संचयी: Difference between revisions
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===एक ऋणात्मक परिणाम=== | ===एक ऋणात्मक परिणाम=== | ||
सामान्य वितरण के संचयकों के परिणामों को देखते हुए, यह | सामान्य वितरण के संचयकों के परिणामों को देखते हुए, यह अपेक्षा की जा सकती है कि वितरण के ऐसे वर्ग मिलें जिनके लिए {{math|1=''κ''<sub>''m''</sub> = ''κ''<sub>''m''+1</sub> = ⋯ = 0}} कुछ {{math|1=''m'' > 3}} के लिए , निचले क्रम के संचयकों के साथ (क्रम 3 से {{math|1=''m'' − 1}}) गैर-शून्य होना। ऐसे कोई वितरण नहीं हैं।<ref>Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Theorem 7.3.5)</ref> यहां अंतर्निहित परिणाम यह है कि संचयी जनक फलन 2 से अधिक परिमाण का परिमित-क्रम बहुपद नहीं हो सकता है। | ||
===संचयी और क्षण=== | ===संचयी और क्षण=== | ||
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:<math>\kappa_5=\mu''_5-10\mu''_3\,</math> | :<math>\kappa_5=\mu''_5-10\mu''_3\,</math> | ||
:<math>\kappa_6=\mu''_6-15\mu''_4-10{\mu''_3}^2+30\,.</math> | :<math>\kappa_6=\mu''_6-15\mu''_4-10{\mu''_3}^2+30\,.</math> | ||
संचयी को t के संबंध में संबंध '''log ''M''(''t'') = ''K''(''t'')''' को अलग करके, '''''M′''(''t'') = ''K′''(''t'') ''M''(''t'')''' देकर क्षणों से संबंधित किया जा सकता है, जिसमें सुविधाजनक रूप से कोई घातांक या लघुगणक सम्मिलित नहीं है। {{math|''t''<sup> ''n''−1</sup> / (''n''−1)!}} के गुणांक को बराबर करना, बाएँ और दाएँ पक्षों पर और {{math|1=''μ′''<sub>0</sub> = 1}}का उपयोग करने से {{math|''n'' ≥ 1}} के लिए निम्नलिखित सूत्र मिलते हैं:<ref>{{cite journal |last1=Smith |first1=Peter J. |date=May 1995 |title=क्यूमुलेंट्स से क्षण प्राप्त करने की पुरानी समस्या का एक पुनरावर्ती सूत्रीकरण और इसके विपरीत|url=https://www.jstor.org/stable/2684642 |journal=The American Statistician |volume=49 |issue=2 |pages=217–218 |doi=10.2307/2684642|jstor=2684642 }}</ref> | |||
: <math> | : <math> | ||
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</math> | </math> | ||
ये या तो | ये निचले क्रम के संचयकों और क्षणों के ज्ञान का उपयोग करके या तो <math>\kappa_n</math> या <math>\mu'_n</math> की गणना दूसरे से करने की अनुमति देते हैं। <math>n \ge 2</math> के लिए केंद्रीय क्षणों <math>\mu_n</math> के लिए संबंधित सूत्र इन सूत्रों से <math>\mu'_1 = \kappa_1 = 0</math> समूहित करके और <math>n \ge 2</math> के लिए प्रत्येक <math>\mu'_n</math> को <math>\mu_n</math> के साथ प्रतिस्थापित करके बनाए जाते हैं: | ||
: <math> | : <math> | ||
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===संचयी और | ===संचयी और समूह-विभाजन=== | ||
इन बहुपदों की उल्लेखनीय संयोजक व्याख्या है: गुणांक | इन बहुपदों की उल्लेखनीय संयोजक व्याख्या है: गुणांक समूह के कुछ विभाजन की गणना करते हैं। इन बहुपदों का सामान्य रूप | ||
:<math>\mu'_n=\sum_{\pi \, \in \, \Pi} \prod_{B \, \in \, \pi} \kappa_{|B|}</math> | :<math>\mu'_n=\sum_{\pi \, \in \, \Pi} \prod_{B \, \in \, \pi} \kappa_{|B|}</math> | ||
