सघन सम्मुच्य: Difference between revisions
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टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> का उपसमुच्चय <math>A</math> को <math>X</math> का सघन उपसमुच्चय कहा जाता है। यदि निम्नलिखित समकक्ष | टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> का उपसमुच्चय <math>A</math> को <math>X</math> का सघन उपसमुच्चय कहा जाता है। यदि निम्नलिखित समकक्ष नियमों में से कोई भी संतुष्ट है: | ||
# का सबसे छोटा बंद सेट <math>X</math> युक्त <math>A</math> है <math>X</math> खुद। | |||
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* का [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]]। <math>A</math> में <math>X</math> के बराबर है <math>X.</math> वह है, <math>\operatorname{cl}_X A = X.</math></ली> | |||
<li>के [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] का आंतरिक (टोपोलॉजी)। <math>A</math> खाली है। वह है, <math>\operatorname{int}_X (X \setminus A) = \varnothing.</math></ली> | <li>के [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] का आंतरिक (टोपोलॉजी)। <math>A</math> खाली है। वह है, <math>\operatorname{int}_X (X \setminus A) = \varnothing.</math></ली> | ||
<li>हर बिंदु में <math>X</math> या तो का है <math>A</math> या का एक [[सीमा बिंदु]] है <math>A.</math></ली> | <li>हर बिंदु में <math>X</math> या तो का है <math>A</math> या का एक [[सीमा बिंदु]] है <math>A.</math></ली> | ||
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मीट्रिक रिक्त स्थान के मामले में सघन सेट की एक वैकल्पिक परिभाषा निम्नलिखित है। जब की [[टोपोलॉजी (संरचना)]]। <math>X</math> एक [[मीट्रिक (गणित)]], [[टोपोलॉजिकल क्लोजर]] द्वारा दिया जाता है <math>\overline{A}</math> का <math>A</math> में <math>X</math> का [[संघ (सेट सिद्धांत)]] है <math>A</math> और एक अनुक्रम की सभी सीमा का सेट # तत्वों के सामयिक स्थान <math>A</math> (इसकी सीमा अंक), | मीट्रिक रिक्त स्थान के मामले में सघन सेट की एक वैकल्पिक परिभाषा निम्नलिखित है। जब की [[टोपोलॉजी (संरचना)]]। <math>X</math> एक [[मीट्रिक (गणित)]], [[टोपोलॉजिकल क्लोजर]] द्वारा दिया जाता है <math>\overline{A}</math> का <math>A</math> में <math>X</math> का [[संघ (सेट सिद्धांत)]] है <math>A</math> और एक अनुक्रम की सभी सीमा का सेट # तत्वों के सामयिक स्थान <math>A</math> (इसकी सीमा अंक), | ||
<math display=block>\overline{A} = A \cup \left\{\lim_{n \to \infty} a_n : a_n \in A \text{ for all } n \in \N\right\}</math> | <math display="block">\overline{A} = A \cup \left\{\lim_{n \to \infty} a_n : a_n \in A \text{ for all } n \in \N\right\}</math> | ||
तब <math>A</math> में घना है <math>X</math> अगर | तब <math>A</math> में घना है <math>X</math> अगर | ||
<math display=block>\overline{A} = X.</math> | <math display="block">\overline{A} = X.</math> | ||
अगर <math>\left\{U_n\right\}</math> एक पूर्ण मीट्रिक स्थान में सघन [[ खुला सेट ]] सेट का एक क्रम है, <math>X,</math> तब <math display=inline>\bigcap^{\infty}_{n=1} U_n</math> में भी घना है <math>X.</math> यह तथ्य बेयर श्रेणी प्रमेय के समकक्ष रूपों में से एक है। | अगर <math>\left\{U_n\right\}</math> एक पूर्ण मीट्रिक स्थान में सघन [[ खुला सेट | खुला सेट]] सेट का एक क्रम है, <math>X,</math> तब <math display="inline">\bigcap^{\infty}_{n=1} U_n</math> में भी घना है <math>X.</math> यह तथ्य बेयर श्रेणी प्रमेय के समकक्ष रूपों में से एक है। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
