असमानता (गणित)

File:Linear Programming Feasible Region.svg

रैखिक प्रोग्रामिंग के व्यवहार्य क्षेत्रों को असमानताओं के एक समूह द्वारा परिभाषित किया गया है।

गणित में, असमानता एक ऐसा संबंध है जो दो संख्याओं या अन्य गणितीय अभिव्यक्तियों के बीच एक गैर-समान तुलना करता है।इसका उपयोग अक्सर उनके आकार से संख्या रेखा पर दो संख्याओं की तुलना करने के लिए किया जाता है।विभिन्न प्रकार की असमानताओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए कई अलग -अलग सूचनाएं हैं:

• संकेतन a < b का अर्थ है कि a, b से छोटा है।
• संकेतन a > b का अर्थ है कि a, b से बड़ा है।

या तो मामले में,a b के बराबर नहीं है।इन संबंधों को 'सख्त असमानताओं' के रूप में जाना जाता है, का अर्थ है कि a सख्ती से कम या कड़ाई से b से अधिक है।समतुल्यता को बाहर रखा गया है।

सख्त असमानताओं के विपरीत, दो प्रकार के असमानता संबंध हैं जो सख्त नहीं हैं:

• संकेतन a ≤ b या a ⩽ b का अर्थ है कि a 'b से कम या बराबर' b (या, समतुल्य, अधिकांश b पर, या b से अधिक नहीं) है।
• संकेतन a ⩾ b या a ⩾ b का अर्थ है कि a 'b से अधिक या बराबर' b (या, समतुल्य, कम से कम b, या b से कम नहीं) से अधिक है।

'से अधिक नहीं' संबंध भी एक a ≯ b द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, एक स्लैश द्वारा द्विभाजित से अधिक के लिए प्रतीक, नहीं। से कम नहीं 'के लिए भी यही सच है।

संकेतन a ≠ B का मतलब है कि a, b के बराबर नहीं है। इस असमानता को कभी-कभी सख्त असमानता का एक रूप माना जाता है।यह नहीं कहता है कि एक दूसरे से अधिक है, इसके लिए a और b को ऑर्डर किए गए सेट के सदस्य होने की भी आवश्यकता नहीं है।

इंजीनियरिंग विज्ञान में, संकेत पद्धति का कम औपचारिक उपयोग यह बताना है कि आमतौर पर परिमाण के कई आदेशों द्वारा एक मात्रा दूसरे से बहुत अधिक है।

• संकेतन a ≪ b का मतलब है कि a, b से बहुत कम है।
• संकेतन a ≫ b का मतलब है कि a, b से बहुत अधिक है।
• इसका तात्पर्य यह है कि अनुमान की सटीकता पर कम प्रभाव के साथ कम मूल्य की उपेक्षा की जा सकती है (जैसे कि भौतिकी में अल्ट्रारिलेटिविस्टिक सीमा का मामला)।

उपरोक्त सभी मामलों में, एक-दूसरे को प्रतिबिम्बित करने वाले कोई भी दो प्रतीक सममित होते हैं, a < b, b > a समकक्ष हैं, आदि।

संख्या रेखा पर गुण

असमानताएं निम्नलिखित गुणों द्वारा नियंत्रित होती हैं।इन सभी गुणों को भी पकड़ लिया जाता है यदि सभी गैर-सख्त असमानताओं (≤ और ≥) को उनकी संगत सख्त असमानताओं (<और>) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है और-एक फ़ंक्शन को लागू करने के मामले में-मोनोटोनिक फ़ंक्शन सख्ती से मोनोटोनिक कार्यों तक सीमित होते हैं।

विपरीत

संबंध ⩽ और ⩾ एक -दूसरे के रूप में हैं, जिसका अर्थ है कि किसी भी वास्तविक संख्या के लिए a और b ,

a ≤ b और b ≥ a समतुल्य हैं।

सकर्मकता

असमानता की सकर्मक संपत्ति बताती है कि किसी भी वास्तविक संख्या के लिए a, b, c, यदि a ≤ b और b ≤ c, तो a ≤ c। यदि कोई भी परिसर एक सख्त असमानता है, तो निष्कर्ष एक सख्त असमानता है:

