सतत फलन: Difference between revisions
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*<math>D = (a, b) = \{x \in \R \mid a < x < b \} </math>: <math> D </math> विवृत अंतराल है. | *<math>D = (a, b) = \{x \in \R \mid a < x < b \} </math>: <math> D </math> विवृत अंतराल है. | ||
डोमेन <math>D</math> को एक खुले अंतराल के रूप में परिभाषित किए जाने के | डोमेन <math>D</math> को एक खुले अंतराल के रूप में परिभाषित किए जाने के स्थिति में, <math>a</math> और <math>b</math> <math>D</math> से संबंधित नहीं हैं, और <math>D</math> पर निरंतरता के लिए <math>f(a)</math> और <math>f(b)</math> के मान अर्थ नहीं रखते हैं। | ||
====फलनों की सीमा के संदर्भ में परिभाषा==== | ====फलनों की सीमा के संदर्भ में परिभाषा==== | ||
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वैकल्पिक रूप से लिखा, की निरंतरता <math>f : D \to \mathbb{R}</math> पर <math>x_0 \in D</math> इसका अर्थ है कि हर किसी के लिए <math>\varepsilon > 0,</math> वहाँ उपस्थित है <math>\delta > 0</math> ऐसा कि सभी के लिए <math>x \in D</math>: | वैकल्पिक रूप से लिखा, की निरंतरता <math>f : D \to \mathbb{R}</math> पर <math>x_0 \in D</math> इसका अर्थ है कि हर किसी के लिए <math>\varepsilon > 0,</math> वहाँ उपस्थित है <math>\delta > 0</math> ऐसा कि सभी के लिए <math>x \in D</math>: | ||
<math display="block">\left|x - x_0\right| < \delta ~~\text{ implies }~~ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon.</math> | <math display="block">\left|x - x_0\right| < \delta ~~\text{ implies }~~ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon.</math> | ||
अधिक सहजता से हम कह सकते हैं कि यदि हम सब कुछ पाना चाहते हैं <math>f(x)</math> आसपास के कुछ छोटे [[टोपोलॉजिकल पड़ोस|टोपोलॉजिकल निकटतम]] में रहने का मान <math>f\left(x_0\right),</math> हमें बस इसके लिए छोटा सा निकटतम चुनने की जरूरत है <math>x</math> चारों ओर मान <math>x_0</math> | अधिक सहजता से हम कह सकते हैं कि यदि हम सब कुछ पाना चाहते हैं <math>f(x)</math> आसपास के कुछ छोटे [[टोपोलॉजिकल पड़ोस|टोपोलॉजिकल निकटतम]] में रहने का मान <math>f\left(x_0\right),</math> हमें बस इसके लिए छोटा सा निकटतम चुनने की जरूरत है <math>x</math> चारों ओर मान <math>x_0</math> यदि हम ऐसा कर सकते हैं तो कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कितना छोटा है <math>f(x_0)</math> तो निकटतम है <math>f</math> पर निरंतर <math>x_0</math> है। | ||
आधुनिक शब्दों में, इसे [[आधार (टोपोलॉजी)]] के संबंध में किसी फलन की निरंतरता की परिभाषा द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है, यहां [[मीट्रिक टोपोलॉजी]] है। | आधुनिक शब्दों में, इसे [[आधार (टोपोलॉजी)]] के संबंध में किसी फलन की निरंतरता की परिभाषा द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है, यहां [[मीट्रिक टोपोलॉजी]] है। | ||
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फलन <math>x_0</math> निरंतर है यदि यह कुछ नियंत्रण फलन C के लिए C-निरंतर है। | फलन <math>x_0</math> निरंतर है यदि यह कुछ नियंत्रण फलन C के लिए C-निरंतर है। | ||
यह दृष्टिकोण स्वाभाविक रूप से स्वीफलन नियंत्रण फलनों के सेट को सीमित करके निरंतरता की धारणा को परिष्कृत करने की ओर ले जाता है। नियंत्रण फलनों के दिए गए सेट के लिए <math>\mathcal{C}</math> फलन है {{nowrap|<math>\mathcal{C}</math>-continuous}} | यह दृष्टिकोण स्वाभाविक रूप से स्वीफलन नियंत्रण फलनों के सेट को सीमित करके निरंतरता की धारणा को परिष्कृत करने की ओर ले जाता है। नियंत्रण फलनों के दिए गए सेट के लिए <math>\mathcal{C}</math> फलन है {{nowrap|<math>\mathcal{C}</math>-continuous}} यदि यह है {{nowrap|<math>C</math>-continuous}} कुछ के लिए <math>C \in \mathcal{C}.</math> उदाहरण के लिए, [[लिप्सचिट्ज़ निरंतरता]] और घातांक के होल्डर निरंतर फलन {{mvar|α}} नीचे नियंत्रण फलनों के सेट द्वारा परिभाषित किया गया है | ||
<math display="block">\mathcal{C}_{\mathrm{Lipschitz}} = \{C : C(\delta) = K|\delta| ,\ K > 0\}</math> क्रमश: | <math display="block">\mathcal{C}_{\mathrm{Lipschitz}} = \{C : C(\delta) = K|\delta| ,\ K > 0\}</math> क्रमश: | ||
