वृत्त: Difference between revisions

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* अर्धवृत्त: एक व्यास के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्धारित दो संभावित चापों में से एक, इसके मध्य बिंदु को केंद्र के रूप में लेते हुए। गैर-तकनीकी सामान्य उपयोग में इसका मतलब व्यास और उसके एक चाप से घिरे दो आयामी क्षेत्र का आंतरिक भाग हो सकता है, जिसे तकनीकी रूप से अर्ध-डिस्क कहा जाता है। एक अर्ध-डिस्क एक खंड का एक विशेष मामला है, अर्थात् सबसे बड़ा।
* अर्धवृत्त: एक व्यास के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्धारित दो संभावित चापों में से एक, इसके मध्य बिंदु को केंद्र के रूप में लेते हुए। गैर-तकनीकी सामान्य उपयोग में इसका मतलब व्यास और उसके एक चाप से घिरे दो आयामी क्षेत्र का आंतरिक भाग हो सकता है, जिसे तकनीकी रूप से अर्ध-डिस्क कहा जाता है। एक अर्ध-डिस्क एक खंड का एक विशेष मामला है, अर्थात् सबसे बड़ा।
* स्पर्शरेखा: एक समतलीय सीधी रेखा जिसमें वृत्त के साथ एक ही बिंदु उभयनिष्ठ होता है (इस बिंदु पर वृत्त को स्पर्श करता है)।
* स्पर्शरेखा: एक समतलीय सीधी रेखा जिसमें वृत्त के साथ एक ही बिंदु उभयनिष्ठ होता है (इस बिंदु पर वृत्त को स्पर्श करता है)।
सभी निर्दिष्ट क्षेत्रों को खुला माना जा सकता है, अर्थात्, उनकी सीमाएँ शामिल नहीं हैं, या उनकी संबंधित सीमाओं सहित, बंद हैं।
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{{Clear}}
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{| शैली = फ्लोट: बाएं; सेलस्पेसिंग = 0 सेलपैडिंग = 0
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जब वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर होता है, तो स्पर्श रेखा का समीकरण बन जाता है
जब वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर होता है, तो स्पर्श रेखा का समीकरण बन जाता है
: <math>x_1 x + y_1 y = r^2,</math>
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और इसका ढलान है
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: <math>\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1}{y_1}.</math>
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** उन सभी वृत्तों में जिनमें जीवा AB समान है, न्यूनतम त्रिज्या वाला वृत्त व्यास AB वाला वृत्त है।
** उन सभी वृत्तों में जिनमें जीवा AB समान है, न्यूनतम त्रिज्या वाला वृत्त व्यास AB वाला वृत्त है।
* यदि किन्हीं दो जीवाओं का प्रतिच्छेदन एक जीवा को लंबाई a और b में विभाजित करता है और दूसरी जीवा को लंबाई c और d में विभाजित करता है, तो {{nowrap|''ab'' {{=}} सीडी}}.
* यदि किन्हीं दो जीवाओं का प्रतिच्छेदन एक जीवा को लंबाई a और b में विभाजित करता है और दूसरी जीवा को लंबाई c और d में विभाजित करता है, तो {{nowrap|''ab'' {{=}} सीडी}}.
* यदि किन्हीं दो लंबवत जीवाओं का प्रतिच्छेदन एक जीवा को लंबाई a और b में विभाजित करता है और दूसरी जीवा को लंबाई c और d में विभाजित करता है, तो {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup>}} व्यास के वर्ग के बराबर है।<ref>पोसामेंटियर और साल्किंड, ज्यामिति में चुनौतीपूर्ण समस्याएँ, डोवर, दूसरा संस्करण, 1996: पीपी. 104–105, #4–23।</ref>* किसी दिए गए बिंदु पर समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाली किन्हीं दो जीवाओं की वर्ग लंबाई का योग एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली अन्य दो जीवाओं के बराबर होता है और 8r द्वारा दिया जाता है<sup>2</sup> − 4''p''<sup>2</sup> जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, और p केंद्र बिंदु से प्रतिच्छेदन बिंदु तक की दूरी है।<ref>कॉलेज गणित जर्नल 29(4), सितम्बर 1998, पृ. 331, समस्या 635।</ref>* वृत्त पर एक बिंदु से किसी दिए गए जीवा तक की दूरी वृत्त के व्यास के गुणा के बराबर होती है, उस बिंदु से जीवा के सिरों तक की दूरी के गुणनफल के बराबर होती है।<ref>जॉनसन, रोजर ए., एडवांस्ड यूक्लिडियन ज्योमेट्री, डोवर पब्लिक., 2007.</ref>{{rp|p.71}}
* यदि किन्हीं दो लंबवत जीवाओं का प्रतिच्छेदन एक जीवा को लंबाई a और b में विभाजित करता है और दूसरी जीवा को लंबाई c और d में विभाजित करता है, तो {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup>}} व्यास के वर्ग के बराबर है।<ref>पोसामेंटियर और साल्किंड, ज्यामिति में चुनौतीपूर्ण समस्याएँ, डोवर, दूसरा संस्करण, 1996: पीपी. 104–105, #4–23।</ref>* किसी दिए गए बिंदु पर समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाली किन्हीं दो जीवाओं की वर्ग लंबाई का योग एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली अन्य दो जीवाओं के बराबर होता है और 8r द्वारा दिया जाता है<sup>2</sup> − 4''p''<sup>2</sup> जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, और p केंद्र बिंदु से प्रतिच्छेदन बिंदु तक की दूरी है।<ref>कॉलेज गणित जर्नल 29(4), सितम्बर 1998, पृ. 331, समस्या 635।</ref>* वृत्त पर एक बिंदु से किसी दिए गए जीवा की दूरी वृत्त के व्यास के गुणा के बराबर होती है, उस बिंदु से जीवा के सिरों तक की दूरी के गुणनफल के बराबर होती है।<ref>जॉनसन, रोजर ए., एडवांस्ड यूक्लिडियन ज्योमेट्री, डोवर पब्लिक., 2007.</ref>{{rp|p.71}}


