बॉर्न श्रृंखला: Difference between revisions

Revision as of 11:53, 26 June 2023

बॉर्न श्रृंखला^[1] क्वांटम प्रकीर्णन सिद्धांत में अंतःक्रियात्मक क्षमता की शक्तियों में विभिन्न प्रकीर्णन मात्राओं का विस्तार है $V$ (अधिक त्रुटिहीन रूप से की शक्तियों में $G_{0}V,$ जहां $G_{0}$ मुक्त कण ग्रीन की संचालिका है)। यह बॉर्न सन्निकटन से निकटता से संबंधित है, जो कि बॉर्न श्रृंखला का प्रथम क्रम पद है। श्रृंखला को औपचारिक रूप से प्रतिस्थापन द्वारा युग्मन स्थिरांक को प्रस्तुत करने वाली शक्ति श्रृंखला के रूप में $V\to \lambda V$ समझा जा सकता है। बोर्न श्रृंखला के अभिसरण की गति और अभिसरण की त्रिज्या ऑपरेटर के आइगेनमान $G_{0}V$ से संबंधित हैं। सामान्यतः बॉर्न श्रृंखला के प्रथम कुछ पद कमजोर अंतःक्रिया के लिए विस्तारित मात्रा $V$ और बड़ी टक्कर ऊर्जा के अच्छे सन्निकटन हैं।

प्रकीर्णन अवस्थाओं के लिए उत्पन्न हुई श्रृंखला

प्रकीर्णन अवस्थाओं के लिए बॉर्न श्रृंखला में लिखा है:

|\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}(E)V|\phi \rangle +[G_{0}(E)V]^{2}|\phi \rangle +[G_{0}(E)V]^{3}|\phi \rangle +\dots

इसे लिपमैन-श्विंगर समीकरण को दोहराकर प्राप्त किया जा सकता है:

|\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}(E)V|\psi \rangle .

ध्यान दें कि ग्रीन का ऑपरेटर $G_{0}$ मुक्त कण के लिए मंद/उन्नत या मंद के लिए स्थायी तरंग ऑपरेटर $|\psi ^{(+)}\rangle$ विकसित $|\psi ^{(-)}\rangle$ या स्थायी तरंग प्रकीर्णन अवस्थाएँ $|\psi ^{(P)}\rangle$ हो सकती है। प्रथम पुनरावृत्ति पूर्ण प्रकीर्णन विलयन को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है $|\psi \rangle$ मुक्त कण तरंग समारोह के साथ $|\phi \rangle$ लिपमैन-श्विंगर समीकरण के दाहिने हाथ की ओर और यह प्रथम बॉर्न सन्निकटन देता है। दूसरी पुनरावृत्ति दाहिने हाथ की ओर प्रथम बॉर्न सन्निकटन को प्रतिस्थापित करता है और परिणाम को दूसरा बॉर्न सन्निकटन कहा जाता है। सामान्यतः n-वें बॉर्न सन्निकटन श्रृंखला के n-पदों को ध्यान में रखता है। दूसरे बॉर्न सन्निकटन का उपयोग कभी-कभी किया जाता है, जब प्रथम बॉर्न सन्निकटन विलुप्त हो जाता है, किन्तु उच्च पदों का उपयोग संभवतः कभी किया जाता है। बॉर्न श्रृंखला को औपचारिक रूप से ऑपरेटर के समान सामान्य अनुपात के साथ ज्यामितीय श्रृंखला $G_{0}V$ के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है, लिपमैन-श्विंगर समीकरण का औपचारिक समाधान इस रूप में दे रहा है:

|\psi \rangle =[I-G_{0}(E)V]^{-1}|\phi \rangle =[V-VG_{0}(E)V]^{-1}V|\phi \rangle .

