क्यू-फलन: Difference between revisions

Revision as of 12:18, 14 July 2023

क्यू-फ़ंक्शन का एक प्लॉट.

आंकड़ों में, क्यू-फ़ंक्शन मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन (टेल डिस्ट्रीब्यूशन फ़ंक्शन) है।^[1]^[2] दूसरे शब्दों में $Q(x)$ संभावना है कि एक सामान्य (गाऊसी) यादृच्छिक चर x मानक विचलन से बड़ा मान प्राप्त करेगा। समान रूप से $Q(x)$ यह संभावना है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर $x$ से बड़ा मान लेता है।

अगर $Y$ माध्य के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर $\mu$ हैं और विचरण $\sigma ^{2}$ , तो $X={\frac {Y-\mu }{\sigma }}$ मानक सामान्य वितरण हैं और

P(Y>y)=P(X>x)=Q(x)

$x={\frac {y-\mu }{\sigma }}$ जहाँ

क्यू-फ़ंक्शन की अन्य परिभाषाएँ, जो सभी सामान्य संचयी वितरण फ़ंक्शन के सरल परिवर्तन का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है।^[3]

सामान्य वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन से इसके संबंध के कारण, क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो लागू गणित और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण फ़ंक्शन है।

परिभाषा और बुनियादी गुण

औपचारिक रूप से, क्यू-फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du.

इस प्रकार,

Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi (x)\,\!,

जहाँ $\Phi (x)$ मानक सामान्य गाऊसी वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन है।

क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन या पूरक त्रुटि फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है^[2]

{\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x/{\sqrt {2}}}^{\infty }\exp \left(-t^{2}\right)\,dt\right)\\&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)~~{\text{ -or-}}\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).\end{aligned}}

क्यू-फ़ंक्शन का एक वैकल्पिक रूप जिसे इसके खोजकर्ता के नाम पर क्रेग के सूत्र के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार व्यक्त किया गया है:^[4]

Q(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}\right)d\theta .

यह अभिव्यक्ति केवल x के सकारात्मक मानों के लिए मान्य है, लेकिन इसका उपयोग नकारात्मक मानों के लिए Q(x) प्राप्त करने के लिए Q(x) = 1 − Q(−x) के संयोजन में किया जा सकता है। यह रूप लाभप्रद है क्योंकि एकीकरण की सीमा निश्चित और सीमित है।

क्रेग के फॉर्मूले को बाद में बेहनाद (2020) द्वारा ^[5] दो गैर-नकारात्मक चर के योग के क्यू-फ़ंक्शन के लिए इस प्रकार बढ़ाया गया:

:

File:Q function complex plot plotted with Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.svg