यदि a ≤ b और b <c, तो a <c।

यदि a <b और b ≤ c, तो a <c।

जोड़ और घटाव

File:Translation invariance of less-than-relation.svg

यदि x <y, तो x + a <y + a।

सामान्य स्थिरांक c को एक असमानता के दोनों पक्षों में जोड़ा या घटाया जा सके। तो, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए a, b, c:

यदि एक a ≤ b, तो a + c ≤ b + c और a - c ≤ b - c।

दूसरे शब्दों में, असमानता संबंध इसके अलावा (या घटाव) के तहत संरक्षित है और वास्तविक संख्याएं इसके अलावा एक आदेशित समूह हैं।

गुणा और विभाजन

File:Invariance of less-than-relation by multiplication with positive number.svg

यदि x <y और a> 0, तो ax <ay।

File:Inversion of less-than-relation by multiplication with negative number.svg

यदि x <y और a <0, तो ax> ay।

गुणन और विभाजन से निपटने वाले गुण बताते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या के लिए, a, b और गैर-शून्य c:

यदि a ≤ b और C> 0 है, तो ac≤bc और a/c ≤ b/c।

यदि a ≤ b और C <0 है, तो ac ≥ bc और a/c ≥ b/c।

दूसरे शब्दों में, असमानता संबंध को सकारात्मक स्थिरांक के साथ गुणा और विभाजन के तहत संरक्षित किया जाता है, लेकिन जब एक लेकिन जब एक नकारात्मक स्थिरांक शामिल होता है तो इसे उलट दिया जाता है।।आम तौर पर, यह एक आदेशित क्षेत्र के लिए लागू होता है।अधिक जानकारी के लिए, आदेशित किए गए फ़ील्ड देखें।

योज्य व्युत्क्रम

योज्य व्युत्क्रम की विशेषता बताती है कि किसी भी वास्तविक संख्या a और b के लिए:

यदि एक a≤ b, तो −a ≥ −b।

गुणक व्युत्क्रम

यदि दोनों संख्याएँ धनात्मक हैं, तो गुणात्मक व्युत्क्रमों के बीच असमानता का संबंध मूल संख्याओं के बीच के विपरीत है।विशेष रूप से, किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं के लिए a और b जो दोनों धनात्मक (या दोनों नकारात्मक) हैं:

यदि a≤b, तो 1/a ≥ 1/b।

a और b के संकेतों के सभी मामलों को श्रृंखलित संकेतन में भी निम्नानुसार लिखा जा सकता है,

यदि 0 <a ≤ b, तो 1 /a ≥ 1/b > 0।

यदि a ≤ b <0, तो 0> 1/a ≥ 1/b।

यदि a <0 <b, तो 1/a <0 < 1/b।

दोनों पक्षों को एक फलन लागू करना

File:Log.svg

Y = ln x का ग्राफ

एकदिष्ट फलन की परिभाषा के अनुसार,असमानता के संबंध को तोड़े बिना एक असमानता के दोनों किनारों पर लागू किया जा सकता है (बशर्ते कि दोनों अभिव्यक्ति उस फ़ंक्शन के डोमेन में हों)।हालांकि, एक असमानता के दोनों किनारों पर एकदिष्ट फलन से घटते कार्य को लागू करने का मतलब है कि असमानता संबंध उलट हो जाएगा।योज्य व्युत्क्रम के लिए नियम, और धनात्मक संख्या के लिए गुणक उलटा, दोनों एक एकदिष्ट फलन के रूप से घटते कार्य को लागू करने के उदाहरण हैं।

यदि असमानता सख्त है (ए <बी, ए> बी) और कार्य कड़ाई से एकदिष्ट है, तो असमानता सख्त बनी हुई है।यदि इनमें से केवल एक स्थितियां सख्त हैं, तो परिणामी असमानता गैर-सख्ती है।वास्तव में, योज्य और गुणक व्युत्क्रमों के नियम दोनों एक सख्ती से एकदिष्ट रूप से घटने वाले फलन को लागू करने के उदाहरण हैं।

इस नियम के कुछ उदाहरण हैं:

• एक असमानता के दोनों किनारों को एक घात n> 0 (= −n <0) के लिए उठाना, जब a और b धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं:

