टेंसर घनत्व: Difference between revisions
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[[विभेदक ज्यामिति]] में, एक टेंसर घनत्व या सापेक्ष टेंसर, टेंसर क्षेत्र अवधारणा का एक सामान्यीकरण है। एक समन्वय प्रणाली से दूसरे समन्वय प्रणाली में जाने पर एक टेंसर घनत्व एक टेंसर क्षेत्र के रूप में परिवर्तित हो जाता है ([[टेंसर फ़ील्ड]] देखें), सिवाय इसके कि इसे समन्वय संक्रमण फलन या इसके निरपेक्ष मान के [[जैकोबियन निर्धारक]] की शक्ति ''W'' द्वारा अतिरिक्त रूप से गुणा या ''भारित'' किया जाता है। एकल सूचकांक वाले टेंसर घनत्व को सदिश घनत्व कहा जाता है। (प्रामाणिक) टेंसर घनत्व, स्यूडोटेंसर घनत्व, सम टेंसर घनत्व और विषम टेंसर घनत्व के बीच अंतर किया जाता है। कभी-कभी नकारात्मक भार ''W'' वाले टेंसर घनत्व को टेंसर क्षमता कहा जाता है।<ref name=":0">{{cite book | [[विभेदक ज्यामिति]] में, एक '''टेंसर घनत्व''' या सापेक्ष टेंसर, टेंसर क्षेत्र अवधारणा का एक सामान्यीकरण है। एक समन्वय प्रणाली से दूसरे समन्वय प्रणाली में जाने पर एक टेंसर घनत्व एक टेंसर क्षेत्र के रूप में परिवर्तित हो जाता है ([[टेंसर फ़ील्ड]] देखें), सिवाय इसके कि इसे समन्वय संक्रमण फलन या इसके निरपेक्ष मान के [[जैकोबियन निर्धारक]] की शक्ति ''W'' द्वारा अतिरिक्त रूप से गुणा या ''भारित'' किया जाता है। एकल सूचकांक वाले टेंसर घनत्व को सदिश घनत्व कहा जाता है। (प्रामाणिक) टेंसर घनत्व, स्यूडोटेंसर घनत्व, सम टेंसर घनत्व और विषम टेंसर घनत्व के बीच अंतर किया जाता है। कभी-कभी नकारात्मक भार ''W'' वाले टेंसर घनत्व को टेंसर क्षमता कहा जाता है।<ref name=":0">{{cite book | ||
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भौतिकी और संबंधित क्षेत्रों में, वस्तु के अतिरिक्त बीजगणितीय वस्तु के घटकों के साथ काम करना अधिकांशतः उपयोगी होता है। एक उदाहरण कुछ गुणांकों द्वारा भारित आधार सदिश के योग में से एक सदिश को विघटित करना होगा जैसे कि | भौतिकी और संबंधित क्षेत्रों में, वस्तु के अतिरिक्त बीजगणितीय वस्तु के घटकों के साथ काम करना अधिकांशतः उपयोगी होता है। एक उदाहरण कुछ गुणांकों द्वारा भारित आधार सदिश के योग में से एक सदिश को विघटित करना होगा जैसे कि | ||
<math display="block">\vec{v} = c_1 \vec{e}_1 + c_2 \vec e_2 + c_ 3\vec e_3</math>जहां <math>\vec v</math> 3-आयामी यूक्लिडियन स्थान में एक सदिश है, <math>c_i \in \R^n \text{ and } \vec e_i</math> यूक्लिडियन स्थान में सामान्य मानक आधार सदिश हैं। यह सामान्यतया संगणनात्मक उद्देश्यों के लिए आवश्यक है, और अधिकांशतः व्यावहारिक हो सकता है जब बीजगणितीय वस्तुएं जटिल अमूर्तता का प्रतिनिधित्व करती हैं लेकिन उनके घटकों की ठोस व्याख्या होती है। | <math display="block">\vec{v} = c_1 \vec{e}_1 + c_2 \vec e_2 + c_ 3\vec e_3</math>जहां <math>\vec v</math> 3-आयामी यूक्लिडियन स्थान में एक सदिश है, <math>c_i \in \R^n \text{ and } \vec e_i</math> यूक्लिडियन स्थान में सामान्य मानक आधार सदिश हैं। यह सामान्यतया संगणनात्मक उद्देश्यों के लिए