आर्ग मैक्स: Difference between revisions

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{{Short description|Inputs at which function values are highest}}[[File:Si_sinc.svg|thumb|350px|उदाहरण के रूप में, अनमान्यकृत और मानकृत सिंक फ़ंक्शन के लिए उपरोक्त दोनों में <math>\operatorname{argmax}</math> का 0 होता है, क्योंकि दोनों में x = 0 पर उनके वृहत्तम मान 1 होते हैं।<br /><br />असामान्यीकृत चिन्ह फ़ंक्शन (लाल) का आर्ग न्यूनतम अधिकतर {−4.49, 4.49} होता है, इसके x = ±4.49 पर अधिकतर -0.217 के दो वृहत्तम न्यूनतम मान होते हैं। यद्यपि, सामान्यीकृत चिन्ह फ़ंक्शन (नीला) का आर्ग न्यूनतम {−1.43, 1.43} होता है,क्योंकि इसके वृहत्तम न्यूनतम मान x = ±1.43 पर होते हैं, चूंकि न्यूनतम मान समान होता है।<ref>"[http://physics.usyd.edu.au/teach_res/mp/doc/math_sinc_function.pdf The Unnormalized Sinc Function] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170215045226/http://www.physics.usyd.edu.au/teach_res/mp/doc/math_sinc_function.pdf |date=2017-02-15 }}", University of Sydney</ref>]]गणित में, '''मैक्सिमा के तर्क''' ( (संक्षिप्त रूप में '''आर्ग मैक्स''' या '''आर्गमैक्स''') के तर्क किसी [[फ़ंक्शन (गणित)]] के डोमेन के बिंदु होते हैं, जिन पर फ़ंक्शन के मान अधिकतम होते हैं।<ref group="note">For clarity, we refer to the input (''x'') as ''points'' and the output (''y'') as ''values;'' compare [[critical point (mathematics)|critical point]] and [[critical value]].</ref> जिस पर फ़ंक्शन मान [[मैक्सिमा और मिनिमा|उच्चिष्ट और निम्निष्ट]] होते हैं। [[वैश्विक अधिकतम]] के विपरीत, जो संदर्भित करता है किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा आउटपुट, आर्ग मैक्स इनपुट या तर्क को संदर्भित करता है, जिस पर फ़ंक्शन आउटपुट जितना संभव हो उतना बड़ा होता है।
{{Short description|Inputs at which function values are highest}}[[File:Si_sinc.svg|thumb|350px|उदाहरण के रूप में, अनमान्यकृत और मानकृत सिंक फलन के लिए उपरोक्त दोनों में <math>\operatorname{argmax}</math> का 0 होता है, क्योंकि दोनों में x = 0 पर उनके वृहत्तम मान 1 होते हैं।<br /><br />असामान्यीकृत चिन्ह फलन (लाल) का आर्ग न्यूनतम अधिकतर {−4.49, 4.49} होता है, इसके x = ±4.49 पर अधिकतर -0.217 के दो वृहत्तम न्यूनतम मान होते हैं। यद्यपि, सामान्यीकृत चिन्ह फलन (नीला) का आर्ग न्यूनतम {−1.43, 1.43} होता है,क्योंकि इसके वृहत्तम न्यूनतम मान x = ±1.43 पर होते हैं, चूंकि न्यूनतम मान समान होता है।<ref>"[http://physics.usyd.edu.au/teach_res/mp/doc/math_sinc_function.pdf The Unnormalized Sinc Function] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170215045226/http://www.physics.usyd.edu.au/teach_res/mp/doc/math_sinc_function.pdf |date=2017-02-15 }}", University of Sydney</ref>]]गणित में, '''अधिकतम का तर्क''' (जिसे संक्षेप में '''आर्ग मैक्स''' या '''आर्गमैक्स''' कहा जाता है) वह बिंदु होते हैं, या तत्व, किसी [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] के कार्यक्षेत्र के बिंदु होते हैं, जिन पर फलन के मान अधिकतम होते हैं।<ref group="note">For clarity, we refer to the input (''x'') as ''points'' and the output (''y'') as ''values;'' compare [[critical point (mathematics)|critical point]] and [[critical value]].</ref> [[वैश्विक अधिकतम]] के विपरीत, जो संदर्भित करता है किसी फलन का सबसे बड़ा आउटपुट, आर्ग मैक्स इनपुट या तर्क को संदर्भित करता है, जिस पर फलन आउटपुट जितना संभव हो उतना बड़ा होता है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==


विचित्र समुच्चय {{nowrap|<math>X</math>,}} [[पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट|पूरी प्रकार से ऑर्डर किया गया समुच्चय]] {{nowrap|<math>Y</math>,}} और फ़ंक्शन, {{nowrap|<math>f\colon X \to Y</math>,}} के लिए <math>X</math> के किसी उपसेट <math>S</math> के लिए <math>\operatorname{argmax}</math> (आर्ग मैक्स) को निम्न रूप में परिभाषित किया जाता है:
गणित में, दिए गए ऐसे समुच्चय {{nowrap|<math>X</math>,}} [[पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट|पूरी प्रकार से ऑर्डर किया गया समुच्चय]] {{nowrap|<math>Y</math>,}} और फलन, {{nowrap|<math>f\colon X \to Y</math>,}} के लिए <math>X</math> के किसी उपसेट <math>S</math> के लिए <math>\operatorname{argmax}</math> (आर्ग मैक्स) को निम्न रूप में परिभाषित किया जाता है:


:<math>\operatorname{argmax}_S f := \underset{x \in S}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{x \in S ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in S \}.</math>
:<math>\operatorname{argmax}_S f := \underset{x \in S}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{x \in S ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in S \}.</math>
यदि <math>S = X</math> या <math>S</math> होता है, तो अधिकांशतः <math>S</math> को छोड़ दिया जाता है, जैसे <math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{ x ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in X \}.</math> अन्या शब्दों में, <math>\operatorname{argmax}</math> अंकों का समुच्चय (गणित) है जिसमें <math>x</math>के बिंदु सम्मलित हैं, जिनके लिए <math>f(x)</math> फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान प्राप्त करता है (यदि यह उपस्थित है)। <math>\operatorname{Argmax}</math> यह [[खाली सेट|खाली समुच्चय]], [[सिंगलटन (गणित)]] हो सकता है, या इसमें कई तत्व सम्मलित हो सकते हैं।
यदि <math>S = X</math> या <math>S</math> प्रसंग से स्पष्ट है, तो अधिकांशतः <math>S</math> को छोड़ दिया जाता है, जैसे <math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{ x ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in X \}.</math> अन्या शब्दों में, <math>\operatorname{argmax}</math> अंकों का समुच्चय (गणित) है जिसमें <math>x</math> के बिंदु सम्मलित हैं, जिनके लिए <math>f(x)</math> फलन का सबसे बड़ा मान प्राप्त करता है (यदि यह उपस्थित है)। <math>\operatorname{Argmax}</math> यह [[खाली सेट|खाली समुच्चय]], [[सिंगलटन (गणित)]] हो सकता है, या इसमें कई तत्व सम्मलित हो सकते हैं।


[[उत्तल विश्लेषण]] और [[परिवर्तनशील विश्लेषण]] के क्षेत्र में,थोड़ी अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है जब विशेष स्थितियों में <math>Y = [-\infty,\infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm\infty \}</math> [[विस्तारित वास्तविक संख्याएँ]] होती हैं।{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37|ignore-err=yes}} इस स्थितियों में, यदि <math>f</math> समान रूप से समान होता है,तो <math>\operatorname{argmax}_S f := \varnothing</math> (इसका तात्पर्य है <math>\operatorname{argmax}_S \infty := \varnothing</math>) और अन्यथा <math>\operatorname{argmax}_S f</math> उपरोक्त रूप में परिभाषित होता है, जहां इस स्थितियों में <math>\operatorname{argmax}_S f</math> को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
[[उत्तल विश्लेषण]] और [[परिवर्तनशील विश्लेषण]] के क्षेत्र में,थोड़ी अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है जब विशेष स्थितियों में <math>Y = [-\infty,\infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm\infty \}</math> [[विस्तारित वास्तविक संख्याएँ]] होती हैं।{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37|ignore-err=yes}} इस स्थितियों में, यदि <math>f</math> समान रूप से समान होता है,तो <math>\operatorname{argmax}_S f := \varnothing</math> (इसका तात्पर्य है <math>\operatorname{argmax}_S \infty := \varnothing</math>) और अन्यथा <math>\operatorname{argmax}_S f</math> उपरोक्त रूप में परिभाषित होता है, जहां इस स्थितियों में <math>\operatorname{argmax}_S f</math> को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
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:<math>\underset{x \in S}{\operatorname{arg\,min}} \, f(x) := \{ x \in S ~:~ f(s) \geq f(x)  \text{ for all } s \in S \}</math>
:<math>\underset{x \in S}{\operatorname{arg\,min}} \, f(x) := \{ x \in S ~:~ f(s) \geq f(x)  \text{ for all } s \in S \}</math>
<math>x</math> के बिंदु वही होते हैं जिनके लिए <math>f(x)</math> फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान प्राप्त करता है। यह {{nowrap|<math>\operatorname{arg\,max}</math>.}} (न्यूनतम के तर्क का तर्क) के पूरक ऑपरेटर होता है।
<math>x</math> के बिंदु वही होते हैं जिनके लिए <math>f(x)</math> फलन का सबसे छोटा मान प्राप्त करता है। यह {{nowrap|<math>\operatorname{arg\,max}</math>.}} (न्यूनतम के तर्क का तर्क) के पूरक ऑपरेटर होता है।


