नम्यता पद्धति: Difference between revisions

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{{Short description|Technique for computing member forces and displacements in a structure}}
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'''नम्यता पद्धति''' को लगातार [[विरूपण (यांत्रिकी)|विरूपण]] की विधि भी कहा जाता है, यह संरचनात्मक समीकरणों में सदस्य बल और [[विस्थापन (वेक्टर)|विस्थापन]] की गणना के लिए पारंपरिक विधि होती है। सदस्यों के नम्यता [[मैट्रिक्स (गणित)|मैट्रिक्स]] के संदर्भ में तैयार किए गए इसके आधुनिक संस्करण को प्राथमिक अज्ञात के रूप में सदस्य बलों के उपयोग के कारण मैट्रिक्स बल विधि का नाम भी दिया गया है।<ref name="IUST">{{cite web|title=मैट्रिक्स बल विधि|url=http://www.iust.ac.ir/files/cefsse/pg.cef/Contents/force_method_ch6.pdf|publisher=IUST|access-date=29 December 2012}}</ref>
'''नम्यता पद्धति''' को लगातार [[विरूपण (यांत्रिकी)|विरूपण]] की विधि भी कहा जाता है, यह संरचनात्मक समीकरणों में घटक बल और [[विस्थापन (वेक्टर)|विस्थापन]] की गणना के लिए पारंपरिक विधि होती है। घटकों के नम्यता [[मैट्रिक्स (गणित)|मैट्रिक्स]] के संदर्भ में तैयार किए गए इसके आधुनिक संस्करण को प्राथमिक अज्ञात के रूप में घटक बलों के उपयोग के कारण मैट्रिक्स बल विधि का नाम भी दिया गया है।<ref name="IUST">{{cite web|title=मैट्रिक्स बल विधि|url=http://www.iust.ac.ir/files/cefsse/pg.cef/Contents/force_method_ch6.pdf|publisher=IUST|access-date=29 December 2012}}</ref>
== सदस्य नम्यता ==
== घटक नम्यता ==
नम्यता [[कठोरता]] का विलोम होता है। उदाहरण के लिए, एक संख्या पर विचार करें जिसमें Q और q क्रमशः इसकी ऊर्जा और विरूपण है:
नम्यता [[कठोरता]] का विलोम होता है। उदाहरण के लिए, एक संख्या पर विचार करें जिसमें Q और q क्रमशः इसकी ऊर्जा और विरूपण है:
* संख्या की कठोरता का संबंध Q = k q है जहां k संख्या की कठोरता है
* संख्या की कठोरता का संबंध Q = k q है जहां k संख्या की कठोरता है
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* इसलिए, f = 1/k। है
* इसलिए, f = 1/k। है


एक विशिष्ट सदस्य नम्यता के संबंध में निम्नलिखित सामान्य रूप है:
एक विशिष्ट घटक नम्यता के संबंध में निम्नलिखित सामान्य रूप है:


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जहाँ
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:<math>\mathbf{q}^{om} </math> = बाहरी प्रभाव के कारण घटकों की विशेषता विकृति पृथक, डिस्कनेक्ट किए गए घटक पर लागू होती है <math>\mathbf{Q}^m = 0 </math>).


नोड्स नामक बिंदुओं पर परस्पर जुड़े कई सदस्यों से बनी एक समीकरण के लिए, सदस्यों के नम्यता संबंधों को एक एकल मैट्रिक्स समीकरण में एक साथ रखा जा सकता है, सुपरस्क्रिप्ट m को छोड़ कर:
नोड्स नामक बिंदुओं पर परस्पर जुड़े कई घटकों से बनी एक समीकरण के लिए, घटकों के नम्यता संबंधों को एक एकल मैट्रिक्स समीकरण में एक साथ रखा जा सकता है, सुपरस्क्रिप्ट m को छोड़ कर:


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जहां M समीकरण में सदस्यों की विशेषता विकृतियों या बलों की कुल संख्या होती है
जहां M समीकरण में घटकों की विशेषता विकृतियों या बलों की कुल संख्या होती है