आवश्यक है, और अधिकांशतः व्यावहारिक हो सकता है जब बीजगणितीय वस्तुएं जटिल अमूर्तता का प्रतिनिधित्व करती हैं लेकिन उनके घटकों की ठोस व्याख्या होती है। चूंकि, इस पहचान के साथ, किसी को उस अंतर्निहित आधार के परिवर्तनों को पता करने में सावधानी बरतनी होगी जिसमें मात्रा का विस्तार किया गया है; यह गणना के समय सदिश के आधार को बदलने के लिए समीचीन हो सकता है <math>\vec v</math> भौतिक स्थान में स्थिर रहता है। सामान्यतः अधिक, यदि एक बीजगणितीय वस्तु एक ज्यामितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करती है, लेकिन एक विशेष आधार के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, तो यह आवश्यक है कि जब आधार बदला जाए, तो प्रतिनिधित्व को भी बदला जाए। भौतिक विज्ञानी अधिकांशतः एक ज्यामितीय वस्तु के इस प्रतिनिधित्व को एक [[ टेन्सर | टेन्सर]] कहते हैं यदि यह आधार के रैखिक परिवर्तन को देखते हुए रैखिक मानचित्रों के अनुक्रम के तहत रूपांतरित होता है (चूंकि भ्रमित करने वाले अन्य लोग अंतर्निहित ज्यामितीय वस्तु को कहते हैं जो समन्वय परिवर्तन के तहत नहीं बदला है, इसे "टेंसर" कहते हैं, एक परंपरा जिससे यह लेख सख्ती से बचता है)। सामान्यतः पर ऐसे अभ्यावेदन होते हैं जो स्वेच्छाचारिता ढंग से रूपांतरित होते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि प्रतिनिधित्व से ज्यामितीय अपरिवर्तनीय का पुनर्निर्माण कैसे किया जाता है। कुछ विशेष स्थितियों में अभ्यावेदन का उपयोग करना सुविधाजनक होता है जो प्राय टेंसर की तरह बदलता है, लेकिन परिवर्तन में एक अतिरिक्त, अरेखीय कारक के साथ। एक प्रोटोटाइप उदाहरण एक आव्यूह है जो क्रॉस उत्पाद (विस्तारित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र) का प्रतिनिधित्व करता है <math>\R^2.</math> द्वारा मानक आधार पर प्रतिनिधित्व दिया जाता है | ||
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</math>यदि अब हम इसी व्यंजक को मानक आधार के अतिरिक्त किसी अन्य आधार पर व्यक्त करने का प्रयास करें, तब सदिशों के घटक बदल जाएंगे, मान लीजिए के अनुसार <math display="inline">\begin{bmatrix} u'_1 & u'_2 \end{bmatrix}^\textsf{T} = A \begin{bmatrix} u_1 & u_2 \end{bmatrix}^\textsf{T}</math> जहां <math>A</math> वास्तविक संख्याओं का कुछ 2 बटा 2 आव्यूह है। यह देखते हुए कि फैले हुए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र एक ज्यामितीय अपरिवर्तनीय है, आधार परिवर्तन के तहत यह नहीं बदल सकताहै, और इसलिए इस आव्यूह का नया प्रतिनिधित्व होना चाहिए: | </math>यदि अब हम इसी व्यंजक को मानक आधार के अतिरिक्त किसी अन्य आधार पर व्यक्त करने का प्रयास करें, तब सदिशों के घटक बदल जाएंगे, मान लीजिए के अनुसार <math display="inline">\begin{bmatrix} u'_1 & u'_2 \end{bmatrix}^\textsf{T} = A \begin{bmatrix} u_1 & u_2 \end{bmatrix}^\textsf{T}</math> जहां <math>A</math> वास्तविक संख्याओं का कुछ 2 बटा 2 आव्यूह है। यह देखते हुए कि फैले हुए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र एक ज्यामितीय अपरिवर्तनीय है, आधार परिवर्तन के तहत यह नहीं बदल सकताहै, और इसलिए इस आव्यूह का नया प्रतिनिधित्व होना चाहिए: | ||