क्यू-फ़ंक्शन को जटिल सतह में प्लॉट किया गया

$Q (x + y) =$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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 {{Short description|Statistics function}}
 {{For|the phase-space function representing a quantum state|Husimi Q representation}}
-[[Image:Q-function.png|thumb|right|400px|क्यू-फ़ंक्शन का एक प्लॉट.]]आंकड़ों में, Q-फ़ंक्शन मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन (टेल डिस्ट्रीब्यूशन फ़ंक्शन) है।<ref>[http://cnx.org/content/m11537/latest/ The Q-function], from [[cnx.org]]</ref><ref name="jo">[http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf Basic properties of the Q-function] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20090325160012/http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf |date=March 25, 2009 }}</ref> दूसरे शब्दों में <math>Q(x)</math> संभावना है कि एक सामान्य (गाऊसी) यादृच्छिक चर x मानक विचलन से बड़ा मान प्राप्त करेगा। समान रूप से <math>Q(x)</math> यह संभावना है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर <math>x</math> से बड़ा मान लेता है।
+[[Image:Q-function.png|thumb|right|400px|क्यू-फ़ंक्शन का एक प्लॉट.]]आंकड़ों में, '''क्यू''-फ़ंक्शन''''' मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन (टेल डिस्ट्रीब्यूशन फ़ंक्शन) है।<ref>[http://cnx.org/content/m11537/latest/ The Q-function], from [[cnx.org]]</ref><ref name="jo">[http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf Basic properties of the Q-function] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20090325160012/http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf |date=March 25, 2009 }}</ref> दूसरे शब्दों में <math>Q(x)</math> संभावना है कि एक सामान्य (गाऊसी) यादृच्छिक चर x मानक विचलन से बड़ा मान प्राप्त करेगा। समान रूप से <math>Q(x)</math> यह संभावना है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर <math>x</math> से बड़ा मान लेता है।
 अगर <math>Y</math> माध्य के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर <math>\mu</math> हैं और विचरण <math>\sigma^2</math>, तो <math>X = \frac{Y-\mu}{\sigma}</math> मानक सामान्य वितरण हैं और
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 <math>x = \frac{y-\mu}{\sigma}</math> जहाँ
-क्यू-फ़ंक्शन की अन्य परिभाषाएँ, जो सभी सामान्य संचयी वितरण फ़ंक्शन के सरल परिवर्तन का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/NormalDistributionFunction.html Normal Distribution Function – from Wolfram MathWorld<!-- Bot generated title -->]</ref>
+'''क्यू-फ़ंक्शन''' की अन्य परिभाषाएँ, जो सभी सामान्य संचयी वितरण फ़ंक्शन के सरल परिवर्तन का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/NormalDistributionFunction.html Normal Distribution Function – from Wolfram MathWorld<!-- Bot generated title -->]</ref>
-सामान्य वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन से इसके संबंध के कारण, क्यू-फ़ंक्शन को [[त्रुटि फ़ंक्शन]] के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो लागू गणित और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण फ़ंक्शन है।
+सामान्य वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन से इसके संबंध के कारण, '''क्यू-फ़ंक्शन''' को [[त्रुटि फ़ंक्शन]] के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो लागू गणित और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण फ़ंक्शन है।
 == परिभाषा और बुनियादी गुण ==
-औपचारिक रूप से, Q-फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
+औपचारिक रूप से, क्यू-फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 :<math>Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^\infty \exp\left(-\frac{u^2}{2}\right) \, du.</math>
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 क्रेग के फॉर्मूले को बाद में बेहनाद (2020) द्वारा <ref>{{cite journal |doi=10.1109/TCOMM.2020.2986209 |title=क्रेग के क्यू-फंक्शन फॉर्मूला का एक नया विस्तार और दोहरे-शाखा ईजीसी प्रदर्शन विश्लेषण में इसका अनुप्रयोग|journal=IEEE Transactions on Communications |volume=68|issue=7|pages=4117–4125|year=2020|last1=Behnad|first1=Aydin|s2cid=216500014}}</ref> दो गैर-नकारात्मक चर के योग के क्यू-फ़ंक्शन के लिए इस प्रकार बढ़ाया गया:
-  :[[File:Q function complex plot plotted with Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.svg|alt=the Q-function plotted in the complex plane|thumb|the Q-function plotted in the complex plane]]<math>Q(x+y) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} - \frac{y^2}{2 \cos^2 \theta} \right) d\theta, \quad x,y \geqslant 0 .</math>
+  :[[File:Q function complex plot plotted with Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.svg|alt=the Q-function plotted in the complex plane|thumb|क्यू-फ़ंक्शन को जटिल सतह में प्लॉट किया गया]]<math>Q(x+y) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} - \frac{y^2}{2 \cos^2 \theta} \right) d\theta, \quad x,y \geqslant 0 .</math>
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 : फिटिंग गुणांक <math> (a,b,c) </math> वर्ग त्रुटियों के योग को कम करने के लिए तर्कों की किसी भी वांछित सीमा पर अनुकूलित किया जा सकता है (<math>a = 0.3842</math>, <math>b = 0.7640</math>, <math>c = 0.6964</math> के लिए <math>x \in [0,20]</math>) या अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि को कम करें (<math>a = 0.4920</math>, <math>b = 0.2887</math>, <math>c = 1.1893</math> लिए <math>x \in [0,20]</math>). यह सन्निकटन कुछ लाभ प्रदान करता है जैसे सटीकता और विश्लेषणात्मक ट्रैक्टेबिलिटी के बीच एक अच्छा व्यापार-बंद (उदाहरण के लिए, किसी भी मनमानी शक्ति का विस्तार) <math>Q(x)</math> तुच्छ है और सन्निकटन के बीजगणितीय रूप में परिवर्तन नहीं करता है)।
-==उलटा Q==
+==विपरीत Q==
 व्युत्क्रम Q-फ़ंक्शन व्युत्क्रम त्रुटि फ़ंक्शन से संबंधित हो सकता है:

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