=== स्पर्शरेखा ===
=== स्पर्शरेखा ===
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== अन्य आंकड़ों का सीमित मामला ==
== अन्य आंकड़ों का सीमित मामला ==
सर्कल को विभिन्न अन्य आंकड़ों में से प्रत्येक के सीमित मामले के रूप में देखा जा सकता है:
सर्कल को विभिन्न अन्य आंकड़ों में से प्रत्येक के सीमित मामले के रूप में देखा जा सकता है:
* एक कार्तीय अंडाकार बिंदुओं का एक समूह होता है जैसे कि इसके किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं (foci) तक की दूरी का भारित योग एक स्थिरांक होता है। एक दीर्घवृत्त वह मामला है जिसमें भार बराबर होते हैं। एक वृत्त एक दीर्घवृत्त है जिसमें शून्य की एक विलक्षणता होती है, जिसका अर्थ है कि दो केंद्र वृत्त के केंद्र के रूप में एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं। एक वृत्त भी एक कार्टेशियन अंडाकार का एक अलग विशेष मामला है जिसमें एक भार शून्य है।
* एक कार्तीय अंडाकार बिंदुओं का एक समूह होता है जैसे कि इसके किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं (foci) तक की दूरी का भारित योग एक स्थिरांक होता है। एक दीर्घवृत्त वह मामला है जिसमें भार बराबर होते हैं। एक वृत्त एक दीर्घवृत्त है जिसमें शून्य की उत्केन्द्रता होती है, जिसका अर्थ है कि दो नाभियाँ एक दूसरे के साथ वृत्त के केंद्र के रूप में मेल खाती हैं। एक वृत्त भी एक कार्टेशियन अंडाकार का एक अलग विशेष मामला है जिसमें एक भार शून्य है।
* एक सुपरेलिप्स में फॉर्म का समीकरण होता है <math>\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1</math> सकारात्मक ए, बी, और एन के लिए। एक सुपरसर्कल है {{nowrap|''b'' {{=}} एक}}। एक वृत्त एक सुपरसर्कल का विशेष मामला है जिसमें {{nowrap|''n'' {{=}} 2}}.
* एक सुपरेलिप्स में फॉर्म का समीकरण होता है <math>\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1</math> सकारात्मक ए, बी, और एन के लिए। एक सुपरसर्कल है {{nowrap|''b'' {{=}} एक}}। एक वृत्त एक सुपरसर्कल का विशेष मामला है जिसमें {{nowrap|''n'' {{=}} 2}}.
* एक कैसिनी अंडाकार बिंदुओं का एक समूह है जैसे कि इसके किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं तक की दूरी का गुणनफल एक स्थिर होता है। जब दो निश्चित बिंदु मेल खाते हैं, तो एक वृत्त का परिणाम होता है।
* एक कैसिनी अंडाकार बिंदुओं का एक समूह है जैसे कि इसके किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं तक की दूरी का गुणनफल एक स्थिर होता है। जब दो निश्चित बिंदु मेल खाते हैं, तो एक वृत्त का परिणाम होता है।
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{{seealso|Magic circle}}
{{seealso|Magic circle}}
प्राचीनतम ज्ञात सभ्यताओं के समय से - जैसे कि असीरियन और प्राचीन मिस्रवासी, सिंधु घाटी में और चीन में पीली नदी के किनारे, और प्राचीन ग्रीस और रोम की पश्चिमी सभ्यताओं से शास्त्रीय पुरातनता के दौरान - सर्कल का सीधे इस्तेमाल किया गया है या अप्रत्यक्ष रूप से दृश्य कला में कलाकार के संदेश को व्यक्त करने और कुछ विचारों को व्यक्त करने के लिए।