जहाँ | है, जहाँ | ||
*{{pi}} आकार | *{{pi}} आकार {{math|''n''}} के समूह के सभी विभाजनों की सूची से चलता है; | ||
*{{math|''B'' ∈ {{pi}}}} | *{{math|''B'' ∈ {{pi}}}} का अर्थ है कि {{math|''B''}} उन वर्गों में से एक है जिसमें समूह को विभाजित किया गया है; और | ||
*{{math|{{abs|''B''}}}} | *{{math|{{abs|''B''}}}} समूह {{math|''B''}} का आकार है । | ||
इस प्रकार प्रत्येक [[एकपद]] | इस प्रकार प्रत्येक [[एकपद|एकपदी]] एक स्थिर समय में संचयकों का गुणनफल है जिसमें सूचकांकों का योग {{math|''n''}} है (उदाहरण के लिए, पद {{math|1=''κ''<sub>3</sub> ''κ''<sub>2</sub><sup>2</sup> ''κ''<sub>1</sub>}} में, सूचकांकों का योग 3 + 2 + 2 + 1 = 8 है; यह इसमें दिखाई देता है बहुपद जो 8वें क्षण को पहले आठ संचयकों के फलन के रूप में व्यक्त करता है)। [[पूर्णांक]] {{math|''n''}} का एक विभाजन प्रत्येक पद से मेल खाता है। प्रत्येक पद में गुणांक '''''n''''' सदस्यों के एक समूह के विभाजन की संख्या है जो पूर्णांक '''''n''''' के उस विभाजन में निपात हो जाता है जब समूह के सदस्य अप्रभेद्य हो जाते हैं। | ||
===संचयी और | ===संचयी और साहचर्य === | ||
संचयी और | संचयी और साहचर्य के बीच आगे का संबंध [[जियान-कार्लो रोटा]] के कार्य में पाया जा सकता है, जहां [[अपरिवर्तनीय सिद्धांत]], [[सममित कार्य|सममित फलनों]] और द्विपद अनुक्रमों के लिंक का अध्ययन [[अम्ब्रल कैलकुलस|अम्ब्रल गणना]] के माध्यम से किया जाता है।<ref>{{cite journal |first1=G.-C. |last1=Rota |first2=J. |last2=Shen |title=क्यूमुलेंट्स के कॉम्बिनेटरिक्स पर|journal=Journal of Combinatorial Theory |series=Series A |volume=91 |issue=1–2 |pages=283–304 |year=2000 |doi=10.1006/jcta.1999.3017 |doi-access=free }}</ref> | ||
==संयुक्त संचयी == | ==संयुक्त संचयी == | ||
कई यादृच्छिक चर {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>}} के संयुक्त संचयी को एक समान संचयी जनक फलन | |||
:<math>K(t_1,t_2,\dots,t_n)=\log E(\mathrm e^{\sum_{j=1}^n t_j X_j}) | :<math>K(t_1,t_2,\dots,t_n)=\log E(\mathrm e^{\sum_{j=1}^n t_j X_j})</math> द्वारा परिभाषित किया गया है। | ||
एक परिणाम यह है | एक परिणाम यह है कि | ||
:<math>\kappa(X_1,\dots,X_n) =\sum_\pi (|\pi|-1)!(-1)^{|\pi|-1}\prod_{B\in\pi}E\left(\prod_{i\in B}X_i\right)</math> | :<math>\kappa(X_1,\dots,X_n) =\sum_\pi (|\pi|-1)!(-1)^{|\pi|-1}\prod_{B\in\pi}E\left(\prod_{i\in B}X_i\right)</math> | ||
जहाँ {{pi}} | जहाँ {{pi}}, {{math|{ 1, ..., ''n'' } }} के सभी विभाजनों की सूची के माध्यम से चलता है, {{math|''B''}} विभाजन {{pi}} के सभी वर्गों की सूची के माध्यम से चलता है, और {{math|{{abs|{{pi}}}}}} विभाजन में भागों की संख्या है। उदाहरण के लिए, | ||
:<math>\kappa(X,Y)=\operatorname E(XY) - \operatorname E(X) \operatorname E(Y),</math> | :<math>\kappa(X,Y)=\operatorname E(XY) - \operatorname E(X) \operatorname E(Y),</math> | ||
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:<math>\kappa(X,Y,Z)=\operatorname E(XYZ) - \operatorname E(XY) \operatorname E(Z) - \operatorname E(XZ) \operatorname E(Y) - \operatorname E(YZ) \operatorname E(X) + 2\operatorname E(X)\operatorname E(Y)\operatorname E(Z).\,</math> | :<math>\kappa(X,Y,Z)=\operatorname E(XYZ) - \operatorname E(XY) \operatorname E(Z) - \operatorname E(XZ) \operatorname E(Y) - \operatorname E(YZ) \operatorname E(X) + 2\operatorname E(X)\operatorname E(Y)\operatorname E(Z).\,</math> | ||
यदि इनमें से कोई भी यादृच्छिक चर समान है, उदाहरण के लिए यदि {{math|1=''X'' = ''Y''}} | यदि इनमें से कोई भी यादृच्छिक चर समान है, उदाहरण के लिए यदि {{math|1=''X'' = ''Y''}} तो वही सूत्र लागू होते हैं, उदाहरण के लिए | ||
:<math>\kappa(X,X,Z)=\operatorname E(X^2Z) -2\operatorname E(XZ)\operatorname E(X) - \operatorname E(X^2)\operatorname E(Z) + 2\operatorname E(X)^2\operatorname E(Z),\,</math> | :<math>\kappa(X,X,Z)=\operatorname E(X^2Z) -2\operatorname E(XZ)\operatorname E(X) - \operatorname E(X^2)\operatorname E(Z) + 2\operatorname E(X)^2\operatorname E(Z),\,</math> | ||
यद्यपि ऐसे दोहराए गए चरों के लिए अधिक संक्षिप्त सूत्र हैं। शून्य-माध्य यादृच्छिक | यद्यपि ऐसे दोहराए गए चरों के लिए अधिक संक्षिप्त सूत्र हैं। शून्य-माध्य यादृच्छिक सदिश के लिए, | ||
:<math>\kappa(X,Y,Z) = \operatorname E(XYZ).\,</math> | :<math>\kappa(X,Y,Z) = \operatorname E(XYZ).\,</math> | ||
:<math>\kappa(X,Y,Z,W) = \operatorname E(XYZW) - \operatorname E(XY) \operatorname E(ZW) - \operatorname E(XZ) \operatorname E(YW) - \operatorname E(XW) \operatorname E(YZ).\,</math> | :<math>\kappa(X,Y,Z,W) = \operatorname E(XYZW) - \operatorname E(XY) \operatorname E(ZW) - \operatorname E(XZ) \operatorname E(YW) - \operatorname E(XW) \operatorname E(YZ).\,</math> | ||
मात्र यादृच्छिक चर का संयुक्त संचयी इसका अपेक्षित मान है, और दो यादृच्छिक चर का संयुक्त संचयी उनका सहप्रसरण है। यदि कुछ यादृच्छिक चर अन्य सभी से स्वतंत्र हैं, तो दो (या अधिक) स्वतंत्र यादृच्छिक चर वाला कोई भी संचयी शून्य है। | मात्र यादृच्छिक चर का संयुक्त संचयी इसका अपेक्षित मान है, और दो यादृच्छिक चर का संयुक्त संचयी उनका सहप्रसरण है। यदि कुछ यादृच्छिक चर अन्य सभी से स्वतंत्र हैं, तो दो (या अधिक) स्वतंत्र यादृच्छिक चर वाला कोई भी संचयी शून्य है। यदि सभी {{math|''n''}} यादृच्छिक चर समान हैं, तो संयुक्त संचयी {{math|''n''}}-वाँ साधारण संचयी है। | ||
संचयी के संदर्भ में क्षणों की अभिव्यक्ति का संयुक्त अर्थ, क्षणों के संदर्भ में संचयी की तुलना में समझना | संचयी के संदर्भ में क्षणों की अभिव्यक्ति का संयुक्त अर्थ, क्षणों के संदर्भ में संचयी की तुलना में समझना सरल है: | ||
: <math> \operatorname E(X_1\cdots X_n)=\sum_\pi\prod_{B\in\pi}\kappa(X_i : i \in B). </math> | : <math> \operatorname E(X_1\cdots X_n)=\sum_\pi\prod_{B\in\pi}\kappa(X_i : i \in B). </math> | ||
| Line 280: | Line 280: | ||
: <math>\operatorname{var}(X+Y) = \operatorname{var}(X) + 2\operatorname{cov}(X,Y) + \operatorname{var}(Y)\,</math> | : <math>\operatorname{var}(X+Y) = \operatorname{var}(X) + 2\operatorname{cov}(X,Y) + \operatorname{var}(Y)\,</math> | ||
संचयकों के लिए सामान्यीकरण करती है: | |||
:<math>\kappa_n(X+Y)=\sum_{j=0}^n {n \choose j} \kappa( \, \underbrace{X,\dots,X}_j, \underbrace{Y,\dots,Y}_{n-j}\,).\,</math> | :<math>\kappa_n(X+Y)=\sum_{j=0}^n {n \choose j} \kappa( \, \underbrace{X,\dots,X}_j, \underbrace{Y,\dots,Y}_{n-j}\,).\,</math> | ||
=== | ===सप्रतिबन्ध संचयन और कुल संचयन का नियम=== | ||
{{Main| | {{Main|कुल संचयन का नियम}} | ||
[[कुल अपेक्षा का नियम]] और [[कुल विचरण का नियम]] | [[कुल अपेक्षा का नियम]] और [[कुल विचरण का नियम]] सप्रतिबन्ध संचयकों के लिए स्वाभाविक रूप से सामान्यीकृत होता है। स्थिति {{math|1=''n'' = 3}}, संचयी के अतिरिक्त (केंद्रीय) क्षणों की भाषा में व्यक्त किया गया है, | ||
: <math>\mu_3(X) = \operatorname E(\mu_3(X\mid Y)) + \mu_3(\operatorname E(X\mid Y)) + 3 \operatorname{cov}(\operatorname E(X\mid Y), \operatorname{var} (X\mid Y)) | : <math>\mu_3(X) = \operatorname E(\mu_3(X\mid Y)) + \mu_3(\operatorname E(X\mid Y)) + 3 \operatorname{cov}(\operatorname E(X\mid Y), \operatorname{var} (X\mid Y))</math> कहता है। | ||
सामान्य रूप में,<ref>{{cite journal | last1 = Brillinger | first1 = D.R. | year = 1969 | title = कंडीशनिंग के माध्यम से संचयकों की गणना| journal = Annals of the Institute of Statistical Mathematics | volume = 21 | pages = 215–218 | doi=10.1007/bf02532246| s2cid = 122673823 }}</ref> | सामान्य रूप में,<ref>{{cite journal | last1 = Brillinger | first1 = D.R. | year = 1969 | title = कंडीशनिंग के माध्यम से संचयकों की गणना| journal = Annals of the Institute of Statistical Mathematics | volume = 21 | pages = 215–218 | doi=10.1007/bf02532246| s2cid = 122673823 }}</ref> | ||
:<math>\kappa(X_1,\dots,X_n)=\sum_\pi \kappa(\kappa(X_{\pi_1}\mid Y), \dots, \kappa(X_{\pi_b}\mid Y))</math> | :<math>\kappa(X_1,\dots,X_n)=\sum_\pi \kappa(\kappa(X_{\pi_1}\mid Y), \dots, \kappa(X_{\pi_b}\mid Y))</math> | ||
जहाँ | जहाँ | ||
* योग | * योग सूचकांकों के समूह {{math|{ 1, ..., ''n'' } }} के सभी विभाजन {{pi}} पर है, और | ||
* {{pi}}<sub>1</sub>, ।।।, {{pi}}<sub>b</sub> विभाजन | * {{pi}}<sub>1</sub>, ।।।, {{pi}}<sub>b</sub> सभी विभाजन {{pi}} के "वर्ग" हैं; अभिव्यक्ति {{math|''κ''(''X''<sub>{{pi}}<sub>''m''</sub></sub>)}} इंगित करती है कि यादृच्छिक चर का संयुक्त संचयी जिसके सूचकांक विभाजन के उस वर्ग में हैं। | ||
==[[सांख्यिकीय भौतिकी]] से संबंध== | ==[[सांख्यिकीय भौतिकी]] से संबंध== | ||
सांख्यिकीय भौतिकी में कई [[व्यापक मात्रा]]एँ - अर्थात वे मात्राएँ जो किसी दिए गए | सांख्यिकीय भौतिकी में कई [[व्यापक मात्रा]]एँ - अर्थात वे मात्राएँ जो किसी दिए गए प्रणाली के आयतन या आकार के समानुपाती होती हैं - यादृच्छिक चर के संचयकों से संबंधित होती हैं। गहन संबंध यह है कि बड़ी प्रणाली में ऊर्जा या कणों की संख्या जैसी व्यापक मात्रा को लगभग स्वतंत्र क्षेत्रों से जुड़ी ऊर्जा (कहें) के योग के रूप में माना जा सकता है। तथ्य यह है कि इन लगभग स्वतंत्र यादृच्छिक चर के संचयी (लगभग) योग देंगे, जिससे यह उचित हो जाता है कि व्यापक मात्रा में संचयी से संबंधित होने की अपेक्षा की जानी चाहिए। | ||
तापमान पर | तापमान '''''T''''' पर तापीय स्नान के साथ संतुलन में एक प्रणाली में उच्चावचन वाली आंतरिक ऊर्जा '''''E''''' होती है, जिसे वितरण '''<math> E\sim p(E)</math>''' से लिया गया एक यादृच्छिक चर माना जा सकता है। प्रणाली का [[विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)|विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)]] | ||
:<math>Z(\beta) = \langle\exp(-\beta E)\rangle,\,</math> | :<math>Z(\beta) = \langle\exp(-\beta E)\rangle,\,</math> | ||
जहां | है, जहां '''''β = 1/(kT)''''' और '''''k''''' बोल्ट्ज़मैन का स्थिरांक है और ऊर्जा, E के साथ भ्रम से बचने के लिए अपेक्षित मान के लिए <math>\operatorname{E}[A]</math> के अतिरिक्त अंकन <math>\langle A \rangle</math> का उपयोग किया गया है। इसलिए ऊर्जा {{math|''E''}} के लिए प्रथम और दूसरा संचयी औसत ऊर्जा और ताप क्षमता देते हैं। | ||
:<math> \langle E \rangle_c = \frac{\partial \log Z}{\partial (-\beta)} = \langle E \rangle </math> | :<math> \langle E \rangle_c = \frac{\partial \log Z}{\partial (-\beta)} = \langle E \rangle </math> | ||
:<math> \langle E^2 \rangle_c = \frac{\partial\langle E\rangle_c}{\partial (-\beta)} = k T^2 \frac{\partial \langle E\rangle}{\partial T} = kT^2C</math> | :<math> \langle E^2 \rangle_c = \frac{\partial\langle E\rangle_c}{\partial (-\beta)} = k T^2 \frac{\partial \langle E\rangle}{\partial T} = kT^2C</math> | ||
:<math>F(\beta) = -\beta^{-1}\log Z(\beta) \, </math> | :<math>F(\beta) = -\beta^{-1}\log Z(\beta) \, </math> | ||
ऊर्जा के लिए संचयी उत्पादन | के संदर्भ में व्यक्त हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा ऊर्जा के लिए संचयी उत्पादन कार्य के साथ ऊष्मा गतिक मात्रा को जोड़ती है। ऊष्मा गतिकी गुण जो मुक्त ऊर्जा के व्युत्पन्न हैं, जैसे इसकी [[आंतरिक ऊर्जा]], एन्ट्रॉपी और विशिष्ट ताप क्षमता, सभी को इन संचयकों के संदर्भ में सरलता से व्यक्त किया जा सकता है। अन्य मुक्त ऊर्जा अन्य चर का एक कार्य हो सकती है जैसे चुंबकीय क्षेत्र या रासायनिक क्षमता <math>\mu</math>, उदाहरण के लिए | ||
: <math> \Omega=-\beta^{-1}\log(\langle \exp(-\beta E -\beta\mu N) \rangle),\,</math> | : <math> \Omega=-\beta^{-1}\log(\langle \exp(-\beta E -\beta\mu N) \rangle),\,</math> | ||
जहाँ {{math|''N''}} कणों की संख्या है और <math>\Omega</math> | जहाँ {{math|''N''}} कणों की संख्या है और <math>\Omega</math> श्रेष्ठ क्षमता है। पुनः मुक्त ऊर्जा की परिभाषा और संचयी उत्पादन फलन के बीच घनिष्ठ संबंध का तात्पर्य है कि इस मुक्त ऊर्जा के विभिन्न व्युत्पन्नों को {{math|''E''}} और {{math|''N''}} के संयुक्त संचयी के रूप में लिखा जा सकता है। | ||
==इतिहास== | ==इतिहास== | ||
संचयी के इतिहास पर [[एंडर्स हाल्ड]] द्वारा चर्चा की गई है।<ref> | संचयी के इतिहास पर [[एंडर्स हाल्ड]] द्वारा चर्चा की गई है।<ref> | ||
[[Anders Hald|Hald, A.]] (2000) "The early history of the cumulants and the [[Gram–Charlier series]]" ''International Statistical Review'', 68 (2): 137–153. (Reprinted in {{Cite book|editor-link=Steffen Lauritzen|editor-first=Steffen L.|editor-last=Lauritzen|title=Thiele: Pioneer in Statistics|publisher= Oxford U. P.|year=2002|isbn=978-0-19-850972-1|title-link=Thorvald N. Thiele}})</ref><ref> | [[Anders Hald|Hald, A.]] (2000) "The early history of the cumulants and the [[Gram–Charlier series]]" ''International Statistical Review'', 68 (2): 137–153. (Reprinted in {{Cite book|editor-link=Steffen Lauritzen|editor-first=Steffen L.|editor-last=Lauritzen|title=Thiele: Pioneer in Statistics|publisher= Oxford U. P.|year=2002|isbn=978-0-19-850972-1|title-link=Thorvald N. Thiele}})</ref><ref> | ||
{{Cite book|first1=Anders|last1=Hald|title=A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930 |author-link=Anders Hald|year=1998 |publisher=Wiley |location=New York |isbn=978-0-471-17912-2}}</ref> | {{Cite book|first1=Anders|last1=Hald|title=A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930 |author-link=Anders Hald|year=1998 |publisher=Wiley |location=New York |isbn=978-0-471-17912-2}}</ref> | ||
==सामान्यीकृत | संचयी को पहली बार 1889 में थोरवाल्ड एन. थीले द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिन्होंने उन्हें अर्ध-अपरिवर्तनीय कहा था।<ref>H. Cramér (1946) Mathematical Methods of Statistics, Princeton University Press, Section 15.10, p. 186.</ref> उन्हें पहली बार [[रोनाल्ड फिशर]] और जॉन विशरट (सांख्यिकीविद्) द्वारा 1932 के लेख में संचयी कहा गया था।<ref>[[Ronald Fisher|Fisher, R.A.]], [[John Wishart (statistician)|John Wishart, J.]] (1932) [http://plms.oxfordjournals.org/content/s2-33/1/195.full.pdf+html ''The derivation of the pattern formulae of two-way partitions from those of simpler patterns''], Proceedings of the [[London Mathematical Society]], Series 2, v. 33, pp. 195–208 {{doi| 10.1112/plms/s2-33.1.195}} | ||
</ref> फिशर को नेमैन द्वारा सार्वजनिक रूप से थिएल के कार्य का स्मृति कराया गया, जो फिशर के ध्यान में लाए गए थिएल के पूर्व प्रकाशित उद्धरणों को भी नोट करता है।<ref>Neyman, J. (1956): ‘Note on an Article by Sir Ronald Fisher,’ ''Journal of the Royal Statistical Society'', Series B (Methodological), 18, pp. 288–94.</ref> [[स्टीफन स्टिगलर]] ने कहा है कि [[हेरोल्ड होटलिंग]] के पत्र में फिशर को संचयी नाम का सुझाव दिया गया था। 1929 में प्रकाशित एक पेपर में फिशर ने इन्हें संचयी क्षण फलन कहा था।<ref>{{cite journal|last1=Fisher|first1=R. A.|title=नमूना वितरण के क्षण और उत्पाद क्षण|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|date=1929|volume=30|pages=199–238|doi=10.1112/plms/s2-30.1.199|url=https://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15200/1/74pt2.pdf|hdl=2440/15200|hdl-access=free}}<!--|access-date=7 August 2015--></ref> सांख्यिकीय भौतिकी में विभाजन फलन के प्रारंभ 1901 में [[जोशिया विलार्ड गिब्स]] द्वारा की गई थी। मुक्त ऊर्जा को प्रायः गिब्स मुक्त ऊर्जा कहा जाता है। [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में, संचयी को 1927 में प्रकाशन से संबंधित [[उर्सेल समारोह|उर्सेल फलन]] के रूप में भी जाना जाता है। | |||
==सामान्यीकृत समायोजन में संचयक== | |||
===औपचारिक संचयक=== | ===औपचारिक संचयक=== | ||
अधिक सामान्यतः, अनुक्रम के संचयी {{math|1={ ''m''<sub>''n''</sub> : ''n'' = 1, 2, 3, ... } }}, | अधिक सामान्यतः, किसी अनुक्रम के संचयी {{math|1={ ''m''<sub>''n''</sub> : ''n'' = 1, 2, 3, ... } }}, आवश्यक नहीं कि किसी प्रायिकता वितरण के क्षण, परिभाषा के अनुसार, | ||
: <math>1+\sum_{n=1}^\infty \frac{m_n t^n}{n!} = \exp \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{\kappa_n t^n}{n!} \right) ,</math> | : <math>1+\sum_{n=1}^\infty \frac{m_n t^n}{n!} = \exp \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{\kappa_n t^n}{n!} \right) ,</math> | ||
जहां के | हों, जहां {{math|1=''n'' = 1, 2, 3, ...}} के लिए {{math|''κ''<sub>''n''</sub>}} का मान हो, औपचारिक रूप से पाए जाते हैं, अर्थात, अकेले बीजगणित द्वारा, इस प्रश्न की उपेक्षा करते हुए कि क्या कोई श्रृंखला अभिसरण करती है। जब कोई औपचारिक रूप से कार्य करता है तो संचयकों की समस्या की सभी कठिनाइयां अनुपस्थित हो जाती हैं। सबसे सरल उदाहरण यह है कि प्रायिकता वितरण का दूसरा संचयी सदैव गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, और मात्र तभी शून्य होता है जब सभी उच्च संचयी शून्य हों। औपचारिक सहचालक ऐसी किसी बाध्यता के अधीन नहीं हैं। | ||
=== | ===बेल संख्या=== | ||
साहचर्य में, {{math|''n''}}-वें [[बेल नंबर|बेल संख्या]] आकार {{math|''n''}} के समूह के विभाजन की संख्या है । बेल संख्याओं के अनुक्रम के सभी संचयक 1 के बराबर हैं। बेल संख्याएँ अपेक्षित मान 1 के साथ पॉइसन वितरण के क्षण हैं। | |||
===द्विपद प्रकार के बहुपद अनुक्रम के संचयी === | ===द्विपद प्रकार के बहुपद अनुक्रम के संचयी === | ||
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\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
और फिर पैटर्न को सामान्यीकृत करें। पैटर्न यह है कि उपरोक्त विभाजनों में | और फिर पैटर्न को सामान्यीकृत करें। पैटर्न यह है कि उपरोक्त विभाजनों में वर्गों की संख्या पर घातांक हैं {{math|''x''}}। संचयकों में प्रत्येक गुणांक बहुपद है; ये बेल बहुपद हैं, जिनका नाम [[एरिक टेम्पल बेल]] के नाम पर रखा गया है।{{Citation needed|date=January 2011}} | ||
