अरेखीय प्रणाली

गणित और विज्ञान में, गैर-रेखीय प्रणाली (या गैर-रेखीय प्रणाली) ऐसी प्रणाली है जिसमें आउटपुट का परिवर्तन इनपुट के परिवर्तन के लिए आनुपातिकता (गणित) नहीं है। अरैखिक समस्याएँ अभियंता, जीवविज्ञानियों के लिए रूचिकर होती हैं। भौतिक विज्ञानी गणितज्ञ, और कई अन्य वैज्ञानिक क्योंकि अधिकांश प्रणालियाँ स्वाभाविक रूप से अरैखिक प्रकृति की हैं। समय के साथ चर में परिवर्तन का वर्णन करने वाली अरेखीय डायनेमिक प्रणालियाँ, बहुत सरल रैखिक प्रणालियों के विपरीत, अराजक, अप्रत्याशित या प्रति-सहज ज्ञान युक्त दिखाई दे सकती हैं।

सामान्यतः गैर-रेखीय प्रणाली के व्यवहार को गणित में समीकरण की गैर-रेखीय प्रणाली द्वारा वर्णित किया जाता है, जो एक साथ समीकरणों का सेट है जिसमें अज्ञात (या अंतर समीकरण के स्थितियों में अज्ञात कार्य) डिग्री के बहुपद के चर के रूप में दिखाई देते हैं। एक से अधिक या किसी फलन (गणित) के तर्क में जो डिग्री का बहुपद नहीं है।

दूसरे शब्दों में, समीकरणों की अरेखीय प्रणाली में, हल किए जाने वाले समीकरणों को उनमें दिखाई देने वाले अज्ञात चर (गणित) या फलन (गणित) के रैखिक संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। प्रणाली को गैर-रेखीय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, तथापि ज्ञात रैखिक फलन समीकरणों में दिखाई देते हों। विशेष रूप से, अंतर समीकरण रैखिक होता है, यदि यह अज्ञात फलन और उसके डेरिवेटिव के संदर्भ में रैखिक है, तथापि इसमें दिखने वाले अन्य चर के संदर्भ में गैर-रैखिक हो।

चूंकि गैर-रेखीय गतिशील समीकरणों को हल करना कठिन होता है, इसलिए गैर-रेखीय प्रणालियों को सामान्यतः रैखिक समीकरणों (रैखिकीकरण) द्वारा अनुमानित किया जाता है। यह इनपुट मानों के लिए कुछ स्पष्टता और कुछ सीमा तक अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन कुछ दिलचस्प घटनाएं जैसे सॉलिटन, अराजकता सिद्धांत और गणितीय विलक्षणता रैखिककरण द्वारा छिपी हुई है। इसका तात्पर्य यह है कि गैर-रेखीय प्रणाली के गतिशील व्यवहार के कुछ पहलू प्रति-सहज ज्ञान युक्त, अप्रत्याशित या अराजक भी प्रतीत हो सकते हैं। चूँकि ऐसा अराजक व्यवहार यादृच्छिक व्यवहार जैसा हो सकता है, लेकिन वास्तव में यह यादृच्छिक नहीं है। उदाहरण के लिए, मौसम के कुछ पहलुओं को अव्यवस्थित देखा जाता है, जहां प्रणाली के भागों में साधारण परिवर्तन पूरे क्षेत्र में जटिल प्रभाव उत्पन करते हैं। यह गैर-रैखिकता उन कारणों में से एक है कि वर्तमान तकनीक के साथ सटीक दीर्घकालिक पूर्वानुमान असंभव क्यों हैं।

कुछ लेखक अरेखीय प्रणालियों के अध्ययन के लिए अरेखीय विज्ञान शब्द का उपयोग करते हैं। यह शब्द अन्य लोगों द्वारा विवादित है:

अरेखीय विज्ञान जैसे शब्द का उपयोग करना प्राणीशास्त्र के बड़े भाग को गैर-हाथी जानवरों के अध्ययन के रूप में संदर्भित करने जैसा है।

— स्टैनिस्लाव उलम

परिभाषा

गणित में, रेखीय मानचित्र (या रैखिक फलन) $f(x)$ वह है जो निम्नलिखित दोनों गुणों को संतुष्ट करता है:

• एडिटिविटी या सुपरपोजिशन सिद्धांत: $\textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);$
• एकरूपता: $\textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).$

योगात्मकता का तात्पर्य किसी भी परिमेय संख्या α के लिए एकरूपता से है, और, निरंतर कार्यों के लिए, किसी भी वास्तविक संख्या α के लिए सम्मिश्र संख्या α के लिए, समरूपता योगात्मकता से उत्पन्न नहीं होती है। उदाहरण के लिए एंटीलीनियर मानचित्र योगात्मक है लेकिन सजातीय नहीं है। योगात्मकता और समरूपता की स्थितियां अधिकांशतः सुपरपोजिशन सिद्धांत में संयुक्त होती हैं।

$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$

समीकरण के रूप में लिखा गया है।

$f(x)=C$

रेखीय मानचित्र, यदि रैखिक कहा जाता है तो $f(x)$ है (जैसा कि ऊपर परिभाषित है) अन्यथा अरेखीय है। समीकरण को सजातीय कहा जाता है यदि $C=0$ और $f(x)$ सजातीय कार्य है।

मानहानि $f(x)=C$ उसमें बहुत सामान्य है $x$ कोई भी समझदार गणितीय वस्तु (संख्या, वेक्टर, फलन, आदि) और फलन $f(x)$ हो सकता है, वस्तुतः कोई भी मानचित्र (गणित) हो सकता है, जिसमें संबद्ध बाधाओं (जैसे सीमा मान) के साथ एकीकरण या विभेदन सम्मिलित है। अगर $f(x)$ के संबंध में व्युत्पन्न सम्मिलित है $x$परिणाम विभेदक समीकरण होगा।

अरेखीय बीजगणितीय समीकरण

Main articles: बीजगणितीय समीकरण and बहुपद समीकरणों की प्रणाली

अरेखीय बीजगणितीय समीकरण, जिन्हें बहुपद समीकरण भी कहा जाता है, बहुपद (एक से अधिक डिग्री वाले) को शून्य के बराबर करके परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए,

$x^{2}+x-1=0\,.$

एकल बहुपद समीकरण के लिए, मूल-खोज एल्गोरिदम का उपयोग समीकरण के समाधान खोजने के लिए किया जा सकता है। (यानी, समीकरण को संतुष्ट करने वाले चर के लिए मानों का सेट) चूँकि, बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियाँ अधिक जटिल हैं; उनका अध्ययन बीजगणितीय ज्यामिति के क्षेत्र के लिए प्रेरणा है, जो आधुनिक गणित की कठिन शाखा है। यह तय करना और भी कठिन है कि क्या किसी दिए गए बीजगणितीय प्रणाली के जटिल समाधान हैं। (हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसत्ज़ देखें)। फिर भी, जटिल समाधानों की सीमित संख्या वाली प्रणालियों के स्थितियों में, बहुपद समीकरणों की ये प्रणालियाँ अब अच्छी तरह से समझी जाती हैं। और उन्हें हल करने के लिए कुशल विधियाँ उपस्थित हैं।

अरेखीय पुनरावृत्ति संबंध

अरेखीय पुनरावृत्ति संबंध किसी अनुक्रम के क्रमिक पदों को पूर्ववर्ती पदों के अरेखीय फलन के रूप में परिभाषित करता है। गैर-रेखीय पुनरावृत्ति संबंधों के उदाहरण लॉजिस्टिक मानचित्र और वे संबंध हैं। जो विभिन्न हॉफस्टैटर अनुक्रमों को परिभाषित करते हैं। अरेखीय असतत मॉडल जो अरेखीय पुनरावृत्ति संबंधों की विस्तृत श्रेणी का प्रतिनिधित्व करते हैं, उनमें नार्मैक्स (एक्सोजेनस इनपुट के साथ अरेखीय ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज) मॉडल और संबंधित अरेखीय प्रणाली पहचान और विश्लेषण प्रक्रियाएं सम्मिलित हैं। इन दृष्टिकोणों का उपयोग समय, आवृत्ति और स्थानिक-लौकिक डोमेन में जटिल गैर-रेखीय व्यवहारों की विस्तृत श्रेणी का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

अरेखीय अवकल समीकरण

विभेदक समीकरणों के युगपत समीकरण को अरैखिक कहा जाता है यदि यह रैखिक समीकरणों की प्रणाली नहीं है। अरेखीय अंतर समीकरणों से जुड़ी समस्याएं बहुत विविध हैं, और समाधान या विश्लेषण के विधि समस्या पर निर्भर हैं। अरेखीय विभेदक समीकरणों के उदाहरण द्रव गतिकी में नेवियर-स्टोक्स समीकरण और जीव विज्ञान में लोटका-वोल्टेरा समीकरण हैं।

अरेखीय समस्याओं की सबसे बड़ी कठिनाइयों में से एक यह है कि ज्ञात समाधानों को नए समाधानों में जोड़ना सामान्यतः संभव नहीं है। उदाहरण के लिए, रैखिक समस्याओं में, सुपरपोज़िशन सिद्धांत के माध्यम से सामान्य समाधान बनाने के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के एक परिवार का उपयोग किया जा सकता है। इसका अच्छा उदाहरण डिरिक्लेट सीमा स्थितियों के साथ एक-आयामी ताप परिवहन है, जिसका समाधान विभिन्न आवृत्तियों के साइनसॉइड के समय-निर्भर रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है; यह समाधानों को बहुत लचीला बनाता है. गैर-रेखीय समीकरणों के लिए कई विशिष्ट समाधान ढूंढना अधिकांशतः संभव होता है, चूँकि सुपरपोजिशन सिद्धांत की कमी नए समाधानों के निर्माण को रोकती है।

साधारण अवकल समीकरण

पहले क्रम के साधारण अंतर समीकरण अधिकांशतः चरों को अलग करके बिल्कुल हल करने योग्य होते हैं, विशेषकर स्वायत्त समीकरणों के लिए के योग्य होते हैं। उदाहरण के लिए, अरेखीय समीकरण

$\frac{}{}$