रफ़ सेट: Difference between revisions
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जब गुणों का | जब गुणों का पूर्ण सेट <math>P = \{P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}</math> विचार करने पर, हम देखते हैं कि हमारे पास निम्नलिखित सात समतुल्य वर्ग हैं: | ||
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<math>X \subseteq \mathbb{U}</math> लक्ष्य सेट हो जिसे हम विशेषता उपसमुच्चय का उपयोग करके प्रस्तुत करना चाहते हैं <math>P</math>; अर्थात्, हमें बताया गया है कि वस्तुओं का सेट <math>X</math> इसमें एकल वर्ग सम्मिलित है, एवं हम विशेषता उपसमुच्चय द्वारा प्रेरित समतुल्य वर्गों का उपयोग करके इस वर्ग (अर्थात, इस उपसमुच्चय) को व्यक्त करना चाहते हैं <math>P</math>. सामान्य रूप में, <math>X</math> सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि सेट में उन वस्तुओं को सम्मिलित एवं बाहर किया जा सकता है जो विशेषताओं के आधार पर अप्रभेद्य <math>P</math> हैं। | <math>X \subseteq \mathbb{U}</math> लक्ष्य सेट हो जिसे हम विशेषता उपसमुच्चय का उपयोग करके प्रस्तुत करना चाहते हैं <math>P</math>; अर्थात्, हमें बताया गया है कि वस्तुओं का सेट <math>X</math> इसमें एकल वर्ग सम्मिलित है, एवं हम विशेषता उपसमुच्चय द्वारा प्रेरित समतुल्य वर्गों का उपयोग करके इस वर्ग (अर्थात, इस उपसमुच्चय) को व्यक्त करना चाहते हैं <math>P</math>. सामान्य रूप में, <math>X</math> सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि सेट में उन वस्तुओं को सम्मिलित एवं बाहर किया जा सकता है जो विशेषताओं के आधार पर अप्रभेद्य <math>P</math> हैं। | ||
उदाहरण के लिए, निर्धारित लक्ष्य पर विचार करें <math>X = \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}\}</math>, एवं विशेषता उपसमुच्चय दें <math>P = \{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}\}</math>, सुविधाओं का | उदाहरण के लिए, निर्धारित लक्ष्य पर विचार करें <math>X = \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}\}</math>, एवं विशेषता उपसमुच्चय दें <math>P = \{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}\}</math>, सुविधाओं का पूर्ण उपलब्ध सेट है। सेट <math>X</math> सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता, क्योंकि <math>[x]_P,</math> में वस्तुएं <math>\{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math> अविवेकी हैं, इस प्रकार, किसी भी सेट <math>X</math> का प्रतिनिधित्व करने की कोई विधि नहीं है, जिसमें <math>O_{3}</math> सम्मिलित है किन्तु <math>O_{7}</math> एवं <math>O_{10}</math>वस्तुओं को छोड़ देता है। | ||
चूँकि, लक्ष्य निर्धारित है <math>X</math> केवल उसमें उपस्थित जानकारी का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है <math>P</math> का निर्माण करके <math>P</math>-निचला एवं <math>P</math>-ऊपरी सन्निकटन <math>X</math> अनुमान लगाया जा सकता है, | चूँकि, लक्ष्य निर्धारित है <math>X</math> केवल उसमें उपस्थित जानकारी का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है <math>P</math> का निर्माण करके <math>P</math>-निचला एवं <math>P</math>-ऊपरी सन्निकटन <math>X</math> अनुमान लगाया जा सकता है, | ||
