भागों द्वारा योग

गणित में, भागों द्वारा योग अनुक्रमों के उत्पादों के योग को अन्य योगों में बदल देता है, जिससे अधिकांशतः गणना या (विशेष रूप से) कुछ प्रकार के योगों का अनुमान सरल हो जाता है। इस प्रकार इसे एबेल लेम्मा या एबेल ट्रांसफॉर्मेशन भी कहा जाता है, जिसका नाम नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इसे साल 1826 में प्रस्तुत किया था।

विवरण

कल्पना करना $\{f_{k}\}$ और $\{g_{k}\}$ दो अनुक्रम हैं. तब,

$\sum _{k=m}^{n}f_{k}(g_{k+1}-g_{k})=\left(f_{n}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m+1}^{n}g_{k}(f_{k}-f_{k-1}).$

फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर का उपयोग करना $\Delta$, इसे और अधिक संक्षेप में कहा जा सकता है

$\sum _{k=m}^{n}f_{k}\Delta g_{k}=\left(f_{n}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m}^{n-1}g_{k+1}\Delta f_{k},$

भागों द्वारा योग, भागों द्वारा एकीकरण के समान है:

$\int f\,dg=fg-\int g\,df,$

या हाबिल के सारांश सूत्र के लिए:

$\sum _{k=m+1}^{n}f(k)(g_{k}-g_{k-1})=\left(f(n)g_{n}-f(m)g_{m}\right)-\int _{m}^{n}g_{\lfloor t\rfloor }f'(t)dt.$

एक वैकल्पिक कथन है

$f_{n}g_{n}-f_{m}g_{m}=\sum _{k=m}^{n-1}f_{k}\Delta g_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}g_{k}\Delta f_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}\Delta f_{k}\Delta g_{k}$

इस प्रकार जो सेमीमार्टिंगेल्स के लिए भागों द्वारा एकीकरण के फार्मूले के अनुरूप है।

चूँकि अनुप्रयोग लगभग सदैव अनुक्रमों के अभिसरण से निपटते हैं, कथन पूरी तरह से बीजगणितीय है और किसी भी क्षेत्र में काम करेगा। इस प्रकार यह तब भी काम करेगा जब एक अनुक्रम सदिश समष्टि में हो और दूसरा अदिश के संबंधित क्षेत्र में हो।

न्यूटन श्रृंखला

सूत्र कभी-कभी इनमें से किसी एक - थोड़े भिन्न - रूप में दिया जाता है

$\begin{array}{rl}\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{f}_k{g}_k& =f_0\underset{k=0}{\overset{}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\end{array}$