बीजीय फलन

गणित में, बीजगणितीय फलन एक फलन (गणित) होता है जिसे परिभाषित किया जा सकता है बहुपद समीकरण के एक फलन के शून्य के रूप में अधिकांशतः बीजगणितीय फलन शब्दों की एक सीमित संख्या का उपयोग करते हुए बीजगणितीय अभिव्यक्ति होते हैं, जिसमें केवल बीजगणितीय संचालन जोड़, घटाव, गुणा, भाग और एक भिन्नात्मक घात तक बढ़ाना सम्मिलित होता है। ऐसे कार्यों के उदाहरण हैं:

नौपचारिक परिभाषा उनके गुणों के बारे में कई सुराग प्रदान करती है। सहज ज्ञान प्राप्त करने के लिए, बीजगणितीय कार्यों को ऐसे कार्यों के रूप में मानना ​​सहायक हो सकता है जो सामान्य बीजगणितीय परिचा

• $f(x)=1/x$
• $f(x)={\sqrt {x}}$
• $f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}$

चूँकि कुछ बीजगणितीय कार्यों को ऐसे सीमित अभिव्यक्तियों द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है (यह एबेल-रफिनी प्रमेय है)। यह स्थिति है, उदाहरण के लिए, ब्रिंग रेडिकल के लिए, जो कि परिभाषित कार्य अंतर्निहित कार्य है

$f(x)^{5}+f(x)+x=0$.

अधिक स्पष्ट शब्दों में, एक चर x में डिग्री n का एक बीजगणितीय कार्य एक कार्य $y=f(x),$ है जो अपने डोमेन में निरंतर है और एक बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है

$a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0$

जहां गुणांक a_i(x) पूर्णांक गुणांक के साथ x के बहुपद फलन हैं। यह दिखाया जा सकता है कि यदि बीजगणितीय संख्याओं को a_i(x) के गुणांकों के लिए स्वीकार किया जाता है तो कार्यों का समान वर्ग प्राप्त होता है। यदि गुणांकों में पारलौकिक संख्याएँ आती हैं, तो कार्य, सामान्यतः बीजगणितीय नहीं होता है, किंतु यह इन गुणांकों द्वारा उत्पन्न क्षेत्र पर बीजगणितीय होता है।

एक परिमेय संख्या पर, और अधिक सामान्यतः, एक बीजगणितीय संख्या पर एक बीजगणितीय फलन का मान सदैव एक बीजगणितीय संख्या होता है। कभी-कभी, गुणांक $a_{i}(x)$ जो रिंग R पर बहुपद होते हैं, पर विचार किया जाता है, और फिर "R पर बीजगणितीय कार्य" के बारे में बात की जाती है।

एक कार्य जो बीजगणितीय नहीं है उसे ट्रान्सेंडैंटल कार्य कहा जाता है, उदाहरण के लिए यह $\exp x,\tan x,\ln x,\Gamma (x)$ का स्थिति है। पारलौकिक फलनों की एक संरचना एक बीजगणितीय फलन दे सकती है: $f(x)=\cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}$.

चूँकि घात n के एक बहुपद समीकरण में n तक जड़ें होती हैं (और बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर बिल्कुल n जड़ें होती हैं, जैसे कि जटिल संख्याएँ), एक बहुपद समीकरण किसी एकल कार्य को स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं करता है, लेकिन n कार्य तक, कभी-कभी इसे भी कहा जाता है शाखाएँ. उदाहरण के लिए यूनिट सर्कल के समीकरण पर विचार करें:$y^{2}+x^{2}=1.\,$, यह y निर्धारित करता है, केवल समग्र चिह्न को छोड़कर; इसलिए इसकी दो शाखाएँ हैं:$y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,$

m चरों में एक बीजगणितीय फलन को इसी प्रकार एक फलन $y=f(x_{1},\dots ,x_{m})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो m + 1 चरों में एक बहुपद समीकरण को हल करता है:

$p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.$

सामान्यतः यह माना जाता है कि p एक अपरिवर्तनीय बहुपद होना चाहिए। एक बीजगणितीय कार्य के अस्तित्व की आश्वासन अंतर्निहित कार्य प्रमेय द्वारा दी जाती है।

औपचारिक रूप से, क्षेत्र K पर m चर में एक बीजगणितीय कार्य तर्कसंगत कार्य K(x₁, ..., x_m).के क्षेत्र के बीजगणितीय समापन का एक तत्व है।

एक चर में बीजगणितीय कार्य

परिचय और सिंहावलोकन

बीजगणितीय कार्य की अनौपचारिक परिभाषा उनके गुणों के बारे में कई सुराग प्रदान करती है। सहज ज्ञान प्राप्त करने के लिए, बीजगणितीय कार्यों को ऐसे कार्यों के रूप में मानना ​​सहायक हो सकता है जो सामान्य बीजगणितीय परिचालनों द्वारा बनाए जा सकते हैं: जोड़, गुणा, भाग (गणित), और एनवां मूल लेना। यह कुछ अतिसरलीकरण है; गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय के कारण, बीजगणितीय कार्यों को रेडिकल द्वारा व्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है।

सबसे पहले, ध्यान दें कि कोई भी बहुपद फलन $y=p(x)$ एक बीजगणितीय फलन है, क्योंकि यह केवल समीकरण का हल y है

$y-p(x)=0.\,$

अधिक सामान्यतः, कोई भी तर्कसंगत कार्य $y={\frac {p(x)}{q(x)}}$ बीजगणितीय है, इसका समाधान है

$q(x)y-p(x)=0.$

इसके अतिरिक्त किसी भी बहुपद का nवाँ मूल ${\textstyle y={\sqrt[{n}]{p(x)}}}$ एक बीजीय फलन है, जो समीकरण को हल करता है

$y^{n}-p(x)=0.$

आश्चर्यजनक रूप से, बीजगणितीय फलन का व्युत्क्रम फलन एक बीजगणितीय फलन होता है। यह मानने के लिए कि y एक समाधान है

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