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'''निचला सन्निकटन एवं सकारात्मक क्षेत्र''' <math>P</math> निचला सन्निकटन, या सकारात्मक क्षेत्र, सभी समतुल्य वर्गों का मिलन<math>[x]_P</math> है जो लक्ष्य निर्धारित द्वारा समाहित हैं (अर्थात, इसके उपसमूह हैं), उदाहरण में, <math>{\underline P}X = \{O_{1}, O_{2}\} \cup \{O_{4}\}</math>, दो समतुल्य वर्गों का मिलन <math>[x]_P</math> जो निर्धारित लक्ष्य में समाहित है। निचला सन्निकटन वस्तुओं का | '''निचला सन्निकटन एवं सकारात्मक क्षेत्र''' <math>P</math> निचला सन्निकटन, या सकारात्मक क्षेत्र, सभी समतुल्य वर्गों का मिलन<math>[x]_P</math> है जो लक्ष्य निर्धारित द्वारा समाहित हैं (अर्थात, इसके उपसमूह हैं), उदाहरण में, <math>{\underline P}X = \{O_{1}, O_{2}\} \cup \{O_{4}\}</math>, दो समतुल्य वर्गों का मिलन <math>[x]_P</math> जो निर्धारित लक्ष्य में समाहित है। निचला सन्निकटन वस्तुओं का पूर्ण सेट <math>\mathbb{U}/P</math> है, जिसे सकारात्मक रूप से (अर्थात, स्पष्ट रूप से) लक्ष्य निर्धारित से <math>X</math> संबंधित रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। | ||
'''ऊपरी सन्निकटन एवं ऋणात्मक क्षेत्र''' <math>P</math> ऊपरी सन्निकटन सभी समतुल्य वर्गों का मिलन<math>[x]_P</math> है, जिनका लक्ष्य निर्धारित के साथ अन्य रिक्त प्रतिच्छेदन है, उदाहरण में, <math>{\overline P}X = \{O_{1}, O_{2}\} \cup \{O_{4}\} \cup \{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math>, तीन समतुल्य वर्गों का मिलन <math>[x]_P</math> जिनका निर्धारित लक्ष्य के साथ अन्य-रिक्त प्रतिच्छेदन है। ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूर्ण सेट <math>\mathbb{U}/P</math> है, जिसे सकारात्मक रूप से (अर्थात, स्पष्ट रूप से) पूरक के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता, (<math>\overline X</math>) निर्धारित लक्ष्य का <math>X</math> है। दूसरे शब्दों में, ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूर्ण सेट है जो संभवतः लक्ष्य सेट <math>X</math> के सदस्य हैं . | |||
सेट <math>\mathbb{U}-{\overline P}X</math> इसलिए नकारात्मक क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें वस्तुओं का समूह सम्मिलित है जिन्हें लक्ष्य सेट के सदस्यों के रूप में निश्चित रूप से | सेट <math>\mathbb{U}-{\overline P}X</math> इसलिए नकारात्मक क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें वस्तुओं का समूह सम्मिलित है जिन्हें लक्ष्य सेट के सदस्यों के रूप में निश्चित रूप से अस्वीकार किया जा सकता है। | ||
====सीमा क्षेत्र==== | ====सीमा क्षेत्र==== | ||
सीमा क्षेत्र, निर्धारित अंतर द्वारा दिया गया <math>{\overline P}X - {\underline P}X</math>, इसमें वे वस्तुएं सम्मिलित हैं जिन्हें लक्ष्य निर्धारित के सदस्यों के रूप में न तो | सीमा क्षेत्र, निर्धारित अंतर द्वारा दिया गया <math>{\overline P}X - {\underline P}X</math>, इसमें वे वस्तुएं सम्मिलित हैं जिन्हें लक्ष्य निर्धारित <math>X</math> के सदस्यों के रूप में न तो स्वीकार किया जा सकता है एवं न ही अस्वीकार किया जा सकता है। | ||
