वृत्त: Difference between revisions

Revision as of 11:33, 30 June 2022

{{Infobox polygon |name = Circle |image = Circle-withsegments.svg |caption = A circle (black), which is measured by its circumference (C), diameter (D) in blue, and radius (R) in red; its centre (O) is in green. | symmetry = [[Orthogonal group| $O(2)$ | क्षेत्र = $πR 2$ | परिधि = $C = 2πR$ | प्रकार = शंकु खंड }}

{सामान्य ज्यामिति}} एक वृत्त एक आकृति है जिसमें एक समतल में सभी बिंदु होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से एक निश्चित दूरी पर होते हैं,केंद्र।समान रूप से, यह एक बिंदु द्वारा पता लगाया गया वक्र है जो एक विमान में चलता है ताकि किसी दिए गए बिंदु से इसकी दूरी स्थिर हो। वृत्त और केंद्र के किसी भी बिंदु के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है। आमतौर पर, त्रिज्या को एक सकारात्मक संख्या की आवश्यकता होती है। के साथ एक वृत्त $r=0$ पतित मामला है। यह लेख यूक्लिडियन ज्यामिति में मंडलियों के बारे में है, और, विशेष रूप से, यूक्लिडियन विमान, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।

विशेष रूप से, एक सर्कल एक साधारण बंद वक्र है जो विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक आंतरिक और एक बाहरी। रोजमर्रा के उपयोग में, वृत्त शब्द का प्रयोग या तो आकृति की सीमा या उसके आंतरिक भाग सहित संपूर्ण आकृति को संदर्भित करने के लिए किया जा सकता है; सख्त तकनीकी उपयोग में, वृत्त केवल सीमा है और संपूर्ण आकृति को डिस्क कहा जाता है।

एक वृत्त को एक विशेष प्रकार के दीर्घवृत्त के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो नाभियाँ संपाती होती हैं, विलक्षणता 0 होती है, और अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु कुल्हाड़ियाँ समान होती हैं; या दो-आयामी आकार, जो कि विविधताओं के कैलकुलस का उपयोग करते हुए, प्रति इकाई परिधि वर्ग में सबसे अधिक क्षेत्र को घेरता है।

यूक्लिड की परिभाषा

A circle is a plane figure bounded by one curved line, and such that all straight lines drawn from a certain point within it to the bounding line, are equal. The bounding line is called its circumference and the point, its centre.
— Euclid, Elements, Book I^[1]^: 4

टोपोलॉजिकल परिभाषा

टोपोलॉजी के क्षेत्र में, एक सर्कल ज्यामितीय अवधारणा तक ही सीमित नहीं है, बल्कि इसके सभी होमोमोर्फिज्म तक सीमित है। दो टोपोलॉजिकल सर्कल समतुल्य हैं यदि एक को R . के विरूपण के माध्यम से दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है³अपने आप पर (एक परिवेश समस्थानिक के रूप में जाना जाता है)।^[2]

