पिकार्ड समूह

Not to be confused with पिकार्ड मॉड्यूलर समूह.

गणित में, वलययुक्त समिष्ट X का पिकार्ड समूह, जिसे Pic(X) द्वारा निरूपित किया जाता है, X पर उल्टे शीव्स (या लाइन बंडल) के समरूपता वर्गों का समूह है, इस प्रकार समूह संचालन टेंसर उत्पाद है। यह निर्माण विभाजक वर्ग समूह, या आदर्श वर्ग समूह के निर्माण का वैश्विक संस्करण है, और इसका उपयोग बीजगणितीय ज्यामिति और समष्टि मैनिफ़ोल्ड के सिद्धांत में बहुत अधिक किया जाता है।

वैकल्पिक रूप से, पिकार्ड समूह को शीफ़ कोहोमोलोजी समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,$

अभिन्न स्कीम (गणित) के लिए पिकार्ड समूह कार्टियर विभाजक के वर्ग समूह के समरूपी है। समष्टि मैनिफ़ोल्ड के लिए घातीय शीफ़ अनुक्रम पिकार्ड समूह पर मूलभूत जानकारी देता है।

यह नाम एमिल पिकार्ड के सिद्धांतों, विशेष रूप से बीजगणितीय सतह पर विभाजक के सम्मान में है।

उदाहरण

• डेडेकाइंड डोमेन के रिंग के स्पेक्ट्रम का पिकार्ड समूह इसका आदर्श वर्ग समूह है।
• k क्षेत्र के लिए प्रक्षेप्य समिष्ट Pⁿ(k) पर विपरीत शीव्स घुमाने वाले शीव्स ${\mathcal {O}}(m),\,$ हैं, इसलिए Pⁿ(k) का पिकार्ड समूह Z के लिए समरूपी है।
• k पर दो मूलों वाली एफ़िन लाइन का पिकार्ड समूह 'Z' के लिए समरूपी है।
• पिकार्ड समूह $n$-आयामी समष्टि एफ़िन समष्टि: $\operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0$, वास्तव में घातीय अनुक्रम कोहोलॉजी में निम्नलिखित लंबे स्पष्ट अनुक्रम उत्पन्न करता है

  $\dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots$

और चूँकि $H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )$ हमारे पास $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0$ है क्योंकि $\mathbb {C} ^{n}$ अनुबंध योग्य है, तो $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })$ और हम डॉल्बियॉल्ट कोहोमोलॉजी लेम्मा द्वारा $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0$ की गणना करने के लिए डॉल्बियॉल्ट समरूपता प्रयुक्त कर सकते हैं।

पिकार्ड स्कीम

पिकार्ड समूह, पिकार्ड स्कीम (के प्रतिनिधित्व योग्य फ़नकार संस्करण) पर स्कीम संरचना का निर्माण, बीजगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण कदम है, विशेष रूप से एबेलियन विभिन्नताों के द्वैत सिद्धांत में इसका निर्माण किया गया था ग्रोथेंडिक (1962), और द्वारा भी वर्णित है मम्फोर्ड (1966) और क्लेमन (2005).

मौलिक बीजगणितीय ज्यामिति के लिए सबसे महत्वपूर्ण स्थितियों में, बीजगणितीय वक्र या एकवचन या गैर-एकवचन पूर्ण विविधता V के लिए विशेषता (बीजगणित) शून्य के क्षेत्र (गणित) पर, पिकार्ड स्कीम में पहचान का कनेक्टेड समिष्ट एबेलियन है विभिन्नता को 'पिकार्ड विभिन्नता' कहा जाता है और चित्र से दर्शाया जाता है. पिकार्ड विभिन्नता की दोहरी जैकोबियन विभिन्नता है, और विशेष स्थिति में जहां v वक्र है, पिकार्ड विभिन्नता स्वाभाविक रूप से v की जैकोबियन विभिन्नता के लिए आइसोमोर्फिक है। चूँकि, धनात्मक विशेषता वाले क्षेत्रों के लिए, नेरॉन-सेवेरी समूह ने उदाहरण का निर्माण किया छवि के साथ स्मूथ प्रक्षेप्य सतह s⁰(s) गैर-कम, और इसलिए एबेलियन विभिन्नता नहीं है।

भागफल Pic(V) या Pic⁰(V) सूक्ष्म रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह है जिसे NS(V) कहा जाता है, जो V का 'नेरॉन-सेवेरी समूह' है। दूसरे शब्दों में पिकार्ड समूह स्पष्ट अनुक्रम में फिट बैठता है

$1\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}}^0(V)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}(V)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{N}\mathrm{S}(V)\to <!--\; \to \; -->$