माध्य मुक्त पथ: Difference between revisions
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[[भौतिक विज्ञान]] में माध्य मुक्त पथ वह औसत दूरी है जिस पर गतिमान [[कण]] (जैसे कि परमाणु, [[अणु]], या फोटॉन) अपनी दिशा या ऊर्जा (या विशिष्ट संदर्भ में अन्य गुणों में) को बदलने से पहले यात्रा करता है सामान्यतः अन्य कणों के साथ या से अधिक निरंतर | [[भौतिक विज्ञान]] में माध्य मुक्त पथ वह औसत दूरी है जिस पर गतिमान [[कण]] (जैसे कि परमाणु, [[अणु]], या फोटॉन) अपनी दिशा या ऊर्जा (या विशिष्ट संदर्भ में अन्य गुणों में) को बदलने से पहले यात्रा करता है सामान्यतः अन्य कणों के साथ या से अधिक निरंतर [[टक्कर|संघर्ष]] का परिणाम है। | ||
== प्रकीर्णन सिद्धांत == | == प्रकीर्णन सिद्धांत == | ||
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जहाँ {{mvar|ℓ}} माध्य मुक्त पथ है, {{mvar|n}} प्रति इकाई आयतन लक्ष्य कणों की संख्या है, और {{mvar|σ}} टक्कर के लिए प्रभावी [[क्रॉस सेक्शन (भौतिकी)]] या क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र है। | जहाँ {{mvar|ℓ}} माध्य मुक्त पथ है, {{mvar|n}} प्रति इकाई आयतन लक्ष्य कणों की संख्या है, और {{mvar|σ}} टक्कर के लिए प्रभावी [[क्रॉस सेक्शन (भौतिकी)]] या क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र है। | ||
स्लैब का क्षेत्रफल {{math|''L''<sup>2</sup>}} है | स्लैब का क्षेत्रफल {{math|''L''<sup>2</sup>}} है और इसकी मात्रा {{math|''L''<sup>2</sup> ''dx''}} हैस्लैब में रुकने वाले परमाणुओं की विशिष्ट संख्या सांद्रता का {{mvar|n}} गुना आयतन अर्थात {{math|''n L''<sup>2</sup> ''dx''}} है। किसी किरण कण के उस स्लैब में रुकने की प्रायिकता, रोकने वाले परमाणुओं के कुल क्षेत्रफल को स्लैब के कुल क्षेत्रफल से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: | ||
:<math>\mathcal{P}(\text{stopping within }dx) = \frac{\text{Area}_\text{atoms}}{\text{Area}_\text{slab}} = \frac{\sigma n L^{2}\, dx}{L^{2}} = n \sigma\, dx,</math> | :<math>\mathcal{P}(\text{stopping within }dx) = \frac{\text{Area}_\text{atoms}}{\text{Area}_\text{slab}} = \frac{\sigma n L^{2}\, dx}{L^{2}} = n \sigma\, dx,</math> | ||
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=\sqrt{2}v.</math> | =\sqrt{2}v.</math> | ||
इसका कारण यह है कि संघर्ष | इसका कारण यह है कि संघर्ष की संख्या स्थिर लक्ष्यों के साथ संघर्ष की संख्या का <math>\sqrt{2}</math> गुना है। इसलिए निम्नलिखित संबंध प्रयुक्त होता है<ref>S. Chapman and T. G. Cowling, [https://books.google.com/books?id=Cbp5JP2OTrwC&pg=PA88 ''The mathematical theory of non-uniform gases''], 3rd. edition, Cambridge University Press, 1990, {{ISBN|0-521-40844-X}}, p. 88.</ref> | ||
:<math>\ell = (\sqrt{2}\, n\sigma)^{-1},</math> | :<math>\ell = (\sqrt{2}\, n\sigma)^{-1},</math> | ||