<math display="block">\mathcal{C}_{\text{Hölder}-\alpha} = \{C : C(\delta) = K |\delta|^\alpha, \ K > 0\}.</math> | <math display="block">\mathcal{C}_{\text{Hölder}-\alpha} = \{C : C(\delta) = K |\delta|^\alpha, \ K > 0\}.</math> | ||
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जो कई आवश्यकताओं को पूरा करता है, विशेषकर त्रिकोण असमानता को। दो मीट्रिक स्थान <math>\left(X, d_X\right)</math> और <math>\left(Y, d_Y\right)</math> दिए गए हैं और फलन | जो कई आवश्यकताओं को पूरा करता है, विशेषकर त्रिकोण असमानता को। दो मीट्रिक स्थान <math>\left(X, d_X\right)</math> और <math>\left(Y, d_Y\right)</math> दिए गए हैं और फलन | ||
<math display="block">f : X \to Y</math> | <math display="block">f : X \to Y</math> | ||
तब <math>f</math> बिंदु पर निरंतर है <math>c \in X</math> (दिए गए मेट्रिक्स के संबंध में) यदि किसी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0,</math> वहाँ सकारात्मक वास्तविक संख्या उपस्थित है <math>\delta > 0</math> ऐसे कि सब <math>x \in X</math> संतुष्टि देने वाला <math>d_X(x, c) < \delta</math> संतुष्ट भी करेगा <math>d_Y(f(x), f(c)) < \varepsilon.</math> जैसा कि उपरोक्त वास्तविक फलनों के | तब <math>f</math> बिंदु पर निरंतर है <math>c \in X</math> (दिए गए मेट्रिक्स के संबंध में) यदि किसी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0,</math> वहाँ सकारात्मक वास्तविक संख्या उपस्थित है <math>\delta > 0</math> ऐसे कि सब <math>x \in X</math> संतुष्टि देने वाला <math>d_X(x, c) < \delta</math> संतुष्ट भी करेगा <math>d_Y(f(x), f(c)) < \varepsilon.</math> जैसा कि उपरोक्त वास्तविक फलनों के स्थिति में है, यह प्रत्येक अनुक्रम के लिए इस शर्त के बराबर है <math>\left(x_n\right)</math> में <math>X</math> सीमा के साथ <math>\lim x_n = c,</math> अपने पास <math>\lim f\left(x_n\right) = f(c).</math> बाद की स्थिति को इस प्रकार कमजोर किया जा सकता है: <math>f</math> बिंदु पर निरंतर है <math>c</math> यदि और केवल यदि प्रत्येक अभिसरण अनुक्रम के लिए <math>\left(x_n\right)</math> में <math>X</math> सीमा के साथ <math>c</math>, क्रम <math>\left(f\left(x_n\right)\right)</math> [[कॉची अनुक्रम]] है, और <math>c</math> के क्षेत्र में है <math>f</math>. | ||
उन बिंदुओं का समूह, जिन पर मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच फलन निरंतर है, <math>G_{\delta}</math> सेट- यह इस प्रकार है <math>\varepsilon-\delta</math> निरंतरता की परिभाषा. | उन बिंदुओं का समूह, जिन पर मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच फलन निरंतर है, <math>G_{\delta}</math> सेट- यह इस प्रकार है <math>\varepsilon-\delta</math> निरंतरता की परिभाषा. | ||
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किसी के लिए रखता है <math>b, c \in X.</math><ref>{{Citation | last1=Searcóid | first1=Mícheál Ó | title=Metric spaces | url=https://books.google.com/books?id=aP37I4QWFRcC | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Springer undergraduate mathematics series | isbn=978-1-84628-369-7 | year=2006}}, section 9.4</ref> उदाहरण के लिए, [[साधारण अंतर समीकरण]]ों के समाधान से संबंधित पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय में लिप्सचिट्ज़ स्थिति होती है। | किसी के लिए रखता है <math>b, c \in X.</math><ref>{{Citation | last1=Searcóid | first1=Mícheál Ó | title=Metric spaces | url=https://books.google.com/books?id=aP37I4QWFRcC | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Springer undergraduate mathematics series | isbn=978-1-84628-369-7 | year=2006}}, section 9.4</ref> उदाहरण के लिए, [[साधारण अंतर समीकरण]]ों के समाधान से संबंधित पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय में लिप्सचिट्ज़ स्थिति होती है। | ||
== | ==टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच निरंतर फलन == | ||