प्राचीनतम ज्ञात सभ्यताओं के समय से - जैसे कि असीरियन और प्राचीन मिस्रवासी, सिंधु घाटी में और चीन में पीली नदी के किनारे, और प्राचीन ग्रीस और रोम की पश्चिमी सभ्यताओं से शास्त्रीय पुरातनता के दौरान - सर्कल का सीधे इस्तेमाल किया गया है या अप्रत्यक्ष रूप से दृश्य कला में कलाकार के संदेश को व्यक्त करने और कुछ विचारों को व्यक्त करने के लिए।
हालाँकि, विश्वदृष्टि (विश्वास और संस्कृति) में अंतर का कलाकारों की धारणाओं पर बहुत प्रभाव पड़ा। जबकि कुछ ने अपनी लोकतांत्रिक अभिव्यक्ति को प्रदर्शित करने के लिए सर्कल की परिधि पर जोर दिया, जबकि अन्य ने ब्रह्मांडीय एकता की अवधारणा के प्रतीक के लिए इसके केंद्र पर ध्यान केंद्रित किया। रहस्यमय सिद्धांतों में, चक्र मुख्य रूप से अस्तित्व की अनंत और चक्रीय प्रकृति का प्रतीक है, लेकिन धार्मिक परंपराओं में यह स्वर्गीय निकायों और दिव्य आत्माओं का प्रतिनिधित्व करता है।
हालाँकि, विश्वदृष्टि (विश्वास और संस्कृति) में अंतर का कलाकारों की धारणाओं पर बहुत प्रभाव पड़ा। जबकि कुछ ने अपनी लोकतांत्रिक अभिव्यक्ति को प्रदर्शित करने के लिए सर्कल की परिधि पर जोर दिया, अन्य ने ब्रह्मांडीय एकता की अवधारणा के प्रतीक के लिए इसके केंद्र पर ध्यान केंद्रित किया। रहस्यमय सिद्धांतों में, चक्र मुख्य रूप से अस्तित्व की अनंत और चक्रीय प्रकृति का प्रतीक है, लेकिन धार्मिक परंपराओं में यह स्वर्गीय निकायों और दिव्य आत्माओं का प्रतिनिधित्व करता है।
सर्कल कई पवित्र और आध्यात्मिक अवधारणाओं को दर्शाता है, जिसमें एकता, अनंत, पूर्णता, ब्रह्मांड, देवत्व, संतुलन, स्थिरता और पूर्णता शामिल हैं। इस तरह की अवधारणाओं को दुनिया भर की संस्कृतियों में प्रतीकों के उपयोग के माध्यम से व्यक्त किया गया है, उदाहरण के लिए, एक कम्पास, एक प्रभामंडल, वेसिका पिसिस और इसके डेरिवेटिव (मछली, आंख, ऑरियोल, मैंडोरला, आदि), ऑरोबोरोस, धर्म पहिया, ए इंद्रधनुष, मंडल, गुलाब की खिड़कियां और बहुत कुछ।<ref>{{cite encyclopedia | editor-first=Jean-François | editor-last = Charnier | title = The Circle from East to West | first = Yahya | last = Abdullahi
सर्कल कई पवित्र और आध्यात्मिक अवधारणाओं को दर्शाता है, जिसमें एकता, अनंत, पूर्णता, ब्रह्मांड, देवत्व, संतुलन, स्थिरता और पूर्णता शामिल हैं। इस तरह की अवधारणाओं को दुनिया भर की संस्कृतियों में प्रतीकों के उपयोग के माध्यम से व्यक्त किया गया है, उदाहरण के लिए, एक कम्पास, एक प्रभामंडल, वेसिका पिसिस और इसके डेरिवेटिव (मछली, आंख, ऑरियोल, मैंडोरला, आदि), ऑरोबोरोस, धर्म पहिया, ए इंद्रधनुष, मंडल, गुलाब की खिड़कियां और बहुत कुछ।<ref>{{cite encyclopedia | editor-first=Jean-François | editor-last = Charnier | title = The Circle from East to West | first = Yahya | last = Abdullahi
| encyclopedia = The Louvre Abu Dhabi: A World Vision of Art | date = October 29, 2019 | isbn=9782370741004 | publisher=Rizzoli International Publications, Incorporated}}</ref>
| encyclopedia = The Louvre Abu Dhabi: A World Vision of Art | date = October 29, 2019 | isbn=9782370741004 | publisher=Rizzoli International Publications, Incorporated}}</ref>

Revision as of 16:25, 29 June 2022

This article is about the shape and mathematical concept. For other uses, see वृत्त (disambiguation).
"360 degrees" and "360°" redirect here. For other uses, see 360 degrees (disambiguation).

{{Infobox polygon |name = Circle |image = Circle-withsegments.svg |caption = A circle (black), which is measured by its circumference (C), diameter (D) in blue, and radius (R) in red; its centre (O) is in green. | symmetry = [[Orthogonal group|O(2)| क्षेत्र = πR2 | परिधि = C = 2πR | प्रकार = शंकु खंड }}


{सामान्य ज्यामिति}} एक वृत्त एक आकृति है जिसमें एक समतल में सभी बिंदु होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से एक निश्चित दूरी पर होते हैं,केंद्र।समान रूप से, यह एक बिंदु द्वारा पता लगाया गया वक्र है जो एक विमान में चलता है ताकि किसी दिए गए बिंदु से इसकी दूरी स्थिर हो। वृत्त और केंद्र के किसी भी बिंदु के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है। आमतौर पर, त्रिज्या को एक सकारात्मक संख्या की आवश्यकता होती है। के साथ एक वृत्त पतित मामला है। यह लेख यूक्लिडियन ज्यामिति में मंडलियों के बारे में है, और, विशेष रूप से, यूक्लिडियन विमान, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।

विशेष रूप से, एक सर्कल एक साधारण बंद वक्र है जो विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक आंतरिक और एक बाहरी। दैनिक उपयोग में, वृत्त शब्द का प्रयोग एक दूसरे के स्थान पर या तो आकृति की सीमा या उसके आंतरिक भाग सहित संपूर्ण आकृति के संदर्भ में किया जा सकता है; सख्त तकनीकी उपयोग में, वृत्त केवल सीमा है और संपूर्ण आकृति को डिस्क कहा जाता है।

एक वृत्त को एक विशेष प्रकार के दीर्घवृत्त के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो नाभियाँ संपाती होती हैं, विलक्षणता 0 होती है, और अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु कुल्हाड़ियाँ समान होती हैं; या दो-आयामी आकार, जो कि विविधताओं के कैलकुलस का उपयोग करते हुए, प्रति इकाई परिधि वर्ग में सबसे अधिक क्षेत्र को घेरता है।

यूक्लिड की परिभाषा

A circle is a plane figure bounded by one curved line, and such that all straight lines drawn from a certain point within it to the bounding line, are equal. The bounding line is called its circumference and the point, its centre.

— Euclid, Elements, Book I[1]: 4 

टोपोलॉजिकल परिभाषा

टोपोलॉजी के क्षेत्र में, एक सर्कल ज्यामितीय अवधारणा तक ही सीमित नहीं है, बल्कि इसके सभी होमोमोर्फिज्म तक सीमित है। दो टोपोलॉजिकल सर्कल समतुल्य हैं यदि एक को R . के विरूपण के माध्यम से दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है3अपने आप पर (एक परिवेश समस्थानिक के रूप में जाना जाता है)।[2]