संक्षेप में, लक्ष्य सेट का निचला सन्निकटन | संक्षेप में, लक्ष्य सेट का निचला सन्निकटन रूढ़िवादी सन्निकटन है जिसमें केवल वे वस्तुएं सम्मिलित होती हैं जिन्हें सकारात्मक रूप से सेट के सदस्यों के रूप में पहचाना जा सकता है। (इन वस्तुओं में कोई अदृश्य क्लोन नहीं है जिन्हें लक्ष्य सेट से बाहर रखा गया है।) ऊपरी सन्निकटन उदार सन्निकटन है जिसमें वे सभी वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो लक्ष्य निर्धारित के सदस्य हो सकते हैं। ऊपरी सन्निकटन में कुछ वस्तुएं लक्ष्य निर्धारित की सदस्य नहीं हो सकती हैं। <math>\mathbb{U}/P</math>, के परिप्रेक्ष्य से निचले सन्निकटन में वे वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो निश्चितता (संभावना = 1) के साथ निर्धारित लक्ष्य के सदस्य हैं, जबकि ऊपरी सन्निकटन में वे वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो अन्य शून्य संभावना (संभावना> 0) के साथ निर्धारित लक्ष्य के सदस्य हैं। | ||
====रफ़ सेट==== | ====रफ़ सेट==== | ||
टुपल <math>\langle{\underline P}X,{\overline P}X\rangle</math> निचले एवं ऊपरी सन्निकटन से बना रफ सेट कहलाता है; इस प्रकार, | टुपल <math>\langle{\underline P}X,{\overline P}X\rangle</math> निचले एवं ऊपरी सन्निकटन से बना रफ सेट कहलाता है; इस प्रकार, रफ सेट दो क्रिस्प सेटों से बना होता है, जिनमें से लक्ष्य सेट <math>X</math> की निचली सीमा का प्रतिनिधित्व करता है , एवं दूसरा लक्ष्य <math>X</math> निर्धारित की ऊपरी सीमा का प्रतिनिधित्व करता है।. | ||
सेट के रफ-सेट प्रतिनिधित्व की सटीकता <math>X</math> निम्नलिखित द्वारा दिया जा सकता है (पावलक 1991): | सेट के रफ-सेट प्रतिनिधित्व की सटीकता <math>X</math> निम्नलिखित द्वारा दिया जा सकता है (पावलक 1991): | ||
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\alpha_{P}(X) = \frac{\left | {\underline P}X \right |} {\left | {\overline P}X \right |} | \alpha_{P}(X) = \frac{\left | {\underline P}X \right |} {\left | {\overline P}X \right |} | ||
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अर्थात्, किसी न किसी सेट प्रतिनिधित्व की सटीकता <math>X</math>, <math>\alpha_{P}(X)</math>, <math>0 \leq \alpha_{P}(X) \leq 1</math>, उन वस्तुओं की संख्या का अनुपात है जिन्हें सकारात्मक रूप से रखा जा सकता है <math>X</math> उन वस्तुओं की संख्या तक जिन्हें संभवतः रखा जा सकता है <math>X</math> - यह इस बात का माप प्रदान करता है कि रफ सेट लक्ष्य सेट के कितनी करीब है। स्पष्ट रूप से, जब ऊपरी एवं निचले सन्निकटन | अर्थात्, किसी न किसी सेट प्रतिनिधित्व की सटीकता <math>X</math>, <math>\alpha_{P}(X)</math>, <math>0 \leq \alpha_{P}(X) \leq 1</math>, उन वस्तुओं की संख्या का अनुपात है जिन्हें सकारात्मक रूप से रखा जा सकता है <math>X</math> उन वस्तुओं की संख्या तक जिन्हें संभवतः रखा जा सकता है <math>X</math> - यह इस बात का माप प्रदान करता है कि रफ सेट लक्ष्य सेट के कितनी करीब है। स्पष्ट रूप से, जब ऊपरी एवं निचले सन्निकटन समान होते हैं (अर्थात, सीमा क्षेत्र खाली होता है), तो <math>\alpha_{P}(X) = 1</math>, एवं सन्निकटन उचित है; दूसरे चरम पर, जब भी निचला सन्निकटन खाली होता है, सटीकता शून्य होती है (ऊपरी सन्निकटन के आकार की परवाह किए बिना) शून्य होती है। | ||
