क्यू-फलन: Difference between revisions
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:बड़े एक्स के लिए तेजी से तंग हो जाते हैं और अक्सर उपयोगी होते हैं। | :बड़े एक्स के लिए तेजी से तंग हो जाते हैं और अक्सर उपयोगी होते हैं। | ||
:[[प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण]] | :[[प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण|प्रतिस्थापन]] v =u<sup>2</sup>/2 का उपयोग करके ऊपरी सीमा इस प्रकार प्राप्त की जाती है: | ||
::<math>Q(x) =\int_x^\infty\phi(u)\,du <\int_x^\infty\frac ux\phi(u)\,du =\int_{\frac{x^2}{2}}^\infty\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\,dv=-\biggl.\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\biggr|_{\frac{x^2}{2}}^\infty=\frac{\phi(x)}{x}.</math> | ::<math>Q(x) =\int_x^\infty\phi(u)\,du <\int_x^\infty\frac ux\phi(u)\,du =\int_{\frac{x^2}{2}}^\infty\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\,dv=-\biggl.\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\biggr|_{\frac{x^2}{2}}^\infty=\frac{\phi(x)}{x}.</math> | ||
:इसी प्रकार, | :इसी प्रकार, <math>\phi'(u) = - u \phi(u)</math> [[भागफल नियम|भागफल नियम का उपयोग करके]] | ||
::<math>\left(1+\frac1{x^2}\right)Q(x) =\int_x^\infty \left(1+\frac1{x^2}\right)\phi(u)\,du >\int_x^\infty \left(1+\frac1{u^2}\right)\phi(u)\,du =-\biggl.\frac{\phi(u)}u\biggr|_x^\infty | ::<math>\left(1+\frac1{x^2}\right)Q(x) =\int_x^\infty \left(1+\frac1{x^2}\right)\phi(u)\,du >\int_x^\infty \left(1+\frac1{u^2}\right)\phi(u)\,du =-\biggl.\frac{\phi(u)}u\biggr|_x^\infty | ||
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:Q(x) को हल करने से निचली सीमा मिलती है। | :Q(x) को हल करने से निचली सीमा मिलती है। | ||
:ऊपरी और निचली सीमा का ज्यामितीय माध्य | :ऊपरी और निचली सीमा का ज्यामितीय माध्य <math>Q(x)</math> के लिए उपयुक्त सन्निकटन देता है: | ||
::<math>Q(x) \approx \frac{\phi(x)}{\sqrt{1 + x^2}}, \qquad x \geq 0. </math> | ::<math>Q(x) \approx \frac{\phi(x)}{\sqrt{1 + x^2}}, \qquad x \geq 0. </math> | ||
* | * निम्नलिखित अभिव्यक्ति को अनुकूलित करके <math>Q(x)</math> की सख्त सीमाएँ और सन्निकटन भी प्राप्त किए जा सकते हैं: <ref name = "Borjesson"/> | ||
:: <math> \tilde{Q}(x) = \frac{\phi(x)}{(1-a)x + a\sqrt{x^2 + b}}. </math> | :: <math> \tilde{Q}(x) = \frac{\phi(x)}{(1-a)x + a\sqrt{x^2 + b}}. </math> | ||
Revision as of 11:12, 14 July 2023
आंकड़ों में, Q-फ़ंक्शन मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन (टेल डिस्ट्रीब्यूशन फ़ंक्शन) है।[1][2] दूसरे शब्दों में संभावना है कि एक सामान्य (गाऊसी) यादृच्छिक चर x मानक विचलन से बड़ा मान प्राप्त करेगा। समान रूप से यह संभावना है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर से बड़ा मान लेता है।
अगर माध्य के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर हैं और विचरण , तो मानक सामान्य वितरण हैं और
जहाँ
क्यू-फ़ंक्शन की अन्य परिभाषाएँ, जो सभी सामान्य संचयी वितरण फ़ंक्शन के सरल परिवर्तन का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है।[3]
सामान्य वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन से इसके संबंध के कारण, क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो लागू गणित और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण फ़ंक्शन है।
परिभाषा और बुनियादी गुण
औपचारिक रूप से, Q-फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
इस प्रकार,
जहाँ मानक सामान्य गाऊसी वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन है।
क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन या पूरक त्रुटि फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है[2]
क्यू-फ़ंक्शन का एक वैकल्पिक रूप जिसे इसके खोजकर्ता के नाम पर क्रेग के सूत्र के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार व्यक्त किया गया है:[4]
यह अभिव्यक्ति केवल x के सकारात्मक मानों के लिए मान्य है, लेकिन इसका उपयोग नकारात्मक मानों के लिए Q(x) प्राप्त करने के लिए Q(x) = 1 − Q(−x) के संयोजन में किया जा सकता है। यह रूप लाभप्रद है क्योंकि एकीकरण की सीमा निश्चित और सीमित है।
क्रेग के फॉर्मूले को बाद में बेहनाद (2020) द्वारा [5] दो गैर-नकारात्मक चर के योग के क्यू-फ़ंक्शन के लिए इस प्रकार बढ़ाया गया:
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