डायगामा फंक्शन: Difference between revisions
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:<math>\exp \psi(x)\in\left(x-\tfrac12,x\right).</math> | :<math>\exp \psi(x)\in\left(x-\tfrac12,x\right).</math> | ||
इस प्रकार से उच्च x के लिए घातीय व्यय {{math| ''ψ''(''x'')}} लगभग {{math|''x'' − 1/2}} है, | इस प्रकार से उच्च x के लिए घातीय व्यय {{math| ''ψ''(''x'')}} लगभग {{math|''x'' − 1/2}} है, जिससे छोटे {{mvar|x}}, पर {{mvar|x}}, के समीप हो जाता है ,{{math|''x'' {{=}} 0}}. पर 0 के समीप पहुंच जाता है। {{math|''x'' < 1}} के लिए, हम इस तथ्य के आधार पर सीमा की गणना कर सकते हैं कि ''1'' और ''2'' के मध्य , {{math|''ψ''(''x'') ∈ [−''γ'', 1 − ''γ'']}} इसलिए | ||
:<math>\psi(x)\in\left(-\frac{1}{x}-\gamma, 1-\frac{1}{x}-\gamma\right),\quad x\in(0, 1)</math> | :<math>\psi(x)\in\left(-\frac{1}{x}-\gamma, 1-\frac{1}{x}-\gamma\right),\quad x\in(0, 1)</math> | ||
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:<math> \frac{1}{\exp \psi(x)} \sim \frac{1}{x}+\frac{1}{2\cdot x^2}+\frac{5}{4\cdot3!\cdot x^3}+\frac{3}{2\cdot4!\cdot x^4}+\frac{47}{48\cdot5!\cdot x^5} - \frac{5}{16\cdot6!\cdot x^6} + \cdots</math> | :<math> \frac{1}{\exp \psi(x)} \sim \frac{1}{x}+\frac{1}{2\cdot x^2}+\frac{5}{4\cdot3!\cdot x^3}+\frac{3}{2\cdot4!\cdot x^4}+\frac{47}{48\cdot5!\cdot x^5} - \frac{5}{16\cdot6!\cdot x^6} + \cdots</math> | ||
यह टेलर के विस्तार के समान है {{math|exp(−''ψ''(1 / ''y''))}} पर {{math|''y'' {{=}} 0}}, | यह टेलर के विस्तार के समान है {{math|exp(−''ψ''(1 / ''y''))}} पर {{math|''y'' {{=}} 0}}, जिससे यह अभिसरण नहीं होता है।<ref>If it converged to a function {{math|''f''(''y'')}} then {{math|ln(''f''(''y'') / ''y'')}} would have the same [[Maclaurin series]] as {{math|ln(1 / ''y'') − ''φ''(1 / ''y'')}}. But this does not converge because the series given earlier for {{math|''φ''(''x'')}} does not converge.</ref> (फलन अनंत पर विश्लेषणात्मक फलन नहीं है।) समान श्रृंखला उपस्तिथ है {{math|exp(''ψ''(''x''))}} जो शुरू होता है <math>\exp \psi(x) \sim x- \frac 12.</math> | ||
यदि कोई इसके लिए स्पर्शोन्मुख श्रृंखला की गणना करता है {{math|''ψ''(''x''+1/2)}} इससे पता चलता है कि कोई विषम शक्तियाँ नहीं हैं {{mvar|x}} (कोई नहीं है {{mvar|x}}<sup>−1</sup>पद). इससे निम्नलिखित असममित विस्तार होता है, जो सम क्रम की कंप्यूटिंग शर्तों को बचाता है। | यदि कोई इसके लिए स्पर्शोन्मुख श्रृंखला की गणना करता है {{math|''ψ''(''x''+1/2)}} इससे पता चलता है कि कोई विषम शक्तियाँ नहीं हैं {{mvar|x}} (कोई नहीं है {{mvar|x}}<sup>−1</sup>पद). इससे निम्नलिखित असममित विस्तार होता है, जो सम क्रम की कंप्यूटिंग शर्तों को बचाता है। | ||
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:<math>\operatorname{Re} \psi(i) = -\gamma-\sum_{n=0}^\infty\frac{n-1}{n^3+n^2+n+1} \approx 0.09465.</math> | :<math>\operatorname{Re} \psi(i) = -\gamma-\sum_{n=0}^\infty\frac{n-1}{n^3+n^2+n+1} \approx 0.09465.</math> | ||
==डिगामा फलन की जड़ें == | ==डिगामा फलन की जड़ें == | ||
'''डिगामा फलन की जड़ें जटिल-मूल्यवान गामा फलन के सैडल बिंदु हैं। इस प्रकार वे सभी वास्तविक रेखा पर स्थित हैं#वास्तविक बीजगणित में। [[सकारात्मक वास्तविक अक्ष]] पर एकमात्र वास्तविक-मूल्यवान गामा फलन का अद्वितीय न्यूनतम है {{math|'''[[Real number|R]]'''<sup>+</sup>}} पर''' {{math|''x''<sub>0</sub> {{=}} {{val|1.46163214496836234126}}...}}. अन्य सभी ऋणात्मक अक्ष पर ध्रुवों के मध्य एकल होते हैं: | |||
डिगामा फलन के मूल कॉम्प्लेक्स-मूल्यवान गामा फलन के सैडल बिंदु हैं। इस प्रकार वे सभी वास्तविक रेखाएँ #वास्तविक बीजगणित में स्थित हैं। सकारात्मक वास्तविक अक्षर पर वास्तविक वास्तविक-मूल्यवान गामा फलन का अद्वितीय न्यूनतम है '''डिगामा फलन की जड़ें जटिल-मूल्यवान गामा फलन के सैडल बिंदु हैं। इस प्रकार वे सभी वास्तविक रेखा पर स्थित हैं#वास्तविक बीजगणित में। [[सकारात्मक वास्तविक अक्ष]] पर एकमात्र वास्तविक-मूल्यवान गामा फलन का अद्वितीय न्यूनतम है {{math|'''[[Real number|R]]'''<sup>+</sup>}} पर'''{{math|''x''<sub>0</sub> {{=}} {{val|1.46163214496836234126}}...}}. अन्य सभी ऋणात्मक अक्ष पर ध्रुवों के मध्य एकल होते हैं: | |||
:{{math|''x''<sub>1</sub> {{=}} {{val|-0.50408300826445540925}}...}} | :{{math|''x''<sub>1</sub> {{=}} {{val|-0.50408300826445540925}}...}} | ||
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:<math>x_n = -n + \frac{1}{\ln n} + O\left(\frac{1}{(\ln n)^2}\right)</math> | :<math>x_n = -n + \frac{1}{\ln n} + O\left(\frac{1}{(\ln n)^2}\right)</math> | ||
स्पर्शोन्मुख रूप से धारण करता है। जड़ों के स्थान का | स्पर्शोन्मुख रूप से धारण करता है। जड़ों के स्थान का उत्तम अनुमान इसके द्वारा दिया गया है | ||
:<math>x_n \approx -n + \frac{1}{\pi}\arctan\left(\frac{\pi}{\ln n}\right)\qquad n \ge 2</math> | :<math>x_n \approx -n + \frac{1}{\pi}\arctan\left(\frac{\pi}{\ln n}\right)\qquad n \ge 2</math> | ||
और और शब्द का प्रयोग करने पर यह और भी | और और शब्द का प्रयोग करने पर यह और भी उत्तम हो जाता है | ||
:<math>x_n \approx -n + \frac{1}{\pi}\arctan\left(\frac{\pi}{\ln n + \frac{1}{8n}}\right)\qquad n \ge 1</math> | :<math>x_n \approx -n + \frac{1}{\pi}\arctan\left(\frac{\pi}{\ln n + \frac{1}{8n}}\right)\qquad n \ge 1</math> | ||
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:<math>0 = \psi(1-x_n) = \psi(x_n) + \frac{\pi}{\tan \pi x_n}</math> | :<math>0 = \psi(1-x_n) = \psi(x_n) + \frac{\pi}{\tan \pi x_n}</math> | ||
और | और {{math|''ψ''(''x<sub>n</sub>'')}} प्रतिस्थापित करना इसके अभिसारी स्पर्शोन्मुख विस्तार द्वारा नहीं। इस विस्तार का सही दूसरा पद {{math|1 / 2''n''}} है , जहां दिया गया छोटा {{mvar|n}} के साथ जड़ों का अनुमान लगाने में अच्छा काम करता है . | ||
हर्माइट के सूत्र का और सुधार दिया जा सकता है:<ref name=MezoHoffman/>:<math> | हर्माइट के सूत्र का और सुधार दिया जा सकता है:<ref name=MezoHoffman/> :<math> | ||
x_n=-n+\frac1{\log n}-\frac1{2n(\log n)^2}+O\left(\frac1{n^2(\log n)^2}\right). | x_n=-n+\frac1{\log n}-\frac1{2n(\log n)^2}+O\left(\frac1{n^2(\log n)^2}\right). | ||
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शून्य के संबंध में, निम्नलिखित अनंत योग पहचान | |||
शून्य के संबंध में, निम्नलिखित अनंत योग पहचान वर्तमान समय में इस्तवान मेज़ो और माइकल हॉफमैन द्वारा सिद्ध की गई थीं<ref name="MezoHoffman">{{cite journal |first1=István |last1=Mező | first2=Michael E. | last2=Hoffman |title=डिगामा फ़ंक्शन के शून्य और इसके बार्न्स ''जी''-फ़ंक्शन एनालॉग|journal=Integral Transforms and Special Functions |volume=28 | | |||
date=2017|issue=11|pages=846–858|doi=10.1080/10652469.2017.1376193|s2cid=126115156 }}</ref><ref> | date=2017|issue=11|pages=846–858|doi=10.1080/10652469.2017.1376193|s2cid=126115156 }}</ref><ref> | ||
{{cite arXiv | {{cite arXiv | ||
| Line 371: | Line 374: | ||
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^4}&=\gamma^4+\frac{\pi^4}{9} + \frac23 \gamma^2 \pi^2 + 4\gamma\zeta(3). | \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^4}&=\gamma^4+\frac{\pi^4}{9} + \frac23 \gamma^2 \pi^2 + 4\gamma\zeta(3). | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
सामान्यतः , फलन | |||
:<math> | :<math> | ||
Z(k)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^k} | Z(k)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^k} | ||
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निर्धारित किया जा सकता है और उद्धृत लेखकों द्वारा इसका विस्तार से अध्ययन किया गया है। | निर्धारित किया जा सकता है और उद्धृत लेखकों द्वारा इसका विस्तार से अध्ययन किया गया है। | ||
निम्नलिखित परिणाम<ref name=MezoHoffman/>:<math>\begin{align} | निम्नलिखित परिणाम<ref name=MezoHoffman/> :<math>\begin{align} | ||
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^2+x_n}&=-2, \\ | \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^2+x_n}&=-2, \\ | ||
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^2-x_n}&=\gamma+\frac{\pi^2}{6\gamma} | \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^2-x_n}&=\gamma+\frac{\pi^2}{6\gamma} | ||
| Line 387: | Line 390: | ||
:<math> \int_0^\infty \frac{dx}{x+a},</math> | :<math> \int_0^\infty \frac{dx}{x+a},</math> | ||
इस अभिन्न को भिन्न सामान्य हार्मोनिक श्रृंखला द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, | इस अभिन्न को भिन्न सामान्य हार्मोनिक श्रृंखला द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जिससे निम्नलिखित मान को श्रृंखला से जोड़ा जा सकता है | ||
:<math> \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+a}= - \psi (a).</math> | :<math> \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+a}= - \psi (a).</math> | ||
| Line 403: | Line 406: | ||
<ref name="Weissstein">{{mathworld|urlname=DigammaFunction|title=Digamma function}}</ref> | <ref name="Weissstein">{{mathworld|urlname=DigammaFunction|title=Digamma function}}</ref> | ||
</references> | </references> | ||
==बाहरी संबंध== | ==बाहरी संबंध== | ||
Revision as of 22:03, 8 July 2023
गणित में, डिगामा फलन को गामा फलन के लघुगणकीय व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:[1][2][3]
यह पॉलीगामा फलन में से प्रथम होता है। यह फलन कठोरता से बढ़ रहा है और मोनोटोनिक फलन और पर जटिलता से अवतल है ,[4] और यह स्पर्शोन्मुख विश्लेषण के रूप में व्यवहार करता है[5]
इस प्रकार से कुछ असीम रूप से छोटे सकारात्मक स्थिरांक . . . . के साथ सेक्टर में उच्च तर्क () के लिए।
डिगामा फलन को सदैव इस रूप में दर्शाया जाता है या Ϝ[6] (पुरातन ग्रीक व्यंजन डिगामा का अपरकेस रूप जिसका अर्थ है गामा डबल-गामा) के रूप में दर्शाया जाता है।।
हार्मोनिक संख्याओं से संबंध
गामा फलन समीकरण का पालन करता है
z के संबंध में व्युत्पन्न लेने से प्राप्त होता है:
Γ(z + 1) या समकक्ष zΓ(z) से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: