रफ़ सेट: Difference between revisions
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{{Short description|Approximation of a mathematical set}} | {{Short description|Approximation of a mathematical set}} | ||
[[कंप्यूटर विज्ञान]] में, एक [[फजी सेट|रफ सेट]], जिसे पहली बार पोलिश कंप्यूटर वैज्ञानिक ज़डज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा वर्णित किया गया था, सेट की एक जोड़ी के संदर्भ में एक [[ कुरकुरा सेट ]] ( | [[कंप्यूटर विज्ञान]] में, एक [[फजी सेट|रफ सेट]], जिसे पहली बार पोलिश कंप्यूटर वैज्ञानिक ज़डज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा वर्णित किया गया था, सेट की एक जोड़ी के संदर्भ में एक [[ कुरकुरा सेट ]] (अर्थात , पारंपरिक सेट) का एक औपचारिक अनुमान है जो निचला और ऊपरी सन्निकटन देता है। मूल सेट रफ सेट थ्योरी (पावलक 1991) के मानक संस्करण में, निचले और ऊपरी-सन्निकटन सेट क्रिस्प सेट होते हैं, किन्तुअन्य विविधताओं में, अनुमानित सेट अस्पष्ट सेट हो सकते हैं। | ||
==परिभाषाएँ== | ==परिभाषाएँ== | ||
निम्नलिखित अनुभाग में कुछ प्रमुख परिभाषाओं के साथ, रफ सेट सिद्धांत के बुनियादी ढांचे का अवलोकन | निम्नलिखित अनुभाग में कुछ प्रमुख परिभाषाओं के साथ, रफ सेट सिद्धांत के बुनियादी ढांचे का अवलोकन सम्मिलित है, जैसा कि मूल रूप से ज़ेडज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा प्रस्तावित किया गया हैं। रफ सेट के अधिक औपचारिक गुण और सीमाएँ पावलक (1991) और उद्धृत संदर्भों में पाई जा सकती हैं। रफ सेट के प्रारंभिक और बुनियादी सिद्धांत को कभी-कभी पावलक रफ सेट या क्लासिकल रफ सेट के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो कि हाल के विस्तार और सामान्यीकरण से भिन्न करने का एक साधन है। | ||
===सूचना प्रणाली ढांचा=== | ===सूचना प्रणाली ढांचा=== | ||
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रिश्ता <math>\mathrm{IND}(P)</math> ए कहा जाता है <math>P</math>- अविवेकपूर्ण संबंध. का विभाजन <math>\mathbb{U}</math> के सभी समतुल्य वर्गों का एक परिवार है <math>\mathrm{IND}(P)</math> और द्वारा दर्शाया गया है <math>\mathbb{U}/\mathrm{IND}(P)</math> (या <math>\mathbb{U}/P</math>). | रिश्ता <math>\mathrm{IND}(P)</math> ए कहा जाता है <math>P</math>- अविवेकपूर्ण संबंध. का विभाजन <math>\mathbb{U}</math> के सभी समतुल्य वर्गों का एक परिवार है <math>\mathrm{IND}(P)</math> और द्वारा दर्शाया गया है <math>\mathbb{U}/\mathrm{IND}(P)</math> (या <math>\mathbb{U}/P</math>). | ||
यदि <math>(x,y)\in \mathrm{IND}(P)</math>, तब <math>x</math> और <math>y</math> गुणों के आधार पर अप्रभेद्य (या अप्रभेद्य) हैं <math>P</math> . | |||
के समतुल्य वर्ग <math>P</math>-अविवेकी संबंध निरूपित किया जाता है <math>[x]_P</math>. | के समतुल्य वर्ग <math>P</math>-अविवेकी संबंध निरूपित किया जाता है <math>[x]_P</math>. | ||
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\{O_{9}\} \end{cases} | \{O_{9}\} \end{cases} | ||
</math> | </math> | ||
इस प्रकार, प्रथम तुल्यता वर्ग के भीतर दो वस्तुएँ, <math>\{O_{1},O_{2}\}</math>, उपलब्ध विशेषताओं और दूसरे समतुल्य वर्ग के भीतर तीन वस्तुओं के आधार पर एक दूसरे से | इस प्रकार, प्रथम तुल्यता वर्ग के भीतर दो वस्तुएँ, <math>\{O_{1},O_{2}\}</math>, उपलब्ध विशेषताओं और दूसरे समतुल्य वर्ग के भीतर तीन वस्तुओं के आधार पर एक दूसरे से भिन्न नहीं किया जा सकता है, <math>\{O_{3},O_{7},O_{10}\}</math>, उपलब्ध विशेषताओं के आधार पर एक दूसरे से भिन्न नहीं किया जा सकता। शेष पाँच वस्तुएँ अन्य सभी वस्तुओं से भिन्न हैं। | ||
यह स्पष्ट है कि | यह स्पष्ट है कि भिन्न-भिन्न विशेषता उपसमुच्चय चयन सामान्यतः भिन्न-भिन्न अविवेकपूर्णता वर्गों को जन्म देंगे। उदाहरण के लिए, यदि विशेषता <math>P =\{ P_{1}\}</math> अकेले चयनित होने पर, हमें निम्नलिखित, अधिक मोटे, तुल्यता-वर्ग संरचना प्राप्त होती है: | ||
:<math> | :<math> | ||
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===रफ़ सेट की परिभाषा=== | ===रफ़ सेट की परिभाषा=== | ||
होने देना <math>X \subseteq \mathbb{U}</math> एक लक्ष्य सेट हो जिसे हम विशेषता उपसमुच्चय का उपयोग करके प्रस्तुत करना चाहते हैं <math>P</math>; अर्थात्, हमें बताया गया है कि वस्तुओं का एक मनमाना सेट <math>X</math> इसमें एक एकल वर्ग | होने देना <math>X \subseteq \mathbb{U}</math> एक लक्ष्य सेट हो जिसे हम विशेषता उपसमुच्चय का उपयोग करके प्रस्तुत करना चाहते हैं <math>P</math>; अर्थात्, हमें बताया गया है कि वस्तुओं का एक मनमाना सेट <math>X</math> इसमें एक एकल वर्ग सम्मिलित है, और हम विशेषता उपसमुच्चय द्वारा प्रेरित समतुल्य वर्गों का उपयोग करके इस वर्ग (अर्थात , इस उपसमुच्चय) को व्यक्त करना चाहते हैं <math>P</math>. सामान्य रूप में, <math>X</math> सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि सेट में उन वस्तुओं को सम्मिलित और बाहर किया जा सकता है जो विशेषताओं के आधार पर अप्रभेद्य हैं <math>P</math>. | ||
उदाहरण के लिए, निर्धारित लक्ष्य पर विचार करें <math>X = \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}\}</math>, और विशेषता उपसमुच्चय दें <math>P = \{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}\}</math>, सुविधाओं का पूरा उपलब्ध सेट। सेट <math>X</math> सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता, क्योंकि में <math>[x]_P,</math>, वस्तुएं <math>\{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math> अविवेकी हैं. इस प्रकार, किसी भी सेट का प्रतिनिधित्व करने का कोई | उदाहरण के लिए, निर्धारित लक्ष्य पर विचार करें <math>X = \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}\}</math>, और विशेषता उपसमुच्चय दें <math>P = \{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}\}</math>, सुविधाओं का पूरा उपलब्ध सेट। सेट <math>X</math> सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता, क्योंकि में <math>[x]_P,</math>, वस्तुएं <math>\{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math> अविवेकी हैं. इस प्रकार, किसी भी सेट का प्रतिनिधित्व करने का कोई विधिनहीं है <math>X</math> जो भी सम्मिलित है <math>O_{3}</math> किन्तु वस्तुओं को छोड़ देता है <math>O_{7}</math> और <math>O_{10}</math>. | ||
हालाँकि, लक्ष्य निर्धारित है <math>X</math> केवल उसमें | हालाँकि, लक्ष्य निर्धारित है <math>X</math> केवल उसमें उपस्थित जानकारी का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है <math>P</math> का निर्माण करके <math>P</math>-निचला और <math>P</math>-ऊपरी सन्निकटन <math>X</math>: | ||
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====ऊपरी सन्निकटन और ऋणात्मक क्षेत्र==== <math>P</math>वें>-ऊपरी सन्निकटन सभी समतुल्य वर्गों का मिलन है <math>[x]_P</math> जिनका लक्ष्य निर्धारित के साथ गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है - उदाहरण में, <math>{\overline P}X = \{O_{1}, O_{2}\} \cup \{O_{4}\} \cup \{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math>, तीन समतुल्य वर्गों का मिलन <math>[x]_P</math> जिनका निर्धारित लक्ष्य के साथ गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है। ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूरा सेट है <math>\mathbb{U}/P</math> जिसे सकारात्मक रूप से (अर्थात, स्पष्ट रूप से) पूरक के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता (<math>\overline X</math>) निर्धारित लक्ष्य का <math>X</math>. दूसरे शब्दों में, ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूरा सेट है जो संभवतः लक्ष्य सेट के सदस्य हैं <math>X</math>. | ====ऊपरी सन्निकटन और ऋणात्मक क्षेत्र==== <math>P</math>वें>-ऊपरी सन्निकटन सभी समतुल्य वर्गों का मिलन है <math>[x]_P</math> जिनका लक्ष्य निर्धारित के साथ गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है - उदाहरण में, <math>{\overline P}X = \{O_{1}, O_{2}\} \cup \{O_{4}\} \cup \{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math>, तीन समतुल्य वर्गों का मिलन <math>[x]_P</math> जिनका निर्धारित लक्ष्य के साथ गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है। ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूरा सेट है <math>\mathbb{U}/P</math> जिसे सकारात्मक रूप से (अर्थात, स्पष्ट रूप से) पूरक के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता (<math>\overline X</math>) निर्धारित लक्ष्य का <math>X</math>. दूसरे शब्दों में, ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूरा सेट है जो संभवतः लक्ष्य सेट के सदस्य हैं <math>X</math>. | ||
सेट <math>\mathbb{U}-{\overline P}X</math> इसलिए नकारात्मक क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें वस्तुओं का समूह | सेट <math>\mathbb{U}-{\overline P}X</math> इसलिए नकारात्मक क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें वस्तुओं का समूह सम्मिलित है जिन्हें लक्ष्य सेट के सदस्यों के रूप में निश्चित रूप से खारिज किया जा सकता है। | ||
====सीमा क्षेत्र==== | ====सीमा क्षेत्र==== | ||
सीमा क्षेत्र, निर्धारित अंतर द्वारा दिया गया <math>{\overline P}X - {\underline P}X</math>, इसमें वे वस्तुएं | सीमा क्षेत्र, निर्धारित अंतर द्वारा दिया गया <math>{\overline P}X - {\underline P}X</math>, इसमें वे वस्तुएं सम्मिलित हैं जिन्हें लक्ष्य निर्धारित के सदस्यों के रूप में न तो खारिज किया जा सकता है और न ही खारिज किया जा सकता है <math>X</math>. | ||
संक्षेप में, लक्ष्य सेट का निचला सन्निकटन एक रूढ़िवादी सन्निकटन है जिसमें केवल वे वस्तुएं | संक्षेप में, लक्ष्य सेट का निचला सन्निकटन एक रूढ़िवादी सन्निकटन है जिसमें केवल वे वस्तुएं सम्मिलित होती हैं जिन्हें सकारात्मक रूप से सेट के सदस्यों के रूप में पहचाना जा सकता है। (इन वस्तुओं में कोई अदृश्य क्लोन नहीं है जिन्हें लक्ष्य सेट से बाहर रखा गया है।) ऊपरी सन्निकटन एक उदार सन्निकटन है जिसमें वे सभी वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो लक्ष्य निर्धारित के सदस्य हो सकते हैं। (ऊपरी सन्निकटन में कुछ वस्तुएं लक्ष्य निर्धारित की सदस्य नहीं हो सकती हैं।) के परिप्रेक्ष्य से <math>\mathbb{U}/P</math>, निचले सन्निकटन में वे वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो निश्चितता (संभावना = 1) के साथ निर्धारित लक्ष्य के सदस्य हैं, जबकि ऊपरी सन्निकटन में वे वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो गैर-शून्य संभावना (संभावना> 0) के साथ निर्धारित लक्ष्य के सदस्य हैं। | ||
====रफ़ सेट==== | ====रफ़ सेट==== | ||
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====उद्देश्य विश्लेषण==== | ====उद्देश्य विश्लेषण==== | ||
रफ सेट सिद्धांत कई तरीकों में से एक है जिसे अनिश्चित (अस्पष्ट सहित) प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए नियोजित किया जा सकता है, | रफ सेट सिद्धांत कई तरीकों में से एक है जिसे अनिश्चित (अस्पष्ट सहित) प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए नियोजित किया जा सकता है, चूँकि संभाव्यता, सांख्यिकी, [[एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)]] और डेम्पस्टर-शेफ़र सिद्धांत के अधिक पारंपरिक तरीकों की तुलना में कम आम है। हालाँकि, मौलिक रफ सेट सिद्धांत का उपयोग करने का एक महत्वपूर्ण अंतर और एक अद्वितीय ताकत यह है कि यह विश्लेषण का एक उद्देश्यपूर्ण रूप प्रदान करता है (पावलक एट अल। 1995)। अन्य तरीकों के विपरीत, जैसा कि ऊपर दिया गया है, क्लासिकल रफ सेट विश्लेषण के लिए सेट सदस्यता निर्धारित करने के लिए किसी अतिरिक्त जानकारी, बाहरी पैरामीटर, मॉडल, फ़ंक्शन, ग्रेड या व्यक्तिपरक व्याख्याओं की आवश्यकता नहीं होती है - इसके अतिरिक्त यह केवल दिए गए डेटा के भीतर प्रस्तुत जानकारी का उपयोग करता है (डंटश और गेडिगा 1995) ). रफ सेट सिद्धांत के हालिया अनुकूलन, जैसे कि प्रभुत्व-आधारित, निर्णय-सैद्धांतिक और फ़ज़ी रफ सेट, ने विश्लेषण में अधिक व्यक्तिपरकता ला दी है। | ||
===निश्चयता=== | ===निश्चयता=== | ||
सामान्यतः, ऊपरी और निचले सन्निकटन समान नहीं होते हैं; ऐसे मामलों में, हम कहते हैं कि लक्ष्य निर्धारित है <math>X</math> विशेषता सेट पर अपरिभाषित या मोटे तौर पर परिभाषित नहीं है <math>P</math>. जब ऊपरी और निचला सन्निकटन बराबर हो (अर्थात, सीमा खाली हो), <math>{\overline P}X = {\underline P}X</math>, फिर लक्ष्य निर्धारित किया गया <math>X</math> विशेषता सेट पर निश्चित है <math>P</math>. हम अपरिभाषितता के निम्नलिखित विशेष मामलों को भिन्न कर सकते हैं: | |||
* तय करना <math>X</math> यदि आंतरिक रूप से अपरिभाषित है <math>{\underline P}X = \emptyset</math> और <math>{\overline P}X \neq \mathbb{U}</math>. इसका मतलब है कि विशेषता सेट पर <math>P</math>, ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसके बारे में हम निश्चित हो सकें कि वह लक्ष्य निर्धारित से संबंधित है <math>X</math>, | * तय करना <math>X</math> यदि आंतरिक रूप से अपरिभाषित है <math>{\underline P}X = \emptyset</math> और <math>{\overline P}X \neq \mathbb{U}</math>. इसका मतलब है कि विशेषता सेट पर <math>P</math>, ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसके बारे में हम निश्चित हो सकें कि वह लक्ष्य निर्धारित से संबंधित है <math>X</math>, किन्तु ऐसी वस्तुएं हैं जिन्हें हम निश्चित रूप से सेट से बाहर कर सकते हैं <math>X</math>. | ||
* तय करना <math>X</math> यदि बाह्य रूप से अपरिभाषित है <math>{\underline P}X \neq \emptyset</math> और <math>{\overline P}X = \mathbb{U}</math>. इसका मतलब है कि विशेषता सेट पर <math>P</math>, ऐसी वस्तुएं हैं जिनके बारे में हम निश्चित हो सकते हैं कि वे लक्ष्य निर्धारित से संबंधित हैं <math>X</math>, | * तय करना <math>X</math> यदि बाह्य रूप से अपरिभाषित है <math>{\underline P}X \neq \emptyset</math> और <math>{\overline P}X = \mathbb{U}</math>. इसका मतलब है कि विशेषता सेट पर <math>P</math>, ऐसी वस्तुएं हैं जिनके बारे में हम निश्चित हो सकते हैं कि वे लक्ष्य निर्धारित से संबंधित हैं <math>X</math>, किन्तु ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसे हम निश्चित रूप से सेट से बाहर कर सकें <math>X</math>. | ||
* तय करना <math>X</math> यदि पूरी तरह से अपरिभाषित है <math>{\underline P}X = \emptyset</math> और <math>{\overline P}X = \mathbb{U}</math>. इसका मतलब है कि विशेषता सेट पर <math>P</math>, ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसके बारे में हम निश्चित हो सकें कि वह लक्ष्य निर्धारित से संबंधित है <math>X</math>, और ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसे हम निश्चित रूप से सेट से बाहर कर सकें <math>X</math>. इस प्रकार, विशेषता सेट पर <math>P</math>, हम यह तय नहीं कर सकते कि कोई वस्तु इसका सदस्य है या नहीं <math>X</math>. | * तय करना <math>X</math> यदि पूरी तरह से अपरिभाषित है <math>{\underline P}X = \emptyset</math> और <math>{\overline P}X = \mathbb{U}</math>. इसका मतलब है कि विशेषता सेट पर <math>P</math>, ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसके बारे में हम निश्चित हो सकें कि वह लक्ष्य निर्धारित से संबंधित है <math>X</math>, और ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसे हम निश्चित रूप से सेट से बाहर कर सकें <math>X</math>. इस प्रकार, विशेषता सेट पर <math>P</math>, हम यह तय नहीं कर सकते कि कोई वस्तु इसका सदस्य है या नहीं <math>X</math>. | ||
===रिडक्ट और कोर=== | ===रिडक्ट और कोर=== | ||
एक | एक रोचक सवाल यह है कि क्या सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य तालिका) में ऐसी विशेषताएं हैं जो अन्य विशेषताओं की तुलना में समतुल्य वर्ग संरचना में दर्शाए गए ज्ञान के लिए अधिक महत्वपूर्ण हैं। प्रायः, हमें आश्चर्य होता है कि क्या विशेषताओं का एक उपसमूह है, जो अपने आप में, डेटाबेस में ज्ञान को पूरी तरह से चित्रित कर सकता है; ऐसे विशेषता सेट को रिडक्ट कहा जाता है। | ||
औपचारिक रूप से, रिडक्ट विशेषताओं का एक उपसमूह है <math>\mathrm{RED} \subseteq P</math> ऐसा है कि | औपचारिक रूप से, रिडक्ट विशेषताओं का एक उपसमूह है <math>\mathrm{RED} \subseteq P</math> ऐसा है कि | ||
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* विशेषता सेट <math>\mathrm{RED}</math> न्यूनतम है, इस अर्थ में <math>[x]_{(\mathrm{RED}-\{a\})} \neq [x]_P</math> किसी भी विशेषता के लिए <math>a \in \mathrm{RED}</math>; दूसरे शब्दों में, किसी भी विशेषता को सेट से हटाया नहीं जा सकता <math>\mathrm{RED}</math> समतुल्य वर्गों को बदले बिना <math>[x]_P</math>. | * विशेषता सेट <math>\mathrm{RED}</math> न्यूनतम है, इस अर्थ में <math>[x]_{(\mathrm{RED}-\{a\})} \neq [x]_P</math> किसी भी विशेषता के लिए <math>a \in \mathrm{RED}</math>; दूसरे शब्दों में, किसी भी विशेषता को सेट से हटाया नहीं जा सकता <math>\mathrm{RED}</math> समतुल्य वर्गों को बदले बिना <math>[x]_P</math>. | ||
कमी को सुविधाओं के पर्याप्त सेट के रूप में सोचा जा सकता है - पर्याप्त, | कमी को सुविधाओं के पर्याप्त सेट के रूप में सोचा जा सकता है - पर्याप्त, अर्थात श्रेणी संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए। उपरोक्त उदाहरण तालिका में, विशेषता सेट <math>\{P_3,P_4,P_5\}</math> एक कमी है - केवल इन विशेषताओं पर प्रक्षेपित सूचना प्रणाली में समान समतुल्य वर्ग संरचना होती है जो पूर्ण विशेषता सेट द्वारा व्यक्त की जाती है: | ||
:<math> | :<math> | ||
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विशेषता सेट <math>\{P_3,P_4,P_5\}</math> एक कमी है क्योंकि इनमें से किसी भी विशेषता को समाप्त करने से तुल्यता-वर्ग संरचना का पतन हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप <math>[x]_{\mathrm{RED}} \neq [x]_P</math>. | विशेषता सेट <math>\{P_3,P_4,P_5\}</math> एक कमी है क्योंकि इनमें से किसी भी विशेषता को समाप्त करने से तुल्यता-वर्ग संरचना का पतन हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप <math>[x]_{\mathrm{RED}} \neq [x]_P</math>. | ||
किसी सूचना प्रणाली की कमी अद्वितीय नहीं है: विशेषताओं के कई उपसमूह हो सकते हैं जो सूचना प्रणाली में व्यक्त समतुल्य-वर्ग संरचना ( | किसी सूचना प्रणाली की कमी अद्वितीय नहीं है: विशेषताओं के कई उपसमूह हो सकते हैं जो सूचना प्रणाली में व्यक्त समतुल्य-वर्ग संरचना (अर्थात , ज्ञान) को संरक्षित करते हैं। उपरोक्त उदाहरण सूचना प्रणाली में, एक और कमी है <math>\{P_1,P_2,P_5\}</math>, समान तुल्यता-वर्ग संरचना का निर्माण करता है <math>[x]_P</math>. | ||
गुणों का वह सेट जो सभी रिडक्ट्स के लिए सामान्य है, कोर कहलाता है: कोर उन गुणों का सेट है जो हर रिडक्ट के पास होता है, और इसलिए इसमें ऐसे गुण होते हैं जिन्हें तुल्यता-वर्ग के पतन के बिना सूचना प्रणाली से हटाया नहीं जा सकता है संरचना। कोर को आवश्यक विशेषताओं के सेट के रूप में सोचा जा सकता है - आवश्यक, | गुणों का वह सेट जो सभी रिडक्ट्स के लिए सामान्य है, कोर कहलाता है: कोर उन गुणों का सेट है जो हर रिडक्ट के पास होता है, और इसलिए इसमें ऐसे गुण होते हैं जिन्हें तुल्यता-वर्ग के पतन के बिना सूचना प्रणाली से हटाया नहीं जा सकता है संरचना। कोर को आवश्यक विशेषताओं के सेट के रूप में सोचा जा सकता है - आवश्यक, अर्थात , श्रेणी संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए। उदाहरण में, ऐसी एकमात्र विशेषता है <math>\{P_5\}</math>; अन्य विशेषताओं में से किसी एक को समतुल्य-वर्ग संरचना को नुकसान पहुंचाए बिना अकेले हटाया जा सकता है, और इसलिए ये सभी डिस्पेंसेबल हैं। हालाँकि, हटा रहा हूँ <math>\{P_5\}</math> अपने आप में तुल्यता-वर्ग संरचना बदल जाती है, और इस प्रकार <math>\{P_5\}</math> इस सूचना प्रणाली का अपरिहार्य गुण है, और इसलिए इसका मूल है। | ||
कोर का खाली होना संभव है, जिसका अर्थ है कि कोई अपरिहार्य विशेषता नहीं है: ऐसी सूचना प्रणाली में किसी भी एक विशेषता को समतुल्य-वर्ग संरचना में बदलाव किए बिना हटाया जा सकता है। ऐसे मामलों में, कोई आवश्यक या आवश्यक विशेषता नहीं है जो वर्ग संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक हो। | कोर का खाली होना संभव है, जिसका अर्थ है कि कोई अपरिहार्य विशेषता नहीं है: ऐसी सूचना प्रणाली में किसी भी एक विशेषता को समतुल्य-वर्ग संरचना में बदलाव किए बिना हटाया जा सकता है। ऐसे मामलों में, कोई आवश्यक या आवश्यक विशेषता नहीं है जो वर्ग संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक हो। | ||
===विशेषता निर्भरता=== | ===विशेषता निर्भरता=== | ||
डेटाबेस विश्लेषण या डेटा अधिग्रहण के सबसे महत्वपूर्ण पहलुओं में से एक विशेषता निर्भरता की खोज है; अर्थात्, हम यह पता लगाना चाहते हैं कि कौन से चर किस अन्य चर से दृढ़ता से संबंधित हैं। | डेटाबेस विश्लेषण या डेटा अधिग्रहण के सबसे महत्वपूर्ण पहलुओं में से एक विशेषता निर्भरता की खोज है; अर्थात्, हम यह पता लगाना चाहते हैं कि कौन से चर किस अन्य चर से दृढ़ता से संबंधित हैं। सामान्यतः, यह ये स्थिर रिश्ते हैं जो आगे की जांच की गारंटी देंगे, और जो अंततः भविष्य कहनेवाला मॉडलिंग में उपयोगी होंगे। | ||
रफ सेट सिद्धांत में, निर्भरता की धारणा को बहुत सरलता से परिभाषित किया गया है। आइए हम विशेषताओं के दो (असंबद्ध) सेट लें, सेट करें <math>P</math> और सेट करें <math>Q</math>, और पूछताछ करें कि उनके बीच किस स्तर की निर्भरता प्राप्त होती है। प्रत्येक विशेषता सेट एक (अविवेकी) तुल्यता वर्ग संरचना को प्रेरित करता है, तुल्यता वर्ग प्रेरित होते हैं <math>P</math> द्वारा दिए गए <math>[x]_P</math>, और तुल्यता वर्ग द्वारा प्रेरित <math>Q</math> द्वारा दिए गए <math>[x]_Q</math>. | रफ सेट सिद्धांत में, निर्भरता की धारणा को बहुत सरलता से परिभाषित किया गया है। आइए हम विशेषताओं के दो (असंबद्ध) सेट लें, सेट करें <math>P</math> और सेट करें <math>Q</math>, और पूछताछ करें कि उनके बीच किस स्तर की निर्भरता प्राप्त होती है। प्रत्येक विशेषता सेट एक (अविवेकी) तुल्यता वर्ग संरचना को प्रेरित करता है, तुल्यता वर्ग प्रेरित होते हैं <math>P</math> द्वारा दिए गए <math>[x]_P</math>, और तुल्यता वर्ग द्वारा प्रेरित <math>Q</math> द्वारा दिए गए <math>[x]_Q</math>. | ||
