सूचक फलन

File:Indicator function illustration.png

एक सूचक फ़ंक्शन का त्रि-आयामी प्लॉट, एक वर्गाकार द्वि-आयामी डोमेन (सेट) पर दिखाया गया है X): उठा हुआ भाग उन द्वि-आयामी बिंदुओं को ओवरले करता है जो संकेतित उपसमुच्चय के सदस्य हैं (A).

गणित में एक सूचक फलन या किसी समूह के उपसमुच्चय का एक ऐसा फलन होता है जो उपसमुच्चय के तत्वों को एक में और अन्य सभी तत्वों को शून्य पर दिखाता है अर्थात यदि A किसी समुच्चय X का उपसमुच्चय है तब $\mathbf {1} _{A}(x)=1$ अगर $x\in A,$ और $\mathbf {1} _{A}(x)=0$ जहॉं $\mathbf {1} _{A}$ सूचक फलन के लिए एक सामान्य सूचक व अन्य सामान्य सूचक $I_{A},$ और $\chi _{A}.$है

A का सूचक कार्य A से संबंधित सम्पत्ति का इवरसन कोष्ठक है, जो इस प्रकार है-

$\mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].$

उदाहरण के लिए, डिरिचलेट फलन वास्तविक संख्याओं के उपसमूह के रूप में तर्कसंगत संख्याओं का संकेतक फलन है।

The function $\mathbf {1} _{A}$ is sometimes denoted I_A, χ_A, K_A, or even just A.

परिभाषा

उपसमुच्चय X उपसमुच्चय A का सूचक फलन एक फलन है।

$$\mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}$$

के रूप में परिभाषित

$$\mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}$$

इवरसन कोष्ठक समतुल्य अंकन प्रदान करता है $[x\in A]$ या ⟦x ∈ A⟧, के समष्टि पर उपयोग किया जायेगा कभी-कभी इसे I_A, χ_A, K_A,यहाँ तक कि A से दर्शाया जाता है।

सूचक में शब्दावली

सूचक $\chi _{A}$ इसका उपयोग उत्तल विश्लेषण में विशेष फलन विश्लेषण को दर्शाने के लिए किया जाता है, जिसे सूचक फलन की मानक परिभाषा के व्युत्क्रम का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है।

सांख्यिकी में एक संबंधित अवधारणा एक वास्तविक परिवर्तन शील सांख्यिकी की है (इसे डमी चर के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि यह शब्द अधिकतर गणित में उपयोग किया जाता है जिसे मुक्त चर और बाध्य सिद्धांत कहा जाता है)

विशेषत फलन शब्द का संभाव्यता सिद्धांत में एक असंबंधित अर्थ है इस कारण से संभाव्यवादियों की सूची यहां परिभाषित है जो फलन के लिए सूचक शब्द का उपयोग विशेष रूप से करते हैं, जबकि अन्य क्षेत्रों में गणितज्ञ फलन शब्द का उपयोग करने की अधिक संभावना रखते हैं उस फलन का वर्णन करने के लिए जो किसी समूह में सदस्यता को दर्शाता है

धुंधला तर्क और आधुनिक बहुमूल्य तर्क में विधेय संभाव्यता वितरण के विशिष्ट कार्य हैं अर्थात् ,विधेय के सत्य/गलत मूल्यांकन को सत्य की घात के रूप में व्याख्या की गई मात्रा से बदल दिया जाता है।

बुनियादी गुण

कुछ समूह X के उपसमुच्चय A का संकेतक या विशेष फलन, X के तत्वों को श्रेणी में प्रदर्शित करता है

यह मानचित्रण केवल तभी विशेषणात्मक होता है जब, A X का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय हो तथा X. अगर $A\equiv X,$ तब $\mathbf {1} _{A}=1.$ इसी तरह के तर्क से यदि $A\equiv \emptyset$ तब $\mathbf {1} _{A}=0.$निम्नलिखित बिंदु गुणन का प्रतिनिधित्व करता है तो $1\cdot 1=1,$ $1\cdot 0=0,$ आदि + और − जोड़ और घटाव का प्रतिनिधित्व करते हैं तथा इसमें $\cap$और$\cup$क्रमशः प्रतिच्छेदन और मिलन बिन्दु हैं

अगर $A$ और $B$ के दो उपसमुच्चय हैं $X,$ तब

$${\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}$$

और इसके पूरक समूह सिद्धांत का सूचक कार्य $A$ अर्थात् $A^{C}$ है जो इस प्रकार है-

$$\mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.$$

सामान्यतः मान लीजिए $A_{1},\dotsc ,A_{n}$ के उपसमुच्चय का संग्रह है X. किसी संख्या के लिए $x\in X:$

$$\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))$$

यह स्पष्ट रूप से A एक उत्पाद है 1 इस उत्पाद का मान ठीक उन्हीं पर है जहाँ $x\in X$