प्ररोही विधि

संख्यात्मक विश्लेषण में, शूटिंग विधि एक सीमा मूल्य समस्या को प्रारंभिक मूल्य समस्या में कम करके हल करने की एक विधि है। इसमें विभिन्न प्रारंभिक स्थितियों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान खोज सम्मिलित है जब तक कि कोई ऐसा समाधान न मिल जाए जो सीमा मूल्य समस्या की सीमा नियमों को भी पूरा करता हो। समान्य आदमी के शब्दों में, कोई एक सीमा से अलग-अलग दिशाओं में प्रक्षेप पथ को तब तक "शूट" करता है जब तक कि उसे वह प्रक्षेप पथ नहीं मिल जाता जो दूसरी सीमा की स्थिति को "हिट" करता है।

गणितीय विवरण

मान लीजिए कोई सीमा-मूल्य समस्या को हल करना चाहता है

$$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y(t_{1})=y_{1}.$$

मान लीजिये $y(t;a)$ प्रारंभिक-मूल्य समस्या को हल करें

$$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=a.$$

यदि $y(t_{1};a)=y_{1}$, तब $y(t;a)$ सीमा-मूल्य समस्या का भी समाधान है।

शूटिंग विधि कई अलग-अलग मूल्यों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने की प्रक्रिया है जब तक कि कोई समाधान $y(t;a)$ नहीं मिल जाता है जो वांछित सीमा नियमों को पूरा करता है। समान्यत: कोई ऐसा संख्यात्मक रूप से करता है। समाधान(s) की जड़(s) से मेल खाते हैं

$$F(a)=y(t_{1};a)-y_{1}.$$

शूटिंग पैरामीटर $a$ को व्यवस्थित रूप से बदलने और रूट खोजने के लिए, कोई मानक रूट-खोज एल्गोरिदम जैसे द्विभाजन विधि या न्यूटन की विधि को नियोजित कर सकता है।

$F$ की मूल और सीमा मूल्य समस्या के समाधान समतुल्य हैं। यदि $a$, $F$ का मूल है, तो $y(t;a)$सीमा मान समस्या का समाधान है। इसके विपरीत, यदि सीमा मान समस्या का समाधान $y(t)$ है, तो यह प्रारंभिक मान समस्या का अद्वितीय समाधान $y(t;a)$ भी है जहां $a=y'(t_{0})$ है, इसलिए $a$ $F$ का मूल है।

व्युत्पत्ति और अंतर्ज्ञान

शूटिंग पद्धति शब्द की उत्पत्ति अर्तिल्लेरी से हुई है। शूटिंग विधि के लिए एक सादृश्य है

• स्थान पर एक अवस्था $y(t_{0})=y_{0}$ रखें , तब
• बदलाव के कोण $a=y'(t_{0})$ को अलग-अलग करें
• तोप को तब तक दागें जब तक वह सीमा मान $y(t_{1})=y_{1}$ तक न पहुंच जाए।

प्रत्येक शॉट के बीच, तोप की दिशा को पिछले शॉट के आधार पर समायोजित किया जाता है, इसलिए प्रत्येक शॉट पिछले शॉट की तुलना में अधिक समीप लगता है। वांछित सीमा मान तक पहुंचने वाला प्रक्षेपवक्र सीमा मान समस्या का समाधान है - इसलिए इसे शूटिंग विधि नाम दिया गया है।

रेखीय शूटिंग विधि

यदि f का रूप है तो सीमा मान समस्या रैखिक है

$$f(t,y(t),y'(t))=p(t)y'(t)+q(t)y(t)+r(t).$$

इस स्थिति में, सीमा मूल्य समस्या का समाधान समान्यत: इस प्रकार दिया जाता है:

$$y$$