समपूरक जाली: Difference between revisions
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[[File:Fano plane Hasse diagram.svg|thumb| | [[File:Fano plane Hasse diagram.svg|thumb| पूरक जालक का हास आरेख। एक बिंदु {{mvar|p}}<nowiki> और पंक्ति {{mvar|l}फैनो विमान के } पूरक हैं अगर और केवल अगर </nowiki>{{mvar|p}} झूठ नहीं बोलता {{mvar|l}}.]][[आदेश सिद्धांत]] के गणित अनुशासन में, पूरक जाली बंधी हुई जाली (क्रम) है ([[कम से कम तत्व]] 0 और [[सबसे बड़ा तत्व]] 1), जिसमें प्रत्येक तत्व ''ए'' का पूरक है, यानी तत्व ''बी'' संतोषजनक ''a'' ∨ ''b'' = 1 और ''a'' ∧ ''b'' = 0। | ||
पूरक अद्वितीय नहीं होना चाहिए। | पूरक अद्वितीय नहीं होना चाहिए। | ||
अपेक्षाकृत पूरक जाली एक जाली है जैसे कि प्रत्येक [[अंतराल (आंशिक क्रम)]] [''c'', ''d''], जिसे अपने आप में बंधी हुई जाली के रूप में देखा जाता है, पूरक जाली है। | |||
पूरक जाली पर ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेशन [[इनवोल्यूशन (गणित)]] है जो [[ क्रम उलटना ]] है और प्रत्येक तत्व को पूरक के रूप में मैप करता है। [[मॉड्यूलर जाली]] के कमजोर रूप को संतुष्ट करने वाली ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेड जाली को ऑर्थोमॉड्यूलर जाली कहा जाता है। | |||
परिबद्ध वितरण जालक में, पूरक अद्वितीय होते हैं। प्रत्येक पूरक [[वितरण जाली]] में | परिबद्ध वितरण जालक में, पूरक अद्वितीय होते हैं। प्रत्येक पूरक [[वितरण जाली]] में अद्वितीय ऑर्थोकोम्प्लिमेंटेशन होता है और वास्तव में [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] है। | ||
== परिभाषा और बुनियादी गुण == | == परिभाषा और बुनियादी गुण == | ||
पूरक जाली बंधी हुई जाली है (कम से कम तत्व 0 और सबसे बड़ा तत्व 1 के साथ), जिसमें प्रत्येक तत्व ''a'' का पूरक है, अर्थात तत्व ''b'' ऐसा है कि | |||
::''a'' ∨ ''b'' = 1 and ''a'' ∧ ''b'' = 0। | ::''a'' ∨ ''b'' = 1 and ''a'' ∧ ''b'' = 0। | ||
सामान्य तौर पर | सामान्य तौर पर तत्व में एक से अधिक पूरक हो सकते हैं। हालांकि, (बाध्य) वितरण जाली में प्रत्येक तत्व में अधिकतम पूरक होगा।<ref>Grätzer (1971), Lemma I.6.1, p. 47. Rutherford (1965), Theorem 9.3 p. 25.</ref> जाली जिसमें प्रत्येक तत्व का ठीक पूरक होता है, विशिष्ट पूरक जाली कहलाता है<ref>{{citation|title=Semimodular Lattices: Theory and Applications|series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications|first=Manfred|last=Stern|publisher=Cambridge University Press|year=1999|isbn=9780521461054|page=29|url=https://books.google.com/books?id=VVYd2sC19ogC&pg=PA29}}.</ref> | ||
संपत्ति के साथ | संपत्ति के साथ जाली जिसे हर अंतराल ( उप-जाल के रूप में देखा जाता है) को पूरक किया जाता है, उसे अपेक्षाकृत पूरक जाली कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, अपेक्षाकृत पूरक जाली की संपत्ति की विशेषता होती है कि अंतराल में प्रत्येक तत्व '' ए '' के लिए ['' सी '', '' डी ''] तत्व '' बी '' होता है | ||
::''a'' ∨ ''b'' = ''d'' and ''a'' ∧ ''b'' = ''c''। | ::''a'' ∨ ''b'' = ''d'' and ''a'' ∧ ''b'' = ''c''। | ||
ऐसे तत्व ''बी'' को अंतराल के सापेक्ष ''ए'' का पूरक कहा जाता है। | ऐसे तत्व ''बी'' को अंतराल के सापेक्ष ''ए'' का पूरक कहा जाता है। | ||
वितरण जाली को पूरक किया जाता है अगर और केवल अगर यह बाध्य और अपेक्षाकृत पूरक हो।<ref>Grätzer (1971), Lemma I.6.2, p. 48. This result holds more generally for modular lattices, see Exercise 4, p. 50.</ref><ref>Birkhoff (1961), Corollary IX.1, p. 134</ref> सदिश स्थान के सदिश उपस्थानों की जाली पूरक जाली का उदाहरण प्रदान करती है जो सामान्य रूप से वितरण नहीं है। | |||
==ऑर्थोकंप्लीमेंटेशन== | ==ऑर्थोकंप्लीमेंटेशन== | ||
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बंधे हुए जाली पर ऑर्थोकोम्प्लिमेंटेशन ऐसा कार्य है जो प्रत्येक तत्व ''ए'' को ऑर्थोकोम्प्लीमेंट ''ए'' से मैप करता है।<sup>⊥</sup> इस तरह से कि निम्नलिखित स्वयंसिद्ध संतुष्ट हों:<ref>{{harvtxt|Stern|1999}}, p. 11.</ref> | |||
पूरक कानून: ए<sup>⊥</sup> ∨ ए = 1 और ए<sup>⊥</sup> ∧ ए = 0। | पूरक कानून: ए<sup>⊥</sup> ∨ ए = 1 और ए<sup>⊥</sup> ∧ ए = 0। | ||
इन्वोल्यूशन लॉ: ए<sup>⊥⊥</sup> = ए। | इन्वोल्यूशन लॉ: ए<sup>⊥⊥</sup> = ए। | ||
ऑर्डर-रिवर्सिंग: अगर ए ≤ बी तो बी<sup>⊥</sup> ≤ ए<sup>⊥</सुप>। | ऑर्डर-रिवर्सिंग: अगर ए ≤ बी तो बी<sup>⊥</sup> ≤ ए<sup>⊥</सुप>। | ||
ऑर्थोकम्प्लिमेंटेड लैटिस या ऑर्थोलैटिस बाउंडेड लैटिस है जो ऑर्थोकोम्प्लिमेंटेशन से लैस है। [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] के उप-स्थानों की जाली, और [[ऑर्थोगोनल पूरक]] ऑपरेशन, ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेड जाली का उदाहरण प्रदान करता है जो सामान्य रूप से वितरण नहीं है।<ref>[http://unapologetic.wordpress.com/2009/05/07/orthogonal-complements-and-the-lattice-of-subspaces/ The Unapologetic Mathematician: Orthogonal Complements and the Lattice of Subspaces].</ref> | |||
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Image:Hexagon lattice.svg|हेक्सागोन जाली एक अद्वितीय ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेशन स्वीकार करती है, लेकिन यह विशिष्ट रूप से पूरक नहीं है। | Image:Hexagon lattice.svg|हेक्सागोन जाली एक अद्वितीय ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेशन स्वीकार करती है, लेकिन यह विशिष्ट रूप से पूरक नहीं है। | ||
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बूलियन बीजगणित (संरचना) orthocomplemented lattices का | बूलियन बीजगणित (संरचना) orthocomplemented lattices का विशेष मामला है, जो बदले में पूरक lattices (अतिरिक्त संरचना के साथ) का विशेष मामला है। ऑर्थोलैटिस का उपयोग अक्सर [[ क्वांटम तर्क ]] में किया जाता है, जहां पृथक स्थान [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष ]] के [[बंद सेट]] रेखीय उप-स्थान क्वांटम प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व करते हैं और ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेड जाली के रूप में व्यवहार करते हैं। | ||
ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड लैटिस, जैसे बूलियन बीजगणित, मॉर्गन के नियमों को पूरा करते हैं: | ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड लैटिस, जैसे बूलियन बीजगणित, मॉर्गन के नियमों को पूरा करते हैं: | ||
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== ऑर्थोमॉड्यूलर लैटिस == | == ऑर्थोमॉड्यूलर लैटिस == | ||
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रखती है। यह वितरणात्मक जाली से कमजोर है; उदा. ऊपर दिखाया गया जाली एम<sub>3</sub> मॉड्यूलर है, लेकिन वितरण नहीं है। | रखती है। यह वितरणात्मक जाली से कमजोर है; उदा. ऊपर दिखाया गया जाली एम<sub>3</sub> मॉड्यूलर है, लेकिन वितरण नहीं है। | ||
क्वांटम लॉजिक में अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेड लैटिस के लिए इस स्थिति का एक और कमजोर होना, केवल विशेष मामले b = a में इसकी आवश्यकता है<sup>⊥</सुप>। | क्वांटम लॉजिक में अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेड लैटिस के लिए इस स्थिति का एक और कमजोर होना, केवल विशेष मामले b = a में इसकी आवश्यकता है<sup>⊥</सुप>। ऑर्थोमॉड्यूलर जाली को ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेड जाली के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे कि किसी भी दो तत्वों के लिए निहितार्थ | ||
::अगर ''ए'' ≤ ''सी'', तो ''ए'' ∨ (''ए''<sup>⊥</sup> ∧ सी) = सी | ::अगर ''ए'' ≤ ''सी'', तो ''ए'' ∨ (''ए''<sup>⊥</sup> ∧ सी) = सी | ||
रखती है। | रखती है। | ||
क्वांटम लॉजिक के अध्ययन के लिए इस रूप के लैटिस महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि वे [[क्वांटम यांत्रिकी]] के क्वांटम यांत्रिकी के हिल्बर्ट अंतरिक्ष गणितीय सूत्रीकरण के स्वयंसिद्ध का हिस्सा हैं। [[गैरेट बिरखॉफ]] और [[जॉन वॉन न्यूमैन]] ने देखा कि क्वांटम तर्क में प्रस्तावन तर्क तार्किक कलन औपचारिक रूप से चौराहे, रैखिक_सबस्पेस # सम्स और ऑर्थोगोनल पूरक के संबंध में रैखिक उप-स्थानों [ | क्वांटम लॉजिक के अध्ययन के लिए इस रूप के लैटिस महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि वे [[क्वांटम यांत्रिकी]] के क्वांटम यांत्रिकी के हिल्बर्ट अंतरिक्ष गणितीय सूत्रीकरण के स्वयंसिद्ध का हिस्सा हैं। [[गैरेट बिरखॉफ]] और [[जॉन वॉन न्यूमैन]] ने देखा कि क्वांटम तर्क में प्रस्तावन तर्क तार्किक कलन औपचारिक रूप से चौराहे, रैखिक_सबस्पेस # सम्स और ऑर्थोगोनल पूरक के संबंध में रैखिक उप-स्थानों [ हिल्बर्ट अंतरिक्ष के] की गणना से अप्रभेद्य है और, या की भूमिकाओं के अनुरूप है। और बूलियन लैटिस में नहीं। इस टिप्पणी ने हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बंद उप-स्थानों में रुचि पैदा की है, जो ऑर्थोमॉड्यूलर जाली बनाते हैं।<ref name="PadmanabhanRudeanu2008">{{cite book|author1=Ranganathan Padmanabhan|author2=Sergiu Rudeanu|title=जाली और बूलियन बीजगणित के लिए अभिगृहीत|url=https://books.google.com/books?id=JlXSlpmlSv4C&pg=PA128|year=2008|publisher=World Scientific|isbn=978-981-283-454-6|page=128}}</ref> | ||
Revision as of 16:50, 23 May 2023
आदेश सिद्धांत के गणित अनुशासन में, पूरक जाली बंधी हुई जाली (क्रम) है (कम से कम तत्व 0 और सबसे बड़ा तत्व 1), जिसमें प्रत्येक तत्व ए का पूरक है, यानी तत्व बी संतोषजनक a ∨ b = 1 और a ∧ b = 0।
पूरक अद्वितीय नहीं होना चाहिए।
अपेक्षाकृत पूरक जाली एक जाली है जैसे कि प्रत्येक अंतराल (आंशिक क्रम) [c, d], जिसे अपने आप में बंधी हुई जाली के रूप में देखा जाता है, पूरक जाली है।
पूरक जाली पर ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेशन इनवोल्यूशन (गणित) है जो क्रम उलटना है और प्रत्येक तत्व को पूरक के रूप में मैप करता है। मॉड्यूलर जाली के कमजोर रूप को संतुष्ट करने वाली ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेड जाली को ऑर्थोमॉड्यूलर जाली कहा जाता है।
परिबद्ध वितरण जालक में, पूरक अद्वितीय होते हैं। प्रत्येक पूरक वितरण जाली में अद्वितीय ऑर्थोकोम्प्लिमेंटेशन होता है और वास्तव में बूलियन बीजगणित (संरचना) है।
परिभाषा और बुनियादी गुण
पूरक जाली बंधी हुई जाली है (कम से कम तत्व 0 और सबसे बड़ा तत्व 1 के साथ), जिसमें प्रत्येक तत्व a का पूरक है, अर्थात तत्व b ऐसा है कि
- a ∨ b = 1 and a ∧ b = 0।
सामान्य तौर पर तत्व में एक से अधिक पूरक हो सकते हैं। हालांकि, (बाध्य) वितरण जाली में प्रत्येक तत्व में अधिकतम पूरक होगा।[1] जाली जिसमें प्रत्येक तत्व का ठीक पूरक होता है, विशिष्ट पूरक जाली कहलाता है[2] संपत्ति के साथ जाली जिसे हर अंतराल ( उप-जाल के रूप में देखा जाता है) को पूरक किया जाता है, उसे अपेक्षाकृत पूरक जाली कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, अपेक्षाकृत पूरक जाली की संपत्ति की विशेषता होती है कि अंतराल में प्रत्येक तत्व ए के लिए [ सी , डी ] तत्व बी होता है
- a ∨ b = d and a ∧ b = c।
ऐसे तत्व बी को अंतराल के सापेक्ष ए का पूरक कहा जाता है।
वितरण जाली को पूरक किया जाता है अगर और केवल अगर यह बाध्य और अपेक्षाकृत पूरक हो।[3][4] सदिश स्थान के सदिश उपस्थानों की जाली पूरक जाली का उदाहरण प्रदान करती है जो सामान्य रूप से वितरण नहीं है।
ऑर्थोकंप्लीमेंटेशन
बंधे हुए जाली पर ऑर्थोकोम्प्लिमेंटेशन ऐसा कार्य है जो प्रत्येक तत्व ए को ऑर्थोकोम्प्लीमेंट ए से मैप करता है।⊥ इस तरह से कि निम्नलिखित स्वयंसिद्ध संतुष्ट हों:[5] पूरक कानून: ए⊥ ∨ ए = 1 और ए⊥ ∧ ए = 0। इन्वोल्यूशन लॉ: ए⊥⊥ = ए। ऑर्डर-रिवर्सिंग: अगर ए ≤ बी तो बी⊥ ≤ ए⊥</सुप>। ऑर्थोकम्प्लिमेंटेड लैटिस या ऑर्थोलैटिस बाउंडेड लैटिस है जो ऑर्थोकोम्प्लिमेंटेशन से लैस है। आंतरिक उत्पाद स्थान के उप-स्थानों की जाली, और ऑर्थोगोनल पूरक ऑपरेशन, ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेड जाली का उदाहरण प्रदान करता है जो सामान्य रूप से वितरण नहीं है।[6]
- Some complemented lattices
- Smallest nonmodular lattice 1.svg
पेंटागन जाली में N5, दाईं ओर के नोड में दो पूरक हैं।
हीरा जाली एम3 कोई orthocomplementation स्वीकार नहीं करता है।
- Lattice M4.svg
जाली एम4 3 orthocomplementations को स्वीकार करता है।
हेक्सागोन जाली एक अद्वितीय ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेशन स्वीकार करती है, लेकिन यह विशिष्ट रूप से पूरक नहीं है।
बूलियन बीजगणित (संरचना) orthocomplemented lattices का विशेष मामला है, जो बदले में पूरक lattices (अतिरिक्त संरचना के साथ) का विशेष मामला है। ऑर्थोलैटिस का उपयोग अक्सर क्वांटम तर्क में किया जाता है, जहां पृथक स्थान हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बंद सेट रेखीय उप-स्थान क्वांटम प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व करते हैं और ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेड जाली के रूप में व्यवहार करते हैं।
ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड लैटिस, जैसे बूलियन बीजगणित, मॉर्गन के नियमों को पूरा करते हैं:
- (ए ∨ बी)⊥ = ए⊥ ∧ बी⊥</सुप>
- (ए ∧ बी)⊥ = ए⊥ ∨ ख⊥</सुप>।
ऑर्थोमॉड्यूलर लैटिस
जाली को मॉड्यूलर जाली कहा जाता है यदि सभी तत्वों के लिए ए, बी और सी निहितार्थ हैं
- अगर a ≤ c, तो a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c
रखती है। यह वितरणात्मक जाली से कमजोर है; उदा. ऊपर दिखाया गया जाली एम3 मॉड्यूलर है, लेकिन वितरण नहीं है।
क्वांटम लॉजिक में अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेड लैटिस के लिए इस स्थिति का एक और कमजोर होना, केवल विशेष मामले b = a में इसकी आवश्यकता है⊥</सुप>। ऑर्थोमॉड्यूलर जाली को ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेड जाली के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे कि किसी भी दो तत्वों के लिए निहितार्थ
- अगर ए ≤ सी, तो ए ∨ (ए⊥ ∧ सी) = सी
रखती है।
क्वांटम लॉजिक के अध्ययन के लिए इस रूप के लैटिस महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि वे क्वांटम यांत्रिकी के क्वांटम यांत्रिकी के हिल्बर्ट अंतरिक्ष गणितीय सूत्रीकरण के स्वयंसिद्ध का हिस्सा हैं। गैरेट बिरखॉफ और जॉन वॉन न्यूमैन ने देखा कि क्वांटम तर्क में प्रस्तावन तर्क तार्किक कलन औपचारिक रूप से चौराहे, रैखिक_सबस्पेस # सम्स और ऑर्थोगोनल पूरक के संबंध में रैखिक उप-स्थानों [ हिल्बर्ट अंतरिक्ष के] की गणना से अप्रभेद्य है और, या की भूमिकाओं के अनुरूप है। और बूलियन लैटिस में नहीं। इस टिप्पणी ने हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बंद उप-स्थानों में रुचि पैदा की है, जो ऑर्थोमॉड्यूलर जाली बनाते हैं।[7]
यह भी देखें
टिप्पणियाँ
- ↑ Grätzer (1971), Lemma I.6.1, p. 47. Rutherford (1965), Theorem 9.3 p. 25.
- ↑ Stern, Manfred (1999), Semimodular Lattices: Theory and Applications, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, p. 29, ISBN 9780521461054.
- ↑ Grätzer (1971), Lemma I.6.2, p. 48. This result holds more generally for modular lattices, see Exercise 4, p. 50.
- ↑ Birkhoff (1961), Corollary IX.1, p. 134
- ↑ Stern (1999), p. 11.
- ↑ The Unapologetic Mathematician: Orthogonal Complements and the Lattice of Subspaces.
- ↑ Ranganathan Padmanabhan; Sergiu Rudeanu (2008). जाली और बूलियन बीजगणित के लिए अभिगृहीत. World Scientific. p. 128. ISBN 978-981-283-454-6.
संदर्भ
- Birkhoff, Garrett (1961). Lattice Theory. American Mathematical Society.
- Grätzer, George (1971). Lattice Theory: First Concepts and Distributive Lattices. W. H. Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-0442-3.
- Grätzer, George (1978). General Lattice Theory. Basel, Switzerland: Birkhäuser. ISBN 978-0-12-295750-5.
- Rutherford, Daniel Edwin (1965). Introduction to Lattice Theory. Oliver and Boyd.
बाहरी संबंध
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