अनुमान: Difference between revisions

[[File:RiemannCriticalLine.svg|thumb|350px|महत्वपूर्ण रेखा Re(s) = 1/2 के साथ Riemann zeta फ़ंक्शन का वास्तविक भाग (लाल) और काल्पनिक भाग (नीला)। पहला गैर-तुच्छ शून्य Im(s) = ±14.135, ±21.022 और ±25.011 पर देखा जा सकता है। [[रीमैन परिकल्पना]], एक प्रसिद्ध अनुमान है, जो कहती है कि ज़ेटा फ़ंक्शन के सभी गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा के साथ स्थित हैं।]]गणित में, एक अनुमान एक [[प्रस्ताव]] का एक परिणाम है जिसे [[औपचारिक प्रमाण]] के बिना अस्थायी आधार पर पसंद किया जाता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/conjecture|title=Definition of CONJECTURE|website=www.merriam-webster.com|language=en|access-date=2019-11-12}}</ref><ref>{{cite book|title=Oxford Dictionary of English|edition=2010}}</ref><ref>{{cite book|last1=Schwartz|first1=JL|title=Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics.|date=1995|page=93|url=https://books.google.com/books?id=JyKelnvECc4C&q=%22although+counterpoint+between+the+particular+and+the+general%22&pg=PA93|isbn=9780195115772}}</ref> कुछ अनुमान, जैसे कि रीमैन परिकल्पना (अभी भी एक अनुमान) या फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय ([[एंड्रयू विल्स]] द्वारा 1995 में सिद्ध किए जाने तक एक अनुमान), ने गणितीय इतिहास को आकार दिया है क्योंकि उन्हें साबित करने के लिए गणित के नए क्षेत्रों का विकास किया गया है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html|title=Fermat's Last Theorem|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-11-12}}</ref>

 

 

इस प्रमेय को पहली बार 1637 में [[अंकगणित]] की एक प्रति के मार्जिन में [[पियरे डी फर्मेट]] द्वारा अनुमान लगाया गया था, जहां उन्होंने दावा किया था कि उनके पास एक प्रमाण है जो मार्जिन में फिट होने के लिए बहुत बड़ा था।<ref>{{citation|first=Oystein|last=Ore|title=Number Theory and Its History|year=1988|orig-year=1948|publisher=Dover|isbn=978-0-486-65620-5|pages=[https://archive.org/details/numbertheoryitsh0000orey/page/203 203–204]|url=https://archive.org/details/numbertheoryitsh0000orey/page/203}}</ref> फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण 1994 में एंड्रयू विल्स द्वारा जारी किया गया था, और गणितज्ञों के 358 वर्षों के प्रयास के बाद औपचारिक रूप से 1995 में प्रकाशित हुआ था। अनसुलझी समस्या ने 19वीं शताब्दी में [[बीजगणितीय संख्या सिद्धांत]] के विकास और 20वीं शताब्दी में [[मॉड्यूलरिटी प्रमेय]] के प्रमाण को प्रेरित किया। यह गणित के इतिहास में सबसे उल्लेखनीय प्रमेयों में से एक है, और इसके प्रमाण से पहले यह सबसे कठिन गणितीय समस्याओं के लिए [[गिनीज बुक ऑफ वर्ल्ड रिकॉर्ड्स]] में शामिल था।<ref>{{Cite book|title=The Guinness Book of World Records|publisher=Guinness Publishing Ltd.|year=1995|chapter=Science and Technology}}</ref>

 

 

[[File:Map of United States vivid colors shown.png|thumb|संयुक्त राज्य अमेरिका के राज्यों के मानचित्र का एक चार-रंग (झीलों की उपेक्षा)।]]गणित में, [[चार रंग प्रमेय]], या चार रंग नक्शा प्रमेय, बताता है कि किसी समतल को विक्ट: सामीप्य क्षेत्रों में अलग करने से, मानचित्र नामक एक आकृति का निर्माण होता है, मानचित्र के क्षेत्रों को रंगने के लिए चार से अधिक रंगों की आवश्यकता नहीं होती है। —ताकि किन्हीं दो आसन्न क्षेत्रों का रंग एक जैसा न हो। दो क्षेत्रों को आसन्न कहा जाता है यदि वे एक सामान्य सीमा साझा करते हैं जो एक कोना नहीं है, जहां कोने तीन या अधिक क्षेत्रों द्वारा साझा किए गए बिंदु हैं।<ref>{{cite journal |title=Formal Proof—The Four-Color Theorem |author-link=Georges Gonthier|author=Georges Gonthier |journal=Notices of the AMS |volume=55 |issue=11 |date=December 2008 |pages=1382–1393|quote=From this paper: Definitions: A planar map is a set of pairwise disjoint subsets of the plane, called regions. A simple map is one whose regions are connected open sets. Two regions of a map are adjacent if their respective closures have a common point that is not a corner of the map. A point is a corner of a map if and only if it belongs to the closures of at least three regions. Theorem: The regions of any simple planar map can be colored with only four colors, in such a way that any two adjacent regions have different colors.}}</ref> उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका के मानचित्र में, यूटा और एरिजोना आसन्न हैं, लेकिन यूटा और न्यू मैक्सिको, जो केवल एरिजोना और कोलोराडो से संबंधित फोर कॉर्नर स्मारक साझा करते हैं, नहीं हैं।

अगस्त फर्डिनेंड मोबियस | मोबियस ने 1840 की शुरुआत में अपने व्याख्यानों में इस समस्या का उल्लेख किया।<ref name="rouse_ball_1960">डब्ल्यू. डब्ल्यू. राउज़ बॉल (1960) द फोर कलर थ्योरम, इन मैथेमेटिकल रिक्रिएशन एंड एसेज, मैकमिलन, न्यूयॉर्क, पीपी 222-232।</ref> यह अनुमान पहली बार 23 अक्टूबर, 1852 को प्रस्तावित किया गया था। रेफरी नाम=मैकेंजी>डोनाल्ड मैकेंजी, मैकेनाइजिंग प्रूफ: कम्प्यूटिंग, रिस्क, एंड ट्रस्ट (एमआईटी प्रेस, 2004) पृष्ठ 103</रेफ> जब [[फ्रांसिस गुथरी]] ने इंग्लैंड की काउंटियों के मानचित्र को रंगने की कोशिश करते हुए देखा कि केवल चार अलग-अलग रंग थे आवश्यकता है। [[पांच रंग प्रमेय]], जिसका एक संक्षिप्त प्रारंभिक प्रमाण है, कहता है कि पांच रंग एक मानचित्र को रंगने के लिए पर्याप्त हैं और 19वीं शताब्दी के अंत में सिद्ध हो गए थे; रेफरी>{{Cite journal|last=Heawood|first=P. J.|date=1890|title=मानचित्र-रंग प्रमेय|journal=Quarterly Journal of Mathematics|location=Oxford|volume=24|pages=332–338}}</ref> हालांकि, यह साबित करना कि पर्याप्त चार रंग काफी कठिन निकले। 1852 में चार रंग [[प्रमेय]] के पहले बयान के बाद से कई झूठे प्रमाण और झूठे [[प्रति उदाहरण]] सामने आए हैं।