निरंतरता की और, अधिक अमूर्त, धारणा टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच फलनों की निरंतरता है जिसमें सामान्यतः दूरी की कोई औपचारिक धारणा नहीं होती है, जैसा कि मीट्रिक रिक्त स्थान के स्थिति में होता है। टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स पर टोपोलॉजी के साथ सेट किसी दिए गए बिंदु का [[पड़ोस (गणित)|निकटतम (गणित)]]। टोपोलॉजी के तत्वों को एक्स (टोपोलॉजी के संबंध में) के खुले उपसमुच्चय कहा जाता है। | |||
निरंतरता की और, अधिक अमूर्त, धारणा टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच फलनों की निरंतरता है जिसमें सामान्यतः दूरी की कोई औपचारिक धारणा नहीं होती है, जैसा कि मीट्रिक रिक्त स्थान के | |||
फलन | फलन | ||
<math display="block">f : X \to Y</math> | <math display="block">f : X \to Y</math> | ||
यदि प्रत्येक खुले सेट के लिए दो टोपोलॉजिकल स्पेस X और Y के बीच निरंतर है <math>V \subseteq Y,</math> छवि (गणित) | यदि प्रत्येक खुले सेट के लिए दो टोपोलॉजिकल स्पेस X और Y के बीच निरंतर है <math>V \subseteq Y,</math> छवि (गणित) व्युत्क्रम छवि | ||
<math display="block">f^{-1}(V) = \{x \in X \; | \; f(x) \in V \}</math> | <math display="block">f^{-1}(V) = \{x \in X \; | \; f(x) \in V \}</math> | ||
एक्स का विवृत उपसमुच्चय है। अर्थात्, | एक्स का विवृत उपसमुच्चय है। अर्थात्, f सेट X और Y के बीच फलन है (टोपोलॉजी <math>T_X</math> के तत्वों पर नहीं), किन्तु f की निरंतरता X और Y पर प्रयुक्त टोपोलॉजी पर निर्भर करती है। | ||
यह इस शर्त के समतुल्य है कि Y में [[बंद सेट|संवृत | यह इस शर्त के समतुल्य है कि Y में [[बंद सेट|संवृत सेटो]] (जो खुले उपसमुच्चय के पूरक हैं) की छवि (गणित) व्युत्क्रम छवि X में संवृत है। | ||
चरम उदाहरण: यदि सेट | चरम उदाहरण: यदि सेट X को [[असतत टोपोलॉजी]] दी गई है (जिसमें प्रत्येक उपसमुच्चय विवृत है), सभी फलन | ||
<math display="block">f : X \to T</math> | <math display="block">f : X \to T</math> | ||
किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए T निरंतर हैं। दूसरी ओर, यदि X [[अविवेकी टोपोलॉजी]] से सुसज्जित है (जिसमें | किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए T निरंतर हैं। दूसरी ओर, यदि X [[अविवेकी टोपोलॉजी]] से सुसज्जित है (जिसमें एकमात्र खुले उपसमुच्चय खाली समुच्चय और X हैं) और स्पेस T सेट कम से कम T<sub>0</sub> है इसके विपरीत, कोई भी फलन जिसका कोडोमेन अविवेकी है, निरंतर है। | ||
=== बिंदु पर निरंतरता === | === बिंदु पर निरंतरता === | ||
[[File:continuity topology.svg|right|frame|बिंदु पर निरंतरता: प्रत्येक निकटतम V के लिए <math>f(x)</math>, x का निकटतम U इस प्रकार है <math>f(U) \subseteq V</math>]](ε, δ)-सीमा की परिभाषा का निकटतम की भाषा में अनुवाद|<math>(\varepsilon, \delta)</math>-निरंतरता की परिभाषा बिंदु पर निरंतरता की निम्नलिखित परिभाषा की ओर ले जाती है: | [[File:continuity topology.svg|right|frame|बिंदु पर निरंतरता: प्रत्येक निकटतम V के लिए <math>f(x)</math>, x का निकटतम U इस प्रकार है <math>f(U) \subseteq V</math>]](ε, δ)-सीमा की परिभाषा का निकटतम की भाषा में अनुवाद|<math>(\varepsilon, \delta)</math>-निरंतरता की परिभाषा बिंदु पर निरंतरता की निम्नलिखित परिभाषा की ओर ले जाती है: | ||
{{Quote frame| | {{Quote frame|एक फलन <math>f : X \to Y</math> एक बिंदु पर निरंतर है<math>x \in X</math>यदि और केवल यदि किसी पड़ोस के लिए {{mvar|V}} का <math>f(x)</math> में {{mvar|Y}}, वहाँ एक पड़ोस है {{mvar|U}} of {{mvar|x}} ऐसा है कि <math>f(U) \subseteq V.</math>}} | ||
यह परिभाषा उसी कथन के समतुल्य है जिसमें निकटतम खुले निकटतम तक सीमित हैं और छवियों के अतिरिक्त पूर्व-छवियों का उपयोग करके इसे कई तरीकों से दोहराया जा सकता है। | यह परिभाषा उसी कथन के समतुल्य है जिसमें निकटतम खुले निकटतम तक सीमित हैं और छवियों के अतिरिक्त पूर्व-छवियों का उपयोग करके इसे कई तरीकों से दोहराया जा सकता है। | ||
साथ ही, चूंकि प्रत्येक सेट जिसमें निकटतम सम्मिलित है, वह भी निकटतम है, और <math>f^{-1}(V)</math> सबसे बड़ा उपसमुच्चय है {{mvar|U}} का {{mvar|X}} ऐसा है कि <math>f(U) \subseteq V,</math> इस परिभाषा को सरल बनाया जा सकता है: | साथ ही, चूंकि प्रत्येक सेट जिसमें निकटतम सम्मिलित है, वह भी निकटतम है, और <math>f^{-1}(V)</math> सबसे बड़ा उपसमुच्चय है {{mvar|U}} का {{mvar|X}} ऐसा है कि <math>f(U) \subseteq V,</math> इस परिभाषा को सरल बनाया जा सकता है: | ||
{{Quote frame| | {{Quote frame|फलन <math>f : X \to Y</math> एक बिंदु पर निरंतर है <math>x\in X</math> यदि और केवल यदि <math>f^{-1}(V)</math> का पड़ोस है {{mvar|x}} हर पड़ोस के लिए {{mvar|V}} का<math>f(x)</math> में {{mvar|Y}}.}} | ||
जैसे कि विवृत समुच्चय ऐसा समुच्चय है जो अपने सभी बिंदुओं का निकटतम है, फलन है <math>f : X \to Y</math> के प्रत्येक बिंदु | जैसे कि विवृत समुच्चय ऐसा समुच्चय है जो अपने सभी बिंदुओं का निकटतम है, फलन है <math>f : X \to Y</math> के प्रत्येक बिंदु {{mvar|''X''}} पर निरंतर है यदि और केवल यदि यह सतत फलन है। | ||
यदि X और Y मीट्रिक स्थान हैं, तो यह सभी | यदि X और Y मीट्रिक स्थान हैं, तो यह सभी पड़ोस के बजाय x और f(x) पर केंद्रित खुली गेंदों की पड़ोस [[पड़ोस प्रणाली|निकटतम प्रणाली]] पर विचार करने के बराबर है। यह मीट्रिक रिक्त स्थान के संदर्भ में निरंतरता की उपरोक्त <math>\varepsilon-\delta</math> परिभाषा को वापस देता है। सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस में, निकटता या दूरी की कोई धारणा नहीं होती है। हालाँकि, यदि लक्ष्य स्थान एक हॉसडॉर्फ स्थान है, तो यह अभी भी सच है कि f एक पर निरंतर है और केवल तभी जब x के निकट पहुंचने पर f की सीमा f(a) होती है। एक पृथक बिंदु पर, प्रत्येक फ़ंक्शन निरंतर होता है। | ||
दिया गया <math>x \in X,</math> नक्षा <math>f : X \to Y</math> पर निरंतर है <math>x</math> यदि और केवल यदि कभी भी <math>\mathcal{B}</math> फ़िल्टर चालू है <math>X</math> वह अभिसरण फ़िल्टर <math>x</math> में <math>X,</math> जिसे लिखकर व्यक्त किया जाता है <math>\mathcal{B} \to x,</math> तो आवश्यक रूप से <math>f(\mathcal{B}) \to f(x)</math> में <math>Y.</math> | दिया गया <math>x \in X,</math> नक्षा <math>f : X \to Y</math> पर निरंतर है <math>x</math> यदि और केवल यदि कभी भी <math>\mathcal{B}</math> फ़िल्टर चालू है <math>X</math> वह अभिसरण फ़िल्टर <math>x</math> में <math>X,</math> जिसे लिखकर व्यक्त किया जाता है <math>\mathcal{B} \to x,</math> तो आवश्यक रूप से <math>f(\mathcal{B}) \to f(x)</math> में <math>Y.</math> यदि <math>\mathcal{N}(x)</math> [[पड़ोस फ़िल्टर|निकटतम फ़िल्टर]] को <math>x</math> दर्शाता है तब <math>f : X \to Y</math> पर निरंतर है <math>x</math> यदि और केवल यदि <math>f(\mathcal{N}(x)) \to f(x)</math> में <math>Y.</math>{{sfn|Dugundji|1966|pp=211–221}} इसके अतिरिक्त, ऐसा तभी होता है जब [[पूर्व फिल्टर]] हो <math>f(\mathcal{N}(x))</math> के निकटतम फ़िल्टर के लिए [[फ़िल्टर आधार]] है <math>f(x)</math> में <math>Y.</math>{{sfn|Dugundji|1966|pp=211–221}} | ||
=== वैकल्पिक परिभाषाएँ === | === वैकल्पिक परिभाषाएँ === | ||
टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी के कई लक्षण उपस्थित हैं और इस प्रकार सतत फलन को परिभाषित करने के कई समकक्ष विधियाँ हैं। | टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी के कई लक्षण उपस्थित हैं और इस प्रकार सतत फलन को परिभाषित करने के कई समकक्ष विधियाँ हैं। | ||
==== अनुक्रम और जाल | ==== अनुक्रम और जाल ==== | ||
कई संदर्भों में, किसी स्थान की टोपोलॉजी को सीमा बिंदुओं के संदर्भ में आसानी से निर्दिष्ट किया जाता है। कई उदाहरणों में, यह निर्दिष्ट करके पूरा किया जाता है जब बिंदु अनुक्रम की सीमा होती है, किन्तु कुछ स्थानों के लिए जो कुछ अर्थों में बहुत बड़े होते हैं, कोई तब भी निर्दिष्ट करता है जब बिंदु बिंदुओं के अधिक सामान्य सेटों की सीमा होती है द्वारा [[अनुक्रमित परिवार]] [[निर्देशित सेट]], जिसे [[नेट (गणित)]] के नाम से जाना जाता है। कोई फलन (Heine-) तभी सतत होता है जब वह अनुक्रमों की सीमा को अनुक्रमों की सीमा तक ले जाता है। पहले | कई संदर्भों में, किसी स्थान की टोपोलॉजी को सीमा बिंदुओं के संदर्भ में आसानी से निर्दिष्ट किया जाता है। कई उदाहरणों में, यह निर्दिष्ट करके पूरा किया जाता है जब बिंदु अनुक्रम की सीमा होती है, किन्तु कुछ स्थानों के लिए जो कुछ अर्थों में बहुत बड़े होते हैं, कोई तब भी निर्दिष्ट करता है जब बिंदु बिंदुओं के अधिक सामान्य सेटों की सीमा होती है द्वारा [[अनुक्रमित परिवार]] [[निर्देशित सेट]], जिसे [[नेट (गणित)]] के नाम से जाना जाता है। कोई फलन (Heine-) तभी सतत होता है जब वह अनुक्रमों की सीमा को अनुक्रमों की सीमा तक ले जाता है। पहले स्थिति में, सीमाओं का संरक्षण भी पर्याप्त है; उत्तरार्द्ध में, फलन अनुक्रमों की सभी सीमाओं को संरक्षित कर सकता है फिर भी निरंतर होने में विफल रहता है, और नेट का संरक्षण आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। | ||