शब्दावली

एनलस: एक अंगूठी के आकार की वस्तु, दो संकेंद्रित वृत्तों से घिरा क्षेत्र।
चाप: वृत्त का कोई भी जुड़ा हुआ भाग। एक चाप और एक केंद्र के दो अंत बिंदुओं को निर्दिष्ट करना दो चापों के लिए अनुमति देता है जो एक साथ एक पूर्ण चक्र बनाते हैं।
केंद्र: वृत्त के सभी बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदु।
जीवा: एक रेखा खंड जिसका समापन बिंदु वृत्त पर स्थित होता है, इस प्रकार एक वृत्त को दो खंडों में विभाजित करता है।
परिधि: सर्कल के साथ एक सर्किट की लंबाई, या सर्कल के चारों ओर की दूरी।
व्यास: एक रेखा खंड जिसका अंत बिंदु वृत्त पर स्थित होता है और जो केंद्र से होकर गुजरता है; या ऐसे रेखाखंड की लंबाई। यह वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की सबसे बड़ी दूरी है। यह एक जीवा का एक विशेष मामला है, अर्थात् किसी दिए गए वृत्त के लिए सबसे लंबी जीवा, और इसकी लंबाई त्रिज्या की लंबाई से दोगुनी है।
डिस्क: एक वृत्त से घिरा विमान का क्षेत्र।
लेंस: दो अतिव्यापी डिस्क के लिए सामान्य क्षेत्र (प्रतिच्छेदन)।
पासेंट: एक समतलीय सीधी रेखा जिसका वृत्त के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
त्रिज्या: वृत्त पर किसी एक बिंदु के साथ वृत्त के केंद्र को मिलाने वाला एक रेखा खंड; या ऐसे खंड की लंबाई, जो व्यास से आधी (लंबाई) हो।
सेक्टर: एक क्षेत्र जो समान लंबाई के दो त्रिज्याओं से घिरा होता है और एक सामान्य केंद्र और दो संभावित चापों में से कोई एक, इस केंद्र और त्रिज्या के अंत बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है।
खंड: जीवा से घिरा एक क्षेत्र और जीवा के अंतिम बिंदुओं को जोड़ने वाले चापों में से एक। जीवा की लंबाई संभावित चापों के व्यास पर एक निचली सीमा लगाती है। कभी-कभी खंड शब्द का प्रयोग केवल उन क्षेत्रों के लिए किया जाता है जिनमें उस वृत्त का केंद्र नहीं होता जिससे उनका चाप संबंधित होता है।
सेकेंट: एक विस्तारित जीवा, एक समतलीय सीधी रेखा, एक वृत्त को दो बिंदुओं में प्रतिच्छेद करती है।
अर्धवृत्त: एक व्यास के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्धारित दो संभावित चापों में से एक, इसके मध्य बिंदु को केंद्र के रूप में लेते हुए। गैर-तकनीकी सामान्य उपयोग में इसका मतलब व्यास और उसके एक चाप से घिरे दो आयामी क्षेत्र का आंतरिक भाग हो सकता है, जिसे तकनीकी रूप से अर्ध-डिस्क कहा जाता है। एक अर्ध-डिस्क एक खंड का एक विशेष मामला है, अर्थात् सबसे बड़ा।
स्पर्शरेखा: एक समतलीय सीधी रेखा जिसमें वृत्त के साथ एक ही बिंदु उभयनिष्ठ होता है (इस बिंदु पर वृत्त को स्पर्श करता है)।

सभी निर्दिष्ट क्षेत्रों को खुला माना जा सकता है, अर्थात्, उनकी सीमाएँ शामिल नहीं हैं, या उनकी संबंधित सीमाओं सहित, बंद हैं।

File:CIRCLE LINES.svg

जीवा, छेदक, स्पर्शरेखा, त्रिज्या और व्यास

File:Circle slices.svg

चाप, क्षेत्र, और खंड

इतिहास

File:God the Geometer.jpg

13वीं शताब्दी की इस पांडुलिपि में ई कंपास ईश्वर के निर्माण कार्य का प्रतीक है। प्रभामंडल के गोलाकार आकार पर भी ध्यान दें। सर्कल शब्द ग्रीक κίρκος/κύκλος (किर्कोस/कुक्लोस) से निकला है, जो स्वयं होमरिक ग्रीक κρίκος (क्रिकोस) का एक मेटाथिसिस है, जिसका अर्थ है घेरा या अंगूठी।^[3]सर्कस और विकट:सर्किट|सर्किट शब्दों की उत्पत्ति निकट से संबंधित हैं।

File:IlkhanateSilkCircular.jpg

एक पुराने अरबी खगोलीय चित्र में मंडलियां।

r500.jpg|right|thumb|200px|एक पुराने अरबी खगोलीय चित्र में मंडलियां। दर्ज इतिहास की शुरुआत से पहले से सर्कल को जाना जाता है। प्राकृतिक वृत्त देखे गए होंगे, जैसे कि चंद्रमा, सूर्य और रेत पर हवा में उड़ने वाला एक छोटा पौधे का डंठल, जो रेत में एक वृत्त का आकार बनाता है। चक्र पहिया का आधार है, जो संबंधित आविष्कारों जैसे कि गियर के साथ, आधुनिक मशीनरी को बहुत संभव बनाता है। गणित में, वृत्त के अध्ययन ने ज्यामिति, खगोल विज्ञान और कलन के विकास को प्रेरित करने में मदद की है।