<math display="block">\left(A^{-1}\right)^\textsf{T} \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} A^{-1}</math> | <math display="block">\left(A^{-1}\right)^\textsf{T} \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} A^{-1}</math>जो, विस्तारित होने पर केवल मूल व्यंजक है लेकिन निर्धारक द्वारा गुणा किया जाता है <math>A^{-1},</math> यह भी जो <math display="inline">\frac{1}{\det A}.</math> वास्तव में इस प्रतिनिधित्व को दो सूचकांक टेंसर परिवर्तन के रूप में सोचा जा सकता है, लेकिन इसके अतिरिक्त, टेंसर परिवर्तन नियम को गुणा के रूप में सोचना संगणनात्मक रूप से आसान है <math display="inline">\frac{1}{\det A},</math> 2 आव्यूह गुणन के अतिरिक्त (वास्तव में उच्च आयामों में, इसका स्वाभाविक विस्तार है <math>n, n \times n</math> आव्यूह गुणन, जो बड़े के लिए <math>n</math> पूरी तरह से अव्यवहार्य है)। जो वस्तुएं इस तरह से परिवर्तित होती हैं उन्हें टेंसर घनत्व कहा जाता है क्योंकि वे क्षेत्रों और आयतन से संबंधित समस्याओं पर विचार करते समय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं, और इसलिए अधिकांशतः एकीकरण में उपयोग किया जाता है। | ||
जो, विस्तारित होने पर केवल मूल व्यंजक है लेकिन निर्धारक द्वारा गुणा किया जाता है <math>A^{-1},</math> यह भी जो <math display="inline">\frac{1}{\det A}.</math> वास्तव में इस प्रतिनिधित्व को दो सूचकांक टेंसर परिवर्तन के रूप में सोचा जा सकता है, लेकिन इसके अतिरिक्त, टेंसर परिवर्तन नियम को गुणा के रूप में सोचना संगणनात्मक रूप से आसान है <math display="inline">\frac{1}{\det A},</math> 2 आव्यूह गुणन के अतिरिक्त (वास्तव में उच्च आयामों में, इसका स्वाभाविक विस्तार है <math>n, n \times n</math> आव्यूह गुणन, जो बड़े के लिए <math>n</math> पूरी तरह से अव्यवहार्य है)। जो वस्तुएं इस तरह से परिवर्तित होती हैं उन्हें टेंसर घनत्व कहा जाता है क्योंकि वे क्षेत्रों और आयतन से संबंधित समस्याओं पर विचार करते समय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं, और इसलिए अधिकांशतः एकीकरण में उपयोग किया जाता है। | |||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
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कुछ लेखक इस लेख में टेन्सर घनत्व को दो प्रकारों में वर्गीकृत करते हैं जिन्हें (प्रामाणिक) टेन्सर घनत्व और छद्म टेंसर घनत्व कहा जाता है। अन्य लेखक उन्हें अलग-अलग प्रकार से वर्गीकृत करते हैं, जिन्हें सम टेंसर घनत्व और विषम टेंसर घनत्व कहा जाता है। जब टेंसर घनत्व का भार एक पूर्णांक होता है तो इन दृष्टिकोणों के बीच एक समानता होती है जो इस बात पर निर्भर करती है कि पूर्णांक सम है या विषम। | कुछ लेखक इस लेख में टेन्सर घनत्व को दो प्रकारों में वर्गीकृत करते हैं जिन्हें (प्रामाणिक) टेन्सर घनत्व और छद्म टेंसर घनत्व कहा जाता है। अन्य लेखक उन्हें अलग-अलग प्रकार से वर्गीकृत करते हैं, जिन्हें सम टेंसर घनत्व और विषम टेंसर घनत्व कहा जाता है। जब टेंसर घनत्व का भार एक पूर्णांक होता है तो इन दृष्टिकोणों के बीच एक समानता होती है जो इस बात पर निर्भर करती है कि पूर्णांक सम है या विषम। | ||