बहुपदों का यह क्रम [[द्विपद प्रकार]] का होता है। वास्तव में, द्विपद प्रकार का कोई अन्य क्रम स्थित नहीं है; द्विपद प्रकार का प्रत्येक बहुपद अनुक्रम पूर्ण रूप से उसके औपचारिक संचयकों के अनुक्रम से निर्धारित होता है।{{Citation needed|date=January 2011}} | बहुपदों का यह क्रम [[द्विपद प्रकार]] का होता है। वास्तव में, द्विपद प्रकार का कोई अन्य क्रम स्थित नहीं है; द्विपद प्रकार का प्रत्येक बहुपद अनुक्रम पूर्ण रूप से उसके औपचारिक संचयकों के अनुक्रम से निर्धारित होता है।{{Citation needed|date=January 2011}} | ||
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:<math>\operatorname E(X_1\cdots X_n)=\sum_\pi\prod_{B\,\in\,\pi}\kappa(X_i : i\in B)</math> | :<math>\operatorname E(X_1\cdots X_n)=\sum_\pi\prod_{B\,\in\,\pi}\kappa(X_i : i\in B)</math> | ||
संयुक्त संचयकों के लिए, | संयुक्त संचयकों के लिए, | ||
समूह के सभी विभाजनों का योग {{math|1={ 1, ..., ''n'' } }}। यदि इसके अतिरिक्त, कोई मात्र गैर-क्रॉसिंग विभाजनों का योग करता है, तो, इन सूत्रों को हल करके <math>\kappa</math> क्षणों के संदर्भ में, किसी को ऊपर बताए गए पारंपरिक क्यूमुलंट के अतिरिक्त मुफ्त क्यूमुलंट मिलते हैं। ये मुक्त संचयी रोलैंड स्पीचर द्वारा प्रस्तुत किए गए थे और [[मुक्त संभाव्यता|मुक्त प्रायिकता]] सिद्धांत में केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।<ref>{{cite journal |last=Speicher |first=Roland |year=1994 |title=गैर-क्रॉसिंग विभाजन और मुक्त कनवल्शन की जाली पर गुणक कार्य|journal=[[Mathematische Annalen]] |volume=298 |issue=4 |pages=611–628 |doi=10.1007/BF01459754 |s2cid=123022311 }}</ref><ref name="Novak-Śniady">{{Cite journal|last1=Novak|first1=Jonathan|last2=Śniady|first2=Piotr|year=2011|title=एक निःशुल्क संचयक क्या है?|journal=[[Notices of the American Mathematical Society]]|volume=58|issue=2|pages=300–301|issn=0002-9920}}</ref> उस सिद्धांत में, यादृच्छिक चर के बीजगणित के टेन्सर उत्पाद के संदर्भ में परिभाषित यादृच्छिक चर की सांख्यिकीय स्वतंत्रता पर विचार करने के अतिरिक्त, बीजगणित के मुक्त उत्पादों के संदर्भ में परिभाषित यादृच्छिक चर की [[स्वतंत्र स्वतंत्रता]] पर विचार किया जाता है।<ref name="Novak-Śniady"/> | |||
सामान्य वितरण के 2 से अधिक परिमाण वाले सामान्य संचयी शून्य होते हैं। [[विग्नर अर्धवृत्त वितरण]] के 2 से अधिक परिमाण के मुक्त संचयी शून्य हैं।<ref name="Novak-Śniady"/>यह ऐसा संबंध है जिसमें मुक्त प्रायिकता सिद्धांत में विग्नर वितरण की भूमिका पारंपरिक प्रायिकता सिद्धांत में सामान्य वितरण के अनुरूप है। | सामान्य वितरण के 2 से अधिक परिमाण वाले सामान्य संचयी शून्य होते हैं। [[विग्नर अर्धवृत्त वितरण]] के 2 से अधिक परिमाण के मुक्त संचयी शून्य हैं।<ref name="Novak-Śniady"/>यह ऐसा संबंध है जिसमें मुक्त प्रायिकता सिद्धांत में विग्नर वितरण की भूमिका पारंपरिक प्रायिकता सिद्धांत में सामान्य वितरण के अनुरूप है। | ||
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==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
* [[एन्ट्रोपिक मूल्य खतरे में है|एन्ट्रोपिक मान खतरे में है]] | * [[एन्ट्रोपिक मूल्य खतरे में है|एन्ट्रोपिक मान खतरे में है]] | ||