प्रारंभिक विज्ञान, विशेष रूप से ज्यामिति और ज्योतिष और खगोल विज्ञान, अधिकांश मध्ययुगीन विद्वानों के लिए परमात्मा से जुड़ा था, और कई लोगों का मानना था कि आंतरिक रूप से दिव्य या परिपूर्ण कुछ था जो मंडलियों में पाया जा सकता था।^[4]^[5]

सर्कल के इतिहास में कुछ हाइलाइट्स हैं:

1700 ईसा पूर्व - रिंद पपीरस एक गोलाकार क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के लिए एक विधि देता है। परिणाम से मेल खाती है 256/81 (3.16049...) के अनुमानित मूल्य के रूप में $π$ .^[6]

File:Toghrol Tower looking up.jpg

अंदर से तुगरुल टावर

300 ईसा पूर्व - यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक 3 | यूक्लिड के तत्व वृत्तों के गुणों से संबंधित हैं।
प्लेटो के सातवें पत्र में वृत्त की विस्तृत परिभाषा और व्याख्या है। प्लेटो संपूर्ण वृत्त की व्याख्या करता है, और यह किसी भी चित्र, शब्द, परिभाषा या व्याख्या से कैसे भिन्न है।
1880 सीई - लिंडमैन ने साबित किया कि $π$ पारलौकिक है, प्रभावी रूप से वृत्त का वर्ग करने की सहस्राब्दी पुरानी समस्या का समाधान कर रहा है।^[7]

विश्लेषणात्मक परिणाम

परिधि

एक वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात है $π$ (पीआई), एक अपरिमेय स्थिरांक लगभग 3.141592654 के बराबर। इस प्रकार परिधि C त्रिज्या r और व्यास d से संबंधित है:

C=2\pi r=\pi d.\,

संलग्न क्षेत्र

File:Circle Area.svg

वृत्त से घिरा क्षेत्रफल =

π

× छायांकित वर्ग का क्षेत्रफल

जैसा कि आर्किमिडीज ने सिद्ध किया है, एक वृत्त के अपने मापन में, एक वृत्त द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल उस त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसके आधार पर वृत्त की परिधि की लंबाई होती है और जिसकी ऊँचाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है,^[8]जो आता है $π$ त्रिज्या वर्ग से गुणा करें:

\mathrm {Area} =\pi r^{2}.\,

समान रूप से, व्यास को d से निरूपित करते हुए,

\mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2},

यानी परिचालित वर्ग का लगभग 79% (जिसकी भुजा लंबाई d की है)।

वृत्त एक समतल वक्र है जो किसी चाप की लंबाई के लिए अधिकतम क्षेत्रफल को घेरता है। यह वृत्त को विविधताओं के कलन में एक समस्या से संबंधित करता है, अर्थात् आइसोपेरिमेट्रिक असमानता।

समीकरण

कार्तीय निर्देशांक

File:Circle center a b radius r.svg

त्रिज्या का वृत्त r = 1, केंद्र (a, b) = (1.2, −0.5)

एक वृत्त का समीकरण

एक x-y कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, केंद्र निर्देशांक (a, b) और त्रिज्या r वाला वृत्त सभी बिंदुओं (x, y) का समुच्चय इस प्रकार है कि