ध्यान दें कि ये वर्गीकरण अलग-अलग | ध्यान दें कि ये वर्गीकरण अलग-अलग विधि को स्पष्ट करते हैं कि टेंसर घनत्व अभिविन्यास-उलट समन्वय परिवर्तनों के तहत कुछ हद तक तर्कहीन रूप से बदल सकते हैं। इन प्रकारों में उनके वर्गीकरण के अतिरिक्त, केवल एक ही विधि है कि टेंसर घनत्व अभिविन्यास-संरक्षण समन्वय परिवर्तनों के तहत परिवर्तित हो जाते हैं। | ||
इस लेख में हमने उस परिपाटी को चुना है जो +2 का भार निर्दिष्ट करती है <math>g = \det\left(g_{\rho\sigma}\right)</math>, सहसंयोजक सूचकांकों के साथ व्यक्त मीट्रिक टेंसर का निर्धारक। इस विकल्प के साथ, | इस लेख में हमने उस परिपाटी को चुना है जो +2 का भार निर्दिष्ट करती है <math>g = \det\left(g_{\rho\sigma}\right)</math>, सहसंयोजक सूचकांकों के साथ व्यक्त मीट्रिक टेंसर का निर्धारक। इस विकल्प के साथ, उत्कृष्ट घनत्व, जैसे चार्ज घनत्व, को भार +1 के टेंसर घनत्व द्वारा दर्शाया जाएगा। कुछ लेखक वज़न के लिए एक संकेत परिपाटी का उपयोग करते हैं जो कि यहां प्रस्तुत किए गए वज़न का निषेध है।<ref name=":3">E.g. {{harvnb|Weinberg|1972}} pp 98. The chosen convention involves in the formulae below the [[Jacobian determinant]] of the inverse transition {{math|''x'' → {{overbar|''x''}}}}, while the opposite convention considers the forward transition {{math|{{overbar|''x''}} → ''x''}} resulting in a flip of sign of the weight.</ref> | ||
इस लेख में प्रयुक्त अर्थ के विपरीत, सामान्य सापेक्षता में [[ स्यूडोटेन्सर | स्यूडोटेन्सर]] का अर्थ कभी-कभी एक ऐसी वस्तु से होता है जो किसी भार के टेंसर या सापेक्ष टेंसर की तरह परिवर्तित नहीं होती है। | इस लेख में प्रयुक्त अर्थ के विपरीत, सामान्य सापेक्षता में [[ स्यूडोटेन्सर | स्यूडोटेन्सर]] का अर्थ कभी-कभी एक ऐसी वस्तु से होता है जो किसी भार के टेंसर या सापेक्ष टेंसर की तरह परिवर्तित नहीं होती है। | ||
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\left( \det{\left[\frac{\partial \bar{x}^{\iota}}{\partial {x}^{\gamma}}\right]} \right)^{W} \, \frac{\partial {x}^{\alpha}}{\partial \bar{x}^{\delta}} \, \frac{\partial \bar{x}^{\epsilon}}{\partial {x}^{\beta}} \, \bar{\mathfrak{T}}^{\delta}_{\epsilon} | \left( \det{\left[\frac{\partial \bar{x}^{\iota}}{\partial {x}^{\gamma}}\right]} \right)^{W} \, \frac{\partial {x}^{\alpha}}{\partial \bar{x}^{\delta}} \, \frac{\partial \bar{x}^{\epsilon}}{\partial {x}^{\beta}} \, \bar{\mathfrak{T}}^{\delta}_{\epsilon} | ||
\,,</math> ((प्रामाणिक) (पूर्णांक) भार ''W'' का टेंसर घनत्व) | \,,</math> ((प्रामाणिक) (पूर्णांक) भार ''W'' का टेंसर घनत्व) | ||