[[मैट्रिक्स कठोरता विधि]] के विपरीत, जहां सदस्यों की कठोरता संबंधों को नोडल संतुलन और अनुकूलता स्थितियों के माध्यम से आसानी से एकीकृत किया जा सकता है, समीकरण का वर्तमान नम्यता रूप ({{EquationNote|2}}) गंभीर कठिनाई उत्पन्न करता है। सदस्य बलों के साथ <math> \mathbf{Q}_{M \times 1} </math> प्राथमिक अज्ञात के रूप में, नोडल संतुलन समीकरणों की संख्या समाधान के लिए अपर्याप्त होती है, सामान्यतः - जब तक कि समीकरण [[स्थिर रूप से निर्धारित]] नहीं होती है।
[[मैट्रिक्स कठोरता विधि]] के विपरीत, जहां घटकों की कठोरता संबंधों को नोडल संतुलन और अनुकूलता स्थितियों के माध्यम से आसानी से एकीकृत किया जा सकता है, समीकरण का वर्तमान नम्यता रूप ({{EquationNote|2}}) गंभीर कठिनाई उत्पन्न करता है। घटक बलों के साथ <math> \mathbf{Q}_{M \times 1} </math> प्राथमिक अज्ञात के रूप में, नोडल संतुलन समीकरणों की संख्या समाधान के लिए अपर्याप्त होती है, सामान्यतः - जब तक कि समीकरण [[स्थिर रूप से निर्धारित]] नहीं होती है।


== नोडल संतुलन समीकरण ==
== नोडल संतुलन समीकरण ==
इस कठिनाई को हल करने के लिए, स्वतंत्र अज्ञात सदस्य बलों की संख्या को कम करने के लिए पहले हम नोडल संतुलन समीकरणों का उपयोग करते है। समीकरण के लिए नोडल संतुलन समीकरण का रूप है:
इस कठिनाई को हल करने के लिए, स्वतंत्र अज्ञात घटक बलों की संख्या को कम करने के लिए पहले हम नोडल संतुलन समीकरणों का उपयोग करते है। समीकरण के लिए नोडल संतुलन समीकरण का रूप है:


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: <math> \mathbf{R}_{N \times 1} </math>: समीकरण की स्वतंत्रता N डिग्री नोडल बलों का वेक्टर है
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: <math> \mathbf{b}_{N \times M} </math>: परिणामी नोडल संतुलन मैट्रिक्स है
: <math> \mathbf{b}_{N \times M} </math>: परिणामी नोडल संतुलन मैट्रिक्स है
: <math> \mathbf{W}_{N \times 1} </math>: सदस्यों पर भार डालने से उत्पन्न होने वाली ऊर्जा का सदिश है
: <math> \mathbf{W}_{N \times 1} </math>: घटकों पर भार डालने से उत्पन्न होने वाली ऊर्जा का सदिश है


निर्धारित समीकरणों के स्थिति में, मैट्रिक्स B वर्ग है और q के लिए समाधान तुरंत पाया जा सकता है ({{EquationNote|3}})
निर्धारित समीकरणों के स्थिति में, मैट्रिक्स B वर्ग है और q के लिए समाधान तुरंत पाया जा सकता है ({{EquationNote|3}})
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{{NumBlk|:|<math> X_i = \alpha Q_j + \beta Q_k + \cdots \qquad i=1,2,\ldots, I </math>|{{EquationRef|4}}}}
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वेक्टर X [[अतिरेक (इंजीनियरिंग)|अतिरेक]] बलों का तथाकथित वेक्टर है और ''I'' समीकरण की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री है। <math> \alpha </math>, और <math> \beta </math> चूंकि <math> X_i </math> एक समर्थन प्रतिक्रिया या एक आंतरिक सदस्य-अंत बल है। निरर्थक बलों के उपयुक्त विकल्पों के साथ, समीकरण ({{EquationNote|3}}) द्वारा संवर्धित ({{EquationNote|4}}) अब प्राप्त करने के लिए हल किया जा सकता है:
वेक्टर X [[अतिरेक (इंजीनियरिंग)|अतिरेक]] बलों का तथाकथित वेक्टर है और ''I'' समीकरण की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री है। <math> \alpha </math>, और <math> \beta </math> चूंकि <math> X_i </math> एक समर्थन प्रतिक्रिया या एक आंतरिक घटक-अंत बल है। निरर्थक बलों के उपयुक्त विकल्पों के साथ, समीकरण ({{EquationNote|3}}) द्वारा संवर्धित ({{EquationNote|4}}) अब प्राप्त करने के लिए हल किया जा सकता है:


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:<math> \mathbf{r}^o_X = \mathbf{B}_X^T \Big[ \mathbf{f}
:<math> \mathbf{r}^o_X = \mathbf{B}_X^T \Big[ \mathbf{f}
\Big( \mathbf{B}_R \mathbf{R} + \mathbf{Q}_v \Big) + \mathbf{q}^{o} \Big] </math>
\Big( \mathbf{B}_R \mathbf{R} + \mathbf{Q}_v \Big) + \mathbf{q}^{o} \Big] </math>
समीकरण ({{EquationNote|7b}}) X के लिए हल किया जा सकता है, और सदस्य बल अगले से पाए जाते है ({{EquationNote|5}}) जबकि नोडल विस्थापन द्वारा पाया जा सकता है
समीकरण ({{EquationNote|7b}}) X के लिए हल किया जा सकता है, और घटक बल अगले से पाए जाते है ({{EquationNote|5}}) जबकि नोडल विस्थापन द्वारा पाया जा सकता है


:<math>\mathbf{r}_{R} = \mathbf{B}_R^T \mathbf{q} = \mathbf{F}_{RR} \mathbf{R} + \mathbf{r}^o_R </math>
:<math>\mathbf{r}_{R} = \mathbf{B}_R^T \mathbf{q} = \mathbf{F}_{RR} \mathbf{R} + \mathbf{r}^o_R </math>

Revision as of 09:25, 10 April 2023

नम्यता पद्धति को लगातार विरूपण की विधि भी कहा जाता है, यह संरचनात्मक समीकरणों में घटक बल और विस्थापन की गणना के लिए पारंपरिक विधि होती है। घटकों के नम्यता मैट्रिक्स के संदर्भ में तैयार किए गए इसके आधुनिक संस्करण को प्राथमिक अज्ञात के रूप में घटक बलों के उपयोग के कारण मैट्रिक्स बल विधि का नाम भी दिया गया है।[1]

घटक नम्यता

नम्यता कठोरता का विलोम होता है। उदाहरण के लिए, एक संख्या पर विचार करें जिसमें Q और q क्रमशः इसकी ऊर्जा और विरूपण है:

  • संख्या की कठोरता का संबंध Q = k q है जहां k संख्या की कठोरता है
  • इसका नम्यता संबंध q = f Q है, जहाँ f संख्या का नम्यता है
  • इसलिए, f = 1/k। है

एक विशिष्ट घटक नम्यता के संबंध में निम्नलिखित सामान्य रूप है:

 

 

 

 

(1)

जहाँ

m = घटक संख्या m है
= घटक की विशिष्ट विकृतियों का वेक्टर है
= घटक नम्यता मैट्रिक्स जो बल के अनुसार विकृत होने के लिए घटक की संवेदनशीलता को दर्शाता है
= घटक की स्वतंत्र चारित्रिक ऊर्जायों का सदिश, जो अज्ञात आंतरिक बल है। ये स्वतंत्र बल घटक संतुलन द्वारा सभी घटक-अंत बलों को उत्पन्न करते है
= बाहरी प्रभाव के कारण घटकों की विशेषता विकृति पृथक, डिस्कनेक्ट किए गए घटक पर लागू होती है ).

नोड्स नामक बिंदुओं पर परस्पर जुड़े कई घटकों से बनी एक समीकरण के लिए, घटकों के नम्यता संबंधों को एक एकल मैट्रिक्स समीकरण में एक साथ रखा जा सकता है, सुपरस्क्रिप्ट m को छोड़ कर:

 

 

 

 

(2)

जहां M समीकरण में घटकों की विशेषता विकृतियों या बलों की कुल संख्या होती है

मैट्रिक्स कठोरता विधि के विपरीत, जहां घटकों की कठोरता संबंधों को नोडल संतुलन और अनुकूलता स्थितियों के माध्यम से आसानी से एकीकृत किया जा सकता है, समीकरण का वर्तमान नम्यता रूप (2) गंभीर कठिनाई उत्पन्न करता है। घटक बलों के साथ प्राथमिक अज्ञात के रूप में, नोडल संतुलन समीकरणों की संख्या समाधान के लिए अपर्याप्त होती है, सामान्यतः - जब तक कि समीकरण स्थिर रूप से निर्धारित नहीं होती है।

नोडल संतुलन समीकरण

इस कठिनाई को हल करने के लिए, स्वतंत्र अज्ञात घटक बलों की संख्या को कम करने के लिए पहले हम नोडल संतुलन समीकरणों का उपयोग करते है। समीकरण के लिए नोडल संतुलन समीकरण का रूप है:

 

 

 

 

(3)

जहाँ

: समीकरण की स्वतंत्रता N डिग्री नोडल बलों का वेक्टर है
: परिणामी नोडल संतुलन मैट्रिक्स है
: घटकों पर भार डालने से उत्पन्न होने वाली ऊर्जा का सदिश है

निर्धारित समीकरणों के स्थिति में, मैट्रिक्स B वर्ग है और q के लिए समाधान तुरंत पाया जा सकता है (3)

प्राथमिक समीकरण

सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित समीकरणों के लिए है, M > N, और इसलिए, हम फॉर्म के I = M-N समीकरणों के साथ (3) बढ़ा सकते है:

 

 

 

 

(4)

वेक्टर X अतिरेक बलों का तथाकथित वेक्टर है और I समीकरण की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री है। , और चूंकि एक समर्थन प्रतिक्रिया या एक आंतरिक घटक-अंत बल है। निरर्थक बलों के उपयुक्त विकल्पों के साथ, समीकरण (3) द्वारा संवर्धित (4) अब प्राप्त करने के लिए हल किया जा सकता है: