डिसेन्ट (गणित)

गणित में, वंश का विचार सांस्थिति में 'ग्लूइंग' के सहज ज्ञान युक्त विचार का विस्तार करता है। चूंकि प्ररुपविज्ञानी का गोंद सांस्थितिक स्पेस पर तुल्यता संबंधों का उपयोग है, इसलिए सिद्धांत पहचान पर कुछ विचारों से प्रारम्भ होता है।

सदिश बंडलों का अवतरण

टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के असंबद्ध संघ पर डेटा से वेक्टर बंडलों के निर्माण का स्तिथि प्रारम्भ करने के लिए एक स्पष्ट स्थान है।

मान लीजिए कि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जो खुले सेट X_i द्वारा कवर किया गया है। मान लीजिए कि Y X_i का असंयुक्त संघ है, ताकि प्राकृतिक मानचित्रण हो

$p:Y\rightarrow X.$

हम Y को X से 'ऊपर' मानते हैं, X_i प्रक्षेपण के साथ X पर 'नीचे' है। उन बंडलों V_i को, X पर एकल बंडल V बनाने के लिए। हमारा मतलब यह है कि V को, जब X_i तक सीमित किया जाता है, तो बंडल समरूपता तक V_i को वापस देना चाहिए।

आवश्यक डेटा तब यह है: प्रत्येक अतिव्यापी पर

$X_{ij},$

X_i और X_j का प्रतिच्छेदन, हमें मैपिंग की आवश्यकता होगी

$f_{ij}:V_{i}\rightarrow V_{j}$

V_i और V_j की पहचान करने के लिए फाइबर द्वारा फाइबर का उपयोग करें। इसके अलावा, f_ij को तुल्यता संबंध (ग्लूइंग की स्थिति) के परावर्तक, सममित और संक्रमणीय गुणों के आधार पर शर्तों को पूरा करना होगा। उदाहरण के लिए, रचना

$f_{jk}\circ f_{ij}=f_{ik}$

परिवर्तनशीलता के लिए (और उपयुक्त संकेतन का चयन करना)। f_ii पहचान मानचित्र होना चाहिए और इसलिए समरूपता $f_{ij}=f_{ji}^{-1}$ बन जाती है (ताकि यह फाइबरवाइज आइसोमोर्फिज्म हो)।

फाइबर बंडल सिद्धांत में ये वास्तव में मानक स्थितियाँ हैं (संक्रमण मानचित्र देखें)। ध्यान देने योग्य एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग फाइबर का परिवर्तन है: यदि बंडल बनाने के लिए आपको केवल f_ij की आवश्यकता होती है, तो संबद्ध बंडल बनाने के कई विधियों हैं। अर्थात्, हम विभिन्न रेशों पर कार्य करते हुए मूलतः एक ही f_ij ले सकते हैं।

अन्य प्रमुख बिंदु श्रृंखला नियम के साथ संबंध है: टेंसर फ़ील्ड के निर्माण के विधियों की चर्चा को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है 'एक बार जब आप स्पर्शरेखा बंडल को अवतरित करना सीख जाते हैं, जिसके लिए परिवर्तनशीलता जैकोबियन श्रृंखला नियम है, बाकी सिर्फ 'टेंसर निर्माण की स्वाभाविकता' है।

अमूर्त सिद्धांत की ओर करीब बढ़ने के लिए हमें इसके असंयुक्त संघ की व्याख्या करने की आवश्यकता है।

$X_{ij}$

अब जैसे

$Y\times _{X}Y,$

प्रक्षेपण p की दो प्रतियों का फाइबर गुणनफल (यहां एक तुल्यकारक) है। X_ij पर जिन बंडलों को हमें नियंत्रित करना चाहिए वे V′ और V" हैं, दो अलग-अलग प्रक्षेपण मानचित्रों X के माध्यम से V के फाइबर में पश्चअपकर्ष है।

इसलिए, अधिक अमूर्त स्तर पर जाकर कोई संयोजन पक्ष को समाप्त कर सकता है (अर्थात, सूचकांकों को छोड़ सकता है) और कुछ ऐसा प्राप्त कर सकता है जो p के लिए समझ में आता है न कि कवर के उस विशेष रूप के लिए जिसके साथ हमने प्रारम्भ की थी। इसके बाद यह एक श्रेणी सिद्धांत दृष्टिकोण की अनुमति देता है: जो करना बाकी है वह ग्लूइंग स्थितियों को फिर से व्यक्त करना है।

इतिहास

ये विचार 1955-1965 की अवधि में विकसित हुए थे (यह मोटे तौर पर वह समय था जब बीजगणितीय टोपोलॉजी की आवश्यकताएं पूरी हो गई थीं लेकिन बीजगणितीय ज्यामिति की नहीं)। अमूर्त श्रेणी सिद्धांत के दृष्टिकोण से बेक के कॉमोनैड का काम उन विचारों का सारांश था; बेक की मोनैडिसिटी प्रमेय देखें।

भागफल तक जाने के साथ बीजीय ज्यामिति की कठिनाइयाँ तीव्र हैं। जियोमीटर के लिए समस्या की तात्कालिकता (इसे इस तरह से रखने के लिए) 1959 के ग्रोथेंडिक सेमिनार टीडीटीई के वंश के प्रमेयों और अस्तित्व की तकनीकों (एफजीए देखें) के शीर्षक के कारण है, जो बीजगणितीय ज्यामिति में प्रतिनिधित्व योग्य फ़नकार प्रश्न के साथ वंश प्रश्न को जोड़ता है। सामान्य रूप से, और विशेष रूप से मॉड्यूलि समस्या है।

पूर्णतः यथार्थ अवतरण (वंश)

मान लीजिये $p:X'\to X$. X पर प्रत्येक शीफ F वंश डेटा उत्त्पन्न होता है:

$(F'=p^{*}F,\alpha :p_{0}^{*}F'\simeq p_{1}^{*}F'),\,p_{i}:X''=X'\times _{X}X'\to X'$

जहाँ $\alpha$ सहचक्रीय स्थिति को संतुष्ट करता है:

$p_{02}^{*}\alpha =p_{12}^{*}\alpha \circ p_{01}^{*}\alpha ,\,p_{ij}:X'\times _{X}X'\times _{X}X'\to X'\times _{X}X'$.

पूर्णतया यथार्थ वंश कहता है: $F\mapsto (F',\alpha )$ पूर्णतया यथार्थ है। वंश सिद्धांत उन स्थितियों को बताता है जिनके लिए पूर्णतः विश्वसनीय वंश होता है।

यह भी देखें

• ग्रोथेंडिक कनेक्शन
• स्टैक (गणित)
• गैलोइस वंश
• ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी
• फाईबर्ड श्रेणी
• बेक की अद्वैतता प्रमेय
• कोहोमोलॉजिकल वंश

संदर्भ

• SGA 1, Ch VIII – this is the main reference
• Siegfried Bosch; Werner Lütkebohmert; Michel Raynaud (1990). Néron Models. Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Vol. 21. Springer-Verlag. ISBN 3540505873. A chapter on the descent theory is more accessible than SGA.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.

अग्रिम पठन

Other possible sources include:

• Angelo Vistoli, Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory arXiv:math.AG/0412512
• Mattieu Romagny, A straight way to algebraic stacks

बाहरी संबंध

• What is descent theory?