और <math>n = N/V = p/(k_\text{B}T)</math> ([[आदर्श गैस कानून|आदर्श गैस नियम]]) और <math>\sigma = \pi (2r)^2 = \pi d^2</math> (त्रिज्या <math>r</math> वाले गोलाकार कणों के लिए प्रभावी क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र), यह दिखाया जा सकता है कि माध्य मुक्त पथ है<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kinetic/menfre.html |title=मीन मुक्त पथ, आणविक टकराव|publisher=Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu |access-date=2011-11-08}}</ref> | और <math>n = N/V = p/(k_\text{B}T)</math> ([[आदर्श गैस कानून|आदर्श गैस नियम]]) और <math>\sigma = \pi (2r)^2 = \pi d^2</math> (त्रिज्या <math>r</math> वाले गोलाकार कणों के लिए प्रभावी क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र), यह दिखाया जा सकता है कि माध्य मुक्त पथ है<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kinetic/menfre.html |title=मीन मुक्त पथ, आणविक टकराव|publisher=Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu |access-date=2011-11-08}}</ref> | ||
:<math>\ell = \frac{k_\text{B}T}{\sqrt 2 \pi d^2 p},</math> | :<math>\ell = \frac{k_\text{B}T}{\sqrt 2 \pi d^2 p},</math> | ||
जहां ''k''<sub>B</sub> [[बोल्ट्जमैन स्थिरांक]] है,इसमें | जहां ''k''<sub>B</sub> [[बोल्ट्जमैन स्थिरांक]] है,इसमें <math>p</math> गैस का दबाव है और <math>T</math> परम तापमान है। | ||
वास्तव में गैस के अणुओं का व्यास ठीक से परिभाषित नहीं है। वास्तव में अणु के गतिज व्यास को माध्य मुक्त पथ के रूप में परिभाषित किया जाता है। सामान्यतः गैस के अणु कठोर गोले की तरह व्यव्हार नहीं करते हैं, किन्तु बड़ी दूरी पर दूसरे को आकर्षित करते हैं और कम दूरी पर दूसरे को पीछे हटाते हैं, जैसा कि [[लेनार्ड-जोन्स क्षमता]] के साथ वर्णित किया जा सकता है। ऐसे नरम अणुओं से सुधार कि विधि/प्रणाली व्यास के रूप में लेनार्ड-जोन्स σ पैरामीटर का उपयोग करना है। | वास्तव में गैस के अणुओं का व्यास ठीक से परिभाषित नहीं है। वास्तव में अणु के गतिज व्यास को माध्य मुक्त पथ के रूप में परिभाषित किया जाता है। सामान्यतः गैस के अणु कठोर गोले की तरह व्यव्हार नहीं करते हैं, किन्तु बड़ी दूरी पर दूसरे को आकर्षित करते हैं और कम दूरी पर दूसरे को पीछे हटाते हैं, जैसा कि [[लेनार्ड-जोन्स क्षमता]] के साथ वर्णित किया जा सकता है। ऐसे नरम अणुओं से सुधार कि विधि/प्रणाली व्यास के रूप में लेनार्ड-जोन्स σ पैरामीटर का उपयोग करना है। | ||
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एक अन्य विधि/प्रणाली यह है कि कठोर गोले वाली गैस की कल्पना की जाए जिसमें वास्तविक गैस के समान गतिशील श्यानता हो। यह औसत मुक्त मार्ग की ओर जाता है <ref>{{cite book|title=भौतिक गैस गतिकी का परिचय|year=1965|publisher=Krieger Publishing Company|author=Vincenti, W. G. and Kruger, C. H.|page=414}}</ref> | एक अन्य विधि/प्रणाली यह है कि कठोर गोले वाली गैस की कल्पना की जाए जिसमें वास्तविक गैस के समान गतिशील श्यानता हो। यह औसत मुक्त मार्ग की ओर जाता है <ref>{{cite book|title=भौतिक गैस गतिकी का परिचय|year=1965|publisher=Krieger Publishing Company|author=Vincenti, W. G. and Kruger, C. H.|page=414}}</ref> | ||
:<math>\ell = \frac{\mu}{\rho} \sqrt{\frac{\pi m}{2 k_\text{B}T}}=\frac{\mu}{p} \sqrt{\frac{\pi k_\text{B}T}{2 m}},</math> | :<math>\ell = \frac{\mu}{\rho} \sqrt{\frac{\pi m}{2 k_\text{B}T}}=\frac{\mu}{p} \sqrt{\frac{\pi k_\text{B}T}{2 m}},</math> | ||
जहाँ <math>m </math> आणविक द्रव्यमान है और | जहाँ <math>m </math> आणविक द्रव्यमान है और <math>\rho= m p/(k_\text{B}T)</math> आदर्श गैस का घनत्व है, और μ गतिशील श्यानता है। इस अभिव्यक्ति को निम्नलिखित सुविधाजनक रूप में रखा जा सकता है | ||
:<math>\ell = \frac{\mu}{p} \sqrt{\frac{\pi R_{\rm specific}T}{2}},</math> | :<math>\ell = \frac{\mu}{p} \sqrt{\frac{\pi R_{\rm specific}T}{2}},</math> | ||
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=== रेडियोग्राफी === | === रेडियोग्राफी === | ||
[[File:Photon Mean Free Path.png|thumb|right|400px|परमाणु क्रमांक = 1 से 100 वाले तत्वों के लिए 1 keV से 20 एमईवी तक ऊर्जा रेंज में फोटॉनों के लिए माध्य मुक्त पथ।<ref>Based on data from {{cite web|url=http://physics.nist.gov/PhysRefData/XrayNoteB.html |title=NIST: Note - X-Ray Form Factor and Attenuation Databases |publisher=Physics.nist.gov |date=1998-03-10 |access-date=2011-11-08}}</ref> विघटन गैस तत्वों के कम घनत्व के कारण हैं। छह बैंड छह डब्ल्यू: नोबल गैस के निकट के अनुरूप हैं। यह भी दिखाया गया है कि अवशोषण किनारों के स्थान हैं।]]गामा-रे [[ रेडियोग्राफ़ |रेडियोग्राफ़]] में मोनो-ऊर्जावान फोटॉनों के [[पेंसिल बीम]] का औसत मुक्त पथ वह औसत दूरी है जो फोटॉन लक्ष्य पदार्थ | [[File:Photon Mean Free Path.png|thumb|right|400px|परमाणु क्रमांक = 1 से 100 वाले तत्वों के लिए 1 keV से 20 एमईवी तक ऊर्जा रेंज में फोटॉनों के लिए माध्य मुक्त पथ।<ref>Based on data from {{cite web|url=http://physics.nist.gov/PhysRefData/XrayNoteB.html |title=NIST: Note - X-Ray Form Factor and Attenuation Databases |publisher=Physics.nist.gov |date=1998-03-10 |access-date=2011-11-08}}</ref> विघटन गैस तत्वों के कम घनत्व के कारण हैं। छह बैंड छह डब्ल्यू: नोबल गैस के निकट के अनुरूप हैं। यह भी दिखाया गया है कि अवशोषण किनारों के स्थान हैं।]]गामा-रे [[ रेडियोग्राफ़ |रेडियोग्राफ़]] में मोनो-ऊर्जावान फोटॉनों के [[पेंसिल बीम]] का औसत मुक्त पथ वह औसत दूरी है जो फोटॉन लक्ष्य पदार्थ के परमाणुओं के साथ संघर्ष के बीच यात्रा करता है। यह पदार्थ और फोटॉन की ऊर्जा पर निर्भर करता है: | ||
:<math>\ell = \mu^{-1} = ( (\mu/\rho) \rho)^{-1},</math> | :<math>\ell = \mu^{-1} = ( (\mu/\rho) \rho)^{-1},</math> | ||
जहां μ [[रैखिक क्षीणन गुणांक]] है, μ/ρ [[द्रव्यमान क्षीणन गुणांक]] है और ρ पदार्थ | जहां μ [[रैखिक क्षीणन गुणांक]] है, μ/ρ [[द्रव्यमान क्षीणन गुणांक]] है और ρ पदार्थ का [[घनत्व]] है। बड़े मापदंड पर क्षीणन गुणांक को राष्ट्रीय मानक और प्रौद्योगिकी संस्थान (एनआईएसटी) डेटाबेस का उपयोग करके किसी भी पदार्थ और ऊर्जा संयोजन के लिए देखा या गणना की जा सकती है।<ref name=NIST1>{{cite web | ||
|last=Hubbell |first=J. H. | |last=Hubbell |first=J. H. | ||