जहां <math>\bar{\mathfrak{T}}</math> में रैंक-दो टेंसर घनत्व है <math>\bar{x}</math> समन्वय प्रणाली, <math>{\mathfrak{T}}</math> में रूपांतरित टेंसर घनत्व है <math>{x}</math> समन्वय प्रणाली; और हम जैकोबियन निर्धारक का उपयोग करते | जहां <math>\bar{\mathfrak{T}}</math> में रैंक-दो टेंसर घनत्व है <math>\bar{x}</math> समन्वय प्रणाली, <math>{\mathfrak{T}}</math> में रूपांतरित टेंसर घनत्व है <math>{x}</math> समन्वय प्रणाली; और हम जैकोबियन निर्धारक का उपयोग करते हैं। क्योंकि निर्धारक नकारात्मक हो सकता है, जो कि एक अभिविन्यास-उलट समन्वय परिवर्तन के लिए है, यह सूत्र केवल तभी क्रियान्वित होता है जब <math>W</math> एक पूर्णांक है। (चूंकि, नीचे सम और विषम टेंसर घनत्व देखें।) | ||
हम कहते हैं कि एक टेंसर घनत्व एक स्यूडोटेंसर घनत्व है जब एक अभिविन्यास-उलटा समन्वय परिवर्तन के तहत एक अतिरिक्त साइन फ्लिप होता है। भार का मिश्रित रैंक-दो स्यूडोटेंसर घनत्व <math>W</math> के रूप में परिवर्तित हो जाता है | हम कहते हैं कि एक टेंसर घनत्व एक स्यूडोटेंसर घनत्व है जब एक अभिविन्यास-उलटा समन्वय परिवर्तन के तहत एक अतिरिक्त साइन फ्लिप होता है। भार का मिश्रित रैंक-दो स्यूडोटेंसर घनत्व <math>W</math> के रूप में परिवर्तित हो जाता है | ||
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\,,</math> ((पूर्णांक) भार का स्यूडोटेंसर घनत्व ''डब्ल्यू'') | \,,</math> ((पूर्णांक) भार का स्यूडोटेंसर घनत्व ''डब्ल्यू'') | ||
जहां [[साइन फ़ंक्शन]] () एक | जहां [[साइन फ़ंक्शन]] () एक फलन है जो +1 देता है जब उसका तर्क सकारात्मक होता है या -1 जब उसका तर्क नकारात्मक होता है। | ||
=== सम और विषम टेंसर घनत्व === | === सम और विषम टेंसर घनत्व === | ||
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मीट्रिक टेंसर का निर्धारक, | मीट्रिक टेंसर का निर्धारक, | ||
<math display="block">g = \det\left(g_{\rho\sigma}\right) = \frac{1}{4!} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\alpha\kappa} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu}\,,</math> | <math display="block">g = \det\left(g_{\rho\sigma}\right) = \frac{1}{4!} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\alpha\kappa} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu}\,,</math> | ||
भार +2 का एक (सम) प्रामाणिक | भार +2 का एक (सम) प्रामाणिक अदिश घनत्व है, जो भार +1 के 2 (विषम) प्रामाणिक टेंसर घनत्वों और भार 0 के चार (सम) प्रामाणिक टेंसर घनत्वों के उत्पाद का संकुचन है। | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
Revision as of 15:06, 14 July 2023
विभेदक ज्यामिति में, एक टेंसर घनत्व या सापेक्ष टेंसर, टेंसर क्षेत्र अवधारणा का एक सामान्यीकरण है। एक समन्वय प्रणाली से दूसरे समन्वय प्रणाली में जाने पर एक टेंसर घनत्व एक टेंसर क्षेत्र के रूप में परिवर्तित हो जाता है (टेंसर फ़ील्ड देखें), सिवाय इसके कि इसे समन्वय संक्रमण फलन या इसके निरपेक्ष मान के जैकोबियन निर्धारक की शक्ति W द्वारा अतिरिक्त रूप से गुणा या भारित किया जाता है। एकल सूचकांक वाले टेंसर घनत्व को सदिश घनत्व कहा जाता है। (प्रामाणिक) टेंसर घनत्व, स्यूडोटेंसर घनत्व, सम टेंसर घनत्व और विषम टेंसर घनत्व के बीच अंतर किया जाता है। कभी-कभी नकारात्मक भार W वाले टेंसर घनत्व को टेंसर क्षमता कहा जाता है।[1][2][3] एक टेंसर घनत्व को एक घनत्व बंडल के साथ टेंसर बंडल के टेंसर उत्पाद के एक खंड (फाइबर बंडल) के रूप में भी माना जा सकता है।
प्रेरणा
भौतिकी और संबंधित क्षेत्रों में, वस्तु के अतिरिक्त बीजगणितीय वस्तु के घटकों के साथ काम करना अधिकांशतः उपयोगी होता है। एक उदाहरण कुछ गुणांकों द्वारा भारित आधार सदिश के योग में से एक सदिश को विघटित करना होगा जैसे कि
जहां 3-आयामी यूक्लिडियन स्थान में एक सदिश है, यूक्लिडियन स्थान में सामान्य मानक आधार सदिश हैं। यह सामान्यतया संगणनात्मक उद्देश्यों के लिए आवश्यक है, और अधिकांशतः व्यावहारिक हो सकता है जब बीजगणितीय वस्तुएं जटिल अमूर्तता का प्रतिनिधित्व करती हैं लेकिन उनके घटकों की ठोस व्याख्या होती है। चूंकि, इस पहचान के साथ, किसी को उस अंतर्निहित आधार के परिवर्तनों को पता करने में सावधानी बरतनी होगी जिसमें मात्रा का विस्तार किया गया है; यह गणना के समय सदिश के आधार को बदलने के लिए समीचीन हो सकता है भौतिक स्थान में स्थिर रहता है। सामान्यतः अधिक, यदि एक बीजगणितीय वस्तु एक ज्यामितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करती है, लेकिन एक विशेष आधार के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, तो यह आवश्यक है कि जब आधार बदला जाए, तो प्रतिनिधित्व को भी बदला जाए। भौतिक विज्ञानी अधिकांशतः एक ज्यामितीय वस्तु के इस प्रतिनिधित्व को एक टेन्सर कहते हैं यदि यह आधार के रैखिक परिवर्तन को देखते हुए रैखिक मानचित्रों के अनुक्रम के तहत रूपांतरित होता है (चूंकि भ्रमित करने वाले अन्य लोग अंतर्निहित ज्यामितीय वस्तु को कहते हैं जो समन्वय परिवर्तन के तहत नहीं बदला है, इसे "टेंसर" कहते हैं, एक परंपरा जिससे यह लेख सख्ती से बचता है)। सामान्यतः पर ऐसे अभ्यावेदन होते हैं जो स्वेच्छाचारिता ढंग से रूपांतरित होते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि प्रतिनिधित्व से ज्यामितीय अपरिवर्तनीय का पुनर्निर्माण कैसे किया जाता है। कुछ विशेष स्थितियों में अभ्यावेदन का उपयोग करना सुविधाजनक होता है जो प्राय टेंसर की तरह बदलता है, लेकिन परिवर्तन में एक अतिरिक्त, अरेखीय कारक के साथ। एक प्रोटोटाइप उदाहरण एक आव्यूह है जो क्रॉस उत्पाद (विस्तारित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र) का प्रतिनिधित्व करता है द्वारा मानक आधार पर प्रतिनिधित्व दिया जाता है
यदि अब हम इसी व्यंजक को मानक आधार के अतिरिक्त किसी अन्य आधार पर व्यक्त करने का प्रयास करें, तब सदिशों के घटक बदल जाएंगे, मान लीजिए के अनुसार जहां वास्तविक संख्याओं का कुछ 2 बटा 2 आव्यूह है। यह देखते हुए कि फैले हुए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र एक ज्यामितीय अपरिवर्तनीय है, आधार परिवर्तन के तहत यह नहीं बदल सकताहै, और इसलिए इस आव्यूह का नया प्रतिनिधित्व होना चाहिए: