आव्यूह अपघटन

Not to be confused with matrix factorization of a polynomial.

रेखीय बीजगणित के गणित अनुशासन में, एक मैट्रिक्स अपघटन या मैट्रिक्स गुणनखंड मैट्रिक्स के एक उत्पाद में एक मैट्रिक्स (गणित) का एक गुणनखंड है। कई अलग-अलग मैट्रिक्स अपघटन हैं; प्रत्येक एक विशेष वर्ग की समस्याओं के बीच उपयोग पाता है।

उदाहरण

संख्यात्मक विश्लेषण में, कुशल मैट्रिक्स कलन विधि को लागू करने के लिए विभिन्न अपघटन का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$, मैट्रिक्स A को LU अपघटन के माध्यम से विघटित किया जा सकता है। LU अपघटन एक मैट्रिक्स को एक निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स L और एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स U में कारक बनाता है। सिस्टम $L(U\mathbf {x} )=\mathbf {b}$ और $U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b}$ मूल प्रणाली की तुलना में हल करने के लिए कम जोड़ और गुणा की आवश्यकता होती है $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$, हालांकि किसी को तैरनेवाला स्थल जैसे अचूक अंकगणित में काफी अधिक अंकों की आवश्यकता हो सकती है।

इसी तरह, क्यूआर अपघटन ए को क्यूआर के रूप में क्यू ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स और आर ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त करता है। सिस्टम Q(R'x') = 'b' को R'x' = Q द्वारा हल किया जाता है^Tb = c, और सिस्टम Rx = c को 'त्रिकोणीय मैट्रिक्स#आगे और पीछे प्रतिस्थापन' द्वारा हल किया जाता है। LU सॉल्वर का उपयोग करने के लिए आवश्यक जोड़ और गुणा की संख्या लगभग दोगुनी है, लेकिन अचूक अंकगणित में अधिक अंकों की आवश्यकता नहीं है क्योंकि QR अपघटन संख्यात्मक रूप से स्थिर है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने से संबंधित अपघटन

लू अपघटन

Main article: LU decomposition

• परंपरागत रूप से लागू: स्क्वायर मैट्रिक्स ए, हालांकि आयताकार मैट्रिक्स लागू हो सकते हैं।
• अपघटन: $A=LU$, जहां L त्रिकोणीय मैट्रिक्स है और U त्रिकोणीय मैट्रिक्स है
• संबंधित: एलडीयू अपघटन है $A=LDU$, जहां एल तिरछे मैट्रिक्स के साथ त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, यू विकर्ण पर वाले त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, और डी एक विकर्ण मैट्रिक्स है।
• संबंधित: LUP अपघटन है $PA=LU$, जहां L त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, U त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, और P एक क्रमचय मैट्रिक्स है।
• अस्तित्व: किसी भी वर्ग मैट्रिक्स ए के लिए एक एलयूपी अपघटन मौजूद है। जब पी एक पहचान मैट्रिक्स है, तो एलयूपी अपघटन एलयू अपघटन में कम हो जाता है।
• टिप्पणियां: एलयूपी और एलयू अपघटन रैखिक समीकरणों की एन-बाय-एन प्रणाली को हल करने में उपयोगी होते हैं $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$. ये अपघटन मैट्रिक्स के रूप में गॉसियन उन्मूलन की प्रक्रिया को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं। मैट्रिक्स पी गॉसियन उन्मूलन की प्रक्रिया में किए गए किसी भी पंक्ति इंटरचेंज का प्रतिनिधित्व करता है। यदि गॉसियन विलोपन किसी भी पंक्ति इंटरचेंज की आवश्यकता के बिना पंक्ति सोपानक रूप का उत्पादन करता है, तो P = I, इसलिए एक LU अपघटन मौजूद है।

एस कमी

Main article: LU reduction

ब्लॉक लू अपघटन

Main article: Block LU decomposition

रैंक गुणनखंड

Main article: Rank factorization

• के लिए लागू: रैंक r का m-by-n मैट्रिक्स A
• अपघटन: $A=CF$ जहाँ C एक m-by-r फुल कॉलम रैंक मैट्रिक्स है और F एक r-by-n फुल रो रैंक मैट्रिक्स है
• टिप्पणी: रैंक गुणनखंडन का उपयोग मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स#रैंक अपघटन के लिए किया जा सकता है। ए के मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स की गणना करें, जो मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स # एक रेखीय प्रणाली के सभी समाधानों को प्राप्त करने के लिए लागू हो सकता है $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$.

चोल्स्की अपघटन

Main article: Cholesky decomposition

• इसके लिए लागू: वर्ग मैट्रिक्स, सममित मैट्रिक्स, सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स मैट्रिक्स $A$
• अपघटन: $A=U^{*}U$, कहाँ $U$ वास्तविक सकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ ऊपरी त्रिकोणीय है
• टिप्पणी: यदि मैट्रिक्स $A$ हर्मिटियन और सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, तो इसमें फॉर्म का अपघटन होता है $A=U^{*}U$ यदि की विकर्ण प्रविष्टियाँ $U$ शून्य होने की अनुमति है
• विशिष्टता: सकारात्मक निश्चित आव्यूहों के लिए चोलस्की अपघटन अद्वितीय है। हालांकि, सकारात्मक अर्ध-निश्चित मामले में यह अद्वितीय नहीं है।
• टिप्पणी: अगर $A$ वास्तविक और सममित है, $U$ सभी वास्तविक तत्व हैं
• टिप्पणी: एक विकल्प एलडीएल अपघटन है, जो वर्गमूल निकालने से बच सकता है।

क्यूआर अपघटन

Main article: QR decomposition

• इसके लिए लागू: रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम के साथ एम-बाय-एन मैट्रिक्स ए
• अपघटन: $A=QR$ कहाँ $Q$ एम-बाय-एम आकार का एक एकात्मक मैट्रिक्स है, और $R$ आकार m-by-n का त्रिकोणीय मैट्रिक्स मैट्रिक्स है
• विशिष्टता: सामान्य तौर पर यह अद्वितीय नहीं है, लेकिन यदि $A$ पूर्ण मैट्रिक्स रैंक का है, तो एकल मौजूद है $R$ जिसमें सभी धनात्मक विकर्ण तत्व हों। अगर $A$ वर्गाकार भी है $Q$ निराला है।
• टिप्पणी: क्यूआर अपघटन समीकरणों की प्रणाली को हल करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करता है $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$. यह तथ्य कि $Q$ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का मतलब है $Q^{\mathrm {T} }Q=I$, ताकि $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ के बराबर है $R\mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {b}$, जिसे हल करना बहुत आसान है $R$ त्रिकोणीय मैट्रिक्स है।

आरआरक्यूआर कारककरण

Main article: RRQR factorization

इंटरपोलेटिव अपघटन

Main article: Interpolative decomposition

eigenvalues ​​​​और संबंधित अवधारणाओं के आधार पर अपघटन

आइगेनडीकंपोजीशन

Main article: Eigendecomposition (matrix)

• स्पेक्ट्रल अपघटन (मैट्रिक्स) भी कहा जाता है।
• इसके लिए लागू: रैखिक रूप से स्वतंत्र ईजेनवेक्टरों के साथ वर्ग मैट्रिक्स ए (जरूरी नहीं कि अलग-अलग ईजेनवेल्यूज)।
• अपघटन: $A=VDV^{-1}$, जहां D, A के eigenvalues ​​​​से बना एक विकर्ण मैट्रिक्स है, और V के कॉलम A के संगत eigenvectors हैं।
• अस्तित्व: एक n-by-n मैट्रिक्स A में हमेशा n (जटिल) eigenvalues ​​​​होते हैं, जिन्हें n-by-n विकर्ण मैट्रिक्स D और गैर-स्तंभ V के संगत मैट्रिक्स बनाने के लिए (एक से अधिक तरीकों से) आदेश दिया जा सकता है। आइगेनवैल्यू समीकरण को संतुष्ट करता है $AV=VD$. $V$ व्युत्क्रमणीय है अगर और केवल अगर एन ईजेनवेक्टर रैखिक स्वतंत्रता हैं (अर्थात, प्रत्येक ईजेनवेल्यू में इसकी बीजीय बहुलता के बराबर ज्यामितीय बहुलता है)। ऐसा होने के लिए एक पर्याप्त (लेकिन आवश्यक नहीं) शर्त यह है कि सभी ईगेनवैल्यू अलग-अलग हैं (इस मामले में ज्यामितीय और