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अर्थात् प्रत्येक समतुल्य वर्ग के लिए <math>Q_i</math> में <math>[x]_Q</math>, हम इसके निचले सन्निकटन के आकार को विशेषताओं द्वारा जोड़ते हैं <math>P</math>, अर्थात।, <math>{\underline P}Q_i</math>. यह सन्निकटन (जैसा कि ऊपर है, मनमाने सेट के लिए <math>X</math>) उन वस्तुओं की संख्या है जो विशेषता पर सेट हैं <math>P</math> लक्ष्य निर्धारित से संबंधित के रूप में सकारात्मक रूप से पहचाना जा सकता है <math>Q_i</math>. सभी समतुल्य वर्गों में जोड़ा गया <math>[x]_Q</math>, उपरोक्त अंश वस्तुओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो - विशेषता सेट पर आधारित है <math>P</math> - विशेषताओं द्वारा प्रेरित वर्गीकरण के अनुसार सकारात्मक रूप से वर्गीकृत किया जा सकता है <math>Q</math>. इसलिए निर्भरता अनुपात ऐसी वर्गीकृत वस्तुओं के अनुपात (संपूर्ण ब्रह्मांड के भीतर) को व्यक्त करता है। निर्भरता <math>\gamma_{P}(Q)</math> सूचना प्रणाली में ऐसी वस्तुओं के अनुपात के रूप में व्याख्या की जा सकती है जिसके लिए विशेषताओं के मूल्यों को जानना पर्याप्त है <math>P</math> में विशेषताओं के मान निर्धारित करने के लिए <math>Q</math>. | अर्थात् प्रत्येक समतुल्य वर्ग के लिए <math>Q_i</math> में <math>[x]_Q</math>, हम इसके निचले सन्निकटन के आकार को विशेषताओं द्वारा जोड़ते हैं <math>P</math>, अर्थात।, <math>{\underline P}Q_i</math>. यह सन्निकटन (जैसा कि ऊपर है, मनमाने सेट के लिए <math>X</math>) उन वस्तुओं की संख्या है जो विशेषता पर सेट हैं <math>P</math> लक्ष्य निर्धारित से संबंधित के रूप में सकारात्मक रूप से पहचाना जा सकता है <math>Q_i</math>. सभी समतुल्य वर्गों में जोड़ा गया <math>[x]_Q</math>, उपरोक्त अंश वस्तुओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो - विशेषता सेट पर आधारित है <math>P</math> - विशेषताओं द्वारा प्रेरित वर्गीकरण के अनुसार सकारात्मक रूप से वर्गीकृत किया जा सकता है <math>Q</math>. इसलिए निर्भरता अनुपात ऐसी वर्गीकृत वस्तुओं के अनुपात (संपूर्ण ब्रह्मांड के भीतर) को व्यक्त करता है। निर्भरता <math>\gamma_{P}(Q)</math> सूचना प्रणाली में ऐसी वस्तुओं के अनुपात के रूप में व्याख्या की जा सकती है जिसके लिए विशेषताओं के मूल्यों को जानना पर्याप्त है <math>P</math> में विशेषताओं के मान निर्धारित करने के लिए <math>Q</math>. | ||
निर्भरता पर विचार करने का एक और, सहज, | निर्भरता पर विचार करने का एक और, सहज, विधिप्रेरित विभाजन को लेना है <math>Q</math> लक्ष्य वर्ग के रूप में <math>C</math>, और विचार करें <math>P</math> लक्ष्य वर्ग के पुनर्निर्माण के लिए हम जिस विशेषता सेट का उपयोग करना चाहते हैं <math>C</math>. यदि <math>P</math> पूर्णतः पुनर्निर्माण कर सकता है <math>C</math>, तब <math>Q</math> पूर्णतः निर्भर करता है <math>P</math>; यदि <math>P</math> इसका परिणाम खराब और संभवतः यादृच्छिक पुनर्निर्माण होता है <math>C</math>, तब <math>Q</math> पर निर्भर नहीं है <math>P</math> बिलकुल। | ||
इस प्रकार, निर्भरता का यह माप विशेषता सेट की कार्यात्मक ( | इस प्रकार, निर्भरता का यह माप विशेषता सेट की कार्यात्मक (अर्थात , नियतात्मक) निर्भरता की डिग्री को व्यक्त करता है <math>Q</math> विशेषता सेट पर <math>P</math>; यह सममित नहीं है. विशेषता निर्भरता की इस धारणा का विशेषता निर्भरता की अधिक पारंपरिक सूचना-सैद्धांतिक (अर्थात , एंट्रोपिक) धारणाओं के संबंध पर कई स्रोतों में विचार की गई है (उदाहरण के लिए, पावलक, वोंग, और ज़िआर्को 1988; याओ और याओ 2002; वोंग, ज़िआर्को) , और ये 1986, क्वाफाफौ और बौसौफ 2000)। | ||
==नियम निष्कर्षण== | ==नियम निष्कर्षण== | ||
ऊपर जिन श्रेणी निरूपणों की | ऊपर जिन श्रेणी निरूपणों की विचार की गई है वे सभी प्रकृति में विस्तारित हैं; अर्थात्, एक श्रेणी या जटिल वर्ग अपने सभी सदस्यों का योग मात्र है। किसी श्रेणी का प्रतिनिधित्व करने का मतलब उस श्रेणी से संबंधित सभी वस्तुओं को सूचीबद्ध करने या पहचानने में सक्षम होना है। हालाँकि, विस्तारित श्रेणी प्रतिनिधित्व का व्यावहारिक उपयोग बहुत सीमित है, क्योंकि वे यह तय करने के लिए कोई अंतर्दृष्टि प्रदान नहीं करते हैं कि नई (पहले कभी नहीं देखी गई) वस्तुएँ श्रेणी की सदस्य हैं या नहीं। | ||
सामान्यतः जो वांछित होता है वह श्रेणी का एक जानबूझकर विवरण होता है, नियमों के एक सेट के आधार पर श्रेणी का प्रतिनिधित्व जो श्रेणी के दायरे का वर्णन करता है। ऐसे नियमों का चुनाव अद्वितीय नहीं है, और इसमें [[आगमनात्मक पूर्वाग्रह]] का मुद्दा निहित है। इस समस्या के बारे में अधिक जानकारी के लिए [[संस्करण स्थान]] और [[मॉडल चयन]] देखें। | |||
कुछ नियम-निष्कर्षण विधियाँ हैं। हम ज़िआर्को और शान (1995) पर आधारित नियम-निष्कर्षण प्रक्रिया से शुरुआत करेंगे। | कुछ नियम-निष्कर्षण विधियाँ हैं। हम ज़िआर्को और शान (1995) पर आधारित नियम-निष्कर्षण प्रक्रिया से शुरुआत करेंगे। | ||
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कहाँ <math>\{a, b, c, \dots\}</math> उनकी संबंधित विशेषताओं के डोमेन से वैध मान हैं। यह [[एसोसिएशन नियम]]ों का एक विशिष्ट रूप है, और इसमें मदों की संख्या है <math>\mathbb{U}</math> जो स्थिति/पूर्ववृत्त से मेल खाता हो, उसे नियम का समर्थन कहा जाता है। ऐसे नियम निकालने की विधि इसमें दी गई है {{Harvtxt|Ziarko|Shan|1995}} प्रत्येक व्यक्तिगत मूल्य के अनुरूप एक निर्णय मैट्रिक्स बनाना है <math>d</math> निर्णय विशेषता का <math>Q</math>. अनौपचारिक रूप से, मूल्य के लिए निर्णय मैट्रिक्स <math>d</math> निर्णय विशेषता का <math>Q</math> सभी विशेषता-मूल्य युग्मों को सूचीबद्ध करता है जो वस्तुओं के बीच भिन्न होते हैं <math>Q = d </math> और <math>Q \ne d</math>. | कहाँ <math>\{a, b, c, \dots\}</math> उनकी संबंधित विशेषताओं के डोमेन से वैध मान हैं। यह [[एसोसिएशन नियम]]ों का एक विशिष्ट रूप है, और इसमें मदों की संख्या है <math>\mathbb{U}</math> जो स्थिति/पूर्ववृत्त से मेल खाता हो, उसे नियम का समर्थन कहा जाता है। ऐसे नियम निकालने की विधि इसमें दी गई है {{Harvtxt|Ziarko|Shan|1995}} प्रत्येक व्यक्तिगत मूल्य के अनुरूप एक निर्णय मैट्रिक्स बनाना है <math>d</math> निर्णय विशेषता का <math>Q</math>. अनौपचारिक रूप से, मूल्य के लिए निर्णय मैट्रिक्स <math>d</math> निर्णय विशेषता का <math>Q</math> सभी विशेषता-मूल्य युग्मों को सूचीबद्ध करता है जो वस्तुओं के बीच भिन्न होते हैं <math>Q = d </math> और <math>Q \ne d</math>. | ||
इसे उदाहरण द्वारा सबसे अच्छी तरह से समझाया गया है (जो बहुत सारे नोटेशन से भी बचाता है)। ऊपर दी गई तालिका पर विचार करें, और आइए <math>P_{4}</math> निर्णय परिवर्तनशील बनें (अर्थात, निहितार्थ के दाईं ओर चर) और रहने दें <math>\{P_1,P_2,P_3\}</math> स्थिति चर बनें (निहितार्थ के बाईं ओर)। हम ध्यान दें कि निर्णय परिवर्तनशील है <math>P_{4}</math> अर्थात् दो भिन्न मान ग्रहण करता है <math>\{1, 2\}</math>. हम प्रत्येक मामले को | इसे उदाहरण द्वारा सबसे अच्छी तरह से समझाया गया है (जो बहुत सारे नोटेशन से भी बचाता है)। ऊपर दी गई तालिका पर विचार करें, और आइए <math>P_{4}</math> निर्णय परिवर्तनशील बनें (अर्थात, निहितार्थ के दाईं ओर चर) और रहने दें <math>\{P_1,P_2,P_3\}</math> स्थिति चर बनें (निहितार्थ के बाईं ओर)। हम ध्यान दें कि निर्णय परिवर्तनशील है <math>P_{4}</math> अर्थात् दो भिन्न मान ग्रहण करता है <math>\{1, 2\}</math>. हम प्रत्येक मामले को भिन्न से देखते हैं। | ||
सबसे पहले, हम मामले को देखते हैं <math>P_{4}=1</math>, और हम विभाजित हो जाते हैं <math>\mathbb{U}</math> उन वस्तुओं में जिनके पास है <math>P_{4}=1</math> और जिनके पास है <math>P_{4} \ne 1</math>. (ध्यान दें कि ऑब्जेक्ट के साथ <math>P_{4} \ne 1</math> इस मामले में केवल वे वस्तुएं हैं जो हैं <math>P_{4}=2</math>, | |||