ऑपरेटर मानदंड: Difference between revisions

Revision as of 21:53, 11 July 2023

गणित में, ऑपरेटर मानदंड प्रत्येक रैखिक ऑपरेटरों के "आकार" को मापता है, प्रत्येक को एक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करके‚ जिसे उसका ऑपरेटर मानदंड कहा जाता है। औपचारिक रूप से, यह दो दिए गए मानक सदिश स्थानों के मध्य बंधे हुए रैखिक ऑपरेटरों के स्थान पर परिभाषित एक मानक है। अनौपचारिक रूप से, ऑपरेटर मानदंड $\|T\|$ एक रेखीय मानचित्र का $T:X\to Y$ वह अधिकतम कारक है जिसके द्वारा यह सदिशों को "लंबा" करता है।

परिचय एवं परिभाषा

दो मानक सदिश स्थान दिए गए हैं $V$ और $W$ (उसी आधार क्षेत्र पर, या तब वास्तविक संख्याएँ $\mathbb {R}$ या सम्मिश्र संख्याएँ $\mathbb {C}$ ), एक रेखीय मानचित्र $A:V\to W$ सतत है यदि और केवल तभी जब कोई वास्तविक संख्या उपस्तिथ हो $c$ इस प्रकार है कि^[1]

\|Av\|\leq c\|v\|\quad {\mbox{ for all }}v\in V.

बायीं ओर का मानक अंदर वाला है

W

और दाहिनी ओर का मानदंड अंदर वाला है।

$V$ सहज रूप से, सतत संचालक $A$ कभी भी किसी सदिश की लंबाई को एक गुणनखंड से अधिक नहीं बढ़ाता है $c$ इस प्रकार एक सतत ऑपरेटर के अनुसार एक परिबद्ध समूह की छवि (गणित) भी परिबद्ध है। इस गुण के कारण, सतत रैखिक ऑपरेटरों को परिबद्ध ऑपरेटरों के रूप में भी जाना जाता है।

$A,$ कोई अधिकतम संख्या ले सकता है $c$ इस प्रकार कि उपरोक्त असमानता सभी पर प्रयुक्त होती है $v\in V.$ यह संख्या अधिकतम अदिश गुणनखंड को दर्शाती है $A$ सदिशों को लंबा करता है।

दूसरे शब्दों में, का "आकार" $A$ इसे इस बात से मापा जाता है कि यह सबसे बड़े स्थितियों में वैक्टर को कितना "लंबा" करता है। तब हम ऑपरेटर मानदंड को परिभाषित करते हैं $A$ जैसा

\|A\|_{op}=\inf\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\mbox{ for all }}v\in V\}.

ऐसे सभी के समुच्चय के रूप में अनंत को प्राप्त किया जाता है

c

नीचे से बंद समूह, खाली समूह और बंधा हुआ समूह है।^[2]

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह ऑपरेटर मानदंड मानक सदिश रिक्त स्थान के लिए मानदंडों की पसंद पर निर्भर करता है $V$ और $W$ .

उदाहरण

हर वास्तविक $m$ -द्वारा- $n$ आव्युह (गणित) से एक रेखीय मानचित्र से मेल खाती है $\mathbb {R} ^{n}$ को $\mathbb {R} ^{m}.$ वास्तविक सदिश स्थानों पर प्रयुक्त (सदिश) मानदंड (गणित) की बहुतायत की यह जोड़ी सभी के लिए एक ऑपरेटर मानदंड उत्पन्न करती है $m$ -द्वारा- $n$ वास्तविक संख्याओं के आव्यूह; यह प्रेरित मानदंड आव्युह मानदंडों का एक उपसमूह बनाते हैं।

यदि हम विशेष रूप से दोनों पर यूक्लिडियन मानदंड चुनते हैं $\mathbb {R} ^{n}$ और $\mathbb {R} ^{m},$ फिर आव्युह को दिया गया आव्युह मानदंड $A$ आव्युह के सबसे बड़े आइगेनवैल्यू का वर्गमूल है $A^{*}A$ (कहाँ $A^{*}$ के संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है $A$ ).^[3] यह का सबसे बड़ा एकवचन मान निर्दिष्ट करने के सामान्तर है $A.$

एक विशिष्ट अनंत-आयामी उदाहरण से गुजरते हुए, अनुक्रम स्थान पर विचार करें $\ell ^{2},$ जो कि एक एलपी स्पेस है। जिसे एल^पीस्पेस, द्वारा परिभाषित किया गया है

l^{2} = {(a_{n})

[1]

[2]

[3]

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 {{Short description|Measure of the "size" of linear operators}}
-गणित में, ऑपरेटर मानदंड प्रत्येक [[रैखिक ऑपरेटर]] को एक [[वास्तविक संख्या]] निर्दिष्ट करके उसके आकार को मापता है {{em|operator norm}}. औपचारिक रूप से, यह दो दिए गए मानक सदिश स्थानों के मध्य बंधे हुए रैखिक ऑपरेटरों के स्थान पर परिभाषित एक नॉर्म (गणित) है। अनौपचारिक रूप से, ऑपरेटर मानदंड <math>\|T\|</math> एक रेखीय मानचित्र का <math>T : X \to Y</math> वह अधिकतम कारक है जिसके द्वारा यह सदिशों को लंबा करता है।
+गणित में, '''ऑपरेटर मानदंड''' प्रत्येक [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक ऑपरेटरों]]  के "आकार" को मापता है, प्रत्येक को एक [[वास्तविक संख्या]] निर्दिष्ट करके‚ जिसे उसका ऑपरेटर मानदंड कहा जाता है। औपचारिक रूप से, यह दो दिए गए मानक सदिश स्थानों के मध्य बंधे हुए रैखिक ऑपरेटरों के स्थान पर परिभाषित एक मानक है। अनौपचारिक रूप से, ऑपरेटर मानदंड <math>\|T\|</math> एक रेखीय मानचित्र का <math>T : X \to Y</math> वह अधिकतम कारक है जिसके द्वारा यह सदिशों को "लंबा" करता है।
 ==परिचय एवं परिभाषा==
-दो मानक सदिश स्थान दिए गए हैं <math>V</math> और <math>W</math> (उसी आधार क्षेत्र (गणित) पर, या तब वास्तविक संख्याएँ <math>\R</math> या सम्मिश्र संख्याएँ <math>\Complex</math>), एक [[रेखीय मानचित्र]] <math>A : V \to W</math> सतत है यदि और केवल तभी जब कोई वास्तविक संख्या उपस्तिथ हो <math>c</math> ऐसा है कि<ref>{{Citation|last1=Kreyszig|first1=Erwin|title=Introductory functional analysis with applications|publisher=John Wiley & Sons|year=1978|isbn=9971-51-381-1|page=97}}</ref>
+दो मानक सदिश स्थान दिए गए हैं <math>V</math> और <math>W</math> (उसी आधार क्षेत्र  पर, या तब वास्तविक संख्याएँ <math>\R</math> या सम्मिश्र संख्याएँ <math>\Complex</math>), एक [[रेखीय मानचित्र]] <math>A : V \to W</math> सतत है यदि और केवल तभी जब कोई वास्तविक संख्या उपस्तिथ हो <math>c</math> इस प्रकार है कि<ref>{{Citation|last1=Kreyszig|first1=Erwin|title=Introductory functional analysis with applications|publisher=John Wiley & Sons|year=1978|isbn=9971-51-381-1|page=97}}</ref>
 <math display="block">\|Av\| \leq c \|v\| \quad \mbox{ for all } v\in V.</math>
-बायीं ओर का मानक अंदर वाला है <math>W</math> और दाहिनी ओर का मानक अंदर वाला है <math>V</math>.
+बायीं ओर का मानक अंदर वाला है <math>W</math> और दाहिनी ओर का मानदंड अंदर वाला है।
-सहज रूप से, सतत संचालक <math>A</math> कभी भी किसी सदिश की लंबाई को एक गुणनखंड से अधिक नहीं बढ़ाता <math>c.</math> इस प्रकार एक सतत ऑपरेटर के अनुसार  एक परिबद्ध समूह की [[छवि (गणित)]] भी परिबद्ध है। इस गुण के कारण , सतत रैखिक ऑपरेटरों को परिबद्ध ऑपरेटरों के रूप में भी जाना जाता है।
-का आकार मापने के लिए <math>A,</math> कोई अधिकतम संख्या ले सकता है <math>c</math> इस प्रकार कि उपरोक्त असमानता सभी पर प्रयुक्त होती है <math>v \in V.</math> यह संख्या अधिकतम अदिश गुणनखंड को दर्शाती है <math>A</math> सदिशों को लंबा करता है।
+<math>V</math> सहज रूप से, सतत संचालक <math>A</math> कभी भी किसी सदिश की लंबाई को एक गुणनखंड से अधिक नहीं बढ़ाता है <math>c</math> इस प्रकार एक सतत ऑपरेटर के अनुसार  एक परिबद्ध समूह की [[छवि (गणित)]] भी परिबद्ध है। इस गुण के कारण, सतत रैखिक ऑपरेटरों को परिबद्ध ऑपरेटरों के रूप में भी जाना जाता है।
-दूसरे शब्दों में, का आकार <math>A</math> इसे इस बात से मापा जाता है कि यह सबसे बड़े स्थितियों में वैक्टर को कितना लंबा करता है। तब हम ऑपरेटर मानदंड को परिभाषित करते हैं <math>A</math> जैसा
+<math>A,</math> कोई अधिकतम संख्या ले सकता है <math>c</math> इस प्रकार कि उपरोक्त असमानता सभी पर प्रयुक्त होती है <math>v \in V.</math> यह संख्या अधिकतम अदिश गुणनखंड को दर्शाती है <math>A</math> सदिशों को लंबा करता है।
+दूसरे शब्दों में, का "आकार"<math>A</math> इसे इस बात से मापा जाता है कि यह सबसे बड़े स्थितियों में वैक्टर को कितना "लंबा" करता है। तब हम ऑपरेटर मानदंड को परिभाषित करते हैं <math>A</math> जैसा
 <math display="block">\|A\|_{op} = \inf\{ c \geq 0 : \|Av\| \leq c \|v\| \mbox{ for all } v \in V \}.</math>
 ऐसे सभी के समुच्चय के रूप में अनंत को प्राप्त किया जाता है <math>c</math> नीचे से [[बंद सेट|बंद समूह]], [[खाली सेट|खाली समूह]] और [[बंधा हुआ सेट|बंधा हुआ समूह]] है।<ref>See e.g. Lemma 6.2 of {{harvtxt|Aliprantis|Border|2007}}.</ref>
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 == उदाहरण ==
-हर वास्तविक <math>m</math>-द्वारा-<math>n</math> [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्युह (गणित)]] से एक रेखीय मानचित्र से मेल खाती है <math>\R^n</math> को <math>\R^m.</math> वास्तविक सदिश स्थानों पर प्रयुक्त (सदिश) मानदंड (गणित) की बहुतायत की यह जोड़ी सभी के लिए एक ऑपरेटर मानदंड उत्पन्न करती है <math>m</math>-द्वारा-<math>n</math> वास्तविक संख्याओं के आव्यूह; यह प्रेरित मानदंड [[मैट्रिक्स मानदंड|आव्युह मानदंड]]ों का एक उपसमूह बनाते हैं।
+हर वास्तविक <math>m</math>-द्वारा-<math>n</math> [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्युह (गणित)]] से एक रेखीय मानचित्र से मेल खाती है <math>\R^n</math> को <math>\R^m.</math> वास्तविक सदिश स्थानों पर प्रयुक्त (सदिश) मानदंड (गणित) की बहुतायत की यह जोड़ी सभी के लिए एक ऑपरेटर मानदंड उत्पन्न करती है <math>m</math>-द्वारा-<math>n</math> वास्तविक संख्याओं के आव्यूह; यह प्रेरित मानदंड [[मैट्रिक्स मानदंड|आव्युह मानदंडों]] का एक उपसमूह बनाते हैं।
 यदि हम विशेष रूप से दोनों पर [[यूक्लिडियन मानदंड]] चुनते हैं <math>\R^n</math> और <math>\R^m,</math> फिर आव्युह को दिया गया आव्युह मानदंड <math>A</math> आव्युह के सबसे बड़े [[eigenvalue|आइगेनवैल्यू]] का [[वर्गमूल]] है <math>A^{*} A</math> (कहाँ <math>A^{*}</math> के संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है <math>A</math>).<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/OperatorNorm.html|title=ऑपरेटर नॉर्म|last=Weisstein|first=Eric W.|authorlink = Eric W. Weisstein|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-03-14}}</ref> यह का सबसे बड़ा एकवचन मान निर्दिष्ट करने के सामान्तर है <math>A.</math>
-एक विशिष्ट अनंत-आयामी उदाहरण से गुजरते हुए, [[अनुक्रम स्थान]] पर विचार करें <math>\ell^2,</math> जो कि एक एलपी स्पेस है|एल<sup>पी</sup>स्पेस, द्वारा परिभाषित
+एक विशिष्ट अनंत-आयामी उदाहरण से गुजरते हुए, [[अनुक्रम स्थान]] पर विचार करें <math>\ell^2,</math> जो कि एक एलपी स्पेस है। जिसे एल<sup>पी</sup>स्पेस, द्वारा परिभाषित किया गया है
 <math display="block">l^2 = \left\{ \left(a_n\right)_{n \geq 1} : \; a_n \in \Complex, \; \sum_n |a_n|^2 < \infty \right\}.</math>
 इसे यूक्लिडियन अंतरिक्ष के अनंत-आयामी एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है <math>\Complex^n.</math> अभी एक बंधे हुए अनुक्रम पर विचार करें <math>s_{\bull} = \left(s_n\right)_{n=1}^{\infty}.</math> क्रम <math>s_{\bull}</math> अंतरिक्ष का एक तत्व है <math>\ell^{\infty},</math> द्वारा दिए गए एक मानदंड के साथ

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