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सघनता [[सकर्मक संबंध]] है: तीन उपसमुच्चय दिए गए हैं <math>A, B</math> और <math>C</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> साथ <math>A \subseteq B \subseteq C \subseteq X</math> ऐसा है कि <math>A</math> में घना है <math>B</math> और <math>B</math> में घना है <math>C</math> (संबंधित [[सबस्पेस टोपोलॉजी]] में) तब <math>A</math> में भी घना है <math>C.</math> | सघनता [[सकर्मक संबंध]] है: तीन उपसमुच्चय दिए गए हैं <math>A, B</math> और <math>C</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> साथ <math>A \subseteq B \subseteq C \subseteq X</math> ऐसा है कि <math>A</math> में घना है <math>B</math> और <math>B</math> में घना है <math>C</math> (संबंधित [[सबस्पेस टोपोलॉजी]] में) तब <math>A</math> में भी घना है <math>C.</math> | ||
[[ विशेषण समारोह ]] [[ निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) ]] फंक्शन के तहत एक सघन उपसमुच्चय की [[छवि (गणित)]] फिर से सघन होती है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस का घनत्व (इसके घने उपसमुच्चय की कम से कम कार्डिनैलिटी) एक [[टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट]] है। | [[ विशेषण समारोह | विशेषण समारोह]] [[ निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) | निरंतर कार्य (टोपोलॉजी)]] फंक्शन के तहत एक सघन उपसमुच्चय की [[छवि (गणित)]] फिर से सघन होती है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस का घनत्व (इसके घने उपसमुच्चय की कम से कम कार्डिनैलिटी) एक [[टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट]] है। | ||
[[ जुड़ा हुआ स्थान ]] डेंस सबसेट के साथ एक टोपोलॉजिकल स्पेस जरूरी है कि वह खुद जुड़ा हो। | [[ जुड़ा हुआ स्थान | जुड़ा हुआ स्थान]] डेंस सबसेट के साथ एक टोपोलॉजिकल स्पेस जरूरी है कि वह खुद जुड़ा हो। | ||
हौसडॉर्फ रिक्त स्थान में निरंतर कार्य घने उपसमुच्चय पर उनके मूल्यों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं: यदि दो निरंतर कार्य <math>f, g : X \to Y</math> हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष में <math>Y</math> के सघन उपसमुच्चय पर सहमत हैं <math>X</math> तब वे सभी पर सहमत होते हैं <math>X.</math> | हौसडॉर्फ रिक्त स्थान में निरंतर कार्य घने उपसमुच्चय पर उनके मूल्यों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं: यदि दो निरंतर कार्य <math>f, g : X \to Y</math> हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष में <math>Y</math> के सघन उपसमुच्चय पर सहमत हैं <math>X</math> तब वे सभी पर सहमत होते हैं <math>X.</math> | ||
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उपसमुच्चय <math>A</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> कहा जाता है कहीं नहीं घना सेट (में <math>X</math>) यदि कोई पड़ोस नहीं है <math>X</math> जिस पर <math>A</math> घना है। समान रूप से, एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उपसमुच्चय कहीं भी सघन नहीं है अगर और केवल अगर इसके बंद होने का आंतरिक भाग खाली है। कहीं नहीं सघन सेट के पूरक का आंतरिक भाग हमेशा सघन होता है। एक बंद कहीं नहीं घने सेट का पूरक एक घना खुला सेट है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया <math>X,</math> उपसमुच्चय <math>A</math> का <math>X</math> जिसे कई कहीं नहीं के घने उपसमुच्चय के संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math>X</math> अल्प समुच्चय कहा जाता है। परिमेय संख्याएँ, जबकि वास्तविक संख्या में सघन हैं, वास्तविक के उपसमुच्चय के रूप में अल्प हैं। | उपसमुच्चय <math>A</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> कहा जाता है कहीं नहीं घना सेट (में <math>X</math>) यदि कोई पड़ोस नहीं है <math>X</math> जिस पर <math>A</math> घना है। समान रूप से, एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उपसमुच्चय कहीं भी सघन नहीं है अगर और केवल अगर इसके बंद होने का आंतरिक भाग खाली है। कहीं नहीं सघन सेट के पूरक का आंतरिक भाग हमेशा सघन होता है। एक बंद कहीं नहीं घने सेट का पूरक एक घना खुला सेट है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया <math>X,</math> उपसमुच्चय <math>A</math> का <math>X</math> जिसे कई कहीं नहीं के घने उपसमुच्चय के संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math>X</math> अल्प समुच्चय कहा जाता है। परिमेय संख्याएँ, जबकि वास्तविक संख्या में सघन हैं, वास्तविक के उपसमुच्चय के रूप में अल्प हैं। | ||
एक गणनीय सघन उपसमुच्चय के साथ एक सामयिक स्थान को [[वियोज्य स्थान]] कहा जाता है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक [[बाहर की जगह]] है अगर और केवल अगर कई घने खुले सेटों का चौराहा हमेशा घना होता है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस को [[हल करने योग्य स्थान]] कहा जाता है यदि यह दो अलग-अलग घने उपसमुच्चय का मिलन हो। अधिक आम तौर पर, एक टोपोलॉजिकल स्पेस को [[ बुनियादी संख्या ]] κ के लिए κ-रिज़ॉल्वेबल कहा जाता है यदि इसमें κ जोड़ीदार अलग-अलग घने सेट होते हैं। | एक गणनीय सघन उपसमुच्चय के साथ एक सामयिक स्थान को [[वियोज्य स्थान]] कहा जाता है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक [[बाहर की जगह]] है अगर और केवल अगर कई घने खुले सेटों का चौराहा हमेशा घना होता है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस को [[हल करने योग्य स्थान]] कहा जाता है यदि यह दो अलग-अलग घने उपसमुच्चय का मिलन हो। अधिक आम तौर पर, एक टोपोलॉजिकल स्पेस को [[ बुनियादी संख्या | बुनियादी संख्या]] κ के लिए κ-रिज़ॉल्वेबल कहा जाता है यदि इसमें κ जोड़ीदार अलग-अलग घने सेट होते हैं। | ||
एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक एम्बेडिंग <math>X</math> एक सघन स्थान के एक सघन उपसमुच्चय के रूप में एक सघनता (गणित) कहा जाता है <math>X.</math> | एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक एम्बेडिंग <math>X</math> एक सघन स्थान के एक सघन उपसमुच्चय के रूप में एक सघनता (गणित) कहा जाता है <math>X.</math> | ||
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अगर <math>\left(X, d_X\right)</math> एक मीट्रिक स्थान है, फिर एक गैर-खाली सबसेट है <math>Y</math> बताया गया <math>\varepsilon</math>-घना अगर | अगर <math>\left(X, d_X\right)</math> एक मीट्रिक स्थान है, फिर एक गैर-खाली सबसेट है <math>Y</math> बताया गया <math>\varepsilon</math>-घना अगर | ||
<math display=block>\forall x \in X, \; \exists y \in Y \text{ such that } d_X(x, y) \leq \varepsilon.</math> | <math display="block">\forall x \in X, \; \exists y \in Y \text{ such that } d_X(x, y) \leq \varepsilon.</math> | ||
तभी कोई दिखा सकता है <math>D</math> में घना है <math>\left(X, d_X\right)</math> अगर और केवल अगर यह प्रत्येक के लिए ε-घन है <math>\varepsilon > 0.</math> | तभी कोई दिखा सकता है <math>D</math> में घना है <math>\left(X, d_X\right)</math> अगर और केवल अगर यह प्रत्येक के लिए ε-घन है <math>\varepsilon > 0.</math> | ||
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Revision as of 23:01, 28 May 2023
टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस X के एक A उपसमुच्चय के X में को 'घना' कहा जाता है। यदि X का प्रत्येक बिंदु से संबंधित है या फिर अनगिनत रूप से के सदस्य के पास है। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का सघन उपसमुच्चय होती हैं क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या एक परिमेय संख्या होती है या उसके पास एक परिमेय संख्या होती है। (डायोफैंटाइन सन्निकटन देखें)।
औपचारिक रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस X का घनत्व के सघन उपसमुच्चय X की सबसे कम कार्डिनैलिटी है।[1]
परिभाषा
टोपोलॉजिकल स्पेस का उपसमुच्चय को का सघन उपसमुच्चय कहा जाता है। यदि निम्नलिखित समकक्ष नियमों में से कोई भी संतुष्ट है:
- का सबसे छोटा बंद सेट युक्त है खुद।
- का क्लोजर (टोपोलॉजी)। में के बराबर है वह है, </ली>
मीट्रिक रिक्त स्थान में घनत्व
मीट्रिक रिक्त स्थान के मामले में सघन सेट की एक वैकल्पिक परिभाषा निम्नलिखित है। जब की टोपोलॉजी (संरचना)। एक मीट्रिक (गणित), टोपोलॉजिकल क्लोजर द्वारा दिया जाता है का में का संघ (सेट सिद्धांत) है और एक अनुक्रम की सभी सीमा का सेट # तत्वों के सामयिक स्थान (इसकी सीमा अंक),
तब में घना है अगर
अगर एक पूर्ण मीट्रिक स्थान में सघन खुला सेट सेट का एक क्रम है,