अवकल बीजगणित: Difference between revisions

Revision as of 02:13, 10 July 2023

गणित में, विभेदक बीजगणित, मोटे तौर पर, गणित का वह क्षेत्र है जिसमें समाधान की गणना किए बिना विभेदक समीकरण और संक्रियक के गुणों को प्राप्त करने के मद्देनजर बीजगणित के रूप में विभेदक समीकरणों और विभेदक संक्रियक का अध्ययन सम्मिलित है, उसी तरह जैसे बहुपद बीजगणित का उपयोग किया जाता है। बीजगणितीय प्रकारों का अध्ययन, जो बहुपद समीकरणों की प्रणालियों के समाधान समूह हैं। वेल बीजगणित और ली बीजगणित को विभेदक बीजगणित से संबंधित माना जा सकता है।

अधिक विशेष रूप से, विभेदक बीजगणित 1950 में जोसेफ रिट द्वारा पेश किए गए सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसमें विभेदक वलय, विभेदक क्षेत्र और विभेदक बीजगणित वलय, क्षेत्र और बीजगणित हैं जो कि कई व्युत्पत्तियों से सुसज्जित हैं।

विभेदक क्षेत्र का एक प्राकृतिक उदाप्रत्येकण जटिल संख्याओं पर एक चर में तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र है, $\mathbb {C} (t),$ जहां व्युत्पत्ति के संबंध में भेदभाव $t$ है। अधिक सामान्यतः प्रत्येक विभेदक समीकरण को समीकरण में दिखाई देने वाले (ज्ञात) कार्यों द्वारा उत्पन्न विभेदक क्षेत्र पर विभेदक बीजगणित के एक तत्व के रूप में देखा जा सकता है।

इतिहास

जोसेफ रिट ने विभेदक बीजगणित विकसित किया क्योंकि उन्होंने विभेदक समीकरणों की प्रणालियों को विभिन्न विहित रूपों में कम करने के प्रयासों को एक असंतोषजनक दृष्टिकोण के रूप में देखा। यद्यपि, बीजगणितीय उन्मूलन विधियों और बीजगणितीय मैनिफोल्ड सिद्धांत की सफलता ने रिट को विभेदक समीकरणों के लिए एक समान दृष्टिकोण पर विचार करने के लिए प्रेरित किया।^[1]^: iii–iv उनके प्रयासों से एक प्रारंभिक पेपर मैनिफोल्ड्स ऑफ फंक्शन्स डिफाइन्ड बाय सिस्टम्स ऑफ अलजेब्रिक डिफरेंशियल इक्वेशन और 2 किताबें, डिफरेंशियल इक्वेशन फ्रॉम द अलजेब्रिक स्टैंडपॉइंट और डिफरेंशियल अलजेब्रा प्रकाशित हुईं।। उन्हें>.^[2]^[1]^[3] रिट के छात्र एलिस कल्चेन ने इस क्षेत्र को आगे बढ़ाया और डिफरेंशियल अलजेब्रा एंड अलजेब्रिक ग्रुप्स प्रकाशित किया।^[4]

विभेदक वलय

परिभाषा

व्युत्पत्ति ${\textstyle \partial }$ वलय पर ${\textstyle {\mathcal {R}}}$ एक फलन है $\partial :R\to R\,$ ऐसा कि

\partial (r_{1}+r_{2})=\partial r_{1}+\partial r_{2}

और

\partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})\quad

(लीबनिज़ उत्पाद नियम),

प्रत्येक $r_{1}$ और $r_{2}$ में $R.$ के लिए

व्युत्पत्ति पूर्णांकों पर रैखिक मानचित्र है क्योंकि ये सर्वसमिकाएं संकेत देती हैं $\partial (0)=\partial (1)=0$ और $\partial (-r)=-\partial (r).$ एक विभेदक वलय एक क्रमविनिमेय वलय है $R$ एक या अधिक व्युत्पत्तियों से सुसज्जित जो जोड़ीदार रूप से आवागमन करती हैं; वह है,

\partial _{1}(\partial _{2}(r))=\partial _{2}(\partial _{1}(r))

व्युत्पत्तियों की प्रत्येक जोड़ी और प्रत्येक के लिए

r\in R.

है।^[4]^: 58–59 जब केवल एक ही व्युत्पत्ति होती है तो सामान्यतः एक साधारण विभेदक वलय की बात की जाती है; अन्यथा, कोई आंशिक विभेदक वलय की बात करता है

विभेदक क्षेत्र विभेदक वलय है जो एक क्षेत्र भी है। एक विभेदक बीजगणित $A$ एक विभेदक क्षेत्र पर $K$ एक विभेदक वलय है जिसमें सम्मिलित है $K$ एक सबवलय के रूप में जैसे कि प्रतिबंध $K$ की व्युत्पत्तियों का $A$ की व्युत्पत्ति के बराबर $K.$ (एक अधिक सामान्य परिभाषा नीचे दी गई है, जो उस स्थिति के लिए पर्याप्त है $K$ एक क्षेत्र नहीं है, और अनिवार्य रूप से समतुल्य है जब $K$ एक क्षेत्र है.)

विट बीजगणित विभेदक वलय है जिसमें

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Line 37: / Line 37: @@
 * अगर <math>u_1, \ldots, u_n</math> में इकाइयाँ <math>R</math> हैं, और <math>n_1, \ldots, n_n</math> पूर्णांक हैं, किसी के पास <em>[[लघुगणकीय व्युत्पन्न]] पहचान है:</em> <math display =block> \frac{\delta (u_{1}^{e_{1}} \ldots u_{n}^{e_{n}})}{u_{1}^{e_{1}} \ldots u_{n}^{e_{n}}} = e_{1} \frac{\delta( u_{1} ) }{u_{1}} + \dots + e_{n} \frac{\delta( u_{n} ) }{u_{n}}. </math>
 ===उच्च क्रम व्युत्पत्तियाँ===
-एक <em>व्युत्पत्ति संचालिका</em> या <em>उच्च क्रम व्युत्पत्ति</em>{{citation needed|reason=It is unclear what is the common name in the literature|date=March 2023}} कई व्युत्पत्तियों की [[कार्य संरचना|संरचना]] है। जैसा कि एक विभेदक वलय की व्युत्पत्तियों को परिवर्तित किया जाना चाहिए, व्युत्पत्तियों का क्रम तात्पर्य नहीं रखता है, और एक व्युत्पत्ति संक्रियक को इस प्रकार लिखा जा सकता है<math display= block> \delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n},</math>जहाँ <math>\delta_1, \ldots, \delta_n</math> विचाराधीन व्युत्पत्तियां हैं, <math>e_1, \ldots, e_n</math> अतिरिक्त-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, और किसी व्युत्पत्ति का घातांक यह दर्शाता है कि संक्रियक में यह व्युत्पत्ति कितनी बार बनाई गई है।
+एक <em>व्युत्पत्ति संचालिका</em> या <em>उच्च क्रम व्युत्पत्ति</em>{{citation needed|reason=It is unclear what is the common name in the literature|date=March 2023}} कई व्युत्पत्तियों की [[कार्य संरचना|संरचना]] है। जैसा कि एक विभेदक वलय की व्युत्पत्तियों को परिवर्तित किया जाना चाहिए, व्युत्पत्तियों का क्रम तात्पर्य नहीं रखता है, और एक व्युत्पत्ति संक्रियक को इस प्रकार लिखा जा सकता है<math display= block> \delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n},</math>जहाँ <math>\delta_1, \ldots, \delta_n</math> विचाराधीन व्युत्पत्तियां हैं, <math>e_1, \ldots, e_n</math> अतिरिक्त-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, और किसी व्युत्पत्ति का घातांक यह दर्शाता है कि संक्रियक में यह व्युत्पत्ति कितनी बार बनाई गई है।योग <math>o=e_1+ \cdots +e_n</math> व्युत्पत्ति का क्रम कहलाता है। अगर <math>o=1</math> व्युत्पत्ति संचालिका मूल व्युत्पत्तियों में से एक है। अगर <math>o=0</math>, एक में पहचान फलन होता है, जिसे सामान्यतः क्रम शून्य का अद्वितीय व्युत्पत्ति संक्रियक माना जाता है। इन सम्मेलनों के साथ, व्युत्पत्ति संचालक विचाराधीन व्युत्पत्ति के समूह पर एक मुक्त क्रमविनिमेय मोनोइड बनाते हैं।
+किसी तत्व का व्युत्पन्न <math>x</math> विभेदक वलय <math>x</math> का व्युत्पत्ति संक्रियक का अनुप्रयोग  है अर्थात्, उपरोक्त संकेतन <math>\delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n}(x)</math> के साथ है,  एक <em>उचित व्युत्पन्न</em>  सकारात्मक क्रम का व्युत्पन्न है।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|58–59}}
-योग <math>o=e_1+ \cdots +e_n</math> व्युत्पत्ति का क्रम कहलाता है। अगर <math>o=1</math> व्युत्पत्ति संचालिका मूल व्युत्पत्तियों में से एक है। अगर <math>o=0</math>, एक में पहचान फलन होता है, जिसे सामान्यतः क्रम शून्य का अद्वितीय व्युत्पत्ति संक्रियक माना जाता है। इन सम्मेलनों के साथ, व्युत्पत्ति संचालक विचाराधीन व्युत्पत्ति के समूह पर एक मुक्त क्रमविनिमेय मोनोइड बनाते हैं।
-किसी तत्व का व्युत्पन्न <math>x</math> विभेदक वलय <math>x</math> का व्युत्पत्ति संक्रियक का अनुप्रयोग  है अर्थात्, उपरोक्त संकेतन <math>\delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n}(x).</math> के साथ है,  एक <em>उचित व्युत्पन्न</em>  सकारात्मक क्रम का व्युत्पन्न है।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|58–59}}
 ===[[विभेदक आदर्श]]===
 <em>विभेदक आदर्श</em> <math>I</math> विभेदक वलय  <math>R</math> वलय का एक आदर्श है <math>R</math> जो वलय की व्युत्पत्ति के तहत  बंद (स्थिर) है; वह <math display="inline"> \partial x\in I</math> है,  प्रत्येक व्युत्पत्ति के लिए <math>\partial</math> और प्रत्येक <math>x\in I</math> है। विभेदक आदर्श को <em>उचित</em> कहा जाता है यदि वह संपूर्ण वलय नहीं है। भ्रम से बचने के लिए, एक आदर्श जो विभेदक आदर्श नहीं है, उसे कभी-कभी बीजगणितीय आदर्श कहा जाता है।
-विभेदक आदर्श का <em>मूलांक</em>  बीजगणितीय आदर्श के रूप में उसके मूलांक के समान होता है, अर्थात, वलय तत्वों का समूह जिनकी आदर्श में शक्ति होती है। विभेदक आदर्श का मूलांक भी विभेदक आदर्श है। मौलिक या पूर्ण विभेदक आदर्श विभेदक आदर्श है जो इसके मौलिक के बराबर होता है।{{sfn|Sit|2002}}{{rp|3–4}} एक अभाज्य विभेदक आदर्श एक विभेदक विचारधारा है जो सामान्य अर्थों में अभाज्य आदर्श है; अर्थात्, यदि कोई उत्पाद आदर्श से संबंधित है, तो कम से कम एक कारक आदर्श से संबंधित है। एक अभाज्य विभेदक आदर्श हमेशा एक मूल विभेदक आदर्श होता है।
+विभेदक आदर्श का <em>मूलांक</em>  बीजगणितीय आदर्श के रूप में उसके मूलांक के समान होता है, अर्थात, वलय तत्वों का समूह जिनकी आदर्श में शक्ति होती है। विभेदक आदर्श का मूलांक भी विभेदक आदर्श है। मौलिक या पूर्ण विभेदक आदर्श विभेदक आदर्श है जो इसके मौलिक के बराबर होता है।{{sfn|Sit|2002}}{{rp|3–4}} एक अभाज्य विभेदक आदर्श एक विभेदक विचारधारा है जो सामान्य अर्थों में अभाज्य आदर्श है; अर्थात्, यदि कोई उत्पाद आदर्श से संबंधित है, तो कम से कम एक कारक आदर्श से संबंधित है। एक अभाज्य विभेदक आदर्श प्रायः एक मूल विभेदक आदर्श होता है।
+रिट की एक खोज यह है कि, यद्यपि बीजगणित का उत्कृष्ट सिद्धांत विभेदक आदर्शों के लिए काम नहीं करता है, लेकिन इसका एक बड़ा हिस्सा परंपरागत विभेदक आदर्शों तक बढ़ाया जा सकता है, और यह उन्हें विभेदक बीजगणित में मौलिक बनाता है।
-रिट की एक खोज यह है कि, हालांकि बीजगणित का उत्कृष्ट सिद्धांत विभेदक आदर्शों के लिए काम नहीं करता है, लेकिन इसका एक बड़ा हिस्सा परंपरागतविभेदक आदर्शों तक बढ़ाया जा सकता है, और यह उन्हें विभेदक बीजगणित में मौलिक बनाता है।
+विभेदक आदर्शों के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन एक विभेदक आदर्श है, और मूल विभेदक आदर्शों के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन एक मूल विभेदक आदर्श है।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|61–62}}यह इस प्रकार है,विभेदक वलय का <math>S</math>एक उपसमुच्चय दिया गया है, इसके द्वारा उत्पन्न तीन आदर्श होते हैं, जो क्रमशः, सभी बीजगणितीय आदर्शों, सभी विभेदक आदर्शों और सभी मौलिक विभेदक आदर्शों के प्रतिच्छेदन होते हैं जिनमें यह सम्मिलित होता है।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|61–62}}{{sfn|Buium|1994}}{{rp|21}}
-विभेदक आदर्शों के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन एक विभेदक आदर्श है, और मूल विभेदक आदर्शों के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन एक मूल विभेदक आदर्श है।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|61–62}}
+<math>S</math> द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय आदर्श  के तत्वों के परिमित रैखिक संयोजनों का समुच्चय <math>S</math> है और सामान्यतः इसे <math>(S)</math> या <math>\langle S \rangle</math> इस रूप में दर्शाया जाता है
-यह इस प्रकार है, एक उपसमुच्चय दिया गया है <math>S</math> एक विभेदक वलय में, इसके द्वारा उत्पन्न तीन आदर्श होते हैं, जो क्रमशः, सभी बीजगणितीय आदर्शों, सभी विभेदक आदर्शों और सभी मौलिक विभेदक आदर्शों के प्रतिच्छेदन होते हैं जिनमें यह सम्मिलित होता है।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|61–62}}{{sfn|Buium|1994}}{{rp|21}}
-द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय आदर्श <math>S</math> के तत्वों के परिमित रैखिक संयोजनों का समुच्चय है <math>S,</math> और सामान्यतः पर इसे इस रूप में दर्शाया जाता है <math>(S)</math> या <math>\langle S \rangle.</math>
+<math>S</math> द्वारा उत्पन्न विभेदक आदर्श  के तत्वों के परिमित रैखिक संयोजनों का समुच्चय <math>S</math> है और इन तत्वों के किसी भी क्रम के व्युत्पन्न; इसे सामान्यतः <math>[S]</math> रूप में दर्शाया जाता है  जब <math>S</math> परिमित है, <math>[S]</math> सामान्यतः बीजगणितीय आदर्श के रूप में [[अंतिम रूप से उत्पन्न आदर्श|अंतिम रूप से उत्पन्र्]] नहीं होता है।
-द्वारा उत्पन्न विभेदक आदर्श <math>S</math> के तत्वों के परिमित रैखिक संयोजनों का समुच्चय है <math>S</math> और इन तत्वों के किसी भी क्रम के व्युत्पन्न; इसे सामान्यतः पर इस रूप में दर्शाया जाता है <math>[S].</math> कब <math>S</math> परिमित है, <math>[S]</math> सामान्यतः पर बीजीय आदर्श के रूप में [[अंतिम रूप से उत्पन्न आदर्श]] नहीं होता है।
-द्वारा उत्पन्न मौलिक विभेदक आदर्श <math>S</math> सामान्यतः के रूप में दर्शाया जाता है <math>\{S\}.</math> अन्य दो वाद की तरह इसके तत्व को चित्रित करने का कोई ज्ञात तरीका नहीं है।
+<math>S</math> द्वारा उत्पन्न मौलिक विभेदक आदर्श सामान्यतः  <math>\{S\}</math> के रूप में दर्शाया जाता है अन्य दो वाद की तरह इसके तत्व को चित्रित करने का कोई ज्ञात तरीका नहीं है।
 ==विभेदक बहुपद==

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