आधार कार्य

गणित में, एक आधार फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन स्थान के लिए एक विशेष आधार (रैखिक बीजगणित) का एक तत्व है। कार्य स्थान में प्रत्येक फ़ंक्शन (गणित) को आधार फ़ंक्शंस के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है, जैसे सदिश स्थल में प्रत्येक वेक्टर को आधार वैक्टरों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

संख्यात्मक विश्लेषण और सन्निकटन सिद्धांत में, आधार कार्यों को सम्मिश्रण कार्य भी कहा जाता है, क्योंकि प्रक्षेप में उनका उपयोग होता है: इस अनुप्रयोग में, आधार कार्यों का मिश्रण एक प्रक्षेप कार्य प्रदान करता है (मिश्रण आधार कार्यों के मूल्यांकन पर निर्भर करता है) डेटा अंक)।

उदाहरण

सी के लिए एकपदी आधार^ω

विश्लेषणात्मक कार्यों के वेक्टर स्थान के लिए एकपदी आधार दिया गया है

$$\{x^{n}\mid n\in \mathbb {N} \}.$$

इस आधार का उपयोग टेलर श्रृंखला सहित अन्य में किया जाता है।

बहुपदों के लिए एकपदी आधार

एकपदी आधार बहुपदों के सदिश समष्टि के लिए भी आधार बनता है। आख़िरकार, प्रत्येक बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है $a_{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}$ कुछ के लिए $n\in \mathbb {N}$, जो एकपदी का एक रैखिक संयोजन है।

एल के लिए फूरियर आधार²[0,1]

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन एक बंधे हुए डोमेन पर वर्ग-अभिन्न कार्यों के लिए एक (लंबनात्मकता) शॉडर आधार बनाते हैं। एक विशेष उदाहरण के रूप में, संग्रह

$$\{{\sqrt {2}}\sin(2\pi nx)\mid n\in \mathbb {N} \}\cup \{{\sqrt {2}}\cos(2\pi nx)\mid n\in \mathbb {N} \}\cup \{1\}$$

एलपी स्पेस|एल के लिए एक आधार बनता है²[0,1].

यह भी देखें

• आधार (रैखिक बीजगणित) (हैमेल आधार)
• शॉडर आधार (बैनाच स्थान में)
• दोहरा आधार
• बायोर्थोगोनल प्रणाली (मार्कुशेविच आधार)
• आंतरिक-उत्पाद स्थान में ऑर्थोनॉर्मल आधार
• ऑर्थोगोनल बहुपद
• फूरियर विश्लेषण और फूरियर श्रृंखला
• हार्मोनिक विश्लेषण
• ऑर्थोगोनल वेवलेट
• बायोर्थोगोनल वेवलेट
• चमकीले आधार की क्रिया
• परिमित तत्व विश्लेषण#आधार चुनना|परिमित-तत्व (आधार)
• कार्यात्मक विश्लेषण
• अनुमान सिद्धांत
• संख्यात्मक विश्लेषण

संदर्भ

• Itô, Kiyosi (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2nd ed.). MIT Press. p. 1141. ISBN 0-262-59020-4.