क्यू-फलन: Difference between revisions

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::<math>\tilde{Q}(x) = \sum_{n=1}^N a_n e^{-b_n x^2}.</math>
::<math>\tilde{Q}(x) = \sum_{n=1}^N a_n e^{-b_n x^2}.</math>
:विशेष रूप से, उन्होंने संख्यात्मक गुणांकों को हल करने के लिए एक व्यवस्थित पद्धति प्रस्तुत की <math>\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N</math> जो एक न्यूनतम सन्निकटन या बाध्य उत्पन्न करता है: <math>Q(x) \approx \tilde{Q}(x)</math>, <math>Q(x) \leq \tilde{Q}(x)</math> या <math>Q(x) \geq \tilde{Q}(x)</math> के लिए <math>x\geq0</math>. पेपर में सारणीबद्ध उदाहरण गुणांकों के साथ <math>N = 20</math> सापेक्ष और निरपेक्ष सन्निकटन त्रुटियाँ कम हैं <math>2.831 \cdot 10^{-6}</math> और <math>1.416 \cdot 10^{-6}</math> क्रमश से कम हैं। गुणांक <math>\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N</math> घातीय सन्निकटन और सीमा तक के कई रूपों के लिए <math>N = 25</math> एक व्यापक डेटासेट के रूप में विवृत अभिगम के लिए जारी किया गया है।<ref>{{cite journal |doi=10.5281/zenodo.4112978|title=Coefficients for Global Minimax Approximations and Bounds for the Gaussian Q-Function by Sums of Exponentials [Data set]|url=https://zenodo.org/record/4112978|website=Zenodo|year=2020|last1=Tanash|first1=I.M.|last2=Riihonen|first2=T.}}</ref>
:विशेष रूप से, उन्होंने संख्यात्मक गुणांकों को हल करने के लिए एक व्यवस्थित पद्धति प्रस्तुत की <math>\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N</math> जो एक न्यूनतम सन्निकटन या बाध्य उत्पन्न करता है: <math>Q(x) \approx \tilde{Q}(x)</math>, <math>Q(x) \leq \tilde{Q}(x)</math> या <math>Q(x) \geq \tilde{Q}(x)</math> के लिए <math>x\geq0</math>. पेपर में सारणीबद्ध उदाहरण गुणांकों के साथ <math>N = 20</math> सापेक्ष और निरपेक्ष सन्निकटन त्रुटियाँ कम हैं <math>2.831 \cdot 10^{-6}</math> और <math>1.416 \cdot 10^{-6}</math> क्रमश से कम हैं। गुणांक <math>\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N</math> घातीय सन्निकटन और सीमा तक के कई रूपों के लिए <math>N = 25</math> एक व्यापक डेटासेट के रूप में विवृत अभिगम के लिए जारी किया गया है।<ref>{{cite journal |doi=10.5281/zenodo.4112978|title=Coefficients for Global Minimax Approximations and Bounds for the Gaussian Q-Function by Sums of Exponentials [Data set]|url=https://zenodo.org/record/4112978|website=Zenodo|year=2020|last1=Tanash|first1=I.M.|last2=Riihonen|first2=T.}}</ref>
*का एक और अनुमान <math>Q(x)</math> के लिए <math>x \in [0,\infty)</math> का एक और सन्निकटन कारागियानिडिस और लिओमपास (2007) द्वारा दिया गया है,<ref>{{cite journal |doi=10.1109/LCOMM.2007.070470 |url=http://users.auth.gr/users/9/3/028239/public_html/pdf/Q_Approxim.pdf|title=गॉसियन क्यू-फ़ंक्शन के लिए एक बेहतर अनुमान|journal=IEEE Communications Letters|volume=11|issue=8|pages=644–646|year=2007|last1=Karagiannidis|first1=George|last2=Lioumpas|first2=Athanasios|s2cid=4043576}}</ref> जिन्होंने पैरामीटर्स के उचित चयन के लिए <math>\{A, B\}</math> प्रदर्शन किया
*<math>Q(x)</math> के लिए <math>x \in [0,\infty)</math> का एक और सन्निकटन कारागियानिडिस और लिओमपास (2007) द्वारा दिया गया है,<ref>{{cite journal |doi=10.1109/LCOMM.2007.070470 |url=http://users.auth.gr/users/9/3/028239/public_html/pdf/Q_Approxim.pdf|title=गॉसियन क्यू-फ़ंक्शन के लिए एक बेहतर अनुमान|journal=IEEE Communications Letters|volume=11|issue=8|pages=644–646|year=2007|last1=Karagiannidis|first1=George|last2=Lioumpas|first2=Athanasios|s2cid=4043576}}</ref> जिन्होंने पैरामीटर्स के उचित चयन के लिए <math>\{A, B\}</math> प्रदर्शन किया


:: <math>f(x; A, B) = \frac{\left(1 - e^{-Ax}\right)e^{-x^2}}{B\sqrt{\pi} x} \approx \operatorname{erfc} \left(x\right).</math>
:: <math>f(x; A, B) = \frac{\left(1 - e^{-Ax}\right)e^{-x^2}}{B\sqrt{\pi} x} \approx \operatorname{erfc} \left(x\right).</math>
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:: <math>\{A, B\} = \underset{\{A,B\}}{\arg \min} \frac{1}{R} \int_0^R | f(x; A, B) - \operatorname{erfc}(x) |dx.</math>
:: <math>\{A, B\} = \underset{\{A,B\}}{\arg \min} \frac{1}{R} \int_0^R | f(x; A, B) - \operatorname{erfc}(x) |dx.</math>
: प्रयोग करना <math>R = 20</math> और संख्यात्मक रूप से एकीकृत करने पर उन्होंने पाया कि न्यूनतम त्रुटि कब हुई <math>\{A, B\} = \{1.98, 1.135\},</math> जिसने इसके लिए एक अच्छा अनुमान दिया <math>\forall x \ge 0.</math>
: <math>R = 20</math> का उपयोग करते हुए और संख्यात्मक रूप से एकीकृत करने पर उन्होंने पाया कि न्यूनतम त्रुटि तब हुई जब <math>\{A, B\} = \{1.98, 1.135\},</math> जिसने इसके लिए एक अच्छा अनुमान <math>\forall x \ge 0.</math>दिया
: इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करना और इनके बीच संबंध का उपयोग करना <math>Q(x)</math> और <math>\operatorname{erfc}(x)</math> ऊपर से देता है
: इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करने और ऊपर से <math>Q(x)</math> और <math>\operatorname{erfc}(x)</math> के बीच संबंध का उपयोग करने से प्राप्त होता है


:: <math> Q(x)\approx\frac{\left(  1-e^{\frac{-1.98x} {\sqrt{2}}}\right)  e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{1.135\sqrt{2\pi}x}, x \ge 0. </math>
:: <math> Q(x)\approx\frac{\left(  1-e^{\frac{-1.98x} {\sqrt{2}}}\right)  e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{1.135\sqrt{2\pi}x}, x \ge 0. </math>
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:: <math> Q(x) \approx e^{-ax^2-bx-c}, \qquad x \ge 0. </math>
:: <math> Q(x) \approx e^{-ax^2-bx-c}, \qquad x \ge 0. </math>
: फिटिंग गुणांक <math> (a,b,c) </math> वर्ग त्रुटियों के योग को कम करने के लिए तर्कों की किसी भी वांछित सीमा पर अनुकूलित किया जा सकता है (<math>a = 0.3842</math>, <math>b = 0.7640</math>, <math>c = 0.6964</math> के लिए <math>x \in [0,20]</math>) या अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि को कम करें (<math>a = 0.4920</math>, <math>b = 0.2887</math>, <math>c = 1.1893</math> के लिए <math>x \in [0,20]</math>). यह सन्निकटन कुछ लाभ प्रदान करता है जैसे सटीकता और विश्लेषणात्मक ट्रैक्टेबिलिटी के बीच एक अच्छा व्यापार-बंद (उदाहरण के लिए, किसी भी मनमानी शक्ति का विस्तार) <math>Q(x)</math> तुच्छ है और सन्निकटन के बीजगणितीय रूप में परिवर्तन नहीं करता है)।
: फिटिंग गुणांक <math> (a,b,c) </math> वर्ग त्रुटियों के योग को कम करने के लिए तर्कों की किसी भी वांछित सीमा पर अनुकूलित किया जा सकता है (<math>a = 0.3842</math>, <math>b = 0.7640</math>, <math>c = 0.6964</math> के लिए <math>x \in [0,20]</math>) या अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि को कम करें (<math>a = 0.4920</math>, <math>b = 0.2887</math>, <math>c = 1.1893</math> लिए <math>x \in [0,20]</math>). यह सन्निकटन कुछ लाभ प्रदान करता है जैसे सटीकता और विश्लेषणात्मक ट्रैक्टेबिलिटी के बीच एक अच्छा व्यापार-बंद (उदाहरण के लिए, किसी भी मनमानी शक्ति का विस्तार) <math>Q(x)</math> तुच्छ है और सन्निकटन के बीजगणितीय रूप में परिवर्तन नहीं करता है)।


==उलटा Q==
==उलटा Q==

Revision as of 11:47, 14 July 2023

For the phase-space function representing a quantum state, see Husimi Q representation.
क्यू-फ़ंक्शन का एक प्लॉट.

आंकड़ों में, Q-फ़ंक्शन मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन (टेल डिस्ट्रीब्यूशन फ़ंक्शन) है।[1][2] दूसरे शब्दों में संभावना है कि एक सामान्य (गाऊसी) यादृच्छिक चर x मानक विचलन से बड़ा मान प्राप्त करेगा। समान रूप से यह संभावना है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर से बड़ा मान लेता है।

अगर माध्य के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर हैं और विचरण , तो मानक सामान्य वितरण हैं और

जहाँ

क्यू-फ़ंक्शन की अन्य परिभाषाएँ, जो सभी सामान्य संचयी वितरण फ़ंक्शन के सरल परिवर्तन का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है।[3]

सामान्य वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन से इसके संबंध के कारण, क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो लागू गणित और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण फ़ंक्शन है।

परिभाषा और बुनियादी गुण

औपचारिक रूप से, Q-फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

इस प्रकार,

जहाँ मानक सामान्य गाऊसी वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन है।

क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन या पूरक त्रुटि फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है[2]

क्यू-फ़ंक्शन का एक वैकल्पिक रूप जिसे इसके खोजकर्ता के नाम पर क्रेग के सूत्र के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार व्यक्त किया गया है:[4]

यह अभिव्यक्ति केवल x के सकारात्मक मानों के लिए मान्य है, लेकिन इसका उपयोग नकारात्मक मानों के लिए Q(x) प्राप्त करने के लिए Q(x) = 1 − Q(−x) के संयोजन में किया जा सकता है। यह रूप लाभप्रद है क्योंकि एकीकरण की सीमा निश्चित और सीमित है।

क्रेग के फॉर्मूले को बाद में बेहनाद (2020) द्वारा [5] दो गैर-नकारात्मक चर के योग के क्यू-फ़ंक्शन के लिए इस प्रकार बढ़ाया गया:

 :

File:Q function complex plot plotted with Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.svg
the Q-function plotted in the complex plane