टी-मैट्रिक्स के लिए बॉर्न श्रृंखला

बॉर्न श्रृंखला को टी-मैट्रिक्स जैसी अन्य प्रकीर्णन मात्राओं के लिए भी लिखा जा सकता है जो प्रकीर्णन आयाम से निकटता से संबंधित है। टी-मैट्रिक्स के लिए लिपमैन-श्विंगर समीकरण को दोहराते हुए हमें प्राप्त होता है:

T(E)=V+VG_{0}(E)V+V[G_{0}(E)V]^{2}+V[G_{0}(E)V]^{3}+\dots

टी-मैट्रिक्स के लिए $G_{0}$ केवल मंदबुद्धि ग्रीन ऑपरेटर $G_{0}^{(+)}(E)$ है। स्टैंडिंग वेव ग्रीन का ऑपरेटर इसके अतिरिक्त K-मैट्रिक्स देगा।

फुल ग्रीन के ऑपरेटर के लिए बॉर्न श्रृंखला

ग्रीन के संचालक के लिए लिपमैन-श्विंगर समीकरण रिज़ॉल्वेंट औपचारिकता कहा जाता है,

G(E)=G_{0}(E)+G_{0}(E)VG(E).

पुनरावृत्ति द्वारा इसका समाधान पूर्ण ग्रीन के ऑपरेटर के लिए बॉर्न श्रृंखला $G(E)=(E-H+i\epsilon )^{-1}$ की ओर जाता है:

G(E)=G_{0}(E)+G_{0}(E)VG_{0}(E)+[G_{0}(E)V]^{2}G_{0}(E)+[G_{0}(E)V]^{3}G_{0}(E)+\dots

ग्रन्थसूची

Joachain, Charles J. (1983). Quantum collision theory. North Holland. ISBN 978-0-7204-0294-0.
Taylor, John R. (1972). Scattering Theory: The Quantum Theory on Nonrelativistic Collisions. John Wiley. ISBN 978-0-471-84900-1.
Newton, Roger G. (2002). Scattering Theory of Waves and Particles. Dover Publications, inc. ISBN 978-0-486-42535-1.

संदर्भ

↑ Born, Max (1926). "Quantenmechanik der Stoßvorgänge". Zeitschrift für Physik. 38 (11–12): 803–827. Bibcode:1926ZPhy...38..803B. doi:10.1007/bf01397184. S2CID 126244962.

[1] Born, Max (1926). "Quantenmechanik der Stoßvorgänge". Zeitschrift für Physik. 38 (11–12): 803–827. Bibcode:1926ZPhy...38..803B. doi:10.1007/bf01397184. S2CID 126244962.

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 बॉर्न श्रृंखला<ref>{{cite journal | last=Born |first=Max |journal=Zeitschrift für Physik|year=1926|volume=38|issue=11–12 |pages=803–827|doi=10.1007/bf01397184 |title=Quantenmechanik der Stoßvorgänge|bibcode = 1926ZPhy...38..803B |s2cid=126244962 }}</ref> क्वांटम प्रकीर्णन सिद्धांत में अंतःक्रियात्मक क्षमता की शक्तियों में विभिन्न प्रकीर्णन मात्राओं का विस्तार है <math> V </math> (अधिक त्रुटिहीन रूप से की शक्तियों में <math> G_0 V, </math> जहां <math> G_0 </math> मुक्त कण ग्रीन की संचालिका है)। यह बॉर्न सन्निकटन से निकटता से संबंधित है, जो कि बॉर्न श्रृंखला का प्रथम क्रम पद है। श्रृंखला को औपचारिक रूप से प्रतिस्थापन द्वारा [[युग्मन स्थिरांक]] को प्रस्तुत करने वाली शक्ति श्रृंखला के रूप में <math> V \to \lambda V </math> समझा जा सकता है। बोर्न श्रृंखला के अभिसरण की गति और [[अभिसरण की त्रिज्या]] ऑपरेटर के [[eigenvalues|आइगेनमान]] <math> G_0 V </math> से संबंधित हैं। सामान्यतः बॉर्न श्रृंखला के प्रथम कुछ पद कमजोर अंतःक्रिया के लिए विस्तारित मात्रा <math> V </math> और बड़ी टक्कर ऊर्जा के अच्छे सन्निकटन हैं।
-== बिखरने वाले राज्यों के लिए पैदा हुई श्रृंखला ==
+== प्रकीर्णन अवस्थाओं के लिए उत्पन्न हुई श्रृंखला ==
-बिखरने वाले राज्यों के लिए जन्म श्रृंखला पढ़ता है
+प्रकीर्णन अवस्थाओं के लिए बॉर्न श्रृंखला में लिखा है:
 :<math> |\psi\rangle = |\phi \rangle + G_0(E) V |\phi\rangle + [G_0(E) V]^2 |\phi\rangle + [G_0(E) V]^3 |\phi\rangle + \dots </math>
-यह Lippmann-Schwinger समीकरण को दोहराकर प्राप्त किया जा सकता है
+इसे लिपमैन-श्विंगर समीकरण को दोहराकर प्राप्त किया जा सकता है:
 :<math> |\psi\rangle = |\phi \rangle + G_0(E) V |\psi\rangle. </math>
-ध्यान दें कि ग्रीन का कार्य | ग्रीन का ऑपरेटर <math> G_0 </math> एक मुक्त कण के लिए मंद/उन्नत या मंद के लिए स्थायी तरंग ऑपरेटर हो सकता है <math> |\psi^{(+)}\rangle </math> विकसित <math> |\psi^{(-)}\rangle </math> या स्थायी तरंग प्रकीर्णन अवस्थाएँ <math> |\psi^{(P)}\rangle </math>.
+ध्यान दें कि ग्रीन का ऑपरेटर <math> G_0 </math> मुक्त कण के लिए मंद/उन्नत या मंद के लिए स्थायी तरंग ऑपरेटर <math> |\psi^{(+)}\rangle </math> विकसित <math> |\psi^{(-)}\rangle </math> या स्थायी तरंग प्रकीर्णन अवस्थाएँ <math> |\psi^{(P)}\rangle </math> हो सकती है। प्रथम पुनरावृत्ति पूर्ण प्रकीर्णन विलयन को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है <math> |\psi\rangle </math> मुक्त कण तरंग समारोह के साथ <math> |\phi\rangle </math> लिपमैन-श्विंगर समीकरण के दाहिने हाथ की ओर और यह प्रथम बॉर्न सन्निकटन देता है। दूसरी पुनरावृत्ति दाहिने हाथ की ओर प्रथम बॉर्न सन्निकटन को प्रतिस्थापित करता है और परिणाम को दूसरा बॉर्न सन्निकटन कहा जाता है। सामान्यतः n-वें बॉर्न सन्निकटन श्रृंखला के n-पदों को ध्यान में रखता है। दूसरे बॉर्न सन्निकटन का उपयोग कभी-कभी किया जाता है, जब प्रथम बॉर्न सन्निकटन विलुप्त हो जाता है, किन्तु उच्च पदों का उपयोग संभवतः कभी किया जाता है। बॉर्न श्रृंखला को औपचारिक रूप से ऑपरेटर के समान सामान्य अनुपात के साथ ज्यामितीय श्रृंखला <math> G_0 V </math> के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है, लिपमैन-श्विंगर समीकरण का औपचारिक समाधान इस रूप में दे रहा है:
