क्यू-फलन

For the phase-space function representing a quantum state, see Husimi Q representation.

File:Q-function.png

क्यू-फ़ंक्शन का एक प्लॉट.

आंकड़ों में, Q-फ़ंक्शन मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन (टेल डिस्ट्रीब्यूशन फ़ंक्शन) है। दूसरे शब्दों में $Q(x)$ संभावना है कि एक सामान्य (गाऊसी) यादृच्छिक चर x मानक विचलन से बड़ा मान प्राप्त करेगा। समान रूप से $Q(x)$ यह संभावना है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर $x$ से बड़ा मान लेता है।

अगर $Y$ माध्य के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर $\mu$ हैं और विचरण $\sigma ^{2}$, तो $X={\frac {Y-\mu }{\sigma }}$ मानक सामान्य वितरण हैं और

$P(Y>y)=P(X>x)=Q(x)$

$x={\frac {y-\mu }{\sigma }}$ जहाँ

क्यू-फ़ंक्शन की अन्य परिभाषाएँ, जो सभी सामान्य संचयी वितरण फ़ंक्शन के सरल परिवर्तन का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है।

सामान्य वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन से इसके संबंध के कारण, क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो लागू गणित और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण फ़ंक्शन है।

परिभाषा और बुनियादी गुण

औपचारिक रूप से, Q-फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du.$

इस प्रकार,

$Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi (x)\,\!,$

जहाँ $\Phi (x)$ मानक सामान्य गाऊसी वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन है।

क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन या पूरक त्रुटि फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

${\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x/{\sqrt {2}}}^{\infty }\exp \left(-t^{2}\right)\,dt\right)\\&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)~~{\text{ -or-}}\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).\end{aligned}}$

क्यू-फ़ंक्शन का एक वैकल्पिक रूप जिसे इसके खोजकर्ता के नाम पर क्रेग के सूत्र के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

$Q(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}\right)d\theta .$

यह अभिव्यक्ति केवल x के सकारात्मक मानों के लिए मान्य है, लेकिन इसका उपयोग नकारात्मक मानों के लिए Q(x) प्राप्त करने के लिए Q(x) = 1 − Q(−x) के संयोजन में किया जा सकता है। यह रूप लाभप्रद है क्योंकि एकीकरण की सीमा निश्चित और सीमित है।

क्रेग के फॉर्मूले को बाद में बेहनाद (2020) द्वारा दो गैर-नकारात्मक चर के योग के क्यू-फ़ंक्शन के लिए इस प्रकार बढ़ाया गया:

 :

File:Q function complex plot plotted with Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.svg

the Q-function plotted in the complex plane

$Q(x+y)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{y^2}{2{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\right)d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},x,y⩾<!--\; ⩾\; -->$