सतत फलन: Difference between revisions

निरंतरता की एप्सिलॉन-डेल्टा परिभाषा का (ε, δ) रूप पहली बार 1817 में [[बर्नार्ड बोलजानो]] द्वारा दिया गया था। [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने <math>y = f(x)</math> की निरंतरता को इस प्रकार परिभाषित किया: स्वतंत्र वेरिएबल x का एक असीम रूप से छोटा वेतन वृद्धि <math>\alpha</math> हमेशा एक असीम रूप से छोटा उत्पन्न करता है आश्रित वेरिएबल y का <math>f(x+\alpha)-f(x)</math> बदलें (उदाहरण देखें, कोर्ट्स डी'एनालिसिस, पृष्ठ 34)। कॉची ने परिवर्तनीय मात्राओं के संदर्भ में असीम रूप से छोटी मात्राओं को परिभाषित किया, और निरंतरता की उनकी परिभाषा आज इस्तेमाल की जाने वाली अनंतिम परिभाषा के समानान्तर है ([[सूक्ष्म निरंतरता]] देखें)। बिंदुवार निरंतरता और एकसमान निरंतरता के बीच औपचारिक परिभाषा और अंतर पहली बार 1830 के दशक में बोलजानो द्वारा दिया गया था, लेकिन काम 1930 के दशक तक प्रकाशित नहीं हुआ था। बोल्ज़ानो की तरह,<ref>{{cite journal |url=http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400352|title=Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzetes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege |year=1817 |last1=Bolzano |first1=Bernard |publisher=Haase|location=Prague}}</ref> [[कार्ल वीयरस्ट्रैस]]<ref>{{Citation | last1=Dugac | first1=Pierre | title=Eléments d'Analyse de Karl Weierstrass | journal=Archive for History of Exact Sciences | year=1973 | volume=10 | issue=1–2 | pages=41–176 | doi=10.1007/bf00343406| s2cid=122843140 }}</ref> ने किसी बिंदु c पर किसी फलन की निरंतरता से मना किया जब तक कि इसे c के दोनों किनारों पर परिभाषित नहीं किया जाता है, लेकिन एडौर्ड गौरसैट<ref>{{Citation | last1=Goursat | first1=E. | title=A course in mathematical analysis | publisher=Ginn | location=Boston | year=1904 | page=2}}</ref> ने फलन को केवल सी और [[केमिली जॉर्डन]] के तरफ परिभाषित करने की अनुमति दी।<ref>{{Citation | last1=Jordan | first1=M.C. | title=Cours d'analyse de l'École polytechnique | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | edition=2nd |year=1893 | volume=1|page=46|url={{Google books|h2VKAAAAMAAJ|page=46|plainurl=yes}}}}</ref> इसकी अनुमति दी गई, तथापि फलन केवल c पर परिभाषित किया गया हो। बिंदुवार निरंतरता की वे तीनों गैर-समतुल्य परिभाषाएँ अभी भी उपयोग में हैं।<ref>{{Citation|last1=Harper|first1=J.F.|title=Defining continuity of real functions of real variables|journal=BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics|year=2016|volume=31|issue=3|doi=10.1080/17498430.2015.1116053|pages=1–16|s2cid=123997123}}</ref> [[एडवर्ड हेन]] ने 1872 में समान निरंतरता की पहली प्रकाशित परिभाषा प्रदान की, लेकिन ये विचार 1854 में [[पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट]] द्वारा दिए गए व्याख्यानों पर आधारित थे।<ref>{{citation|last1=Rusnock|first1=P.|last2=Kerr-Lawson|first2=A.|title=Bolzano and uniform continuity|journal=Historia Mathematica|volume=32|year=2005|pages=303–311|issue=3|doi=10.1016/j.hm.2004.11.003|doi-access=free}}</ref>

[[File:Function-1 x.svg|thumb|फलनक्रम <math>f(x)=\tfrac 1 x</math> अपने डोमेन पर निरंतर है (<math>\R\setminus \{0\}</math>), लेकिन असंतत (निरंतर नहीं या विलक्षणता (गणित)#वास्तविक विश्लेषण)। <math>x=0</math><ref>{{cite book |last1=Strang |first1=Gilbert |title=गणना|year=1991 |publisher=SIAM|isbn=0961408820 |page=702|url={{Google books|OisInC1zvEMC|page=87|plainurl=yes}}}}</ref>.फिर भी, [[कॉची प्रमुख मूल्य|कॉची प्रमुख मान]] को परिभाषित किया जा सकता है। दूसरी ओर, जटिल विश्लेषण में (<math>\mathbb{C}</math>, विशेष रूप से <math>\widehat{\mathbb{C}}</math>.), इस बिंदु (x=0) को अपरिभाषित नहीं माना जाता है (गणित)#वे मान जिनके लिए फलन अपरिभाषित हैं और इसे विलक्षणता कहा जाता है, क्योंकि जब सोचा जाता है <math>x</math> जटिल वेरिएबल के रूप में, यह बिंदु [[ध्रुव (जटिल विश्लेषण)]] है, और फिर अधिकतम परिमित प्रमुख भाग वाली [[लॉरेंट श्रृंखला]] को एकवचन बिंदुओं के आसपास परिभाषित किया जा सकता है। इसके अलावा, उदाहरण जैसे फलनों का अध्ययन करने के लिए रीमैन क्षेत्र#तर्कसंगत फलनों का उपयोग अक्सर मॉडल के रूप में किया जाता है।]]वास्तविक फलन, जो कि वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक का फलन (गणित) है, को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में फलन के ग्राफ़ द्वारा दर्शाया जा सकता है; ऐसा फलन निरंतर होता है यदि, सामान्यतः कहें तो, ग्राफ़ एकल अखंड [[वक्र]] है जिसका फलन का डोमेन संपूर्ण वास्तविक रेखा है। अधिक गणितीय रूप से कठोर परिभाषा नीचे दी गई है।<ref>{{cite web | url=http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf | title=निरंतरता और असंततता| last1=Speck | first1=Jared | year=2014 | page=3 | access-date=2016-09-02 | website=MIT Math | quote=Example 5. The function <math>1/x</math> is continuous on <math>(0, \infty)</math> and on <math>(-\infty, 0),</math> i.e., for <math>x > 0</math> and for <math>x < 0,</math> in other words, at every point in its domain. However, it is not a continuous function since its domain is not an interval. It has a single point of discontinuity, namely <math>x = 0,</math> and it has an infinite discontinuity there. | archive-date=2016-10-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20161006014646/http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf | url-status=dead }}</ref>

किसी बिंदु c का [[पड़ोस (गणित)]] ऐसा समुच्चय है जिसमें, कम से कम, c की कुछ निश्चित दूरी के सभी बिंदु सम्मिलित होते हैं। सहज रूप से, फलन बिंदु c पर निरंतर होता है यदि c के पड़ोस पर f की सीमा बिंदु तक सिकुड़ जाती है <math>f(c)</math> जैसे-जैसे c के आस-पास की चौड़ाई शून्य हो जाती है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, किसी भी पड़ोस के लिए, फलन f अपने डोमेन के बिंदु c पर निरंतर होता है <math>N_1(f(c))</math> वहाँ पड़ोस है <math>N_2(c)</math> इसके डोमेन में ऐसा है <math>f(x) \in N_1(f(c))</math> जब कभी भी <math>x\in N_2(c).</math>

[[File:Continuity of the Exponential at 0.svg|thumb|क्रम {{math|exp(1/''n'')}} में एकत्रित हो जाता है {{math|1=exp(0) = 1}}]]इसके बजाय किसी भी [[अनुक्रम (गणित)]] के लिए इसकी आवश्यकता हो सकती है <math>(x_n)_{n \in \N}</math> डोमेन में बिंदुओं का जो अनुक्रम को c में परिवर्तित करता है, संगत अनुक्रम <math>\left(f(x_n)\right)_{n\in \N}</math> में एकत्रित हो जाता है <math>f(c).</math> गणितीय संकेतन में, <math display="block">\forall (x_n)_{n \in \N} \subset D:\lim_{n\to\infty} x_n = c \Rightarrow \lim_{n\to\infty} f(x_n) = f(c)\,.</math>

[[File:Example of continuous function.svg|right|thumb|का चित्रण {{mvar|ε}}-{{mvar|δ}}-परिभाषा: पर {{math|1=''x'' = 2}}, कोई मान {{math|δ ≤ 0.5}} के लिए परिभाषा की शर्त को संतुष्ट करता है {{math|1=''ε'' = 0.5}}.]]किसी फलन की सीमा की परिभाषा को स्पष्ट रूप से सम्मिलित करते हुए, हम स्व-निहित परिभाषा प्राप्त करते हैं: फलन दिया गया <math>f : D \to \mathbb{R}</math> उपरोक्त और तत्व के रूप में <math>x_0</math> डोमेन का <math>D</math>, <math>f</math> बिंदु पर निरंतर कहा जाता है <math>x_0</math> जब निम्नलिखित मान्य हो: किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0,</math> चाहे वह कितनी भी छोटी क्यों न हो, कुछ सकारात्मक वास्तविक संख्या उपस्थित होती है <math>\delta > 0</math> ऐसा कि सभी के लिए <math>x</math> के क्षेत्र में <math>f</math> साथ <math>x_0 - \delta < x < x_0 + \delta,</math> का मान है <math>f(x)</math> संतुष्ट

अधिक सहजता से हम कह सकते हैं कि यदि हम सब कुछ पाना चाहते हैं <math>f(x)</math> आसपास के कुछ छोटे [[टोपोलॉजिकल पड़ोस]] में रहने का मान <math>f\left(x_0\right),</math> हमें बस इसके लिए छोटा सा पड़ोस चुनने की जरूरत है <math>x</math> चारों ओर मान <math>x_0.</math> अगर हम ऐसा कर सकते हैं तो कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कितना छोटा है <math>f(x_0)</math> तो पड़ोस है <math>f</math> पर निरंतर है <math>x_0.</math>

वीयरस्ट्रैस को अंतराल की आवश्यकता थी <math>x_0 - \delta < x < x_0 + \delta</math> पूरी तरह से डोमेन के भीतर हो <math>D</math>, लेकिन जॉर्डन ने वह प्रतिबंध हटा दिया।

फलन <math>f : D \to R</math> C-निरंतर है <math>x_0</math> यदि ऐसा कोई पड़ोस उपस्थित है <math display="inline">N(x_0)</math> वह

फलन निरंतर है <math>x_0</math> यदि यह कुछ नियंत्रण फलन C के लिए C-निरंतर है।

[[File:Rapid Oscillation.svg|thumb|किसी फलन के किसी बिंदु पर निरंतर होने में विफलता को उसके [[दोलन (गणित)]] द्वारा निर्धारित किया जाता है।]]निरंतरता को दोलन (गणित) के संदर्भ में भी परिभाषित किया जा सकता है: फलन f बिंदु पर निरंतर है <math>x_0</math> यदि और केवल यदि उस बिंदु पर इसका दोलन शून्य है;<ref>''[http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF Introduction to Real Analysis],'' updated April 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, p. 172</ref> प्रतीकों में, <math>\omega_f(x_0) = 0.</math> इस परिभाषा का लाभ यह है कि यह {{em|quantifies}} असंततता: दोलन बताता है कि कैसे {{em|much}} फलन बिंदु पर असंतत है।

यह परिभाषा वर्णनात्मक सेट सिद्धांत में असंततता और निरंतर बिंदुओं के सेट का अध्ययन करने के लिए उपयोगी है - निरंतर बिंदु सेट के प्रतिच्छेदन हैं जहां दोलन कम है <math>\varepsilon</math> (इसलिए जी-डेल्टा सेट|<math>G_{\delta}</math> सेट) - और लेब्सगे इंटीग्रेबिलिटी स्थिति की दिशा का बहुत त्वरित प्रमाण देता है।<ref>''[http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF Introduction to Real Analysis],'' updated April 2010, William F. Trench, 3.5 "A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral", pp. 171–177</ref>

दोलन के बराबर है <math>\varepsilon-\delta</math> सरल पुनर्व्यवस्था द्वारा परिभाषा, और दोलन को परिभाषित करने के लिए सीमा ([[लिम सूप]], [[लिम इंफ]]) का उपयोग करके: यदि (किसी दिए गए बिंदु पर) किसी दिए गए के लिए <math>\varepsilon_0</math> कोई नहीं है <math>\delta</math> जो संतुष्ट करता है <math>\varepsilon-\delta</math> परिभाषा, तो दोलन कम से कम है <math>\varepsilon_0,</math> और इसके विपरीत यदि प्रत्येक के लिए <math>\varepsilon</math> वहाँ वांछित है <math>\delta,</math> दोलन 0 है। दोलन परिभाषा को टोपोलॉजिकल स्पेस से [[मीट्रिक स्थान]] तक के मानचित्रों के लिए स्वाभाविक रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है।

[[कॉची]] ने किसी फलन की निरंतरता को निम्नलिखित सहज शब्दों में परिभाषित किया है: स्वतंत्र वेरिएबल में अतिसूक्ष्म परिवर्तन, आश्रित वेरिएबल के अतिसूक्ष्म परिवर्तन से मेल खाता है (देखें कौर्स डी'एनालिसिस, पृष्ठ 34)। गैर-मानक विश्लेषण इसे गणितीय रूप से कठोर बनाने का तरीका है। वास्तविक रेखा को अनंत और अतिसूक्ष्म संख्याओं को जोड़कर अतिवास्तविक संख्याएँ बनाने के लिए संवर्धित किया जाता है। गैरमानक विश्लेषण में, निरंतरता को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है।

{{block indent|em=1.5|text=A real-valued function {{math|''f''}} is continuous at {{mvar|x}} if its natural extension to the hyperreals has the property that for all infinitesimal {{math|''dx''}}, <math>f(x + dx) - f(x)</math> is infinitesimal<ref>{{cite web| url=http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html |title=Elementary Calculus|work=wisc.edu}}</ref>}}

फिर {{em|sum of continuous functions}}

के लिए भी यही बात लागू होती है {{em|product of continuous functions}},

में निरंतर है <math>D.</math>

निरंतरता के उपरोक्त संरक्षण और [[निरंतर कार्य|निरंतर]] फलनों और पहचान फलन की निरंतरता का संयोजन <math>I(x) = x</math> {{nowrap|on <math>\R</math>,}} कोई सभी [[बहुपद]]ों की निरंतरता पर पहुंचता है {{nowrap|on <math>\R</math>,}} जैसे कि

[[File:Homografia.svg|right|thumb|सतत तर्कसंगत फलन का ग्राफ़। फलन को इसके लिए परिभाषित नहीं किया गया है <math>x = -2.</math> ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाएँ [[अनंतस्पर्शी]] हैं।]]इसी प्रकार यह दर्शाया जा सकता है कि {{em|reciprocal of a continuous function}}

में निरंतर है <math>D\setminus \{x : f(x) = 0\}.</math>

इसका तात्पर्य यह है कि, की जड़ों को छोड़कर <math>g,</math>  {{em|quotient of continuous functions}}

सिन-फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर सतत फलन बन जाता है। शब्द {{em|[[removable singularity]]}} का उपयोग ऐसे मामलों में किया जाता है, जब किसी फलन के मानों को उचित सीमाओं के साथ मेल खाने के लिए (पुनः) परिभाषित करना किसी फलन को विशिष्ट बिंदुओं पर निरंतर बनाता है।

[[File:Discontinuity of the sign function at 0.svg|thumb|300px|साइनम फ़ंक्शन का प्लॉट. यह बताता है कि <math>\lim_{n\to\infty} \sgn\left(\tfrac 1 n\right) \neq \sgn\left(\lim_{n\to\infty} \tfrac 1 n\right)</math>. इस प्रकार, साइनम फ़ंक्शन 0 पर असंतत है (अनुक्रमों की सीमा के संदर्भ में #परिभाषा देखें|खंड 2.1.3)।]]असंतत फलन का उदाहरण [[हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन|हेविसाइड स्टेप फलन]] है <math>H</math>, द्वारा परिभाषित

पर असंतत है <math>x = 0</math> लेकिन अन्य सभी जगह निरंतर. और उदाहरण: फलन

[[File:Thomae function (0,1).svg|200px|right|thumb|अंतराल (0,1) पर थॉमे के फलन का बिंदु प्लॉट। मध्य में सबसे ऊपरी बिंदु f(1/2) = 1/2 दर्शाता है।]]उपरोक्त जैसी प्रशंसनीय निरंतरताओं और असंततताओं के अलावा, व्यवहार के साथ फलन भी होते हैं, जिन्हें अक्सर [[पैथोलॉजिकल (गणित)]] गढ़ा जाता है, उदाहरण के लिए, थॉमे का फलन,

हर जगह निरंतर है. हालाँकि, इसमें भिन्नता नहीं है <math>x = 0</math> (लेकिन ऐसा हर जगह है)। वीयरस्ट्रैस फलन|वीयरस्ट्रैस का फलन भी हर जगह निरंतर है लेकिन कहीं भी भिन्न नहीं है।