-पूर्ण प्रकीर्णन विलयन को बदलकर प्रथम पुनरावृत्ति प्राप्त की जाती है <math> |\psi\rangle </math> मुक्त कण तरंग समारोह के साथ <math> |\phi\rangle </math> लिपमैन-श्विंगर समीकरण के दाहिने हाथ की ओर और यह फर्स्ट बोर्न सन्निकटन देता है।
-दूसरा पुनरावृत्ति दाहिने हाथ की ओर पहले जन्मे सन्निकटन को प्रतिस्थापित करता है और परिणाम को दूसरा जन्म सन्निकटन कहा जाता है। आम तौर पर एन-वें बोर्न सन्निकटन श्रृंखला के एन-शर्तों को ध्यान में रखता है। सेकंड बोर्न सन्निकटन का उपयोग कभी-कभी किया जाता है, जब फर्स्ट बोर्न सन्निकटन गायब हो जाता है, लेकिन उच्च शब्दों का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है। बोर्न श्रृंखला को औपचारिक रूप से ऑपरेटर के बराबर सामान्य अनुपात के साथ ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है <math> G_0 V </math>, लिपमैन-श्विंगर समीकरण को फॉर्म में औपचारिक समाधान देते हुए
 :<math> |\psi\rangle = [I - G_0(E) V]^{-1} |\phi \rangle = [V - VG_0(E) V]^{-1} V |\phi \rangle . </math>
+== टी-मैट्रिक्स के लिए बॉर्न श्रृंखला ==
-== टी-मैट्रिक्स == के लिए पैदा हुई श्रृंखला
+बॉर्न श्रृंखला को [[टी-मैट्रिक्स विधि|टी-मैट्रिक्स]] जैसी अन्य प्रकीर्णन मात्राओं के लिए भी लिखा जा सकता है जो प्रकीर्णन आयाम से निकटता से संबंधित है। टी-मैट्रिक्स के लिए [[लिपमैन-श्विंगर समीकरण]] को दोहराते हुए हमें प्राप्त होता है:
-बोर्न श्रृंखला को अन्य बिखरने वाली मात्राओं के लिए भी लिखा जा सकता है जैसे [[टी-मैट्रिक्स विधि]] | टी-मैट्रिक्स जो बिखरने वाले आयाम से निकटता से संबंधित है।
-टी-मैट्रिक्स के लिए [[लिपमैन-श्विंगर समीकरण]] को दोहराते हुए हमें मिलता है
 :<math> T(E) = V + V G_0(E) V + V [G_0(E) V]^2  + V [G_0(E) V]^3  + \dots </math>
-टी-मैट्रिक्स के लिए <math> G_0 </math> केवल मंदबुद्धि ग्रीन के कार्य के लिए खड़ा है | ग्रीन का ऑपरेटर <math> G_0^{(+)}(E) </math>. स्टैंडिंग वेव ग्रीन का ऑपरेटर इसके बजाय [[के-मैट्रिक्स]] देगा।
+टी-मैट्रिक्स के लिए <math> G_0 </math> केवल मंदबुद्धि ग्रीन ऑपरेटर <math> G_0^{(+)}(E) </math> है। स्टैंडिंग वेव ग्रीन का ऑपरेटर इसके अतिरिक्त [[के-मैट्रिक्स|K-मैट्रिक्स]] देगा।
-== फुल ग्रीन के ऑपरेटर == के लिए पैदा हुई श्रृंखला
+== फुल ग्रीन के ऑपरेटर के लिए बॉर्न श्रृंखला ==
-ग्रीन के फलन के लिए लिपमान-श्विंगर समीकरण|ग्रीन के संचालक को रिज़ॉल्वेंट औपचारिकता कहा जाता है,
+ग्रीन के संचालक के लिए लिपमैन-श्विंगर समीकरण रिज़ॉल्वेंट औपचारिकता कहा जाता है,
 :<math> G(E) = G_0(E) + G_0(E) V G(E). </math>
-पुनरावृत्ति द्वारा इसका समाधान पूर्ण ग्रीन के ऑपरेटर के लिए बोर्न श्रृंखला की ओर जाता है <math> G(E)=(E-H+i\epsilon)^{-1} </math>
+पुनरावृत्ति द्वारा इसका समाधान पूर्ण ग्रीन के ऑपरेटर के लिए बॉर्न श्रृंखला <math> G(E)=(E-H+i\epsilon)^{-1} </math> की ओर जाता है:
 :<math> G(E) = G_0(E) + G_0(E) V G_0(E) + [G_0(E) V]^2 G_0(E) + [G_0(E) V]^3 G_0(E) + \dots </math>
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