विशेष स्थितियों में जहां <math>Y = [-\infty,\infty] = \R \cup \{ \pm\infty \}</math> विस्तारित यथार्थात्मक संख्याएँ होती हैं, यदि <math>f</math> सभी <math>S</math> पर असीम रूप से <math>-\infty</math> पर तबके समान होता है, तो <math>\operatorname{argmin}_S f := \varnothing</math> (इसका तात्पर्य है, <math>\operatorname{argmin}_S -\infty := \varnothing</math>) होता है, और अन्यथा <math>\operatorname{argmin}_S f</math> f उपरोक्त रूप में परिभाषित होता है और इसके अतिरिक्त, इस स्थितियों में (जब <math>f</math> असीमता रूप से <math>-\infty</math> के समान नहीं होता है) निम्नलिखित को भी पूर्ण करता है:
विशेष स्थितियों में जहां <math>Y = [-\infty,\infty] = \R \cup \{ \pm\infty \}</math> विस्तारित यथार्थात्मक संख्याएँ होती हैं, यदि <math>f</math> सभी <math>S</math> पर असीम रूप से <math>-\infty</math> पर तबके समान होता है, तो <math>\operatorname{argmin}_S f := \varnothing</math> (इसका तात्पर्य है, <math>\operatorname{argmin}_S -\infty := \varnothing</math>) होता है, और अन्यथा <math>\operatorname{argmin}_S f</math> f उपरोक्त रूप में परिभाषित होता है और इसके अतिरिक्त, इस स्थितियों में (जब <math>f</math> असीमता रूप से <math>-\infty</math> के समान नहीं होता है) निम्नलिखित को भी पूर्ण करता है:
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== उदाहरण और गुण ==
== उदाहरण और गुण ==


उदाहरण के लिए, यदि <math>f(x)</math> है <math>1 - |x|,</math> है, तो <math>f</math> का अधिकतम मान <math>1</math> को केवल बिंदु <math>x = 0.</math> पर प्राप्त करता है। इसलिए,
उदाहरण के लिए, यदि <math>f(x)</math> निम्नलिखित रूप हो:
 
<math>1 - |x|,</math>  
 
तो <math>f</math> का अधिकतम मूल्य को सिर्फ बिंदु <math>x = 0.</math> पर प्राप्त करता है। इसलिए,