विस्तार से, फलन <math>f : X \to Y</math> [[अनुक्रमिक निरंतरता]] है यदि जब भी कोई अनुक्रम हो <math>\left(x_n\right)</math> में <math>X</math> सीमा तक एकत्रित हो जाता है <math>x,</math> क्रम <math>\left(f\left(x_n\right)\right)</math> में एकत्रित हो जाता है <math>f(x).</math> इस प्रकार क्रमिक रूप से निरंतर फलन अनुक्रमिक सीमाओं को संरक्षित करते हैं। प्रत्येक सतत फलन क्रमिक रूप से निरंतर होता है। | विस्तार से, फलन <math>f : X \to Y</math> [[अनुक्रमिक निरंतरता]] है यदि जब भी कोई अनुक्रम हो <math>\left(x_n\right)</math> में <math>X</math> सीमा तक एकत्रित हो जाता है <math>x,</math> क्रम <math>\left(f\left(x_n\right)\right)</math> में एकत्रित हो जाता है <math>f(x).</math> इस प्रकार क्रमिक रूप से निरंतर फलन अनुक्रमिक सीमाओं को संरक्षित करते हैं। प्रत्येक सतत फलन क्रमिक रूप से निरंतर होता है। यदि <math>X</math> प्रथम-गणनीय स्थान है और गणनीय विकल्प का अभिगृहीत धारण करता है, फिर इसका व्युत्क्रम भी धारण करता है: अनुक्रमिक सीमाओं को संरक्षित करने वाला कोई भी फलन निरंतर होता है। विशेषकर, यदि <math>X</math> मीट्रिक स्थान है, अनुक्रमिक निरंतरता और निरंतरता समतुल्य हैं। गैर-प्रथम-गणनीय स्थानों के लिए, अनुक्रमिक निरंतरता निरंतरता की तुलना में सख्ती से कमजोर हो सकती है। (वे स्थान जिनके लिए दो गुण समतुल्य हैं, [[अनुक्रमिक स्थान]] कहलाते हैं।) यह सामान्य टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान में अनुक्रमों के अतिरिक्त नेट पर विचार करने को प्रेरित करता है। निरंतर फलन नेट की सीमाओं को संरक्षित करते हैं, और वास्तव में यह गुण निरंतर फलनों की विशेषता बताता है। | ||
उदाहरण के लिए, वास्तविक वेरिएबल के वास्तविक-मानवान फलनों के | उदाहरण के लिए, वास्तविक वेरिएबल के वास्तविक-मानवान फलनों के स्थिति पर विचार करें:<ref>{{cite book |title=यूक्लिडियन अंतरिक्ष में कैलकुलस और विश्लेषण|edition=illustrated |first1=Jerry |last1=Shurman |publisher=Springer |year=2016 |isbn=978-3-319-49314-5 |pages=271–272 |url=https://books.google.com/books?id=wTmgDQAAQBAJ}}</ref> | ||
{{math theorem|name=Theorem|note=|style=|math_statement= | {{math theorem|name=Theorem|note=|style=|math_statement=एक फ़ंक्शनn <math>f : A \subseteq \R \to \R</math> पर निरंतर है यदि और केवल यदि यह उस बिंदु <math>x_0</math> [[क्रमिक रूप से निरंतर]] पर है। | ||
}} | }} | ||
{{collapse top|title=Proof|left=true}} | {{collapse top|title=Proof|left=true}} | ||
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[[ समापन (टोपोलॉजी) ]] ऑपरेटर के संदर्भ में, <math>f : X \to Y</math> निरंतर है यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq X,</math> | [[ समापन (टोपोलॉजी) ]] ऑपरेटर के संदर्भ में, <math>f : X \to Y</math> निरंतर है यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq X,</math> | ||
<math display=block>f\left(\operatorname{cl}_X A\right) ~\subseteq~ \operatorname{cl}_Y (f(A)).</math> | <math display=block>f\left(\operatorname{cl}_X A\right) ~\subseteq~ \operatorname{cl}_Y (f(A)).</math> | ||
कहने का तात्पर्य यह है कि कोई भी तत्व दिया गया है <math>x \in X</math> यह उपसमुच्चय के संवृत होने से संबंधित है <math>A \subseteq X,</math> <math>f(x)</math> आवश्यक रूप से संवृत करने के अंतर्गत आता है <math>f(A)</math> में <math>Y.</math> यदि हम इसे बिंदु घोषित करते हैं <math>x</math> है {{em|close to}} उपसमुच्चय <math>A \subseteq X</math> | कहने का तात्पर्य यह है कि कोई भी तत्व दिया गया है <math>x \in X</math> यह उपसमुच्चय के संवृत होने से संबंधित है <math>A \subseteq X,</math> <math>f(x)</math> आवश्यक रूप से संवृत करने के अंतर्गत आता है <math>f(A)</math> में <math>Y.</math> यदि हम इसे बिंदु घोषित करते हैं <math>x</math> है {{em|close to}} उपसमुच्चय <math>A \subseteq X</math> यदि <math>x \in \operatorname{cl}_X A,</math> तब यह शब्दावली निरंतरता के स्पष्ट अंग्रेजी विवरण की अनुमति देती है: <math>f</math> निरंतर है यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq X,</math> <math>f</math> उन बिंदुओं को मानचित्रित करें जो निकट हैं <math>A</math> उन बिंदुओं के लिए जो करीब हैं <math>f(A).</math> इसी प्रकार, <math>f</math> निश्चित दिए गए बिंदु पर निरंतर है <math>x \in X</math> यदि और केवल यदि कभी भी <math>x</math> उपसमुच्चय के करीब है <math>A \subseteq X,</math> तब <math>f(x)</math> इसके करीब है <math>f(A).</math> | ||
टोपोलॉजिकल स्पेस को उनके [[ खुला सेट | विवृत सेट]] द्वारा निर्दिष्ट करने के अतिरिक्त, किसी भी टोपोलॉजी को चालू करें <math>X</math> [[कुराटोस्की क्लोजर ऑपरेटर]] या [[ आंतरिक संचालक ]] द्वारा श्रेणियों की समतुल्यता की जा सकती है। | टोपोलॉजिकल स्पेस को उनके [[ खुला सेट | विवृत सेट]] द्वारा निर्दिष्ट करने के अतिरिक्त, किसी भी टोपोलॉजी को चालू करें <math>X</math> [[कुराटोस्की क्लोजर ऑपरेटर]] या [[ आंतरिक संचालक ]] द्वारा श्रेणियों की समतुल्यता की जा सकती है। | ||
विशेष रूप से, वह मानचित्र जो उपसमूह भेजता है <math>A</math> टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> इसके समापन के लिए (टोपोलॉजी) <math>\operatorname{cl}_X A</math> कुराटोस्की समापन सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। इसके विपरीत, किसी भी कुराटोस्की क्लोजर ऑपरेटर के लिए <math>A \mapsto \operatorname{cl} A</math> वहाँ अद्वितीय टोपोलॉजी उपस्थित है <math>\tau</math> पर <math>X</math> (विशेष रूप से, <math>\tau := \{ X \setminus \operatorname{cl} A : A \subseteq X \}</math>) ऐसा कि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq X,</math> <math>\operatorname{cl} A</math> टोपोलॉजिकल क्लोजर के बराबर है <math>\operatorname{cl}_{(X, \tau)} A</math> का <math>A</math> में <math>(X, \tau).</math> यदि सेट <math>X</math> और <math>Y</math> प्रत्येक क्लोजर ऑपरेटरों से जुड़ा हुआ है (दोनों द्वारा चिह्नित)। <math>\operatorname{cl}</math>) फिर नक्शा <math>f : X \to Y</math> निरंतर है यदि और केवल यदि <math>f(\operatorname{cl} A) \subseteq \operatorname{cl} (f(A))</math> प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq X.</math> | विशेष रूप से, वह मानचित्र जो उपसमूह भेजता है <math>A</math> टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> इसके समापन के लिए (टोपोलॉजी) <math>\operatorname{cl}_X A</math> कुराटोस्की समापन सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। इसके विपरीत, किसी भी कुराटोस्की क्लोजर ऑपरेटर के लिए <math>A \mapsto \operatorname{cl} A</math> वहाँ अद्वितीय टोपोलॉजी उपस्थित है <math>\tau</math> पर <math>X</math> (विशेष रूप से, <math>\tau := \{ X \setminus \operatorname{cl} A : A \subseteq X \}</math>) ऐसा कि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq X,</math> <math>\operatorname{cl} A</math> टोपोलॉजिकल क्लोजर के बराबर है <math>\operatorname{cl}_{(X, \tau)} A</math> का <math>A</math> में <math>(X, \tau).</math> यदि सेट <math>X</math> और <math>Y</math> प्रत्येक क्लोजर ऑपरेटरों से जुड़ा हुआ है (दोनों द्वारा चिह्नित)। <math>\operatorname{cl}</math>) फिर नक्शा <math>f : X \to Y</math> निरंतर है यदि और केवल यदि <math>f(\operatorname{cl} A) \subseteq \operatorname{cl} (f(A))</math> प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq X.</math> | ||
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==== फ़िल्टर और प्रीफ़िल्टर ==== | ==== फ़िल्टर और प्रीफ़िल्टर ==== | ||
{{Main| | {{Main|टोपोलॉजी में फ़िल्टर}} | ||
निरंतरता को [[फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)]] के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है। फलन <math>f : X \to Y</math> निरंतर है यदि और केवल यदि जब भी कोई फ़िल्टर हो <math>\mathcal{B}</math> पर <math>X</math> अभिसरण फ़िल्टर में <math>X</math> स्तर तक <math>x \in X,</math> फिर प्रीफिल्टर <math>f(\mathcal{B})</math> में एकत्रित हो जाता है <math>Y</math> को <math>f(x).</math> यदि शब्द फ़िल्टर को प्रीफ़िल्टर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है तो यह लक्षण वर्णन सत्य रहता है।{{sfn|Dugundji|1966|pp=211–221}} | निरंतरता को [[फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)]] के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है। फलन <math>f : X \to Y</math> निरंतर है यदि और केवल यदि जब भी कोई फ़िल्टर हो <math>\mathcal{B}</math> पर <math>X</math> अभिसरण फ़िल्टर में <math>X</math> स्तर तक <math>x \in X,</math> फिर प्रीफिल्टर <math>f(\mathcal{B})</math> में एकत्रित हो जाता है <math>Y</math> को <math>f(x).</math> यदि शब्द फ़िल्टर को प्रीफ़िल्टर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है तो यह लक्षण वर्णन सत्य रहता है।{{sfn|Dugundji|1966|pp=211–221}} | ||
===गुण=== | ===गुण=== | ||
यदि <math>f : X \to Y</math> और <math>g : Y \to Z</math> निरंतर हैं, तो रचना भी वैसी ही है <math>g \circ f : X \to Z.</math> यदि <math>f : X \to Y</math> निरंतर है और | |||
* X [[सघन स्थान]] है, तो f(X) सघन है। | * X [[सघन स्थान]] है, तो f(X) सघन है। | ||
* X [[ जुड़ा हुआ स्थान ]] है, तो f(X) [[पथ से जुड़ा हुआ]] है। | * X [[ जुड़ा हुआ स्थान ]] है, तो f(X) [[पथ से जुड़ा हुआ]] है। | ||
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==संबंधित धारणाएँ== | ==संबंधित धारणाएँ== | ||
यदि <math>f : S \to Y</math> कुछ उपसमुच्चय से सतत फलन है <math>S</math> टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> फिर {{em|{{visible anchor|निरंतर विस्तार|निरंतर विस्तार}}}} का <math>f</math> को <math>X</math> कोई सतत फलन है <math>F : X \to Y</math> ऐसा है कि <math>F(s) = f(s)</math> हरके लिए <math>s \in S,</math> जो ऐसी स्थिति है जिसे किन्तु इस प्रकार लिखा जाता है <math>f = F\big\vert_S.</math> शब्दों में कहें तो यह कोई सतत फलन है <math>F : X \to Y</math> किसी फलन का वह प्रतिबंध <math>f</math> पर <math>S.</math> इस धारणा का उपयोग, उदाहरण के लिए, [[टिट्ज़ विस्तार प्रमेय]] और हैन-बानाच प्रमेय में किया जाता है। थे <math>f : S \to Y</math> यदि यह निरंतर नहीं है तो संभवतः इसका निरंतर विस्तार नहीं हो सकता। यदि <math>Y</math> हॉसडॉर्फ़ स्थान है और <math>S</math> का सघन समुच्चय है <math>X</math> फिर का निरंतर विस्तार <math>f : S \to Y</math> को <math>X,</math> यदि कोई अस्तित्व में है, तो अद्वितीय होगा। [[ब्लमबर्ग प्रमेय]] बताता है कि यदि <math>f : \R \to \R</math> मनमाना फलन है तो सघन उपसमुच्चय उपस्थित है <math>D</math> का <math>\R</math> ऐसे कि प्रतिबंध <math>f\big\vert_D : D \to \R</math> निरंतर है; दूसरे शब्दों में, प्रत्येक फलन <math>\R \to \R</math> इसे कुछ सघन उपसमुच्चय तक सीमित किया जा सकता है जिस पर यह निरंतर है। | |||
विभिन्न अन्य गणितीय डोमेन विभिन्न, किन्तु संबंधित अर्थों में निरंतरता की अवधारणा का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, ऑर्डर सिद्धांत में, ऑर्डर-संरक्षण फलन <math>f : X \to Y</math> विशेष प्रकार के आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के बीच <math>X</math> और <math>Y</math> यदि प्रत्येक निर्देशित सेट के लिए निरंतर है <math>A</math> का <math>X,</math> अपने पास <math>\sup f(A) = f(\sup A).</math> यहाँ <math>\,\sup\,</math> आदेशों के संबंध में सर्वोच्च है <math>X</math> और <math>Y,</math> क्रमश। निरंतरता की यह धारणा टोपोलॉजिकल निरंतरता के समान है जब आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट को [[स्कॉट टोपोलॉजी]] दी जाती है।<ref>{{cite book |last=Goubault-Larrecq |first=Jean |title=Non-Hausdorff Topology and Domain Theory: Selected Topics in Point-Set Topology |publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2013 |isbn=978-1107034136}}</ref><ref>{{cite book |last1=Gierz |first1=G. |last2=Hofmann |first2=K. H. |last3=Keimel |first3=K. |last4=Lawson |first4=J. D. |last5=Mislove |first5=M. W. |last6=Scott |first6=D. S. |title=सतत् जालक और डोमेन|volume=93 |series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications |publisher=Cambridge University Press |year=2003 |isbn=0521803381 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/continuouslattic0000unse}}</ref> | विभिन्न अन्य गणितीय डोमेन विभिन्न, किन्तु संबंधित अर्थों में निरंतरता की अवधारणा का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, ऑर्डर सिद्धांत में, ऑर्डर-संरक्षण फलन <math>f : X \to Y</math> विशेष प्रकार के आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के बीच <math>X</math> और <math>Y</math> यदि प्रत्येक निर्देशित सेट के लिए निरंतर है <math>A</math> का <math>X,</math> अपने पास <math>\sup f(A) = f(\sup A).</math> यहाँ <math>\,\sup\,</math> आदेशों के संबंध में सर्वोच्च है <math>X</math> और <math>Y,</math> क्रमश। निरंतरता की यह धारणा टोपोलॉजिकल निरंतरता के समान है जब आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट को [[स्कॉट टोपोलॉजी]] दी जाती है।<ref>{{cite book |last=Goubault-Larrecq |first=Jean |title=Non-Hausdorff Topology and Domain Theory: Selected Topics in Point-Set Topology |publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2013 |isbn=978-1107034136}}</ref><ref>{{cite book |last1=Gierz |first1=G. |last2=Hofmann |first2=K. H. |last3=Keimel |first3=K. |last4=Lawson |first4=J. D. |last5=Mislove |first5=M. W. |last6=Scott |first6=D. S. |title=सतत् जालक और डोमेन|volume=93 |series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications |publisher=Cambridge University Press |year=2003 |isbn=0521803381 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/continuouslattic0000unse}}</ref> | ||
[[श्रेणी सिद्धांत]] में, | |||
[[श्रेणी सिद्धांत]] में, फंक्टर | |||
<math display="block">F : \mathcal C \to \mathcal D</math> | <math display="block">F : \mathcal C \to \mathcal D</math> | ||
दो श्रेणियों के बीच (गणित) कहा जाता है {{em|[[Continuous functor| | दो श्रेणियों के बीच (गणित) कहा जाता है {{em|[[Continuous functor|निरंतर]]}} यदि यह छोटी [[सीमा (श्रेणी सिद्धांत)]] के साथ आवागमन करता है। अर्थात्, | ||
<math display="block">\varprojlim_{i \in I} F(C_i) \cong F \left(\varprojlim_{i \in I} C_i \right)</math> | <math display="block">\varprojlim_{i \in I} F(C_i) \cong F \left(\varprojlim_{i \in I} C_i \right)</math> | ||
किसी भी छोटे के लिए (अर्थात, सेट द्वारा अनुक्रमित <math>I,</math> वर्ग (गणित) के विपरीत) वस्तु का [[आरेख (श्रेणी सिद्धांत)]] (श्रेणी सिद्धांत) | किसी भी छोटे के लिए (अर्थात, सेट द्वारा अनुक्रमित <math>I,</math> वर्ग (गणित) के विपरीत) वस्तु का [[आरेख (श्रेणी सिद्धांत)]] (श्रेणी सिद्धांत) <math>\mathcal C</math> में. | ||
ए {{em|[[निरंतरता स्थान]]}} मीट्रिक रिक्त स्थान और पॉसेट का सामान्यीकरण है,<ref>{{cite journal | title = क्वान्टेल्स और निरंतरता स्थान| citeseerx=10.1.1.48.851 | first = R. C. | last =Flagg | journal = Algebra Universalis | year = 1997 | volume=37 | issue=3 | pages=257–276 | doi=10.1007/s000120050018 | s2cid=17603865 }}</ref><ref>{{cite journal | title = सभी टोपोलॉजी सामान्यीकृत मेट्रिक्स से आती हैं| first = R. | last = Kopperman | journal = American Mathematical Monthly | year = 1988 |volume=95 |issue=2 |pages=89–97 |doi=10.2307/2323060 | jstor = 2323060 }}</ref> जो क्वान्टेल्स की अवधारणा का उपयोग करता है, और इसका उपयोग मीट्रिक स्पेस और डोमेन सिद्धांतों की धारणाओं को एकीकृत करने के लिए किया जा सकता है।<ref>{{cite journal | title = Continuity spaces: Reconciling domains and metric spaces | first1 = B. | last1 = Flagg | first2 = R. | last2 = Kopperman | journal = Theoretical Computer Science |volume=177 |issue=1 |pages=111–138 |doi=10.1016/S0304-3975(97)00236-3 | year = 1997 | doi-access = free }}</ref> | |||