|author1-link=John H. Hubbell | |author1-link=John H. Hubbell | ||
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|access-date = 19 September 2007}}</ref> | |access-date = 19 September 2007}}</ref> | ||
[[एक्स-रे]] रेडियोग्राफी में औसत मुक्त पथ की गणना अधिक जटिल होती है, क्योंकि फोटॉन मोनो-ऊर्जावान नहीं होते हैं, किन्तु ऊर्जा का कुछ आवृत्ति वितरण होता है जिसे [[स्पेक्ट्रम]] कहा जाता है। चूंकि फोटॉन लक्षित पदार्थ | [[एक्स-रे]] रेडियोग्राफी में औसत मुक्त पथ की गणना अधिक जटिल होती है, क्योंकि फोटॉन मोनो-ऊर्जावान नहीं होते हैं, किन्तु ऊर्जा का कुछ आवृत्ति वितरण होता है जिसे [[स्पेक्ट्रम]] कहा जाता है। चूंकि फोटॉन लक्षित पदार्थ के माध्यम से आगे बढ़ते हैं, वे अपनी ऊर्जा के आधार पर संभावनाओं के साथ क्षीणन होते हैं, परिणामस्वरूप उनके वितरण में प्रक्रिया में परिवर्तन होता है जिसे स्पेक्ट्रम सख्त कहा जाता है। स्पेक्ट्रम सख्त होने के कारण, एक्स-रे स्पेक्ट्रम का माध्य मुक्त पथ दूरी के साथ बदलता है। | ||
कभी-कभी कोई पदार्थ | कभी-कभी कोई पदार्थ की मोटाई को औसत मुक्त पथों की संख्या में मापता है। माध्य मुक्त पथ की मोटाई वाली पदार्थ 37% (1/e (गणितीय स्थिरांक)) फोटॉन तक क्षीण हो जाएगी। यह अवधारणा अर्ध-मूल्य परत (एचवीएल) से निकटता से संबंधित है: एचवीएल की मोटाई वाली पदार्थ 50% फोटॉन को क्षीण कर देगी। मानक एक्स-रे छवि संचरण छवि है, इसकी तीव्रता के नकारात्मक लघुगणक वाली छवि को कभी-कभी कई माध्य मुक्त पथ छवि कहा जाता है। | ||
=== इलेक्ट्रॉनिक्स === | === इलेक्ट्रॉनिक्स === | ||
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मैक्रोस्कोपिक आवेश ट्रांसपोर्ट में, धातु <math>\ell</math> में आवेश वाहक का औसत मुक्त पथ विद्युत गतिशीलता <math>\mu</math> के समानुपाती होता है, जो सीधे विद्युत चालकता से संबंधित होता है: | मैक्रोस्कोपिक आवेश ट्रांसपोर्ट में, धातु <math>\ell</math> में आवेश वाहक का औसत मुक्त पथ विद्युत गतिशीलता <math>\mu</math> के समानुपाती होता है, जो सीधे विद्युत चालकता से संबंधित होता है: | ||
:<math>\mu = \frac{q \tau}{m} = \frac{q \ell}{m^* v_{\rm F}},</math> | :<math>\mu = \frac{q \tau}{m} = \frac{q \ell}{m^* v_{\rm F}},</math> | ||
जहां q आवेश है <math>\tau</math> औसत खाली समय है, m* प्रभावी द्रव्यमान है, और v<sub>F</sub> आवेश वाहक का फर्मी वेग है। फर्मी वेग को गैर-सापेक्षतावादी गतिज ऊर्जा समीकरण के माध्यम से फर्मी ऊर्जा से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। चूंकि | जहां q आवेश है <math>\tau</math> औसत खाली समय है, m* प्रभावी द्रव्यमान है, और v<sub>F</sub> आवेश वाहक का फर्मी वेग है। फर्मी वेग को गैर-सापेक्षतावादी गतिज ऊर्जा समीकरण के माध्यम से फर्मी ऊर्जा से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। चूंकि पतली फिल्मों में फिल्म की मोटाई अनुमानित औसत मुक्त पथ से छोटी हो सकती है, जिससे सतह का बिखराव अधिक ध्यान देने योग्य हो जाता है, जिससे प्रभावी रूप से प्रतिरोधकता बढ़ जाती है। | ||
इलेक्ट्रॉनों के औसत मुक्त पथ से छोटे आयाम वाले माध्यम के माध्यम से इलेक्ट्रॉन गतिशीलता [[बैलिस्टिक चालन]] या बैलिस्टिक परिवहन के माध्यम से होती है। ऐसे परिदृश्यों में चालक की दीवारों के साथ संघर्ष में ही इलेक्ट्रॉन अपनी गति बदलते हैं। | इलेक्ट्रॉनों के औसत मुक्त पथ से छोटे आयाम वाले माध्यम के माध्यम से इलेक्ट्रॉन गतिशीलता [[बैलिस्टिक चालन]] या बैलिस्टिक परिवहन के माध्यम से होती है। ऐसे परिदृश्यों में चालक की दीवारों के साथ संघर्ष में ही इलेक्ट्रॉन अपनी गति बदलते हैं। | ||
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:<math>\ell = \frac{2d}{3\Phi Q_\text{s}},</math> | :<math>\ell = \frac{2d}{3\Phi Q_\text{s}},</math> | ||
जहां ''Q''<sub>s</sub> प्रकीर्णन | जहां ''Q''<sub>s</sub> प्रकीर्णन की दक्षता कारक है। ''Q''<sub>s</sub> मी सिद्धांत का उपयोग करके गोलाकार कणों के लिए संख्यात्मक रूप से मूल्यांकन किया जा सकता है। | ||
=== ध्वनिकी === | === ध्वनिकी === | ||
Revision as of 19:53, 22 June 2023
भौतिक विज्ञान में माध्य मुक्त पथ वह औसत दूरी है जिस पर गतिमान कण (जैसे कि परमाणु, अणु, या फोटॉन) अपनी दिशा या ऊर्जा (या विशिष्ट संदर्भ में अन्य गुणों में) को बदलने से पहले यात्रा करता है सामान्यतः अन्य कणों के साथ या से अधिक निरंतर संघर्ष का परिणाम है।
प्रकीर्णन सिद्धांत
लक्ष्य का स्लैब
एक लक्ष्य के माध्यम से गोली मारने वाले कणों की किरण की कल्पना करें, और लक्ष्य के अत्यंत पतले स्लैब पर विचार करें (चित्र देखें)।[1] बीम कण को रोकने वाले परमाणु (या कण) लाल रंग में दिखाए जाते हैं। माध्य मुक्त पथ का परिमाण तंत्र की विशेषताओं पर निर्भर करता है। यह मानते हुए कि सभी लक्ष्य कण आराम पर हैं, किन्तु केवल बीम कण ही गतिमान है, जो माध्य मुक्त पथ के लिए अभिव्यक्ति देता है:
जहाँ ℓ माध्य मुक्त पथ है, n प्रति इकाई आयतन लक्ष्य कणों की संख्या है, और σ टक्कर के लिए प्रभावी क्रॉस सेक्शन (भौतिकी) या क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र है।
स्लैब का क्षेत्रफल L2 है और इसकी मात्रा L2 dx हैस्लैब में रुकने वाले परमाणुओं की विशिष्ट संख्या सांद्रता का n गुना आयतन अर्थात n L2 dx है। किसी किरण कण के उस स्लैब में रुकने की प्रायिकता, रोकने वाले परमाणुओं के कुल क्षेत्रफल को स्लैब के कुल क्षेत्रफल से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:
जहाँ σ परमाणु का क्षेत्र (या अधिक औपचारिक रूप से प्रकीर्णन क्रॉस-सेक्शन) है।
बीम की तीव्रता में गिरावट आने वाली बीम की तीव्रता के समान होती है, जिसे स्लैब के अंदर कण के रुकने की संभावना से गुणा किया जाता है:
यह साधारण अंतर समीकरण है:
जिसके समाधान को बीयर-लैंबर्ट नियम के रूप में जाना जाता है और इसका रूप है, जहां x लक्ष्य के माध्यम से किरण द्वारा तय की गई दूरी है और I0 किरण की तीव्रता है लक्ष्य में प्रवेश करने से पहले; ℓ को माध्य मुक्त पथ कहा जाता है क्योंकि यह रुकने से पहले किरण कण द्वारा तय की गई माध्य दूरी के समान होता है। इसे देखने के लिए ध्यान दें कि x और x + dx के बीच एक कण के अवशोषित होने की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है
इस प्रकार की अपेक्षा मूल्य (या औसत, या बस अर्थ ) x है