:<math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, (1 - |x|) = \{ 0 \}.</math>
:<math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, (1 - |x|) = \{ 0 \}.</math>
<math>\operatorname{argmax}</math> ऑपरेटर अभिगम के ऑपरेटर से अलग होता है। अभिगम ऑपरेटर, ऐसे फ़ंक्शन को देने पर, फ़ंक्शन का अधिकतम मान लौटाता है बजाय उस बिंदु या बिंदुओं का जो उस फ़ंक्शन को उस मान तक पहुंचाते हैं। इन शब्दों में,
<math>\operatorname{argmax}</math> ऑपरेटर <math>\operatorname{max}</math> ऑपरेटर से अलग होता है। <math>\operatorname{max}</math> ऑपरेटर, जब एक साथी फ़ंक्शन को दिया जाता है, वह फ़ंक्शन का अधिकतम मान देता है, बल्कि उस बिंदु या बिंदुओं को नहीं जिससे वह फ़ंक्शन उस मान तक पहुंचता है। अन्य शब्दों में,
:<math>\max_x f(x)</math> में तत्व है <math>\{ f(x) ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in S \}.</math>
:<math>\max_x f(x)</math> में तत्व है <math>\{ f(x) ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in S \}.</math>
<math>\operatorname{argmax},</math> की प्रकार <math>\operatorname{max}</math> रिक्त समुच्चय (जिसमें अधिकतम परिभाषित नहीं होता) या एकल समुच्चय हो सकता है, किन्तु <math>\operatorname{argmax},</math> के विपरीत, <math>\operatorname{max}</math> एकाधिक तत्वों को नहीं समेत सकता है: उदाहरण के लिए, यदि : उदाहरण के लिए, यदि <math>f(x)</math> = <math>4 x^2 - x^4,</math> है, तो <math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right\},</math> किन्तु <math>\underset{x}{\operatorname{max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \{ 4 \}</math> क्योंकि फ़ंक्शन <math>\operatorname{argmax}.</math> प्रत्येक तत्व पर समान मान प्राप्त करता है  
<math>\operatorname{argmax},</math> की प्रकार <math>\operatorname{max}</math> रिक्त समुच्चय (जिसमें अधिकतम अवरोधित है) या एकल समुच्चय हो सकता है, किन्तु <math>\operatorname{argmax},</math> के विपरीत, <math>\operatorname{max}</math> एकाधिक तत्वों को नहीं समेत सकता है: उदाहरण के लिए, यदि: <math>f(x)</math> = <math>4 x^2 - x^4,</math> है, तो <math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right\},</math> किन्तु <math>\underset{x}{\operatorname{max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \{ 4 \}</math> क्योंकि फलन <math>\operatorname{argmax}.</math> प्रत्येक तत्व पर समान मान प्राप्त करता है  


समान रूप से, यदि <math>M</math> की अधिकतम है <math>f,</math> तो <math>\operatorname{argmax}</math> अधिकतम का स्तर समुच्चय है:<ref group="note">Due to the [[Antisymmetric relation|anti-symmetry]] of <math>\,\leq,</math> a function can have at most one maximal value.</ref>
समान रूप से, यदि <math>M</math> की अधिकतम है <math>f,</math> तो <math>\operatorname{argmax}</math> अधिकतम का स्तर समुच्चय है:<ref group="note">Due to the [[Antisymmetric relation|anti-symmetry]] of <math>\,\leq,</math> a function can have at most one maximal value.</ref>
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:<math>\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, (x(10 - x)) = 5</math>
:<math>\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, (x(10 - x)) = 5</math>
(एकलटन(गणित) समुच्चय के अतिरिक्त <math>\{ 5 \}</math>), क्योंकि फ़ंक्शन <math>x (10 - x)</math> का अधिकतम मान <math>25,</math>है, जो बिंदु <math>x = 5.</math><ref group="note">Note that <math>x (10 - x) = 25 - (x-5)^2 \leq 25</math> with equality if and only if <math>x - 5 = 0.</math></ref> पर होता है। चूंकि, यदि अधिकतम कई बिंदुओं पर पहुंचा जाता है, तो <math>\operatorname{argmax}</math> को बिंदु सेट के रूप में विचार किया जाना चाहिए।
(एकलटन(गणित) समुच्चय के अतिरिक्त <math>\{ 5 \}</math>), क्योंकि फलन <math>x (10 - x)</math> का अधिकतम मान <math>25,</math>है, जो बिंदु <math>x = 5.</math><ref group="note">Note that <math>x (10 - x) = 25 - (x-5)^2 \leq 25</math> with equality if and only if <math>x - 5 = 0.</math></ref> पर होता है। चूंकि, यदि अधिकतम कई बिंदुओं पर पहुंचा जाता है, तो <math>\operatorname{argmax}</math> को बिंदु सेट के रूप में विचार किया जाना चाहिए।


उदाहरण के लिए,
उदाहरण के लिए,
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:<math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \left\{ 2 k \pi ~:~ k \in \mathbb{Z} \right\},</math> तो अनंत समुच्चय है।
:<math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \left\{ 2 k \pi ~:~ k \in \mathbb{Z} \right\},</math> तो अनंत समुच्चय है।


फ़ंक्शन सामान्यतः अधिकतम मान नहीं प्राप्त करते हैं, और इसलिए <math>\operatorname{argmax}</math> कभी-कभी रिक्त सेट होता है; उदाहरण के लिए, <math>\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, x^3 = \varnothing,</math> क्योंकि <math>x^3</math>,वास्तविक रेखा पर असीमित होता है। उदाहरण के रूप में, <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \arctan(x) = \varnothing,</math> यद्यपि |<math>\arctan</math> आवरित होता है <math>\pm\pi/2.</math> से यद्यपि, [[चरम मूल्य प्रमेय]] के अनुसार, [[अंतराल (गणित)]] पर सतत वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन में अधिकतम होता है, और इसलिए खाली नहीं <math>\operatorname{argmax}.</math> होता है।
फलन सामान्यतः अधिकतम मान नहीं प्राप्त करते हैं, और इसलिए <math>\operatorname{argmax}</math> कभी-कभी रिक्त सेट होता है; उदाहरण के लिए, <math>\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, x^3 = \varnothing,</math> क्योंकि <math>x^3</math>,वास्तविक रेखा पर असीमित होता है। उदाहरण के रूप में, <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \arctan(x) = \varnothing,</math> यद्यपि |<math>\arctan</math> वास्तविक रेखा पर <math>\pm\pi/2.</math> से बंद है। यद्यपि, [[चरम मूल्य प्रमेय]] के अनुसार, [[अंतराल (गणित)]] पर सतत वास्तविक-मूल्यवान फलन में अधिकतम होता है, और इसलिए खाली नहीं <math>\operatorname{argmax}.</math> होता है।
==यह भी देखें==
==यह भी देखें==


* किसी फ़ंक्शन का तर्क
* किसी फलन का तर्क
* उच्चिष्ट और निम्निष्ट
* उच्चिष्ट और निम्निष्ट
* [[मोड (सांख्यिकी)]]
* [[मोड (सांख्यिकी)]]

Revision as of 06:21, 20 July 2023

उदाहरण के रूप में, अनमान्यकृत और मानकृत सिंक फलन के लिए उपरोक्त दोनों में का 0 होता है, क्योंकि दोनों में x = 0 पर उनके वृहत्तम मान 1 होते हैं।

असामान्यीकृत चिन्ह फलन (लाल) का आर्ग न्यूनतम अधिकतर {−4.49, 4.49} होता है, इसके x = ±4.49 पर अधिकतर -0.217 के दो वृहत्तम न्यूनतम मान होते हैं। यद्यपि, सामान्यीकृत चिन्ह फलन (नीला) का आर्ग न्यूनतम {−1.43, 1.43} होता है,क्योंकि इसके वृहत्तम न्यूनतम मान x = ±1.43 पर होते हैं, चूंकि न्यूनतम मान समान होता है।[1]

गणित में, अधिकतम का तर्क (जिसे संक्षेप में आर्ग मैक्स या आर्गमैक्स कहा जाता है) वह बिंदु होते हैं, या तत्व, किसी फलन (गणित) के कार्यक्षेत्र के बिंदु होते हैं, जिन पर फलन के मान अधिकतम होते हैं।[note 1] वैश्विक अधिकतम के विपरीत, जो संदर्भित करता है किसी फलन का सबसे बड़ा आउटपुट, आर्ग मैक्स इनपुट या तर्क को संदर्भित करता है, जिस पर फलन आउटपुट जितना संभव हो उतना बड़ा होता है।

परिभाषा

गणित में, दिए गए ऐसे समुच्चय , पूरी प्रकार से ऑर्डर किया गया समुच्चय , और फलन, , के लिए के किसी उपसेट के लिए (आर्ग मैक्स) को निम्न रूप में परिभाषित किया जाता है:

यदि या प्रसंग से स्पष्ट है, तो अधिकांशतः को छोड़ दिया जाता है, जैसे अन्या शब्दों में, अंकों का समुच्चय (गणित) है जिसमें के बिंदु सम्मलित हैं, जिनके लिए फलन का सबसे बड़ा मान प्राप्त करता है (यदि यह उपस्थित है)। यह खाली समुच्चय, सिंगलटन (गणित) हो सकता है, या इसमें कई तत्व सम्मलित हो सकते हैं।

उत्तल विश्लेषण और परिवर्तनशील विश्लेषण के क्षेत्र में,थोड़ी अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है जब विशेष स्थितियों में विस्तारित वास्तविक संख्याएँ होती हैं।[2] इस स्थितियों में, यदि समान रूप से समान होता है,तो