क्यू-फलन

For the phase-space function representing a quantum state, see Husimi Q representation.

File:Q-function.png

क्यू-फ़ंक्शन का एक प्लॉट.

आंकड़ों में, Q-फ़ंक्शन मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन (टेल डिस्ट्रीब्यूशन फ़ंक्शन) है। दूसरे शब्दों में $Q(x)$ संभावना है कि एक सामान्य (गाऊसी) यादृच्छिक चर x मानक विचलन से बड़ा मान प्राप्त करेगा। समान रूप से $Q(x)$ यह संभावना है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर $x$ से बड़ा मान लेता है।

अगर $Y$ माध्य के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर है $\mu$ और विचरण $\sigma ^{2}$, तब $X={\frac {Y-\mu }{\sigma }}$ सामान्य वितरण है#मानक सामान्य वितरण और

$P(Y>y)=P(X>x)=Q(x)$

कहाँ $x={\frac {y-\mu }{\sigma }}$.

क्यू-फ़ंक्शन की अन्य परिभाषाएँ, जो सभी सामान्य संचयी वितरण फ़ंक्शन के सरल परिवर्तन हैं, का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है। सामान्य वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन से इसके संबंध के कारण, क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो लागू गणित और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण फ़ंक्शन है।

परिभाषा और बुनियादी गुण

औपचारिक रूप से, Q-फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du.$

इस प्रकार,

$Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi (x)\,\!,$

कहाँ $\Phi (x)$ मानक सामान्य वितरण#संचयी वितरण फ़ंक्शन है।

क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन, या पूरक त्रुटि फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

${\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x/{\sqrt {2}}}^{\infty }\exp \left(-t^{2}\right)\,dt\right)\\&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)~~{\text{ -or-}}\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).\end{aligned}}$

क्यू-फ़ंक्शन का एक वैकल्पिक रूप, जिसे इसके खोजकर्ता के नाम पर क्रेग के सूत्र के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

$Q(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}\right)d\theta .$

यह अभिव्यक्ति केवल x के सकारात्मक मानों के लिए मान्य है, लेकिन इसका उपयोग नकारात्मक मानों के लिए Q(x) प्राप्त करने के लिए Q(x) = 1 − Q(−x) के संयोजन में किया जा सकता है। यह रूप लाभप्रद है क्योंकि एकीकरण की सीमा निश्चित और सीमित है।

क्रेग के फॉर्मूले को बाद में बेहनाद (2020) द्वारा विस्तारित किया गया दो गैर-नकारात्मक चर के योग के क्यू-फ़ंक्शन के लिए, निम्नानुसार:

 :

File:Q function complex plot plotted with Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.svg

the Q-function plotted in the complex plane

$Q(x+y)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{2\cos ^{2}\theta }}\right)d\theta ,\quad x,y\geqslant 0.$

सीमाएँ और सन्निकटन

• क्यू-फ़ंक्शन कोई प्राथमिक फ़ंक्शन नहीं है। हालाँकि, बोरजेसन-सुंदरबर्ग सीमा, जहाँ $$