क्यू-फलन: Difference between revisions

Revision as of 12:11, 14 July 2023

क्यू-फ़ंक्शन का एक प्लॉट.

आंकड़ों में, Q-फ़ंक्शन मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन (टेल डिस्ट्रीब्यूशन फ़ंक्शन) है।^[1]^[2] दूसरे शब्दों में $Q(x)$ संभावना है कि एक सामान्य (गाऊसी) यादृच्छिक चर x मानक विचलन से बड़ा मान प्राप्त करेगा। समान रूप से $Q(x)$ यह संभावना है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर $x$ से बड़ा मान लेता है।

अगर $Y$ माध्य के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर $\mu$ हैं और विचरण $\sigma ^{2}$ , तो $X={\frac {Y-\mu }{\sigma }}$ मानक सामान्य वितरण हैं और

P(Y>y)=P(X>x)=Q(x)

$x={\frac {y-\mu }{\sigma }}$ जहाँ

क्यू-फ़ंक्शन की अन्य परिभाषाएँ, जो सभी सामान्य संचयी वितरण फ़ंक्शन के सरल परिवर्तन का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है।^[3]

सामान्य वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन से इसके संबंध के कारण, क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो लागू गणित और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण फ़ंक्शन है।

परिभाषा और बुनियादी गुण

औपचारिक रूप से, Q-फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du.

इस प्रकार,

Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi (x)\,\!,

जहाँ $\Phi (x)$ मानक सामान्य गाऊसी वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन है।

क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन या पूरक त्रुटि फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है^[2]

{\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x/{\sqrt {2}}}^{\infty }\exp \left(-t^{2}\right)\,dt\right)\\&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)~~{\text{ -or-}}\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).\end{aligned}}

क्यू-फ़ंक्शन का एक वैकल्पिक रूप जिसे इसके खोजकर्ता के नाम पर क्रेग के सूत्र के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार व्यक्त किया गया है:^[4]

Q(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}\right)d\theta .

यह अभिव्यक्ति केवल x के सकारात्मक मानों के लिए मान्य है, लेकिन इसका उपयोग नकारात्मक मानों के लिए Q(x) प्राप्त करने के लिए Q(x) = 1 − Q(−x) के संयोजन में किया जा सकता है। यह रूप लाभप्रद है क्योंकि एकीकरण की सीमा निश्चित और सीमित है।

क्रेग के फॉर्मूले को बाद में बेहनाद (2020) द्वारा ^[5] दो गैर-नकारात्मक चर के योग के क्यू-फ़ंक्शन के लिए इस प्रकार बढ़ाया गया:

:

File:Q function complex plot plotted with Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.svg

the Q-function plotted in the complex plane

$Q(x+y)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{2\cos ^{2}\theta }}\right)d\theta ,\quad x,y\geqslant 0.$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Line 255: / Line 255: @@
 Q-फ़ंक्शन को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:<ref>{{cite journal|last1=Savage|first1=I. R.|title=बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के लिए मिल अनुपात|journal=Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B|date=1962|volume=66|issue=3|pages=93–96|doi=10.6028/jres.066B.011|zbl=0105.12601|doi-access=free}}</ref>
 :<math>Q(\mathbf{x})= \mathbb{P}(\mathbf{X}\geq \mathbf{x}),</math>
-जहाँ <math>\mathbf{X}\sim \mathcal{N}(\mathbf{0},\, \Sigma) </math> सहप्रसरण के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का अनुसरण करता है <math>\Sigma </math> और दहलीज रूप की है
+जहाँ <math>\mathbf{X}\sim \mathcal{N}(\mathbf{0},\, \Sigma) </math> सहप्रसरण के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का अनुसरण करता है <math>\Sigma </math> और दहलीज प्रकार की होती है
-<math>\mathbf{x}=\gamma\Sigma\mathbf{l}^*</math> कुछ सकारात्मक सदिश के लिए <math> \mathbf{l}^*>\mathbf{0}</math> और सकारात्मक स्थिरांक <math>\gamma>0</math>. जैसा कि एक आयामी स्थिति में क्यू-फ़ंक्शन के लिए कोई सरल विश्लेषणात्मक सूत्र नहीं है। फिर भी Q-फ़ंक्शन को [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/53796 मनमाने ढंग से अनुमानित किया जा सकता है] <math>\gamma</math> बड़ा और बड़ा होता जाता है।<ref>{{cite journal|last1=Botev|first1=Z. I.|title=The normal law under linear restrictions: simulation and estimation via minimax tilting|journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series B|volume=79|pages=125–148|date=2016|doi=10.1111/rssb.12162|arxiv=1603.04166|bibcode=2016arXiv160304166B|s2cid=88515228}}</ref><ref name="bmc17">{{cite book |chapter=Logarithmically efficient estimation of the tail of the multivariate normal distribution |last1=Botev |first1=Z. I.  |last2=Mackinlay |first2=D. |last3=Chen |first3=Y.-L.  |date=2017 |publisher=IEEE |isbn=978-1-5386-3428-8 |title= 2017 Winter Simulation Conference (WSC)|pages=1903–191 |doi= 10.1109/WSC.2017.8247926 |s2cid=4626481 }}
+<math>\mathbf{x}=\gamma\Sigma\mathbf{l}^*</math> कुछ सकारात्मक सदिश के लिए <math> \mathbf{l}^*>\mathbf{0}</math> और सकारात्मक स्थिरांक <math>\gamma>0</math>. जैसा कि एक आयामी स्थिति में क्यू-फ़ंक्शन के लिए कोई सरल विश्लेषणात्मक सूत्र नहीं है। फिर भी Q-फ़ंक्शन को [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/53796 अव्यवस्थित रूप से अनुमानित किया जा सकता है] <math>\gamma</math> बड़ा और बड़ा होता जाता है।<ref>{{cite journal|last1=Botev|first1=Z. I.|title=The normal law under linear restrictions: simulation and estimation via minimax tilting|journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series B|volume=79|pages=125–148|date=2016|doi=10.1111/rssb.12162|arxiv=1603.04166|bibcode=2016arXiv160304166B|s2cid=88515228}}</ref><ref name="bmc17">{{cite book |chapter=Logarithmically efficient estimation of the tail of the multivariate normal distribution |last1=Botev |first1=Z. I.  |last2=Mackinlay |first2=D. |last3=Chen |first3=Y.-L.  |date=2017 |publisher=IEEE |isbn=978-1-5386-3428-8 |title= 2017 Winter Simulation Conference (WSC)|pages=1903–191 |doi= 10.1109/WSC.2017.8247926 |s2cid=4626481 }}
 </ref>

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