(

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

@@ Line 17: / Line 17: @@
 एक वृत्त एक आकृति है जिसमें एक समतल में सभी बिंदु होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से एक निश्चित दूरी पर होते हैं,<!--यह लेख ब्रिटिश अंग्रेजी का उपयोग करते हुए लिखा गया है - देखें WP:ENGVAR, विकिपीडिया लेख मूल संस्करण के साथ रहना चाहिए 'केंद्र' अमेरिकी अंग्रेजी वर्तनी है -->केंद्र।<!--'केंद्र' के बारे में पहले टिप्पणी देखें-->समान रूप से, यह एक बिंदु द्वारा पता लगाया गया वक्र है जो एक विमान में चलता है ताकि किसी दिए गए बिंदु से इसकी दूरी स्थिर हो। वृत्त और केंद्र के किसी भी बिंदु के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है। आमतौर पर, त्रिज्या को एक सकारात्मक संख्या की आवश्यकता होती है। के साथ एक वृत्त <math>r=0</math> पतित मामला है। यह लेख यूक्लिडियन ज्यामिति में मंडलियों के बारे में है, और, विशेष रूप से, यूक्लिडियन विमान, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।
-विशेष रूप से, एक सर्कल एक साधारण बंद वक्र है जो विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक आंतरिक और एक बाहरी। दैनिक उपयोग में, वृत्त शब्द का प्रयोग एक दूसरे के स्थान पर या तो आकृति की सीमा या उसके आंतरिक भाग सहित संपूर्ण आकृति के संदर्भ में किया जा सकता है; सख्त तकनीकी उपयोग में, वृत्त केवल सीमा है और संपूर्ण आकृति को डिस्क कहा जाता है।
+विशेष रूप से, एक सर्कल एक साधारण बंद वक्र है जो विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक आंतरिक और एक बाहरी। रोजमर्रा के उपयोग में, वृत्त शब्द का प्रयोग या तो आकृति की सीमा या उसके आंतरिक भाग सहित संपूर्ण आकृति को संदर्भित करने के लिए किया जा सकता है; सख्त तकनीकी उपयोग में, वृत्त केवल सीमा है और संपूर्ण आकृति को डिस्क कहा जाता है।
 एक वृत्त को एक विशेष प्रकार के दीर्घवृत्त के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो नाभियाँ संपाती होती हैं, विलक्षणता 0 होती है, और अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु कुल्हाड़ियाँ समान होती हैं; या दो-आयामी आकार, जो कि विविधताओं के कैलकुलस का उपयोग करते हुए, प्रति इकाई परिधि वर्ग में सबसे अधिक क्षेत्र को घेरता है।
@@ Line 44: / Line 44: @@
 * अर्धवृत्त: एक व्यास के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्धारित दो संभावित चापों में से एक, इसके मध्य बिंदु को केंद्र के रूप में लेते हुए। गैर-तकनीकी सामान्य उपयोग में इसका मतलब व्यास और उसके एक चाप से घिरे दो आयामी क्षेत्र का आंतरिक भाग हो सकता है, जिसे तकनीकी रूप से अर्ध-डिस्क कहा जाता है। एक अर्ध-डिस्क एक खंड का एक विशेष मामला है, अर्थात् सबसे बड़ा।
 * स्पर्शरेखा: एक समतलीय सीधी रेखा जिसमें वृत्त के साथ एक ही बिंदु उभयनिष्ठ होता है (इस बिंदु पर वृत्त को स्पर्श करता है)।
-सभी निर्दिष्ट क्षेत्रों को खुला माना जा सकता है, अर्थात्, उनकी सीमाएँ शामिल नहीं हैं, या उनकी संबंधित सीमाओं सहित बंद हैं।
+सभी निर्दिष्ट क्षेत्रों को खुला माना जा सकता है, अर्थात्, उनकी सीमाएँ शामिल नहीं हैं, या उनकी संबंधित सीमाओं सहित, बंद हैं।
 {{Clear}}
 {| शैली = फ्लोट: बाएं; सेलस्पेसिंग = 0 सेलपैडिंग = 0
@@ Line 56: / Line 56: @@
 [[Image:God the Geometer.jpg|thumb|right|200px|]]