0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ aⁿ ≤ bⁿ।

0 ≤ a ≤ b ⇔ a⁻ⁿ ≥ b⁻ⁿ≥ 0।

• एक असमानता के दोनों किनारों पर प्राकृतिक लघुगणक लेना, जब a और b धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं:

0 <a ≤ b ⇔ ln (a) ≤ ln (b)।

0 <a <b ⇔ ln (a) <ln (b)।

(यह सच है क्योंकि प्राकृतिक लघुगणक एक सतर्कता से बढ़ता कार्य है।)

औपचारिक परिभाषाएँ और सामान्यीकरण

A (गैर-सख्ती) आंशिक आदेश एक द्विआधारी संबंध है, जो एक सेट P पर है, जो रिफ्लेक्टिव (स्वबोधक), एंटीसिमेट्रिक(प्रतिसममित) और सकर्मक है।यानी, सभी a, b, और c में P के लिए, यह तीन निम्नलिखित खंडों को संतुष्ट करना चाहिए:

1. a ≤ a (रिफ्लेक्सिटी) (स्वबोधक)
2. यदि a≤ b और b ≤ a, तो a = b [एंटीसिमेट्री(प्रतिसममित)]
3. यदि a ≤ b और b ≤ c, तो a ≤ c (सकर्मक)

आंशिक क्रम वाले समुच्चय को आंशिक क्रमित समुच्चय कहा जाता है।वे बहुत ही बुनियादी स्वयंसिद्ध हैं जिन्हें हर तरह के आदेश को संतुष्ट करना पड़ता है।एक सेट P पर आदेशों की अन्य परिभाषाओं के लिए मौजूद अन्य स्वयंसिद्ध शामिल हैं:

1. P में प्रत्येक a और b के लिए, एक a≤b या b≤a (कुल क्रम)।
2. P में सभी a और b के लिए, जिसके लिए a <b, P में एक c है जैसे कि a <c <b (घने क्रम)।
3. ऊपरी बाउंड के साथ P के प्रत्येक गैर-खाली सबसेट में P(कम से कम-ऊँचा-बाध्य संपत्ति) में कम से कम ऊपरी बाउंड (सुप्रीम) होता है।

आदेशित क्षेत्र

यदि (f, +, ×) एक क्षेत्र है और f पर कुल ऑर्डर है, तो (f, +, ×, ≤) को आदेशित क्षेत्र कहा जाता है यदि और केवल अगर:

• a≤b का अर्थ है a+c ≤ b+ c;
• 0 ≤ a और 0 ≤ b का तात्पर्य 0 × a × b है।

दोनों (Q, +, ×, ≤) और (R, +, ×, ≤) आदेशित क्षेत्र हैं, लेकिन (C, +, ×, ≤) को एक क्रमबद्ध क्षेत्र बनाने के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है।क्योंकि −1, i का वर्ग है और इसलिए धनात्मक होगा।

एक आदेशित क्षेत्र होने के अलावा, R में कम से कम-ऊँचा-बाध्य संपत्ति भी है।वास्तव में, R को उस गुणवत्ता के साथ एकमात्र आदेशित क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

श्रृंखलित संकेतन

संकेतन a <b <c का अर्थ "a <b और b <c" है, जिसमें से, ऊपर की सकर्मक विशेषता से , यह भी अनुसरण करता है कि a <c। उपरोक्त नियमों के अनुसार, कोई एक ही संख्या को तीनों पदों में जोड़ या घटा सकता है, या तीनों पदों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित कर सकता है और यदि वह संख्या ऋणात्मक है तो सभी असमानताओं को उलट दें। इसलिए, उदाहरण के लिए, a < b + e < c a - e < b < c - e के बराबर है।

इस संकेतन को किसी भी संख्या में सामान्यीकृत किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n अर्थात् a_i ≤ a_i+1 for i = 1, 2, ..., n − 1. सकर्मकता के अनुसार , यह स्थिति किसी भी 1 ≤ i ≤ j ≤ n के लिए a_i ≤aj के बराबर है।

श्रृंखलित संकेतन का उपयोग करके असमानताओं को हल करते समय, स्वतंत्र रूप से शर्तों का मूल्यांकन करना संभव है और कभी -कभी आवश्यक है।उदाहरण के लिए, असमानता को हल करने के लिए 4x <2x + 1 ≤ 3x + 2, को हल करने के लिए, असमानता के किसी एक भाग में x को जोड़ या घटाव द्वारा अलग करना संभव नहीं है। इसके बजाय, असमानताओं को स्वतंत्र रूप से हल किया जाना चाहिए, क्रमशः x < 1/2 और x ≥ -1 प्राप्त करना, जिसे अंतिम समाधान -1 ≤ x < 1/2 में जोड़ा जा सकता है

कभी -कभी, श्रृंखलित संकेतन का उपयोग अलग -अलग दिशाओं में असमानताओं के साथ किया जाता है, जिस स्थिति में अर्थ आसन्न शब्दों के बीच असमानताओं का तार्किक संयोजन है।उदाहरण के लिए, एक ज़िगज़ैग पोज़िट की परिभाषित सम्मेलन एक के रूप में लिखा गया है a₁ < a₂ > a₃ < a₄ > a₅ < a₆> ...मिश्रित श्रृंखलित संकेतन का उपयोग अधिक बार संगत संबंधों के साथ किया जाता है, जैसे <, =, ≤ ।उदाहरण के लिए, a <b = c ≤ d का अर्थ है कि a <b, b = c, और c ≤ d।यह संकेतन कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं जैसे पायथन में मौजूद है।इसके विपरीत, प्रोग्रामिंग भाषाओं में जो तुलनात्मक परिणामों के प्रकार पर एक क्रम प्रदान करते हैं, जैसे कि c, यहां तक कि सजातीय श्रृंखलाओं का भी पूरी तरह से अलग अर्थ हो सकता है।

तेज असमानताएं

एक असमानता को तेज कहा जाता है यदि इसे शिथिल नहीं किया जा सकता है और अभी भी सामान्य रूप से मान्य है।औपचारिक रूप से, एक सार्वभौमिक रूप से परिमाणित असमानता φ को तीक्ष्ण कहा जाता है, अगर प्रत्येक वैध सार्वभौमिक रूप से मात्रा निर्धारित असमानता के लिए, अगर, ψ ⇒ φ धारण करता है, फिर ψ ⇔ φ भी धारण करता है।उदाहरण के लिए, असमानता ∀a ∈ ℝ. a² ≥ 0 तेज है, जबकि असमानता ∀a ∈ ℝ. a² ≥ −1 तेज नहीं है।

माध्य के बीच असमानताएं

माध्य के बीच कई असमानताएं हैं।उदाहरण के लिए, किसी भी धनात्मक संख्या के लिए a₁, a₂, …, a_nअपने पास H ≤ G ≤ A ≤ Q, जहाँ

---

$H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}$

(अनुकूल माध्य), ---

$G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}$

(जियोमेट्रिक माध्य), ---

$A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$

(अंकगणित औसत), ---

$Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}$

(द्विघात माध्य)।

Cauchy -Schwarz (कॉची-श्वार्ज़) असमानता

Cauchy -Schwarz (कॉची-श्वार्ज़) असमानता में कहा गया है कि सभी वैक्टर U और V के लिए एक आंतरिक उत्पाद स्थान के लिए यह सच है कि,

$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,$

कहाँ पे $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ आंतरिक उत्पाद है।आंतरिक उत्पादों के उदाहरणों में वास्तविक और जटिल डॉट उत्पाद शामिल हैं;यूक्लिडियन स्पेस Rⁿमानक आंतरिक उत्पाद के साथ, Cauchy -Schwarz असमानता है

$\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).$

घात असमानताएं

एक घात असमानता एक असमानता है जिसमें संबंध a^bअब के रूप मे शामिल है,जहां a और b वास्तविक धनात्मक संख्या या चर अभिव्यक्ति हैं।वे अक्सर गणितीय ओलंपियाड अभ्यास में दिखाई देते हैं।

उदाहरण

• किसी भी वास्तविक x के लिए,

$e^{x}\geq 1+x.$

• यदि x> 0 और p> 0, तो

${\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.$

P → 0 की सीमा में, ऊपरी और निचले सीमाएँ ln (x) में परिवर्तित होती हैं।

• अगर x> 0, तो

$x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.$