====उद्देश्य विश्लेषण==== | ====उद्देश्य विश्लेषण==== | ||
रफ सेट सिद्धांत | रफ सेट सिद्धांत उपाय है जिसे अनिश्चित (अस्पष्ट सहित) प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए नियोजित किया जा सकता है, चूँकि संभाव्यता, सांख्यिकी, [[एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)]] एवं डेम्पस्टर-शेफ़र सिद्धांत के अधिक पारंपरिक उपायों की अपेक्षा में कम आम है। चूँकि, मौलिक रफ सेट सिद्धांत (पावलक एट अल। 1995) का उपयोग करने का महत्वपूर्ण अंतर एवं अद्वितीय ताकत यह है कि यह विश्लेषण का उद्देश्यपूर्ण रूप प्रदान करता है। अन्य उपायों के विपरीत, जैसा कि ऊपर दिया गया है, क्लासिकल रफ सेट विश्लेषण के लिए सेट सदस्यता निर्धारित करने के लिए किसी अतिरिक्त जानकारी, बाहरी पैरामीटर, मॉडल, फ़ंक्शन, ग्रेड या व्यक्तिपरक व्याख्याओं की आवश्यकता नहीं होती है, इसके अतिरिक्त यह केवल दिए गए डेटा (डंटश एवं गेडिगा 1995) के अंदर प्रस्तुत जानकारी का उपयोग करता है। रफ सेट सिद्धांत के वर्तमान अनुकूलन, जैसे कि प्रभुत्व-आधारित, निर्णय-सैद्धांतिक एवं फ़ज़ी रफ सेट, ने विश्लेषण में अधिक व्यक्तिपरकता ला दी है। | ||
===निश्चयता=== | ===निश्चयता=== | ||
सामान्यतः, ऊपरी एवं निचले सन्निकटन समान नहीं होते हैं; ऐसे | सामान्यतः, ऊपरी एवं निचले सन्निकटन समान नहीं होते हैं; ऐसे विषयों में, हम कहते हैं कि लक्ष्य निर्धारित <math>X</math> है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर परिभाषित नहीं है। जब ऊपरी एवं निचला सन्निकटन समान हो (अर्थात, सीमा खाली हो), <math>{\overline P}X = {\underline P}X</math>, फिर लक्ष्य निर्धारित किया गया <math>X</math>, विशेषता सेट <math>P</math> पर निश्चित है। अपरिभाषितता के निम्नलिखित विशेष विषयों को भिन्न कर सकते हैं: | ||
* | * <math>X</math> यदि आंतरिक रूप से अपरिभाषित <math>{\underline P}X = \emptyset</math> एवं <math>{\overline P}X \neq \mathbb{U}</math> है। इसका तात्पर्य है कि विशेषता सेट <math>P</math> पर ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसके विषय में हम निश्चित हो सकें कि वह लक्ष्य निर्धारित से संबंधित है <math>X</math>, किन्तु ऐसी वस्तुएं हैं जिन्हें हम निश्चित रूप से सेट <math>X</math>से बाहर कर सकते हैं। | ||
* | * <math>X</math> यदि बाह्य रूप से अपरिभाषित <math>{\underline P}X \neq \emptyset</math> एवं <math>{\overline P}X = \mathbb{U}</math> है। इसका तात्पर्य है कि विशेषता सेट<math>P</math> पर, ऐसी वस्तुएं हैं जिनके विषय में हम निश्चित हो सकते हैं कि वे लक्ष्य निर्धारित से संबंधित हैं <math>X</math>, किन्तु ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसे हम निश्चित रूप से सेट<math>X</math> से बाहर कर सकते हैं।. | ||
