Line 18:
Line 18: :<math>\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(B \mid A) \mathbb P(A) = \frac 23 \cdot \frac 12 = \frac 13.</math>
:<math>\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(B \mid A) \mathbb P(A) = \frac 23 \cdot \frac 12 = \frac 13.</math>
===अंततः अनेक घटनाएँ===
===निश्चित रूप से अनेक घटनाएँ===
घटनाओं के लिए <math>A_1,\ldots,A_n</math> जिसके प्रतिच्छेदन की संभावना शून्य नहीं है, श्रृंखला नियम बताता है
उन घटनाओं के लिए <math>A_1,\ldots,A_n</math> जिनके प्रतिच्छेदन की प्रायिकता शून्य नहीं है, तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 31:
Line 31: &= \prod_{k=1}^n \mathbb P\left(A_k \,\Bigg|\, \bigcap_{j=1}^{k-1} A_j\right).
&= \prod_{k=1}^n \mathbb P\left(A_k \,\Bigg|\, \bigcap_{j=1}^{k-1} A_j\right).
\end{align}</math>
\end{align}</math>
====उदाहरण 1====
====उदाहरण 1====
के लिए <math>n=4</math>, यानी चार घटनाएं, श्रृंखला नियम पढ़ता है
<math>n=4</math> के लिए , अर्थात चार घटनाएं हैं , तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 40:
Line 38: &= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \mid A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_2 \cap A_1) \\
&= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \mid A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_2 \cap A_1) \\
&= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \mid A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_2 \mid A_1)\mathbb P(A_1)
&= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \mid A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_2 \mid A_1)\mathbb P(A_1)
\end{align}</math>.
\end{align}</math>
==== उदाहरण 2 ====
==== उदाहरण 2 ====
प्रायिकता सिद्धांत में, श्रृंखला नियम[1] [2] [3] यादृच्छिक चर के संयुक्त वितरण के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना कैसे करें। नियम का उपयोग विशेष रूप से असतत प्रसंभाव्यता प्रक्रिया के संदर्भ में और अनुप्रयोगों में किया जाता है, उदाहरण के लिए बायेसियन नेटवर्क का अध्ययन, जो सशर्त प्रायिकताओं के संदर्भ में प्रायिकता वितरण का वर्णन करता है।
घटनाओं के लिए श्रृंखला नियम दो घटनाएँ दो घटनाओं A {\displaystyle A} B {\displaystyle B}
P ( A ∩ B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) {\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (B\mid A)\mathbb {P} (A)} जहां P ( A ∣ B ) {\displaystyle \mathbb {P} (A\mid B)} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} सप्रतिबंधप्रायिकता को दर्शाता है।
उदाहरण एक कलश A में 1 काली गेंद और 2 सफेद गेंदें हैं और दूसरे कलश B में 1 काली गेंद और 3 सफेद गेंदें हैं। मान लीजिए कि हम यादृच्छिक रूप से एक कलश चुनते हैं और फिर उस कलश से एक गेंद चुनते हैं। मान लीजिए कि घटना A {\displaystyle A} P ( A ) = P ( A ¯ ) = 1 / 2 {\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {P} ({\overline {A}})=1/2} A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} A {\displaystyle A} पूरक घटना है। मान लीजिए कि घटना B {\displaystyle B} P ( B | A ) = 2 / 3. {\displaystyle \mathbb {P} (B|A)=2/3.} A ∩ B {\displaystyle A\cap B}
P ( A ∩ B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) = 2 3 ⋅ 1 2 = 1 3 . {\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (B\mid A)\mathbb {P} (A)={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}.} निश्चित रूप से अनेक घटनाएँ उन घटनाओं के लिए A 1 , … , A n {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}
P ( A 1 ∩ A 2 ∩ … ∩ A n ) = P ( A n ∣ A 1 ∩ … ∩ A n − 1 ) P ( A 1 ∩ … ∩ A n − 1 ) = P ( A n ∣ A 1 ∩ … ∩ A n − 1 ) P ( A n − 1 ∣ A 1 ∩ … ∩ A n − 2 ) P ( A 1 ∩ … ∩ A n − 2 ) = P ( A n ∣ A 1 ∩ … ∩ A n − 1 ) P ( A n − 1 ∣ A 1 ∩ … ∩ A n − 2 ) ⋅ … ⋅ P ( A 3 ∣ A 1 ∩ A 2 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 1 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 ∩ A 2 ) ⋅ … ⋅ P ( A n ∣ A 1 ∩ ⋯ ∩ A उदाहरण 1 n = 4 {\displaystyle n=4}
P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ) = P ( A 4 ∣ A 3 ∩ A 2 ∩ A 1 ) P ( A 3 ∩ A 2 ∩ A 1 ) = P ( A 4 ∣ A 3 ∩ A 2 ∩ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 2 ∩ A 1 ) P ( A 2 ∩ A 1 ) = P ( A 4 ∣ A 3 ∩ A 2 ∩ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 2 ∩ A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{1})\end{aligned}}} उदाहरण 2 हम 52 पत्तों वाले स्काट के डेक से यादृच्छिक रूप से बिना प्रतिस्थापन के 4 पत्ते निकालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि हमने 4 इक्के चुने हैं?
सबसे पहले, हम सेट करते हैं A n := { draw an ace in the n th try } {\textstyle A_{n}:=\left\{{\text{draw an ace in the }}n^{\text{th}}{\text{ try}}\right\}}
P ( A 1 ) = 4 52 , P ( A 2 ∣ A 1 ) = 3 51 , P ( A 3 ∣ A 1 ∩ A 2 ) = 2 50 , P ( A 4 ∣ A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = 1 49 {\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})={\frac {4}{52}},\qquad \mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})={\frac {3}{51}},\qquad \mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})={\frac {2}{50}},\qquad \mathbb {P} (A_{4}\mid A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})={\frac {1}{49}}} श्रृंखला नियम लागू करना,
P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ) = 4 52 ⋅ 3 51 ⋅ 2 50 ⋅ 1 49 {\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})={\frac {4}{52}}\cdot {\frac {3}{51}}\cdot {\frac {2}{50}}\cdot {\frac {1}{49}}} प्रमेय का कथन और उपपत्ति होने देना ( Ω , A , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )} सशर्त प्रायिकता A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} B ∈ A {\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}
P ( A ∣ B ) := { P ( A ∩ B ) P ( B ) , P ( B ) > 0 , 0 P ( B ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (A\mid B):={\begin{cases}{\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}},&\mathbb {P} (B)>0,\\0&\mathbb {P} (B)=0.\end{cases}}\end{aligned}}}
तब हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है।
Proof
The formula follows immediately by recursion
( 1 ) P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) = P ( A 1 ∩ A 2 ) ( 2 ) P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 ∩ A 2 ) = P ( A 1 ∩ A 2 ) P ( A 3 ∣ A 1 ∩ A 2 ) = P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}(1)&&&\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})\\(2)&&&\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\\&&&&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}),\end{aligned}}} where we used the definition of the conditional probability in the first step.
असतत यादृच्छिक चर के लिए श्रृंखला नियम दो यादृच्छिक चर दो असतत यादृच्छिक चर के लिए X , Y {\displaystyle X,Y} A := { X = x } {\displaystyle A:=\{X=x\}} B := { Y = y } {\displaystyle B:=\{Y=y\}}
P ( X = x , Y = y ) = P ( X = x ∣ Y = y ) P ( Y = y ) , {\displaystyle \mathbb {P} (X=x,Y=y)=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y)\mathbb {P} (Y=y),} या
P ( X , Y ) ( x , y ) = P X ∣ Y ( x ∣ y ) P Y ( y ) , {\displaystyle \mathbb {P} _{(X,Y)}(x,y)=\mathbb {P} _{X\mid Y}(x\mid y)\mathbb {P} _{Y}(y),} कहाँ P X ( x ) := P ( X = x ) {\displaystyle \mathbb {P} _{X}(x):=\mathbb {P} (X=x)} X {\displaystyle X} P X ∣ Y ( x ∣ y ) {\displaystyle \mathbb {P} _{X\mid Y}(x\mid y)} सशर्त प्रायिकता वितरण X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y}
अंततः अनेक यादृच्छिक चर होने देना X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} x 1 , … , x n ∈ R {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} }
P ( X n = x n , … , X 1 = x 1 ) = P ( X n = x n | X n − 1 = x n − 1 , … , X 1 = x 1 ) P ( X n − 1 = x n − 1 , … , X 1 = x 1 ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{n}=x_{n},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)=\mathbb {P} \left(X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)\mathbb {P} \left(X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)} और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, जहां हम सेट करते हैं A k := { X k = x k } {\displaystyle A_{k}:=\{X_{k}=x_{k}\}}
P ( X 1 = x 1 , … X n = x n ) = P ( X 1 = x 1 ∣ X 2 = x 2 , … , X n = x n ) P ( X 2 = x 2 , … , X n = x n ) = P ( X 1 = x 1 ) P ( X 2 = x 2 ∣ X 1 = x 1 ) P ( X 3 = x 3 ∣ X 1 = x 1 , X 2 = x 2 ) ⋅ … ⋅ P ( X n = x n ∣ X 1 = x 1 , … , X n − 1 = x n − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(X_{1}=x_{1},\ldots X_{n}=x_{n}\right)&=\mathbb {P} \left(X_{1}=x_{1}\mid X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)\mathbb {P} \left(X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)\\&=\mathbb {P} (X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2})\cdot \ldots \\&\qquad \cdot \mathbb {P} (X_{n}=x_{n}\mid X_{1}=x_{1},\dots ,X_{n-1}=x_{n-1})\\\end{aligned}}}
उदाहरण के लिए n = 3 {\displaystyle n=3}
P ( X 1 , X 2 , X 3 ) ( x 1 , x 2 , x 3 ) = P ( X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , X 3 = x 3 ) = P ( X 3 = x 3 ∣ X 2 = x 2 , X 1 = x 1 ) P ( X 2 = x 2 , X 1 = x 1 ) = P ( X 3 = x 3 ∣ X 2 = x 2 , X 1 = x 1 ) P ( X 2 = x 2 ∣ X 1 = x 1 ) P ( X 1 = x 1 ) = P X 3 ∣ X 2 , X 1 ( x 3 ∣ x 2 , x 1 ) P X 2 ∣ X 1 ( x 2 ∣ x 1 ) P X 1 ( x 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} _{(X_{1},X_{2},X_{3})}(x_{1},x_{2},x_{3})&=\mathbb {P} (X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},X_{3}=x_{3})\\&=\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\\&=\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{1}=x_{1})\\&=\mathbb {P} _{X_{3}\mid X_{2},X_{1}}(x_{3}\mid x_{2},x_{1})\mathbb {P} _{X_{2}\mid X_{1}}(x_{2}\mid x_{1})\mathbb {P} _{X_{1}}(x_{1}).\end{aligned}}}
यह भी देखें ग्रन्थसूची René L. Schilling (2021), Measure, Integral, Probability & Processes - Probab(ilistical)ly the Theoretical Minimum (1 ed.), Technische Universität Dresden, Germany, ISBN 979-8-5991-0488-9 {{citation }}: CS1 maint: location missing publisher (link )William Feller (1968), An Introduction to Probability Theory and Its Applications , vol. I (3 ed.), New York / London / Sydney: Wiley, ISBN 978-0-471-25708-0 Russell, Stuart J. ; Norvig, Peter (2003), Artificial Intelligence: A Modern Approach ISBN 0-13-790395-2
संदर्भ
↑ Schilling, René L. (2021). माप, अभिन्न, संभाव्यता और प्रक्रियाएं - संभवतः सैद्धांतिक न्यूनतम . Technische Universität Dresden, Germany. p. 136ff. ISBN 979-8-5991-0488-9 {{cite book }}: CS1 maint: location missing publisher (link )↑ Schum, David A. (1994). संभाव्य तर्क की साक्ष्यात्मक नींव . Northwestern University Press. p. 49. ISBN 978-0-8101-1821-8 ↑ Klugh, Henry E. (2013). Statistics: The Essentials for Research (3rd ed.). Psychology Press. p. 149. ISBN 978-1-134-92862-0 
