Bonacich1987">{{cite journal |last1= Bonacich |first1= Phillip|year= 1987 |title= Power and Centrality: A Family of Measures | journal=American Journal of Sociology |volume= 92|issue= 5|pages= 1170–1182|doi=10.1086/228631 |s2cid= 145392072}}<!--|access-date=July 11, 2014--></ref><ref name="Borgatti2005">{{cite journal |last1= Borgatti |first1= Stephen P.|year= 2005 |title= केंद्रीयता और नेटवर्क प्रवाह|journal=Social Networks |volume= 27|pages= 55–71|doi=10.1016/j.socnet.2004.11.008 |citeseerx= 10.1.1.387.419}}<!--|access-date= July 11, 2014--></ref><ref name="Christian F. A. Negre, Uriel N. Morzan, Heidi P. Hendrickson, Rhitankar Pal, George P. Lisi, J. Patrick Loria, Ivan Rivalta, Junming Ho, Victor S. Batista. 2018 E12201--E12208">{{cite journal |
 author = Christian F. A. Negre, Uriel N. Morzan, Heidi P. Hendrickson, Rhitankar Pal, George P. Lisi, J. Patrick Loria, Ivan Rivalta, Junming Ho, Victor S. Batista.|
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 केंद्रीयता के उपाय यद्यपि सभी नहीं होते हैं पर केंद्रीयता के  मापन में किसी दिये गये शीर्ष से गुजरने वाले किसी प्रकार के [[पथ (ग्राफ सिद्धांत)]] की संख्या को भी सम्मलित किया जा सकता है। जिसे वॉक भी कहा जाता है प्रासंगिक वॉक को कैसे परिभाषित और प्रभावी ढंग से गिना जाता है, इसके उपाय भिन्न -भिन्न हैं। इस समूह पर विचार को सीमित करने से टैक्सोनॉमी की अनुमति मिलती है जो एक स्पेक्ट्रम पर कई केंद्रीयताओं को रखती है, जो कि एक [[डिग्री की केंद्रीयता]] की लंबाई से लेकर अनंत वॉक की अभिलक्षणिक मान केंद्रीयता तक होता है। <ref name="Bonacich1987" /><ref name="Benzi2013">{{cite journal | last1=Benzi | first1=Michele | last2=Klymko| first2=Christine | year=2013 |title= विभिन्न केंद्रीयता उपायों का एक मैट्रिक्स विश्लेषण|arxiv=1312.6722 | doi=10.1137/130950550 | volume=36 | issue=2 | journal=SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications | pages=686–706| s2cid=7088515 }}</ref> अन्य केंद्रीयता उपाय, जैसे मध्यनेस की केंद्रीयता न केवल समग्र कनेक्टिविटी पर ध्यान केंद्रित करती है, बल्कि उन स्थितियों पर  ध्यान केंद्रित करती है, जो नेटवर्क की कनेक्टिविटी के लिए महत्वपूर्ण होते हैं।
-===नेटवर्क प्रवाह द्वारा फीचर ा===
+===नेटवर्क प्रवाह द्वारा कैरिक्टरिज़ेशन===
 नेटवर्क को पथ का विवरण माना जा सकता है जिनके साथ कुछ प्रवाह होता है। यह प्रवाह के प्रकार और केंद्रीयता द्वारा एन्कोड किए गए पथ प्रकार के आधार पर लक्षण वर्णन की अनुमति देता है और इस प्रकार प्रवाह स्थानांतरण पर आधारित हो सकता है, जहां प्रत्येक अविभाज्य वस्तु एक नोड से दूसरे नोड में जाती है, जैसे पैकेज डिलीवरी साइट से ग्राहक के घर तक जाती है। दूसरी स्थिति क्रमिक दोहराव के रूप में होती है, जिसमें एक आइटम को दोहराया जाता है जिससे कि स्रोत और लक्ष्य दोनों के पास वह हो सकती है। इसका एक उदाहरण गॉसिप  के माध्यम से सूचना का प्रसार किया जाता है, जिसमें सूचना को निजी तरीके से प्रचारित किया जाता है और प्रक्रिया के अंत में स्रोत और लक्ष्य नोड्स दोनों को सूचित किया जाता है। अंतिम विषय समानांतर दोहराव  के रूप में होता है, जिसमें आइटम को एक ही समय में कई लिंक पर डुप्लिकेट किया जाता है, जैसे एक रेडियो प्रसारण जो एक ही समय में कई श्रोताओं को एक ही जानकारी प्रदान करता है।<ref name=Borgatti2005/>
 इसी तरह, पथ के प्रकार को दूरी (ग्राफ़ सिद्धांत) के सबसे छोटे पथ पर बाध्य किया जा सकता है इससे अधिक बार किसी भी शीर्ष पर एक से अधिक बार निरीक्षण नहीं किया जा सकता है और इस प्रकार ग्राफ़ सिद्धांत के शब्दों की शब्दावली शीर्षों पर कई बार जाया जा सकता है, किसी भी किनारे को एक से अधिक बार पार नहीं किया जाता है या ग्राफ़ सिद्धांत शब्दों की शब्दावली वॉक शीर्षों और किनारों पर अनेक बार देखा और पार किया जा सकता है।<ref name=Borgatti2005/>
-===वॉक संरचना द्वारा लक्षण वर्णन===
+===वॉक संरचना द्वारा कैरिक्टरिज़ेशन===
-वैकल्पिक वर्गीकरण इस बात से प्राप्त किया जा सकता है कि केंद्रीयता का निर्माण कैसे किया जाता है। यह पुनः दो वर्गों में विभाजित हो जाता है। केन्द्रीयताएँ या तो रेडियल या औसत दर्जे की होती हैं। रेडियल केन्द्रीयताएँ उन वॉक की गिनती करती हैं जो दिए गए शीर्ष से शुरू या समाप्ति होती हैं। डिग्री केंद्रीयता और अभिलक्षणिक मान केंद्रीयताएं रेडियल केंद्रीयता के उदाहरण हैं और इस प्रकार रेडियल केंद्रीयताएं लंबाई अनन्तता क्षेत्र की संख्या की गणना मध्यवर्ती केंद्रता में दूरी की गणना होती है। जो दिए गए शीर्ष से होकर गुजरती हैं। इसका कैनोनिकल उदाहरण है और इस प्रकार फ्रीमैन की मध्यवर्ती केंद्रीयता है और दिए गए शीर्ष से गुजरने वाले सबसे छोटे रास्तों की संख्या के रूप में होता है।<ref name=Borgatti2006/>
+वैकल्पिक वर्गीकरण इस बात से प्राप्त किया जा सकता है कि केंद्रीयता का निर्माण कैसे किया जाता है। यह पुनः दो वर्गों में विभाजित हो जाता है। केन्द्रीयताएँ या तो रेडियल या औसत दर्जे की होती हैं। रेडियल केन्द्रीयताएँ उन वॉक की गिनती करती हैं जो दिए गए शीर्ष से प्रारंभ या समाप्ति होती हैं। डिग्री केंद्रीयता और अभिलक्षणिक मान केंद्रीयताएं रेडियल केंद्रीयता के उदाहरण हैं और इस प्रकार रेडियल केंद्रीयताएं लंबाई अनन्तता क्षेत्र की संख्या की गणना मध्यवर्ती केंद्रता में दूरी की गणना होती है। जो दिए गए शीर्ष से होकर गुजरती हैं। इसका कैनोनिकल उदाहरण है और इस प्रकार फ्रीमैन की मध्यवर्ती केंद्रीयता है और दिए गए शीर्ष से गुजरने वाले सबसे छोटे रास्तों की संख्या के रूप में होता है।<ref name=Borgatti2006/>
 इसी तरह, गिनती या तो वॉक  की मात्रा या लंबाई को कैप्चर कर सकती है। वॉल्यूम दिए गए प्रकार के वॉक  की कुल संख्या होती है। पिछले पैराग्राफ के तीन उदाहरण इस श्रेणी में आते हैं। इस प्रकार लंबाई ग्राफ़ में दिए गए शीर्ष से शेष शीर्ष तक की दूरी को दर्शाती है। जिससे निकटता केंद्रीयता किसी दिए गए शीर्ष से अन्य सभी शीर्षों तक की कुल भूभौतिकी दूरी का सबसे अच्छा ज्ञात उदाहरण है।<ref name=Borgatti2006/> ध्यान दें कि यह वर्गीकरण गिने जाने वाले वॉक के प्रकार से स्वतंत्र है अर्थात वॉक, ट्रेल, पगडंडी, पथ, जियोडेसिक के रूप में होते है।
 बोर्गट्टी और एवरेट का प्रस्ताव है कि यह टाइपोलॉजी केंद्रीयता  मापन की तुलना करने के सर्वोत्तम तरीके के बारे में अंतर्दृष्टि प्रदान करती है। इस 2×2 वर्गीकरण में एक ही बॉक्स में रखी गई केन्द्रीयताएँ प्रशंसनीय विकल्प बनाने के लिए पर्याप्त समान हैं और इस प्रकार कोई भी उचित रूप से तुलना कर सकता है कि किसी दिए गए एप्लिकेशन के लिए कौन सा अच्छा है। चूंकि, विभिन्न बक्सों के माप स्पष्ट रूप से भिन्न होते हैं। जबकि सापेक्ष फिटनेस का कोई भी मूल्यांकन केवल पूर्व निर्धारित करने के संदर्भ में हो सकता है कि कौन सी श्रेणी अधिक प्रयुक्त है, जिससे तुलना विवादास्पद रूप में हो सकती है।<ref name=Borgatti2006/>
-===रेडियल-वॉल्यूम केंद्रीयताएं स्पेक्ट्रम पर मौजूद होती हैं===
+===रेडियल-वॉल्यूम केंद्रीयताएं स्पेक्ट्रम पर उपस्थित होती हैं===
 वॉक संरचना द्वारा कैरिक्टरिज़ेशन से पता चलता है कि व्यापक उपयोग में लगभग सभी केंद्रीयताएं रेडियल-वॉल्यूम माप के रूप में होती है। ये इस बिलीफ को कूटबद्ध करते हैं कि एक शीर्ष की केंद्रीयता उन शीर्षों की केंद्रीयता का एक कार्य है जिनके साथ यह जुड़ा हुआ होता है। केंद्रीयताएं खुद को भिन्न करती हैं कि एसोसिएशन कैसे परिभाषित किया जाता है।
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 [[File:Game-theoretic centrality.png|खेल-सैद्धांतिक केंद्रीयता का उदाहरण]]
-उदाहरण के लिए, किसी महामारी को रोकने की समस्या पर विचार करते है और इस प्रकार नेटवर्क की उपरोक्त छवि को देखते हुए हमें इन नोड्स का टीकाकरण करना होता है और जबकि पहले वर्णित  मापन के आधार पर हम उन नोड्स की पहचान करते हैं। जो डिजीज फैलाने में सबसे महत्वपूर्ण होते है। केवल केंद्रीयताओं पर आधारित दृष्टिकोण जो नोड्स की व्यक्तिगत फीचर पर ध्यान केंद्रित करता है, यह एक अच्छा विचार नहीं हो सकता है। लाल वर्ग में नोड्स, व्यक्तिगत रूप से बीमारी को फैलने से नहीं रोक सकते हैं, लेकिन उन्हें एक समूह के रूप में विचार करने पर हम स्पष्ट रूप से देखते हैं कि यदि नोड्स में डिजीज शुरू हो गई है तो वे डिजीज को रोक सकते हैं। इस प्रकार  <math>v_1</math>, <math>v_4</math>, और <math>v_5</math>. गेम-सैद्धांतिक केंद्रीयताएं गेम-थ्योरी के टूल का उपयोग करके वर्णित समस्याओं और अपॉर्चुनिटी से परामर्श करने का प्रयास करती हैं और इस प्रकार प्रस्तावित दृष्टिकोण <ref>Michalak, Aadithya, Szczepański, Ravindran, & Jennings {{ArXiv|1402.0567}}</ref> शैप्ले मान का उपयोग करता है। [[शेपली मूल्य]] गणना की समय सम्मिश्र  कठोरता के कारण होता है, इस डोमेन में अधिकांश प्रयास नवीन कलनविधि और विधियो को प्रयुक्त करने में प्रेरित होते हैं, जो नेटवर्क की एक विशिष्ट टोपोलॉजी या समस्या के एक विशेष करैक्टर पर निर्भर करते हैं। इस तरह के दृष्टिकोण से समय सम्मिश्र  को घातांक से बहुपद तक कम करने में मदद मिलती है।
+उदाहरण के लिए, किसी महामारी को रोकने की समस्या पर विचार करते है और इस प्रकार नेटवर्क की उपरोक्त छवि को देखते हुए हमें इन नोड्स का टीकाकरण करना होता है और जबकि पहले वर्णित  मापन के आधार पर हम उन नोड्स की पहचान करते हैं। जो डिजीज फैलाने में सबसे महत्वपूर्ण होते है। केवल केंद्रीयताओं पर आधारित दृष्टिकोण जो नोड्स की व्यक्तिगत फीचर पर ध्यान केंद्रित करता है, यह एक अच्छा विचार नहीं हो सकता है। लाल वर्ग में नोड्स, व्यक्तिगत रूप से बीमारी को फैलने से नहीं रोक सकते हैं, लेकिन उन्हें एक समूह के रूप में विचार करने पर हम स्पष्ट रूप से देखते हैं कि यदि नोड्स में डिजीज प्रारंभ हो गई है तो वे डिजीज को रोक सकते हैं। इस प्रकार  <math>v_1</math>, <math>v_4</math>, और <math>v_5</math>. गेम-सैद्धांतिक केंद्रीयताएं गेम-थ्योरी के टूल का उपयोग करके वर्णित समस्याओं और अपॉर्चुनिटी से परामर्श करने का प्रयास करती हैं और इस प्रकार प्रस्तावित दृष्टिकोण <ref>Michalak, Aadithya, Szczepański, Ravindran, & Jennings {{ArXiv|1402.0567}}</ref> शैप्ले मान का उपयोग करता है। [[शेपली मूल्य]] गणना की समय सम्मिश्र  कठोरता के कारण होता है, इस डोमेन में अधिकांश प्रयास नवीन कलनविधि और विधियो को प्रयुक्त करने में प्रेरित होते हैं, जो नेटवर्क की एक विशिष्ट टोपोलॉजी या समस्या के एक विशेष करैक्टर पर निर्भर करते हैं। इस तरह के दृष्टिकोण से समय सम्मिश्र  को घातांक से बहुपद तक कम करने में मदद मिलती है।
 इसी प्रकार, समाधान अवधारणा प्राधिकरण वितरण (<ref>{{cite journal |last1=Hu |first1=Xingwei |first2=Lloyd |last2=Shapley |title=संगठनों में प्राधिकरण वितरण पर|journal=Games and Economic Behavior |volume=45 |pages=132–170 |year=2003 | doi = 10.1016/s0899-8256(03)00130-1 }}</ref>) खिलाड़ियों के बीच द्विपक्षीय प्रत्यक्ष प्रभाव को मापने के लिए शेपली मूल्य के अतिरिक्त [[शेपली-शुबिक पावर इंडेक्स]] प्रयुक्त करता है। वितरण वास्तव में एक प्रकार की अभिलक्षणिक मान केंद्रीयता के रूप में है। इसका उपयोग (2020) में बड़े डेटा ऑब्जेक्ट को सॉर्ट करने के लिए किया जाता है।<ref>{{cite journal|last=Hu|first=Xingwei|year=2020|volume=7|title=कॉलेज रैंकिंग के अनुप्रयोग के साथ प्रकट प्राथमिकता के आधार पर बड़े डेटा को क्रमबद्ध करना|journal=Journal of Big Data|doi=10.1186/s40537-020-00300-1| arxiv=2003.12198|doi-access=free}}</ref> जैसे कि अमेरिकी कॉलेजों की रैंकिंग इत्यादि में होता है ।
 ==महत्वपूर्ण सीमाएँ==
-केंद्रीयता सूचकांकों की दो महत्वपूर्ण सीमाएँ हैं, एक स्पष्ट और दूसरी सूक्ष्म। स्पष्ट सीमा यह है कि एक केंद्रीयता जो एक अनुप्रयोग के लिए इष्टतम है, अक्सर एक भिन्न अनुप्रयोग के लिए उप-इष्टतम होती है। दरअसल, अगर ऐसा नहीं होता, तो हमें इतनी सारी भिन्न -भिन्न केंद्रीयताओं की आवश्यकता नहीं होती। इस घटना का एक उदाहरण [[क्रैकहार्ट पतंग ग्राफ]] द्वारा प्रदान किया गया है, जिसके लिए केंद्रीयता की तीन भिन्न -भिन्न धारणाएं सबसे केंद्रीय शीर्ष के तीन भिन्न -भिन्न विकल्प देती हैं।<ref>{{cite journal|title=Assessing the Political Landscape: Structure, Cognition, and Power in Organizations|first=David|last=Krackhardt|author-link=David Krackhardt|journal=Administrative Science Quarterly|volume=35|issue=2|date=June 1990|pages=342–369|doi=10.2307/2393394|jstor=2393394}}</ref>
+केंद्रीयता सूचकांकों की दो महत्वपूर्ण सीमाएँ होती है, एक स्पष्ट और दूसरी सूक्ष्म सीमा यह है कि एक केंद्रीयता जो एक अनुप्रयोग के लिए इष्टतम रूप में होती है,  इस प्रकार अधिकांशतः एक भिन्न अनुप्रयोग के लिए उप-इष्टतम होती है और इस प्रकार यदि  ऐसा नहीं होता है तो हमें इतनी सारी भिन्न -भिन्न केंद्रीयताओं की आवश्यकता नहीं होती। इस घटना का एक उदाहरण [[क्रैकहार्ट पतंग ग्राफ|क्रैकहार्ट काईट ग्राफ]] द्वारा प्रदान किया जाता है, जिसके लिए केंद्रीयता की तीन भिन्न -भिन्न धारणाएं सबसे केंद्रीय शीर्ष के तीन भिन्न -भिन्न विकल्प देती हैं।<ref>{{cite journal|title=Assessing the Political Landscape: Structure, Cognition, and Power in Organizations|first=David|last=Krackhardt|author-link=David Krackhardt|journal=Administrative Science Quarterly|volume=35|issue=2|date=June 1990|pages=342–369|doi=10.2307/2393394|jstor=2393394}}</ref>
-अधिक सूक्ष्म सीमा आम तौर पर मानी जाने वाली भ्रांति है कि शीर्ष केंद्रीयता शीर्षों के सापेक्ष महत्व को इंगित करती है। केंद्रीयता सूचकांक स्पष्ट रूप से एक रैंकिंग उत्पन्न करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं जो सबसे महत्वपूर्ण शीर्षों के संकेत की अनुमति देता है।<ref name=Bonacich1987/><ref name=Borgatti2005/>यह वे अभी बताई गई सीमा के अनुसार  अच्छा करते हैं। वे सामान्य रूप से नोड्स के प्रभाव को मापने के लिए डिज़ाइन नहीं किए गए हैं। हाल ही में, नेटवर्क भौतिकविदों ने इस समस्या के समाधान के लिए नोड प्रभाव मेट्रिक्स विकसित करना शुरू कर दिया है।
-त्रुटि दोतरफा है. सबसे पहले, रैंकिंग केवल महत्व के आधार पर शीर्षों को क्रमित करती है, यह रैंकिंग के विभिन्न स्तरों के बीच महत्व के अंतर को निर्धारित नहीं करती है। प्रश्न में केंद्रीयता माप के लिए #फ्रीमैन केंद्रीकरण को प्रयुक्त करके इसे कम किया जा सकता है, जो उनके केंद्रीकरण स्कोर के अंतर के आधार पर नोड्स के महत्व के बारे में कुछ जानकारी प्रदान करता है। इसके अलावा, फ्रीमैन केंद्रीकरण किसी को उनके उच्चतम केंद्रीकरण स्कोर की तुलना करके कई नेटवर्क की तुलना करने में सक्षम बनाता है।<ref name="Freeman1979"/>चूंकि , यह दृष्टिकोण व्यवहार में कम ही देखा जाता है।{{citation needed|reason=I've come across quite some theoretical studies that indicate otherwise. My suggestion is to remove this sentence, if reasonable citation is not provided.|date=September 2015}}
+अतिसूक्ष्म सीमा सामान्यतः  मानी जाने वाली भ्रांति के रूप में होती है और शीर्ष केंद्रीयता के सापेक्ष महत्व को इंगित करती है। केंद्रीयता सूचकांक विशेष रूप से एक रैंकिंग उत्पन्न करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं जो सबसे महत्वपूर्ण शीर्षों के संकेत की अनुमति देता है।<ref name="Bonacich1987" /><ref name="Borgatti2005" /> यह इस प्रकार बताई गई सीमा के अनुसार  अच्छा करते हैं। वे सामान्य रूप से नोड्स के प्रभाव को मापने के लिए डिज़ाइन नहीं किए गए हैं। वर्तमान में, नेटवर्क भौतिकविदों ने इस समस्या के समाधान के लिए नोड प्रभाव आव्यूह विकसित करना प्रारंभ कर देते है।
-दूसरे, जो फीचर (सही ढंग से) किसी दिए गए नेटवर्क/एप्लिकेशन में सबसे महत्वपूर्ण शीर्षों की पहचान करती हैं, वे आवश्यक रूप से शेष शीर्षों के लिए सामान्यीकृत नहीं होती हैं।
+एरर दो तरफा है और सबसे पहले रैंकिंग केवल महत्व के आधार पर शीर्षों को क्रमित करती है, यह रैंकिंग के विभिन्न स्तरों के बीच महत्व के अंतर को निर्धारित नहीं करती है। प्रश्न में केंद्रीयता माप के लिए फ्रीमैन केंद्रीकरण को प्रयुक्त करके इसे कम किया जा सकता है, जो उनके केंद्रीकरण स्कोर के अंतर के आधार पर नोड्स के महत्व के बारे में कुछ जानकारी प्रदान करता है। इसके अतिरिक्त फ्रीमैन केंद्रीकरण किसी को उनके उच्चतम केंद्रीकरण स्कोर की तुलना करके कई नेटवर्क की तुलना करने में सक्षम बनाता है।<ref name="Freeman1979" />चूंकि, यह दृष्टिकोण व्यवहार में शायद कम ही देखा जाता है।
-अधिकांश अन्य नेटवर्क नोड्स के लिए रैंकिंग अर्थहीन हो सकती है।<ref name="Lawyer2015" /><ref name="daSilva2012">{{cite journal | last1=da Silva|first1=Renato |last2=Viana|first2=Matheus|last3=da F. Costa |first3=Luciano| title=प्रसारकों की व्यक्तिगत विशेषताओं से महामारी फैलने की भविष्यवाणी करना| journal=J. Stat. Mech.: Theory Exp. | year=2012|volume=2012|pages=P07005|number=7 | doi=10.1088/1742-5468/2012/07/p07005|arxiv=1202.0024|bibcode=2012JSMTE..07..005A|s2cid=2530998 }}</ref><ref name="Bauer2012">{{cite journal | last1=Bauer|first1=Frank | last2=Lizier|first2=Joseph|title=Identifying influential spreaders and efficiently estimating infection numbers in epidemic models: A walk counting approach| journal=Europhys Lett | year=2012| volume=99| pages=68007|number=6 | doi=10.1209/0295-5075/99/68007|arxiv=1203.0502|bibcode=2012EL.....9968007B|s2cid=9728486 }}</ref><ref name="Sikic2013">{{ cite journal| last1= Sikic| first1=Mile|last2=Lancic|first2=Alen|last3=Antulov-Fantulin|first3=Nino|last4=Stefanic|first4=Hrvoje| title = Epidemic centrality -- is there an underestimated epidemic impact of network peripheral nodes? |journal = The European Physical Journal B |volume=86 |number=10 |pages=1–13 |year=2013 | doi=10.1140/epjb/e2013-31025-5|arxiv=1110.2558 | bibcode=2013EPJB...86..440S| s2cid=12052238}}</ref> यह बताता है कि, उदाहरण के लिए, Google छवि खोज के केवल पहले कुछ परिणाम ही उचित क्रम में क्यों दिखाई देते हैं। पेजरैंक एक अत्यधिक अस्थिर माप है, जो जंप पैरामीटर के छोटे समायोजन के बाद लगातार रैंक उलटफेर दिखाता है।<ref name="Ghoshal2011">{{cite journal | last1=Ghoshal | first1= G. | last2= Barabsi |first2= A L | title = जटिल नेटवर्क में रैंकिंग स्थिरता और सुपर-स्थिर नोड्स।| journal = Nat Commun | volume =2 | page = 394| year= 2011 | doi=10.1038/ncomms1396 | pmid= 21772265 | bibcode=2011NatCo...2..394G | doi-access= free }}</ref>
-चूंकि  शेष नेटवर्क के लिए केंद्रीयता सूचकांकों को सामान्यीकृत करने में विफलता पहली बार में प्रति-सहज ज्ञान युक्त लग सकती है, यह उपरोक्त परिभाषाओं से सीधे अनुसरण करती है।
-सम्मिश्र  नेटवर्क में विषम टोपोलॉजी होती है। इस हद तक कि इष्टतम माप सबसे महत्वपूर्ण शीर्षों की नेटवर्क संरचना पर निर्भर करता है, एक माप जो ऐसे शीर्षों के लिए इष्टतम है, नेटवर्क के शेष भाग के लिए उप-इष्टतम है।<ref name="Lawyer2015">{{cite journal |last1= Lawyer |first1= Glenn |year= 2015 |title= Understanding the spreading power of all nodes in a network: a continuous-time perspective |journal=Sci Rep |volume=5|pages=8665|doi=10.1038/srep08665 |pmid=25727453 |pmc=4345333|arxiv=1405.6707|bibcode=2015NatSR...5E8665L}}</ref>
+दूसरे, जो फीचर सही ढंग से किसी दिए गए नेटवर्क एप्लिकेशन में सबसे महत्वपूर्ण शीर्षों की पहचान करती हैं और इस प्रकार वे आवश्यक रूप से शेष शीर्षों के लिए सामान्यीकृत नहीं होती हैं। अधिकांश अन्य नेटवर्क नोड्स के लिए रैंकिंग अर्थहीन रूप में होती है।<ref name="Lawyer2015" /><ref name="daSilva2012">{{cite journal | last1=da Silva|first1=Renato |last2=Viana|first2=Matheus|last3=da F. Costa |first3=Luciano| title=प्रसारकों की व्यक्तिगत विशेषताओं से महामारी फैलने की भविष्यवाणी करना| journal=J. Stat. Mech.: Theory Exp. | year=2012|volume=2012|pages=P07005|number=7 | doi=10.1088/1742-5468/2012/07/p07005|arxiv=1202.0024|bibcode=2012JSMTE..07..005A|s2cid=2530998 }}</ref><ref name="Bauer2012">{{cite journal | last1=Bauer|first1=Frank | last2=Lizier|first2=Joseph|title=Identifying influential spreaders and efficiently estimating infection numbers in epidemic models: A walk counting approach| journal=Europhys Lett | year=2012| volume=99| pages=68007|number=6 | doi=10.1209/0295-5075/99/68007|arxiv=1203.0502|bibcode=2012EL.....9968007B|s2cid=9728486 }}</ref><ref name="Sikic2013">{{cite journal| last1= Sikic| first1=Mile|last2=Lancic|first2=Alen|last3=Antulov-Fantulin|first3=Nino|last4=Stefanic|first4=Hrvoje| title = Epidemic centrality -- is there an underestimated epidemic impact of network peripheral nodes? |journal = The European Physical Journal B |volume=86 |number=10 |pages=1–13 |year=2013 | doi=10.1140/epjb/e2013-31025-5|arxiv=1110.2558 | bibcode=2013EPJB...86..440S| s2cid=12052238}}</ref> यह बताता है कि उदाहरण के लिए गूगल छवि खोज के केवल पहले कुछ परिणाम ही उचित क्रम में दिखाई देते हैं। पेजरैंक एक अत्यधिक अस्थिर माप है, जो जंप पैरामीटर के छोटे समायोजन के बाद लगातार रैंक उलटफेर दिखाता है।<ref name="Ghoshal2011">{{cite journal | last1=Ghoshal | first1= G. | last2= Barabsi |first2= A L | title = जटिल नेटवर्क में रैंकिंग स्थिरता और सुपर-स्थिर नोड्स।| journal = Nat Commun | volume =2 | page = 394| year= 2011 | doi=10.1038/ncomms1396 | pmid= 21772265 | bibcode=2011NatCo...2..394G | doi-access= free }}</ref>
+चूंकि, शेष नेटवर्क के लिए केंद्रीयता सूचकांकों को सामान्यीकृत करने में विफलता पहली बार में प्रति-सहज ज्ञान युक्त लगती है, यह उपरोक्त परिभाषाओं के रूप में सीधे अनुसरण करती है। सम्मिश्र  नेटवर्क में विषम टोपोलॉजी होती है। इस सीमा तक कि इष्टतम माप सबसे महत्वपूर्ण शीर्षों की नेटवर्क संरचना पर निर्भर करता है, जबकि माप जो ऐसे शीर्षों के लिए इष्टतम नेटवर्क के शेष भाग के लिए उप-इष्टतम होता है।<ref name="Lawyer2015">{{cite journal |last1= Lawyer |first1= Glenn |year= 2015 |title= Understanding the spreading power of all nodes in a network: a continuous-time perspective |journal=Sci Rep |volume=5|pages=8665|doi=10.1038/srep08665 |pmid=25727453 |pmc=4345333|arxiv=1405.6707|bibcode=2015NatSR...5E8665L}}</ref>
 ==डिग्री केंद्रीयता==
 {{Main|Degree (graph theory)}}
-[[File:Wp-01.png|thumb|505x505px|ए) बिटवीननेस केंद्रीयता, बी) [[निकटता केंद्रीयता]], सी) अभिलक्षणिक मान केंद्रीयता, डी) [[डिग्री केंद्रीयता]], ई) #हार्मोनिक केंद्रीयता और एफ) एक ही यादृच्छिक ज्यामितीय ग्राफ की [[काट्ज़ केंद्रीयता]] के उदाहरण।]]ऐतिहासिक रूप से पहला और संकल्पनात्मक रूप से सबसे सरल [[डिग्री]] केंद्रीयता है, जिसे एक नोड पर घटने वाले लिंक की संख्या (यानी, एक नोड में मौजूद संबंधों की संख्या) के रूप में परिभाषित किया गया है। नेटवर्क के माध्यम से जो कुछ भी प्रवाहित हो रहा है (जैसे वायरस, या कुछ जानकारी) उसे पकड़ने के लिए नोड के तत्काल जोखिम के संदर्भ में डिग्री की व्याख्या की जा सकती है। एक निर्देशित नेटवर्क (जहां संबंधों की दिशा होती है) के मामले में, हम आम तौर पर डिग्री केंद्रीयता के दो भिन्न -भिन्न  मापन को परिभाषित करते हैं, अर्थात् इंडिग्री और [[आउटडिग्री]]। तदनुसार, इंडिग्री नोड को निर्देशित संबंधों की संख्या की गणना है और आउटडिग्री उन संबंधों की संख्या है जो नोड दूसरों को निर्देशित करता है। जब संबंध दोस्ती या सहयोग जैसे कुछ सकारात्मक पहलुओं से जुड़े होते हैं, तो इंडिग्री को अक्सर लोकप्रियता के रूप में और आउटडिग्री को मिलनसारिता के रूप में व्याख्यायित किया जाता है।
+[[File:Wp-01.png|thumb|505x505px|ए) बिटवीननेस केंद्रीयता, बी) [[निकटता केंद्रीयता]], सी) अभिलक्षणिक मान केंद्रीयता, डी) [[डिग्री केंद्रीयता]], ई) #हार्मोनिक केंद्रीयता और एफ) एक ही यादृच्छिक ज्यामितीय ग्राफ की [[काट्ज़ केंद्रीयता]] के उदाहरण।]]ऐतिहासिक रूप से पहला और संकल्पनात्मक रूप से सबसे सरल [[डिग्री]] केंद्रीयता है, जिसे एक नोड पर घटने वाले लिंक की संख्या (यानी, एक नोड में मौजूद संबंधों की संख्या) के रूप में परिभाषित किया गया है। नेटवर्क के माध्यम से जो कुछ भी प्रवाहित हो रहा है (जैसे वायरस, या कुछ जानकारी) उसे पकड़ने के लिए नोड के तत्काल जोखिम के संदर्भ में डिग्री की व्याख्या की जा सकती है। एक निर्देशित नेटवर्क (जहां संबंधों की दिशा होती है) के मामले में, हम सामान्यतः  डिग्री केंद्रीयता के दो भिन्न -भिन्न  मापन को परिभाषित करते हैं, अर्थात् इंडिग्री और [[आउटडिग्री]]। तदनुसार, इंडिग्री नोड को निर्देशित संबंधों की संख्या की गणना है और आउटडिग्री उन संबंधों की संख्या है जो नोड दूसरों को निर्देशित करता है। जब संबंध दोस्ती या सहयोग जैसे कुछ सकारात्मक पहलुओं से जुड़े होते हैं, तो इंडिग्री को अधिकांशतः लोकप्रियता के रूप में और आउटडिग्री को मिलनसारिता के रूप में व्याख्यायित किया जाता है।
 एक शीर्ष की डिग्री केंद्रीयता <math>v</math>, किसी दिए गए ग्राफ़ के लिए <math>G:=(V,E)</math> साथ <math>|V|</math> शिखर और <math>|E|</math> किनारों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
@@ Line 95: / Line 94: @@
 तो, किसी भी ग्राफ़ के लिए <math>G:=(V,E),</math>
 :<math>C_D(G)= \frac{\sum^{|V|}_{i=1} [C_D(v*)-C_D(v_i)] }{|V|^2-3|V|+2}</math>
-इसके अलावा, डिग्री केंद्रीयता के लिए टेंडेंसी टू मेक हब (टीएमएच) नाम का एक नया व्यापक वैश्विक उपाय इस प्रकार परिभाषित करता है: <ref name= 10.1038/s41598-021-81767-7 />
+इसके अतिरिक्त , डिग्री केंद्रीयता के लिए टेंडेंसी टू मेक हब (टीएमएच) नाम का एक नया व्यापक वैश्विक उपाय इस प्रकार परिभाषित करता है: <ref name= 10.1038/s41598-021-81767-7 />
 :<math>\text{TMH} = \frac{\sum^{|V|}_{i=1} \deg(v)^2 }{\sum^{|V|}_{i=1} \deg(v) }</math>
 जहां नेटवर्क में डिग्री केंद्रीयता की उपस्थिति से टीएमएच बढ़ता है।
@@ Line 132: / Line 131: @@
 कहाँ <math>\sigma_{st}</math> नोड से सबसे छोटे पथों की कुल संख्या है <math>s</math> नोड करने के लिए <math>t</math> और <math>\sigma_{st}(v)</math> उन पथों की संख्या है जो गुजरते हैं <math>v</math>. बीच की स्थिति को v सहित शीर्षों के जोड़े की संख्या से विभाजित करके सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो [[डिग्राफ (गणित)]] के लिए है <math>(n-1)(n-2)</math> और अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के लिए है <math>(n-1)(n-2)/2</math>. उदाहरण के लिए, एक अप्रत्यक्ष स्टार (ग्राफ सिद्धांत) में, केंद्र शीर्ष (जो हर संभव सबसे छोटे पथ में समाहित है) के बीच की दूरी होगी <math>(n-1)(n-2)/2</math> (1, यदि सामान्यीकृत किया जाता है) जबकि पत्तियों (जो किसी भी सबसे छोटे पथ में समाहित नहीं हैं) के बीच 0 का अंतर होगा।
-गणना के पहलू से, एक ग्राफ़ में सभी शीर्षों की बीच और निकटता दोनों केंद्रीयताओं में एक ग्राफ़ पर सभी शीर्षों के जोड़े के बीच सबसे छोटे पथ की गणना सम्मलित होती है, जिसके लिए बिग ओ नोटेशन की आवश्यकता होती है।<math>O(V^3)</math>फ़्लॉइड-वॉर्शल एल्गोरिथम के साथ समय। चूंकि , विरल ग्राफ़ पर, जॉनसन का कलन विधि बिग ओ नोटेशन लेते हुए अधिक कुशल हो सकता है<math>O(V^2 \log V + V E)</math>समय। अभारित ग्राफ़ के मामले में गणना ब्रैंड्स एल्गोरिथम के साथ की जा सकती है<ref name=brandes/>जो बिग ओ नोटेशन लेता है|<math>O(V E)</math>समय। आम तौर पर, ये कलन विधि मानते हैं कि ग्राफ़ अप्रत्यक्ष हैं और लूप और एकाधिक किनारों के भत्ते से जुड़े हुए हैं। विशेष रूप से नेटवर्क ग्राफ़ के साथ काम करते समय, सरल संबंध बनाए रखने के लिए अक्सर ग्राफ़ लूप या एकाधिक किनारों के बिना होते हैं (जहां किनारे दो लोगों या शीर्षों के बीच कनेक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं)। इस मामले में, ब्रैंड्स के कलन विधि का उपयोग करके प्रत्येक सबसे छोटे पथ को दो बार गिना जाने के लिए अंतिम केंद्रीयता स्कोर को 2 से विभाजित किया जाएगा।<ref name="brandes" />
+गणना के पहलू से, एक ग्राफ़ में सभी शीर्षों की बीच और निकटता दोनों केंद्रीयताओं में एक ग्राफ़ पर सभी शीर्षों के जोड़े के बीच सबसे छोटे पथ की गणना सम्मलित होती है, जिसके लिए बिग ओ नोटेशन की आवश्यकता होती है।<math>O(V^3)</math>फ़्लॉइड-वॉर्शल एल्गोरिथम के साथ समय। चूंकि , विरल ग्राफ़ पर, जॉनसन का कलन विधि बिग ओ नोटेशन लेते हुए अधिक कुशल हो सकता है<math>O(V^2 \log V + V E)</math>समय। अभारित ग्राफ़ के मामले में गणना ब्रैंड्स एल्गोरिथम के साथ की जा सकती है<ref name=brandes/>जो बिग ओ नोटेशन लेता है|<math>O(V E)</math>समय। सामान्यतः , ये कलन विधि मानते हैं कि ग्राफ़ अप्रत्यक्ष हैं और लूप और एकाधिक किनारों के भत्ते से जुड़े हुए हैं। विशेष रूप से नेटवर्क ग्राफ़ के साथ काम करते समय, सरल संबंध बनाए रखने के लिए अधिकांशतः ग्राफ़ लूप या एकाधिक किनारों के बिना होते हैं (जहां किनारे दो लोगों या शीर्षों के बीच कनेक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं)। इस मामले में, ब्रैंड्स के कलन विधि का उपयोग करके प्रत्येक सबसे छोटे पथ को दो बार गिना जाने के लिए अंतिम केंद्रीयता स्कोर को 2 से विभाजित किया जाएगा।<ref name="brandes" />
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 :<math>\mathbf{Ax} = {\lambda}\mathbf{x}</math>
-सामान्य तौर पर, कई भिन्न -भिन्न स्वदेशी मूल्य होंगे <math>\lambda</math> जिसके लिए एक गैर-शून्य अभिलक्षणिक मान समाधान मौजूद है। चूँकि आसन्न आव्यूह में प्रविष्टियाँ गैर-नकारात्मक हैं, पेरोन-फ्रोबेनियस प्रमेय द्वारा एक अद्वितीय सबसे बड़ा आइगेनवैल्यू है, जो वास्तविक और सकारात्मक है। इस सबसे बड़े eigenvalue के परिणामस्वरूप वांछित केंद्रीयता माप प्राप्त होता है।<ref>{{cite journal  | author = M. E. J. Newman  | title = नेटवर्क का गणित| url = http://www-personal.umich.edu/~mejn/papers/palgrave.pdf  | access-date = 2006-11-09  | archive-date = 2021-01-22  | archive-url = https://web.archive.org/web/20210122220704/http://www-personal.umich.edu/~mejn/papers/palgrave.pdf  | url-status = live  }}</ref>  <math>v^{th}</math> h> संबंधित eigenvector का घटक फिर शीर्ष का सापेक्ष केंद्रीयता स्कोर देता है <math>v</math> नेटवर्क में. आइजेनवेक्टर को केवल एक सामान्य कारक तक परिभाषित किया गया है, इसलिए केवल शीर्षों की केंद्रीयताओं के अनुपात को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है। निरपेक्ष स्कोर को परिभाषित करने के लिए किसी को आइजनवेक्टर को सामान्य करना होगा, उदाहरण के लिए, जैसे कि सभी शीर्षों का योग 1 या शीर्षों की कुल संख्या n हो। पावर पुनरावृत्ति कई [[eigenvalue एल्गोरिथ्म]] में से एक है जिसका उपयोग इस प्रमुख आइजेनवेक्टर को खोजने के लिए किया जा सकता है।<ref name="ams" />इसके अलावा, इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि ए में प्रविष्टियां कनेक्शन की ताकत का �