* | * <math>X</math> यदि पूर्ण तरह से अपरिभाषित <math>{\underline P}X = \emptyset</math> एवं <math>{\overline P}X = \mathbb{U}</math>है। इसका तात्पर्य है कि विशेषता सेट <math>P</math> पर, ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसके विषय में हम निश्चित हो सकें कि वह लक्ष्य निर्धारित <math>X</math> से संबंधित है, एवं ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसे हम निश्चित रूप से सेट <math>X</math> से बाहर कर सकते हैं। इस प्रकार, विशेषता सेट <math>P</math> पर, हम यह तय नहीं कर सकते कि कोई वस्तु <math>X</math> का सदस्य है या नहीं है। | ||
===रिडक्ट एवं कोर=== | ===रिडक्ट एवं कोर=== | ||
रोचक सवाल यह है कि क्या सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य तालिका) में ऐसी विशेषताएं हैं जो अन्य विशेषताओं की अपेक्षा में समतुल्य वर्ग संरचना में दर्शाए गए ज्ञान के लिए अधिक महत्वपूर्ण हैं। प्रायः, हमें आश्चर्य होता है कि क्या विशेषताओं का एक उपसमूह है, जो अपने आप में, डेटाबेस में ज्ञान को पूर्ण तरह से चित्रित कर सकता है; ऐसे विशेषता सेट को रिडक्ट कहा जाता है। | |||
औपचारिक रूप से, रिडक्ट विशेषताओं का एक उपसमूह है <math>\mathrm{RED} \subseteq P</math> ऐसा है कि | औपचारिक रूप से, रिडक्ट विशेषताओं का एक उपसमूह है <math>\mathrm{RED} \subseteq P</math> ऐसा है कि | ||
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गुणों का वह सेट जो सभी रिडक्ट्स के लिए सामान्य है, कोर कहलाता है: कोर उन गुणों का सेट है जो हर रिडक्ट के पास होता है, एवं इसलिए इसमें ऐसे गुण होते हैं जिन्हें तुल्यता-वर्ग के पतन के बिना सूचना प्रणाली से हटाया नहीं जा सकता है संरचना। कोर को आवश्यक विशेषताओं के सेट के रूप में सोचा जा सकता है - आवश्यक, अर्थात , श्रेणी संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए। उदाहरण में, ऐसी एकमात्र विशेषता है <math>\{P_5\}</math>; अन्य विशेषताओं में से किसी एक को समतुल्य-वर्ग संरचना को नुकसान पहुंचाए बिना अकेले हटाया जा सकता है, एवं इसलिए ये सभी डिस्पेंसेबल हैं। चूँकि, हटा रहा हूँ <math>\{P_5\}</math> अपने आप में तुल्यता-वर्ग संरचना बदल जाती है, एवं इस प्रकार <math>\{P_5\}</math> इस सूचना प्रणाली का अपरिहार्य गुण है, एवं इसलिए इसका मूल है। | गुणों का वह सेट जो सभी रिडक्ट्स के लिए सामान्य है, कोर कहलाता है: कोर उन गुणों का सेट है जो हर रिडक्ट के पास होता है, एवं इसलिए इसमें ऐसे गुण होते हैं जिन्हें तुल्यता-वर्ग के पतन के बिना सूचना प्रणाली से हटाया नहीं जा सकता है संरचना। कोर को आवश्यक विशेषताओं के सेट के रूप में सोचा जा सकता है - आवश्यक, अर्थात , श्रेणी संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए। उदाहरण में, ऐसी एकमात्र विशेषता है <math>\{P_5\}</math>; अन्य विशेषताओं में से किसी एक को समतुल्य-वर्ग संरचना को नुकसान पहुंचाए बिना अकेले हटाया जा सकता है, एवं इसलिए ये सभी डिस्पेंसेबल हैं। चूँकि, हटा रहा हूँ <math>\{P_5\}</math> अपने आप में तुल्यता-वर्ग संरचना बदल जाती है, एवं इस प्रकार <math>\{P_5\}</math> इस सूचना प्रणाली का अपरिहार्य गुण है, एवं इसलिए इसका मूल है। | ||
कोर का खाली होना संभव है, जिसका अर्थ है कि कोई अपरिहार्य विशेषता नहीं है: ऐसी सूचना प्रणाली में किसी भी एक विशेषता को समतुल्य-वर्ग संरचना में बदलाव किए बिना हटाया जा सकता है। ऐसे | कोर का खाली होना संभव है, जिसका अर्थ है कि कोई अपरिहार्य विशेषता नहीं है: ऐसी सूचना प्रणाली में किसी भी एक विशेषता को समतुल्य-वर्ग संरचना में बदलाव किए बिना हटाया जा सकता है। ऐसे विषयों में, कोई आवश्यक या आवश्यक विशेषता नहीं है जो वर्ग संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक हो। | ||
===विशेषता निर्भरता=== | ===विशेषता निर्भरता=== | ||
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==नियम निष्कर्षण== | ==नियम निष्कर्षण== | ||
ऊपर जिन श्रेणी निरूपणों की विचार की गई है वे सभी प्रकृति में विस्तारित हैं; अर्थात्, एक श्रेणी या जटिल वर्ग अपने सभी सदस्यों का योग मात्र है। किसी श्रेणी का प्रतिनिधित्व करने का | ऊपर जिन श्रेणी निरूपणों की विचार की गई है वे सभी प्रकृति में विस्तारित हैं; अर्थात्, एक श्रेणी या जटिल वर्ग अपने सभी सदस्यों का योग मात्र है। किसी श्रेणी का प्रतिनिधित्व करने का तात्पर्य उस श्रेणी से संबंधित सभी वस्तुओं को सूचीबद्ध करने या पहचानने में सक्षम होना है। चूँकि, विस्तारित श्रेणी प्रतिनिधित्व का व्यावहारिक उपयोग बहुत सीमित है, क्योंकि वे यह तय करने के लिए कोई अंतर्दृष्टि प्रदान नहीं करते हैं कि नई (पहले कभी नहीं देखी गई) वस्तुएँ श्रेणी की सदस्य हैं या नहीं। | ||
सामान्यतः जो वांछित होता है वह श्रेणी का एक जानबूझकर विवरण होता है, नियमों के एक सेट के आधार पर श्रेणी का प्रतिनिधित्व जो श्रेणी के दायरे का वर्णन करता है। ऐसे नियमों का चुनाव अद्वितीय नहीं है, एवं इसमें [[आगमनात्मक पूर्वाग्रह]] का मुद्दा निहित है। इस समस्या के | सामान्यतः जो वांछित होता है वह श्रेणी का एक जानबूझकर विवरण होता है, नियमों के एक सेट के आधार पर श्रेणी का प्रतिनिधित्व जो श्रेणी के दायरे का वर्णन करता है। ऐसे नियमों का चुनाव अद्वितीय नहीं है, एवं इसमें [[आगमनात्मक पूर्वाग्रह]] का मुद्दा निहित है। इस समस्या के विषय में अधिक जानकारी के लिए [[संस्करण स्थान]] एवं [[मॉडल चयन]] देखें। | ||
कुछ नियम-निष्कर्षण विधियाँ हैं। हम ज़िआर्को एवं शान (1995) पर आधारित नियम-निष्कर्षण प्रक्रिया से शुरुआत करेंगे। | कुछ नियम-निष्कर्षण विधियाँ हैं। हम ज़िआर्को एवं शान (1995) पर आधारित नियम-निष्कर्षण प्रक्रिया से शुरुआत करेंगे। | ||
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| <math>P_1^2,P_3^0</math> || <math>P_2^0</math> || <math>P_1^2,P_3^0</math> || <math>P_1^2,P_2^0,P_3^0</math> || <math>P_2^0</math> | | <math>P_1^2,P_3^0</math> || <math>P_2^0</math> || <math>P_1^2,P_3^0</math> || <math>P_1^2,P_2^0,P_3^0</math> || <math>P_2^0</math> | ||
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इस निर्णय मैट्रिक्स को पढ़ने के लिए, उदाहरण के लिए, पंक्ति के प्रतिच्छेदन को देखें <math>O_{3}</math> एवं स्तंभ <math>O_{6}</math>, दिखा रहा है <math>P_1^2,P_3^0</math> कोशिका में. इसका | इस निर्णय मैट्रिक्स को पढ़ने के लिए, उदाहरण के लिए, पंक्ति के प्रतिच्छेदन को देखें <math>O_{3}</math> एवं स्तंभ <math>O_{6}</math>, दिखा रहा है <math>P_1^2,P_3^0</math> कोशिका में. इसका तात्पर्य यह है कि निर्णय