 वीं शताब्दी की इस पांडुलिपि में ई कंपास ईश्वर के निर्माण कार्य का प्रतीक है। प्रभामंडल के गोलाकार आकार पर भी ध्यान दें।
-सर्कल शब्द ग्रीक κίρκος/κύκλος (किर्कोस/कुक्लोस) से निकला है, जो स्वयं होमरिक ग्रीक κρίκος (क्रिकोस) का एक मेटाथिसिस है, जिसका अर्थ है घेरा या अंगूठी।<ref>[ήττψ: //ωωω.περσεύς.τουτσ.εδώ/χόππερ/τεξτ? = Περσεύς% ξΑτέξτ% ξΑ1999.04.0057% ξΑεντρυ% ξΔκρι% 2Fkos krikos] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131106164504/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dkri%2Fkos |date=2013-11-06 }}, हेनरी जॉर्ज लिडेल, रॉबर्ट स्कॉट, ए ग्रीक-इंग्लिश लेक्सिकॉन, पर्सियस पर</ref>सर्कस और विकट:सर्किट|सर्किट शब्दों की उत्पत्ति निकट से संबंधित हैं।
+सर्कल शब्द ग्रीक κίρκος/κύκλος (किर्कोस/कुक्लोस) से निकला है, जो स्वयं होमरिक ग्रीक κρίκος (क्रिकोस) का एक मेटाथिसिस है, जिसका अर्थ है घेरा या अंगूठी।<ref>[http://www.perseus.touts.here/hopper/text?doc=Perseus%xAtext%xA1999.04.0057%xAentry%xDcri%2Fkos krikos] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131106164504/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dkri%2Fkos |date=2013-11-06 }}, हेनरी जॉर्ज लिडेल, रॉबर्ट स्कॉट, ए ग्रीक-इंग्लिश लेक्सिकॉन, पर्सियस पर</ref>सर्कस और विकट:सर्किट|सर्किट शब्दों की उत्पत्ति निकट से संबंधित हैं।
 [[Image:IlkhanateSilkCircular.jpg|left|thumb|200px|एक पुराने अरबी खगोलीय चित्र में मंडलियां।]]
 r500.jpg|right|thumb|200px|एक पुराने अरबी खगोलीय चित्र में मंडलियां।
@@ Line 184: / Line 184: @@
 * वृत्त के संपर्क बिंदु से स्पर्श रेखा पर लंबवत खींची गई रेखा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
 * वृत्त के बाहर किसी भी बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ हमेशा खींची जा सकती हैं, और ये स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
-* यदि A पर एक स्पर्श रेखा और B पर एक स्पर्शरेखा बाहरी बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती है, तो केंद्र को O के रूप में निरूपित करने वाले कोण BOA और ∠BPA संपूरक होते हैं।
+* यदि A पर एक स्पर्श रेखा और B पर एक स्पर्शरेखा बाहरी बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती है, तो केंद्र को O के रूप में दर्शाते हुए कोण BOA और BPA संपूरक होते हैं।
 * यदि AD वृत्त की A पर स्पर्श रेखा है और यदि AQ वृत्त की जीवा है, तो {{nowrap|∠''DAQ'' {{=}} {{sfrac|1|2}}चाप (एक्यू)}}।
@@ Line 239: / Line 239: @@
 [[Image:Apollonius circle definition labels.svg|thumb|250px|left|d<sub>1</sub>/d<sub>2</sub>}} स्थिरांक]]
 '<sub>1</sub>/''d''<sub>2</sub>}} लगातार
-पेर्गा के अपोलोनियस ने दिखाया कि एक सर्कल को एक विमान में बिंदुओं के सेट के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो निश्चित फोकस, ए और बी के लिए दूरी का एक स्थिर अनुपात (1 के अलावा अन्य) होता है।<ref>{{cite journal|author=Harkness, James |title=Introduction to the theory of analytic functions |journal=Nature |volume=59 |issue=1530 |year=1898 |page=30 |url=http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=01680002 |archive-url=https://web.archive.org/web/20081007134238/http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=01680002 |url-status=dead |archive-date=2008-10-07 |bibcode=1899Natur..59..386B |doi=10.1038/059386a0 |s2cid=4030420 }}</ref><ref>सी. स्टेनली ओगिल्वी|ओगिल्वी, सी. स्टेनली, एक्सर्साइज़ इन ज्योमेट्री, डोवर, 1969, 14-17।</ref>(बिंदुओं का समुच्चय जहाँ दूरियाँ समान होती हैं, खंड AB का लम्ब समद्विभाजक होता है, एक रेखा।) उस वृत्त को कभी-कभी दो बिंदुओं के बारे में खींचा हुआ कहा जाता है।
+पेर्गा के अपोलोनियस ने दिखाया कि एक सर्कल को एक विमान में बिंदुओं के सेट के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो निश्चित फोकस, ए और बी के लिए दूरी का एक स्थिर अनुपात (1 के अलावा अन्य) होता है।<ref>{{cite journal|author=Harkness, James |title=Introduction to the theory of analytic functions |journal=Nature |volume=59 |issue=1530 |year=1898 |page=30 |url=http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=01680002 |archive-url=https://web.archive.org/web/20081007134238/http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=01680002 |url-status=dead |archive-date=2008-10-07 |bibcode=1899Natur..59..386B |doi=10.1038/059386a0 |s2cid=4030420 }}</ref><ref>सी. स्टेनली ओगिल्वी|ओगिल्वी, सी. स्टेनली, एक्सर्साइज़ इन ज्योमेट्री, डोवर, 1969, 14-17।</ref>(बिन्दुओं का समुच्चय जहाँ दूरियाँ समान हों, खंड AB का लम्ब समद्विभाजक है, एक रेखा।) उस वृत्त को कभी-कभी दो बिंदुओं के बारे में खींचा हुआ कहा जाता है।
-प्रमाण दो भागों में है। सबसे पहले, किसी को यह साबित करना होगा कि, दो फोकस ए और बी और दूरियों के अनुपात को देखते हुए, दूरी के अनुपात को संतुष्ट करने वाला कोई भी बिंदु पी एक विशेष सर्कल पर गिरना चाहिए। मान लें कि C एक और बिंदु है, जो अनुपात को संतुष्ट करता है और खंड AB पर स्थित है। कोण द्विभाजक प्रमेय द्वारा रेखा खंड PC आंतरिक कोण APB को समद्विभाजित करेगा, क्योंकि खंड समान हैं:
+प्रमाण दो भागों में है। सबसे पहले, किसी को यह साबित करना होगा कि दो फोकस ए और बी और दूरियों के अनुपात को देखते हुए, दूरी के अनुपात को संतुष्ट करने वाला कोई भी बिंदु पी एक विशेष सर्कल पर गिरना चाहिए। मान लें कि C एक और बिंदु है, जो अनुपात को संतुष्ट करता है और खंड AB पर स्थित है। कोण द्विभाजक प्रमेय द्वारा रेखा खंड PC आंतरिक कोण APB को समद्विभाजित करेगा, क्योंकि खंड समान हैं:
 :<math>\frac{AP}{BP} = \frac{AC}{BC}.</math>
 समान रूप से, AB विस्तारित पर किसी बिंदु D के माध्यम से एक रेखा खंड PD, संगत बाहरी कोण BPQ को समद्विभाजित करता है, जहां Q AP पर विस्तारित होता है। चूँकि आंतरिक और बाह्य कोणों का योग 180 डिग्री है, कोण CPD ठीक 90 डिग्री है; यानी एक समकोण। बिंदु P का समुच्चय इस प्रकार है कि कोण CPD एक समकोण है, एक वृत्त बनाता है, जिसमें से CD एक व्यास है।
@@ Line 273: / Line 273: @@
 == अन्य आंकड़ों का सीमित मामला ==
 सर्कल को विभिन्न अन्य आंकड़ों में से प्रत्येक के सीमित मामले के रूप में देखा जा सकता है:
-* एक कार्तीय अंडाकार बिंदुओं का एक समूह होता है जैसे कि इसके किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं (foci) तक की दूरी का भारित योग एक स्थिरांक होता है। एक दीर्घवृत्त वह मामला है जिसमें भार बराबर होते हैं। एक वृत्त एक दीर्घवृत्त है जिसमें शून्य की उत्केन्द्रता होती है, जिसका अर्थ है कि दो नाभियाँ एक दूसरे के साथ वृत्त के केंद्र के रूप में मेल खाती हैं। एक वृत्त भी एक कार्टेशियन अंडाकार का एक अलग विशेष मामला है जिसमें एक भार शून्य है।
+* एक कार्तीय अंडाकार बिंदुओं का एक समूह होता है जैसे कि इसके किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं (foci) तक की दूरी का भारित योग एक स्थिरांक होता है। एक दीर्घवृत्त वह मामला है जिसमें भार बराबर होते हैं। एक वृत्त एक दीर्घवृत्त है जिसमें शून्य की एक विलक्षणता होती है, जिसका अर्थ है कि दो केंद्र वृत्त के केंद्र के रूप में एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं। एक वृत्त भी एक कार्टेशियन अंडाकार का एक अलग विशेष मामला है जिसमें एक भार शून्य है।
 * एक सुपरेलिप्स में फॉर्म का समीकरण होता है <math>\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1</math> सकारात्मक ए, बी, और एन के लिए। एक सुपरसर्कल है {{nowrap|''b'' {{=}} एक}}। एक वृत्त एक सुपरसर्कल का विशेष मामला है जिसमें {{nowrap|''n'' {{=}} 2}}.
 * एक कैसिनी अंडाकार बिंदुओं का एक समूह है जैसे कि इसके किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं तक की दूरी का गुणनफल एक स्थिर होता है। जब दो निश्चित बिंदु मेल खाते हैं, तो एक वृत्त का परिणाम होता है।
-* स्थिर चौड़ाई का वक्र एक ऐसी आकृति है जिसकी चौड़ाई, दो अलग-अलग समानांतर रेखाओं के बीच लंबवत दूरी के रूप में परिभाषित होती है, जो एक ही बिंदु में अपनी सीमा को काटती है, उन दो समानांतर रेखाओं की दिशा की परवाह किए बिना समान होती है। वृत्त इस प्रकार की आकृति का सबसे सरल उदाहरण है।
+* स्थिर चौड़ाई का वक्र एक ऐसी आकृति है जिसकी चौड़ाई, दो अलग-अलग समानांतर रेखाओं के बीच लंबवत दूरी के रूप में परिभाषित होती है, प्रत्येक एक बिंदु में अपनी सीमा को काटती है, उन दो समानांतर रेखाओं की दिशा की परवाह किए बिना समान होती है। वृत्त इस प्रकार की आकृति का सबसे सरल उदाहरण है।
 == अन्य पी-मानदंडों में ==
@@ Line 306: / Line 306: @@
 == वृत्त का वर्ग करना ==
 {{main|Squaring the circle}}
-वृत्त को चौकोर करना एक समस्या है, जिसे प्राचीन भू-मापियों द्वारा प्रस्तावित किया गया है, एक ही क्षेत्र के साथ एक दिए गए वृत्त के रूप में एक वर्ग का निर्माण करने के लिए कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ केवल एक सीमित संख्या में चरणों का उपयोग करके।
+वृत्त को चौकोर करना समस्या है, जो प्राचीन ज्यामिति द्वारा प्रस्तावित है, कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ केवल एक सीमित संख्या में चरणों का उपयोग करके दिए गए वृत्त के समान क्षेत्र के साथ एक वर्ग का निर्माण करना।
 में, लिंडमैन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय के परिणामस्वरूप, कार्य असंभव साबित हुआ, जो साबित करता है कि पाई ({{pi}}) एक बीजीय अपरिमेय संख्या के बजाय एक अनुवांशिक संख्या है; अर्थात् यह परिमेय गुणांक वाले किसी बहुपद का मूल नहीं है। असंभवता के बावजूद, यह विषय छद्म गणित के प्रति उत्साही लोगों के लिए रुचि का बना हुआ है।
@@ Line 368: / Line 368: @@
 * [[Eight-point circle]] of an orthodiagonal quadrilaterमैं
 [[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category: Mathematics]

Anonymous

Search