शब्दावली

  • एनलस: एक अंगूठी के आकार की वस्तु, दो संकेंद्रित वृत्तों से घिरा क्षेत्र।
  • चाप: वृत्त का कोई भी जुड़ा हुआ भाग। एक चाप और एक केंद्र के दो अंत बिंदुओं को निर्दिष्ट करना दो चापों के लिए अनुमति देता है जो एक साथ एक पूर्ण चक्र बनाते हैं।
  • केंद्र: वृत्त के सभी बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदु।
  • जीवा: एक रेखा खंड जिसका समापन बिंदु वृत्त पर स्थित होता है, इस प्रकार एक वृत्त को दो खंडों में विभाजित करता है।
  • परिधि: सर्कल के साथ एक सर्किट की लंबाई, या सर्कल के चारों ओर की दूरी।
  • व्यास: एक रेखा खंड जिसका अंत बिंदु वृत्त पर स्थित होता है और जो केंद्र से होकर गुजरता है; या ऐसे रेखाखंड की लंबाई। यह वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की सबसे बड़ी दूरी है। यह एक जीवा का एक विशेष मामला है, अर्थात् किसी दिए गए वृत्त के लिए सबसे लंबी जीवा, और इसकी लंबाई त्रिज्या की लंबाई से दोगुनी है।
  • डिस्क: एक वृत्त से घिरा विमान का क्षेत्र।
  • लेंस: दो अतिव्यापी डिस्क के लिए सामान्य क्षेत्र (प्रतिच्छेदन)।
  • पासेंट: एक समतलीय सीधी रेखा जिसका वृत्त के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
  • त्रिज्या: वृत्त पर किसी एक बिंदु के साथ वृत्त के केंद्र को मिलाने वाला एक रेखा खंड; या ऐसे खंड की लंबाई, जो व्यास से आधी (लंबाई) हो।
  • सेक्टर: एक क्षेत्र जो समान लंबाई के दो त्रिज्याओं से घिरा होता है और एक सामान्य केंद्र और दो संभावित चापों में से कोई एक, इस केंद्र और त्रिज्या के अंत बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है।
  • खंड: जीवा से घिरा एक क्षेत्र और जीवा के अंतिम बिंदुओं को जोड़ने वाले चापों में से एक। जीवा की लंबाई संभावित चापों के व्यास पर एक निचली सीमा लगाती है। कभी-कभी खंड शब्द का प्रयोग केवल उन क्षेत्रों के लिए किया जाता है जिनमें उस वृत्त का केंद्र नहीं होता जिससे उनका चाप संबंधित होता है।
  • सेकेंट: एक विस्तारित जीवा, एक समतलीय सीधी रेखा, एक वृत्त को दो बिंदुओं में प्रतिच्छेद करती है।
  • अर्धवृत्त: एक व्यास के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्धारित दो संभावित चापों में से एक, इसके मध्य बिंदु को केंद्र के रूप में लेते हुए। गैर-तकनीकी सामान्य उपयोग में इसका मतलब व्यास और उसके एक चाप से घिरे दो आयामी क्षेत्र का आंतरिक भाग हो सकता है, जिसे तकनीकी रूप से अर्ध-डिस्क कहा जाता है। एक अर्ध-डिस्क एक खंड का एक विशेष मामला है, अर्थात् सबसे बड़ा।
  • स्पर्शरेखा: एक समतलीय सीधी रेखा जिसमें वृत्त के साथ एक ही बिंदु उभयनिष्ठ होता है (इस बिंदु पर वृत्त को स्पर्श करता है)।

सभी निर्दिष्ट क्षेत्रों को खुला माना जा सकता है, अर्थात्, उनकी सीमाएँ शामिल नहीं हैं, या उनकी संबंधित सीमाओं सहित बंद हैं।

File:CIRCLE LINES.svg
जीवा, छेदक, स्पर्शरेखा, त्रिज्या और व्यास
File:Circle slices.svg
चाप, क्षेत्र, और खंड

इतिहास

File:God the Geometer.jpg

13वीं शताब्दी की इस पांडुलिपि में ई कंपास ईश्वर के निर्माण कार्य का प्रतीक है। प्रभामंडल के गोलाकार आकार पर भी ध्यान दें। सर्कल शब्द ग्रीक κίρκος/κύκλος (किर्कोस/कुक्लोस) से निकला है, जो स्वयं होमरिक ग्रीक κρίκος (क्रिकोस) का एक मेटाथिसिस है, जिसका अर्थ है घेरा या अंगूठी।[3]सर्कस और विकट:सर्किट|सर्किट शब्दों की उत्पत्ति निकट से संबंधित हैं।

File:IlkhanateSilkCircular.jpg
एक पुराने अरबी खगोलीय चित्र में मंडलियां।

r500.jpg|right|thumb|200px|एक पुराने अरबी खगोलीय चित्र में मंडलियां। दर्ज इतिहास की शुरुआत से पहले से सर्कल को जाना जाता है। प्राकृतिक वृत्त देखे गए होंगे, जैसे कि चंद्रमा, सूर्य और रेत पर हवा में उड़ने वाला एक छोटा पौधे का डंठल, जो रेत में एक वृत्त का आकार बनाता है। चक्र पहिया का आधार है, जो संबंधित आविष्कारों जैसे कि गियर के साथ, आधुनिक मशीनरी को बहुत संभव बनाता है। गणित में, वृत्त के अध्ययन ने ज्यामिति, खगोल विज्ञान और कलन के विकास को प्रेरित करने में मदद की है।