मूल्य के संबंध में <math>P_{4}=1</math>, वस्तु <math>O_{3}</math> वस्तु से भिन्न है <math>O_{6}</math> गुणों पर <math>P_1</math> एवं <math>P_3</math>, एवं सकारात्मक वस्तु के लिए इन विशेषताओं पर विशेष मान <math>O_{3}</math> हैं <math>P_1=2</math> एवं <math>P_3=0</math>. यह हमें बताता है कि इसका उचित वर्गीकरण क्या है <math>O_{3}</math> निर्णय वर्ग से संबंधित होने के नाते <math>P_{4}=1</math> गुणों पर निर्भर है <math>P_1</math> एवं <math>P_3</math>; चूँकि इनमें से एक या दूसरा अपरिहार्य हो सकता है, हम जानते हैं कि इनमें से कम से कम एक विशेषता अपरिहार्य है। | ||
इसके बाद, प्रत्येक निर्णय मैट्रिक्स से हम [[बूलियन तर्क]] अभिव्यक्तियों का एक सेट बनाते हैं, मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति के लिए एक अभिव्यक्ति। प्रत्येक कोशिका के अंदरकी वस्तुओं को संयोजनात्मक रूप से एकत्रित किया जाता है, एवं व्यक्तिगत कोशिकाओं को फिर संयोजनात्मक रूप से एकत्रित किया जाता है। इस प्रकार, उपरोक्त तालिका के लिए हमारे पास निम्नलिखित पाँच बूलियन अभिव्यक्तियाँ हैं: | इसके बाद, प्रत्येक निर्णय मैट्रिक्स से हम [[बूलियन तर्क]] अभिव्यक्तियों का एक सेट बनाते हैं, मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति के लिए एक अभिव्यक्ति। प्रत्येक कोशिका के अंदरकी वस्तुओं को संयोजनात्मक रूप से एकत्रित किया जाता है, एवं व्यक्तिगत कोशिकाओं को फिर संयोजनात्मक रूप से एकत्रित किया जाता है। इस प्रकार, उपरोक्त तालिका के लिए हमारे पास निम्नलिखित पाँच बूलियन अभिव्यक्तियाँ हैं: | ||
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: <math>\emptyset \neq [T] = \bigcap_{t \in T} [t] \subseteq X.</math> | : <math>\emptyset \neq [T] = \bigcap_{t \in T} [t] \subseteq X.</math> | ||
तय करना <math>T</math> का एक न्यूनतम परिसर है <math>X</math> यदि एवं केवल यदि <math>X</math> पर निर्भर करता है <math>T</math> एवं कोई उचित उपसमुच्चय नहीं <math>S</math> का <math>T</math> ऐसा उपस्थित है <math>X</math> पर निर्भर करता है <math>S</math>. होने देना <math>\mathbb{T}</math> विशेषता-मूल्य युग्मों के अन्य-रिक्त सेटों का एक अन्य-रिक्त संग्रह बनें। तब <math>\mathbb{T}</math> का स्थानीय आवरण है <math>X</math> यदि एवं केवल यदि निम्नलिखित तीन शर्तें | तय करना <math>T</math> का एक न्यूनतम परिसर है <math>X</math> यदि एवं केवल यदि <math>X</math> पर निर्भर करता है <math>T</math> एवं कोई उचित उपसमुच्चय नहीं <math>S</math> का <math>T</math> ऐसा उपस्थित है <math>X</math> पर निर्भर करता है <math>S</math>. होने देना <math>\mathbb{T}</math> विशेषता-मूल्य युग्मों के अन्य-रिक्त सेटों का एक अन्य-रिक्त संग्रह बनें। तब <math>\mathbb{T}</math> का स्थानीय आवरण है <math>X</math> यदि एवं केवल यदि निम्नलिखित तीन शर्तें पूर्ण होती हैं: | ||
प्रत्येक सदस्य <math>T</math> का <math>\mathbb{T}</math> का एक न्यूनतम परिसर है <math>X</math>, | प्रत्येक सदस्य <math>T</math> का <math>\mathbb{T}</math> का एक न्यूनतम परिसर है <math>X</math>, | ||
| Line 301: | Line 301: | ||
===रफ़ सदस्यता=== | ===रफ़ सदस्यता=== | ||
वस्तुनिष्ठ सन्निकटन के अतिरिक्त रफ सदस्यता फ़ंक्शन को नियोजित करके, रफ सेट को सामान्यीकरण के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। रफ सदस्यता फ़ंक्शन एक सशर्त संभावना व्यक्त करता है <math>x</math> से संबंधित <math>X</math> दिया गया <math>\textstyle \R</math>. इसे एक डिग्री के रूप में समझा जा सकता है <math>x</math> से संबंधित <math>X</math> के | वस्तुनिष्ठ सन्निकटन के अतिरिक्त रफ सदस्यता फ़ंक्शन को नियोजित करके, रफ सेट को सामान्यीकरण के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। रफ सदस्यता फ़ंक्शन एक सशर्त संभावना व्यक्त करता है <math>x</math> से संबंधित <math>X</math> दिया गया <math>\textstyle \R</math>. इसे एक डिग्री के रूप में समझा जा सकता है <math>x</math> से संबंधित <math>X</math> के विषय में जानकारी के संदर्भ में <math>x</math> द्वारा व्यक्त किया गया <math>\textstyle \R</math>. | ||
रफ सदस्यता मुख्य रूप से फ़ज़ी सदस्यता से भिन्न होती है, जिसमें यूनियन की सदस्यता एवं सेटों के प्रतिच्छेदन की गणना, सामान्यतः, उनकी घटक सदस्यता से नहीं की जा सकती है, जैसा कि फ़ज़ी सेट के मामले में होता है। इसमें रफ मेंबरशिप फजी मेंबरशिप का सामान्यीकरण है। इसके अतिरिक्त, रफ सदस्यता फ़ंक्शन को फ़ज़ी सदस्यता फ़ंक्शन की पारंपरिक रूप से आयोजित अवधारणाओं की | रफ सदस्यता मुख्य रूप से फ़ज़ी सदस्यता से भिन्न होती है, जिसमें यूनियन की सदस्यता एवं सेटों के प्रतिच्छेदन की गणना, सामान्यतः, उनकी घटक सदस्यता से नहीं की जा सकती है, जैसा कि फ़ज़ी सेट के मामले में होता है। इसमें रफ मेंबरशिप फजी मेंबरशिप का सामान्यीकरण है। इसके अतिरिक्त, रफ सदस्यता फ़ंक्शन को फ़ज़ी सदस्यता फ़ंक्शन की पारंपरिक रूप से आयोजित अवधारणाओं की अपेक्षा में अधिक संभावना पर आधारित किया गया है। | ||
===अन्य सामान्यीकरण=== | ===अन्य सामान्यीकरण=== | ||
Revision as of 09:33, 6 July 2023
कंप्यूटर विज्ञान में, रफ सेट, जिसे प्रथम बार पोलिश कंप्यूटर वैज्ञानिक ज़डज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा वर्णित किया गया था, सेट की जोड़ी के संदर्भ में क्रिस्प सेट (अर्थात , पारंपरिक सेट) का ऐसा औपचारिक अनुमान है जो निचला एवं ऊपरी सन्निकटन देता है। मूल सेट रफ सेट थ्योरी (पावलक 1991) के मानक संस्करण में, निचले एवं ऊपरीसन्निकटन सेट क्रिस्प सेट होते हैं, किन्तु अन्य विविधताओं में, अनुमानित सेट अस्पष्ट सेट हो सकते हैं।
परिभाषाएँ
निम्नलिखित अनुभाग में कुछ प्रमुख परिभाषाओं के साथ, रफ सेट सिद्धांत के बुनियादी आकृति का अवलोकन सम्मिलित है, जैसा कि मूल रूप से ज़ेडज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा प्रस्तावित किया गया हैं। रफ सेट के अधिक औपचारिक गुण एवं सीमाएँ पावलक (1991) एवं उद्धृत संदर्भों में प्राप्त सकती हैं। रफ सेट के प्रारंभिक एवं बुनियादी सिद्धांत को कभी-कभी पावलक रफ सेट या क्लासिकल रफ सेट के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो कि वर्तमान के विस्तार एवं सामान्यीकरण से भिन्न करने का साधन है।
सूचना प्रणाली संरचना
सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य प्रणाली) बनें, जहां