चार रंगों वाली प्रमेय अंततः 1976 में [[केनेथ एपल]] और [[वोल्फगैंग हेकेन]] द्वारा सिद्ध की गई थी। यह कंप्यूटर-सहायता प्रमाण होने वाला पहला प्रमुख प्रमेय था # प्रमेय कंप्यूटर प्रोग्राम की मदद से सिद्ध हुआ। एपेल और हेकेन का दृष्टिकोण यह दिखाते हुए शुरू हुआ कि 1,936 नक्शों का एक विशेष सेट है, जिनमें से प्रत्येक चार रंग प्रमेय के लिए एक छोटे आकार के प्रति उदाहरण का हिस्सा नहीं हो सकता है (यानी, यदि वे प्रकट होते हैं, तो कोई एक छोटा प्रति-उदाहरण बना सकता है) ). Appel और Haken ने एक विशेष प्रयोजन के कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग यह पुष्टि करने के लिए किया कि इनमें से प्रत्येक नक्शे में यह संपत्ति थी। इसके अतिरिक्त, कोई नक्शा जो संभावित रूप से एक प्रति उदाहरण हो सकता है, उसमें एक भाग होना चाहिए जो इन 1,936 मानचित्रों में से एक जैसा दिखता है। हाथों के विश्लेषण के सैकड़ों पृष्ठों के साथ इसे दिखाते हुए, एपेल और हेकेन ने निष्कर्ष निकाला कि कोई भी सबसे छोटा प्रति उदाहरण मौजूद नहीं है क्योंकि किसी में भी इन 1,936 मानचित्रों में से एक होना चाहिए, फिर भी शामिल नहीं है। इस विरोधाभास का मतलब है कि कोई भी प्रति उदाहरण नहीं है और इसलिए प्रमेय सत्य है। प्रारंभ में, उनके प्रमाण को गणितज्ञों द्वारा बिल्कुल भी स्वीकार नहीं किया गया था क्योंकि कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण मानव द्वारा हाथ से जांचना संभव नहीं था। रेफरी>{{Cite journal|last=Swart|first=E. R.|date=1980|title=चार रंगों की समस्या के दार्शनिक निहितार्थ|journal=The American Mathematical Monthly|volume=87|issue=9|pages=697–702|doi=10.2307/2321855|issn=0002-9890|jstor=2321855}}</ रेफ> हालांकि, सबूत तब से व्यापक स्वीकृति प्राप्त कर चुका है, हालांकि संदेह अभी भी बना हुआ है। रेफरी>{{Cite book|title=चार रंग पर्याप्त हैं: मानचित्र की समस्या को कैसे हल किया गया|last=Wilson|first=Robin|publisher=Princeton University Press|year=2014|isbn=9780691158228|edition=Revised color|location=Princeton, New Jersey|pages=216–222|oclc=847985591}}</रेफरी>

[[ज्यामितीय टोपोलॉजी]] का हाउप्टवर्मुटुंग ([[मुख्य अनुमान]] के लिए जर्मन) यह अनुमान है कि [[त्रिकोणीय स्थान]] के किसी भी दो त्रिभुज (टोपोलॉजी) में एक सामान्य शोधन होता है, एक एकल त्रिभुज जो उन दोनों का एक उपखंड है। यह मूल रूप से 1908 में [[अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़]] और [[हेनरिक फ्रांज फ्रेडरिक टिट्ज़]] द्वारा तैयार किया गया था।<ref>{{Cite web|url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/haupt/|title=Triangulation and the Hauptvermutung|website=www.maths.ed.ac.uk|access-date=2019-11-12}}</ref>

क्यू तत्वों के साथ एक परिमित क्षेत्र पर एक किस्म वी में परिमेय बिंदुओं की एक परिमित संख्या होती है, साथ ही क्यू के साथ हर परिमित क्षेत्र पर अंक होते हैं।^k उस फ़ील्ड वाले तत्व। जनरेटिंग फ़ंक्शन में संख्या N से प्राप्त गुणांक होते हैं_''k'' क्यू के साथ (अनिवार्य रूप से अद्वितीय) फ़ील्ड पर अंक^{कश्मीर} तत्व।

 

 

{{main|Poincaré conjecture}} गणित में, पॉइंकेयर अनुमान [[3-क्षेत्र]] के लक्षण वर्णन (गणित) के बारे में एक प्रमेय है, जो हाइपरस्फीयर है जो [[यूनिट बॉल]] को चार-आयामी अंतरिक्ष में बांधता है। अनुमान कहता है कि: {{quote|Every [[simply connected]], [[closed manifold|closed]] 3-[[manifold]] is [[homeomorphic]] to the 3-sphere.|sign=|source=}} अनुमान के समतुल्य रूप में होमोमोर्फिज्म की तुलना में समरूपता का एक मोटा रूप शामिल होता है जिसे होमोटोपी समतुल्य कहा जाता है: यदि [[3-कई गुना]] होमोटोपी 3-क्षेत्र के बराबर है, तो यह आवश्यक रूप से होमोमोर्फिक है।

मूल रूप से 1904 में हेनरी पोंकारे द्वारा अनुमानित, प्रमेय एक ऐसे स्थान से संबंधित है जो स्थानीय रूप से सामान्य त्रि-आयामी अंतरिक्ष की तरह दिखता है लेकिन जुड़ा हुआ है, आकार में परिमित है, और किसी भी सीमा का अभाव है (एक [[बंद कई गुना]] 3-कई गुना)। पोंकारे अनुमान का दावा है कि यदि ऐसी जगह में अतिरिक्त संपत्ति है कि अंतरिक्ष में प्रत्येक [[पथ (टोपोलॉजी)]] को एक बिंदु पर लगातार कड़ा किया जा सकता है, तो यह अनिवार्य रूप से एक त्रि-आयामी क्षेत्र है। कुछ समय के लिए एक सामान्यीकृत पोंकारे अनुमान उच्च आयामों में जाना जाता है।

गणितज्ञों द्वारा लगभग एक सदी के प्रयास के बाद, [[त्वरित पेरेलमैन]] ने 2002 और 2003 में [[arXiv]] पर उपलब्ध कराए गए तीन पत्रों में अनुमान का प्रमाण प्रस्तुत किया। समस्या को हल करने का प्रयास करने के लिए [[रिक्की प्रवाह]] का उपयोग करने के लिए रिचर्ड एस। हैमिल्टन के कार्यक्रम से सबूत का पालन किया गया। हैमिल्टन ने बाद में मानक रिक्की प्रवाह का एक संशोधन पेश किया, जिसे सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह कहा जाता है, ताकि एक नियंत्रित तरीके से व्यवस्थित रूप से एकवचन क्षेत्रों को विकसित किया जा सके, लेकिन यह साबित करने में असमर्थ था कि यह विधि तीन आयामों में परिवर्तित हो गई है।<ref>{{cite journal | last = Hamilton | first = Richard S. | author-link = Richard S. Hamilton | title = Four-manifolds with positive isotropic curvature | journal = Communications in Analysis and Geometry | volume = 5 | issue = 1 | pages = 1&ndash;92 | year = 1997 | doi =  10.4310/CAG.1997.v5.n1.a1| mr = 1456308 | zbl = 0892.53018| doi-access = free }}</ref> पेरेलमैन ने सबूत के इस हिस्से को पूरा किया। गणितज्ञों की कई टीमों ने सत्यापित किया है कि पेरेलमैन का प्रमाण सही है।

सिद्ध होने से पहले पोंकारे अनुमान, [[टोपोलॉजी]] में सबसे महत्वपूर्ण खुले प्रश्नों में से एक था।

गणित में, रीमैन परिकल्पना, द्वारा प्रस्तावित {{harvs|txt|first=Bernhard|last= Riemann|year=1859|author-link=Bernhard Riemann}}, एक अनुमान है कि Riemann zeta फ़ंक्शन के सभी गैर-तुच्छ रूटों का [[वास्तविक भाग]] 1/2 है। नाम का उपयोग कुछ निकट संबंधी अनुरूपताओं के लिए भी किया जाता है, जैसे परिमित क्षेत्रों पर घटता के लिए रीमैन परिकल्पना।

रीमैन परिकल्पना का अर्थ है अभाज्य संख्याओं के वितरण के बारे में परिणाम। उपयुक्त सामान्यीकरणों के साथ, कुछ गणितज्ञ इसे [[शुद्ध गणित]] की सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्या मानते हैं।<ref>{{Cite web|url=http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf|title=The Riemann Hypothesis – official problem description|last=Bombieri|first=Enrico|date=2000|website=Clay Mathematics Institute|access-date=2019-11-12}}</ref> रिमेंन परिकल्पना, [[गोल्डबैक अनुमान]] के साथ, [[डेविड हिल्बर्ट]] की हिल्बर्ट की समस्याओं की सूची में हिल्बर्ट की आठवीं समस्या का हिस्सा है; यह [[मिट्टी गणित संस्थान]] [[मिलेनियम पुरस्कार समस्याएं]] में से एक है।

[[पी बनाम एनपी समस्या]] कंप्यूटर विज्ञान में अनसुलझी समस्याओं की एक प्रमुख सूची है। अनौपचारिक रूप से, यह पूछता है कि क्या प्रत्येक समस्या जिसका समाधान एक कंप्यूटर द्वारा शीघ्रता से सत्यापित किया जा सकता है, एक कंप्यूटर द्वारा भी शीघ्रता से हल किया जा सकता है; यह व्यापक रूप से अनुमान लगाया जाता है कि उत्तर नहीं है। अनिवार्य रूप से पहली बार 1956 में कर्ट गोडेल द्वारा [[जॉन वॉन न्यूमैन]] को लिखे गए पत्र में इसका उल्लेख किया गया था। गोडेल ने पूछा कि क्या एक निश्चित एनपी-पूर्ण समस्या को द्विघात या रैखिक समय में हल किया जा सकता है।<ref>Juris Hartmanis 1989, [http://ecommons.library.cornell.edu/bitstream/1813/6910/1/89-994.pdf Gödel, von Neumann, and the P = NP problem], Bulletin of the

European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, pp. 101–107</ref> पी = एनपी समस्या का सटीक बयान 1971 में [[स्टीफन कुक]] ने अपने सेमिनल पेपर प्रमेय साबित करने की प्रक्रियाओं की जटिलता में पेश किया था।<ref>{{Cite book|last=Cook|first=Stephen|author-link=Stephen Cook|year=1971|chapter=The complexity of theorem proving procedures|chapter-url=http://portal.acm.org/citation.cfm?coll=GUIDE&dl=GUIDE&id=805047|title=Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing|pages=151–158|doi=10.1145/800157.805047|isbn=9781450374644|s2cid=7573663}}</ref> और कई लोगों द्वारा इसे क्षेत्र की सबसे महत्वपूर्ण खुली समस्या माना जाता है।<ref>[[Lance Fortnow]], [https://wayback.archive-it.org/all/20110224135332/http://www.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/pnp-cacm.pdf ''The status of the '''P''' versus '''NP''' problem''], Communications of the ACM 52 (2009), no.&nbsp;9, pp.&nbsp;78–86. {{doi|10.1145/1562164.1562186}}</ref> क्ले मैथमैटिक्स इंस्टीट्यूट द्वारा चुने गए सात सहस्राब्दी पुरस्कार समस्याओं में से एक यह है कि पहले सही समाधान के लिए यूएस $ 1,000,000 का पुरस्कार दिया जाए।

* दूसरा हार्डी-लिटिलवुड अनुमान | हार्डी-लिटिलवुड अनुमान अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित अनुमानों की एक जोड़ी है, जिनमें से पहला पूर्वोक्त जुड़वां प्रधान अनुमान पर विस्तार करता है। न तो कोई सिद्ध हुआ है और न ही असिद्ध, लेकिन यह सिद्ध हो चुका है कि दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते (यानी, कम से कम एक असत्य होना चाहिए)। यह सिद्ध नहीं हुआ है कि कौन सा गलत है, लेकिन यह व्यापक रूप से माना जाता है कि पहला अनुमान सत्य है और दूसरा असत्य है।<ref>{{cite journal | first=Ian | last=Richards | title=On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes | journal=Bull. Amer. Math. Soc. | volume=80 | pages=419–438 | year=1974 | doi=10.1090/S0002-9904-1974-13434-8 | doi-access=free }}</ref>

* [[लैंगलैंड्स कार्यक्रम]]<ref>{{citation|last=Langlands|first=Robert|title=Letter to Prof. Weil|year=1967|url=http://publications.ias.edu/rpl/section/21}}</ref> '[[एकीकृत अनुमान]]' के इन विचारों का एक दूरगामी जाल है जो गणित के विभिन्न उपक्षेत्रों को जोड़ता है (उदाहरण के लिए संख्या सिद्धांत और लाई समूहों के [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] के बीच)। इनमें से कुछ अनुमान तब से सिद्ध हो चुके हैं।

औपचारिक गणित सिद्ध सत्य पर आधारित है। गणित में, [[सार्वभौमिक रूप से परिमाणित]] अनुमान का समर्थन करने वाले मामलों की संख्या, चाहे वह कितना भी बड़ा क्यों न हो, अनुमान की सत्यता स्थापित करने के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि एक एकल प्रति उदाहरण अनुमान को तुरंत नीचे ला सकता है। गणितीय पत्रिकाएं कभी-कभी अनुसंधान टीमों के मामूली परिणामों को प्रकाशित करती हैं, जिन्होंने पहले की तुलना में एक प्रतिउदाहरण के लिए खोज को आगे बढ़ाया है। उदाहरण के लिए, Collatz अनुमान, जो इस बात से संबंधित है कि पूर्णांकों के कुछ [[अनुक्रम]] समाप्त होते हैं या नहीं, 1.2 × 10 तक सभी पूर्णांकों के लिए परीक्षण किया गया है।¹² (एक ट्रिलियन से अधिक)। हालांकि, व्यापक खोज के बाद एक प्रतिउदाहरण खोजने में विफलता इस बात का प्रमाण नहीं है कि अनुमान सत्य है - क्योंकि अनुमान गलत हो सकता है लेकिन एक बहुत बड़े न्यूनतम प्रति उदाहरण के साथ।

फिर भी, गणितज्ञ अक्सर एक अनुमान को साक्ष्य द्वारा दृढ़ता से समर्थित मानते हैं, हालांकि अभी तक सिद्ध नहीं हुआ है। वह साक्ष्य विभिन्न प्रकार के हो सकते हैं, जैसे कि उसके परिणामों का सत्यापन या ज्ञात परिणामों के साथ मजबूत अंतर्संबंध।<ref>{{cite journal |last1=Franklin |first1=James  |date=2016 |title=Logical probability and the strength of mathematical conjectures |url=https://web.maths.unsw.edu.au/~jim/logicalprobabilitymathintelldraft.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20170309031840/http://web.maths.unsw.edu.au/~jim/logicalprobabilitymathintelldraft.pdf |archive-date=2017-03-09 |url-status=live |journal=Mathematical Intelligencer |volume=38 |issue=3 |pages=14–19 |doi=10.1007/s00283-015-9612-3 |s2cid=30291085 |access-date=30 June 2021}}</ref>

सबूत की एक विधि, लागू होती है जब मामलों की केवल एक सीमित संख्या होती है जो प्रति-उदाहरण का कारण बन सकती है, [[थकावट से सबूत]] के रूप में जाना जाता है: इस दृष्टिकोण में, सभी संभावित मामलों पर विचार किया जाता है और प्रति-उदाहरण नहीं देने के लिए दिखाया जाता है। कुछ अवसरों में, मामलों की संख्या काफी बड़ी होती है, ऐसे में सभी मामलों की जांच के लिए एक क्रूर-बल प्रमाण के लिए एक व्यावहारिक मामले के रूप में कंप्यूटर एल्गोरिदम के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, कंप्यूटर द्वारा चार रंग प्रमेय के 1976 और 1997 के क्रूर-बल प्रमाण की वैधता पर शुरू में संदेह किया गया था, लेकिन अंततः 2005 में प्रमेय-सिद्ध सॉफ़्टवेयर द्वारा इसकी पुष्टि की गई।

जब एक अनुमान [[गणितीय प्रमाण]] हो गया है, तो यह अब अनुमान नहीं है बल्कि एक प्रमेय है। कई महत्वपूर्ण प्रमेय एक बार अनुमान थे, जैसे कि ज्यामितिकरण अनुमान (जिसने पॉइनकेयर अनुमान को हल किया), फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय, और अन्य।

हर अनुमान सही या गलत साबित नहीं होता। सातत्य परिकल्पना, जो कुछ [[अनंत सेट]]ों की सापेक्ष कार्डिनल संख्या का पता लगाने की कोशिश करती है, को अंततः सेट सिद्धांत के ज़र्मेलो-फ्रेंकेल [[स्वयंसिद्ध]]ों के आम तौर पर स्वीकृत सेट से [[स्वतंत्रता (गणितीय तर्क)]] के रूप में दिखाया गया था। इसलिए इस कथन को, या इसके निषेध को एक सुसंगत तरीके से एक नए स्वयंसिद्ध के रूप में अपनाना संभव है (जैसा कि [[यूक्लिड]] के [[समानांतर अभिधारणा]] को ज्यामिति के लिए एक स्वयंसिद्ध प्रणाली में या तो सत्य या असत्य के रूप में लिया जा सकता है)।