प्रारंभिक विज्ञान, विशेष रूप से ज्यामिति और ज्योतिष और खगोल विज्ञान, अधिकांश मध्ययुगीन विद्वानों के लिए परमात्मा से जुड़ा था, और कई लोगों का मानना ​​​​था कि आंतरिक रूप से दिव्य या परिपूर्ण कुछ था जो मंडलियों में पाया जा सकता था।[4][5]

सर्कल के इतिहास में कुछ हाइलाइट्स हैं:

  • 1700 ईसा पूर्व - रिंद पपीरस एक गोलाकार क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के लिए एक विधि देता है। परिणाम से मेल खाती है 256/81 (3.16049...) के अनुमानित मूल्य के रूप मेंπ.[6]
File:Toghrol Tower looking up.jpg
अंदर से तुगरुल टावर
  • 300 ईसा पूर्व - यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक 3 | यूक्लिड के तत्व वृत्तों के गुणों से संबंधित हैं।
  • प्लेटो के सातवें पत्र में वृत्त की विस्तृत परिभाषा और व्याख्या है। प्लेटो संपूर्ण वृत्त की व्याख्या करता है, और यह किसी भी चित्र, शब्द, परिभाषा या व्याख्या से कैसे भिन्न है।
  • 1880 सीई - लिंडमैन ने साबित किया कि π पारलौकिक है, प्रभावी रूप से वृत्त का वर्ग करने की सहस्राब्दी पुरानी समस्या का समाधान कर रहा है।[7]

विश्लेषणात्मक परिणाम

परिधि

Main article: Circumference

एक वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात है π (पीआई), एक अपरिमेय स्थिरांक लगभग 3.141592654 के बराबर। इस प्रकार परिधि C त्रिज्या r और व्यास d से संबंधित है:

संलग्न क्षेत्र

File:Circle Area.svg
वृत्त से घिरा क्षेत्रफल = π × छायांकित वर्ग का क्षेत्रफल
Main article: Area of a circle

जैसा कि आर्किमिडीज ने सिद्ध किया है, एक वृत्त के अपने मापन में, एक वृत्त द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल उस त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसके आधार पर वृत्त की परिधि की लंबाई होती है और जिसकी ऊँचाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है,[8]जो आता है π त्रिज्या वर्ग से गुणा करें:

समान रूप से, व्यास को d से निरूपित करते हुए,

यानी परिचालित वर्ग का लगभग 79% (जिसकी भुजा लंबाई d की है)।

वृत्त एक समतल वक्र है जो किसी चाप की लंबाई के लिए अधिकतम क्षेत्रफल को घेरता है। यह वृत्त को विविधताओं के कलन में एक समस्या से संबंधित करता है, अर्थात् आइसोपेरिमेट्रिक असमानता।

समीकरण

कार्तीय निर्देशांक

File:Circle center a b radius r.svg
त्रिज्या का वृत्त r = 1, केंद्र (a, b) = (1.2, −0.5)
एक वृत्त का समीकरण

एक x-y कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, केंद्र निर्देशांक (a, b) और त्रिज्या r वाला वृत्त सभी बिंदुओं (x, y) का समुच्चय इस प्रकार है कि

वृत्त के समीकरण के रूप में जाना जाने वाला यह समीकरण, वृत्त के किसी भी बिंदु पर लागू पाइथागोरस प्रमेय का अनुसरण करता है: जैसा कि आसन्न आरेख में दिखाया गया है, त्रिज्या एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी अन्य भुजाएँ लंबाई की हैं |x -ए| और |y - b|। यदि वृत्त मूल बिंदु (0, 0) पर केंद्रित है, तो समीकरण सरल हो जाता है

पैरामीट्रिक फॉर्म

समीकरण को पैरामीट्रिक रूप में त्रिकोणमितीय कार्यों साइन और कोसाइन का उपयोग करके लिखा जा सकता है:

जहाँ t 0 से 2 . की सीमा में एक पैरामीट्रिक चर हैπ, ज्यामितीय रूप से उस कोण के रूप में व्याख्या की जाती है जिसे किरण (a, b) से (x, y) तक धनात्मक x अक्ष के साथ बनाती है।

वृत्त का एक वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन है