वृत्ताकार त्रिभुज: Difference between revisions

Revision as of 12:01, 26 May 2023

उत्तल और अवतल किनारों के मिश्रण के साथ गोलाकार त्रिकोण

ज्यामिति में, एक वृत्ताकार त्रिभुज वृत्ताकार चाप किनारों वाला त्रिभुज होता है।

उदाहरण

File:Circular triangle example.svg

तीन चक्रों का प्रतिच्छेदन

File:Circular horn triangle example.svg

वृत्ताकार हॉर्न वाला त्रिकोण

रेलेक्स त्रिकोण

0px

अर्बेलोस

तीन वृत्ताकार चक्रों का प्रतिच्छेदन एक उत्तल वृत्ताकार त्रिभुज बनाता है। उदाहरण के लिए, एक रेलेक्स त्रिभुज इस निर्माण की एक विशेष स्थिति है जहां तीन चक्र एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षो पर केंद्रित होते हैं, जिसकी त्रिज्या त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के तुल्य होती है। हालाँकि, प्रत्येक उत्तल वृत्ताकार त्रिभुज इस तरह से चक्र के प्रतिच्छेदन के रूप में नहीं बनते है।

एक वृत्ताकार हॉर्न वाले त्रिभुज के सभी आंतरिक कोण शून्य के तुल्य होते हैं।^[1] इनमें से कुछ त्रिभुजों को बनाने का एक तरीका यह है कि तीन वृत्तों को युग्मों में एक दूसरे से बाहरी स्पर्शरेखा पर रखा जाए; फिर इन वृत्तों से घिरा मध्य त्रिभुजाकार क्षेत्र एक हॉर्न त्रिभुज है। हालांकि, अन्य हॉर्न वाले त्रिभुज, जैसे कि अर्बेलोस (तीन संरेखी शीर्षो और इसके किनारों के रूप में तीन अर्धवृत्त) तीन स्पर्श वृत्तों में से एक के लिए आंतरिक हैं, जो तीनों के बाहरी होने के बजाय इसे बनाते हैं|^[2]

File:Boscovich's cardioid.svg

बॉस्कोविच का कार्डियोइड और इसकी परिधि-द्विभाजित रेखाओं में से एक

रोजर जोसेफ बोस्कोविच द्वारा पाया गया एक कारडायोड जैसा वृत्ताकार त्रिभुज एक रेखा पर समान रूप से तीन शीर्ष, रेखा के एक तरफ दो समान अर्धवृत्त और रेखा के दूसरी तरफ दो बार त्रिज्या का तीसरा अर्धवृत्त है। दो बाहरी शीर्षों का आंतरिक कोण $\pi$ और मध्य शीर्ष में आंतरिक कोण $2\pi$ होता है| इसका असामान्य गुण है कि मध्य शीर्ष से होकर जाने वाली सभी रेखाएँ इसके परिधि को समद्विभाजित करती हैं।^[3]

अन्य वृत्ताकार त्रिभुजों में उत्तल और अवतल वृत्ताकार चाप किनारों का मिश्रण हो सकता है।

कोणों का अभिलक्षणन

अंतराल $[0,2\pi ]$ में दिए गए तीन कोण $\theta _{1}$ , $\theta _{2}$ और $\theta _{3}$ एक वृत्ताकार त्रिभुज के आंतरिक कोण बनाते हैं (स्व-प्रतिच्छेदन के बिना) अगर और केवल अगर वे असमताओं की पद्धति का पालन करते हैं

{\begin{aligned}-2\pi &<\theta _{1}+\theta _{2}-\theta _{3}<2\pi \\-2\pi &<\theta _{1}+\theta _{3}-\theta _{2}<2\pi \\-2\pi &<\theta _{2}+\theta _{3}-\theta _{1}<2\pi .\end{aligned}}

एक दूसरे के समान अंतःकोण वाले सभी वृत्ताकार त्रिभुज मोबियस रूपांतरण के अंतर्गत एक दूसरे के तुल्य हैं।^[4]

आइसोपेरिमेट्री

वृत्ताकार त्रिभुज एक आइसोपरमेट्रिक समस्या का समाधान देते हैं जिसमें एक न्यूनतम लंबाई के वक्र की खोज करता है जो तीन दिए गए बिंदुओं को घेरता है और एक नियत क्षेत्र है। जब क्षेत्रफल कम से कम बिंदुओं के परिवृत्त जितना बड़ा हो, तो समाधान बिंदुओं के चारों ओर उस क्षेत्र का कोई भी वृत्त होता है। छोटे क्षेत्रों के लिए, इष्टतम वक्र तीन बिंदुओं के साथ एक वृत्ताकार त्रिभुज होगा, और इसके किनारों के तुल्य त्रिज्या के वृत्ताकार चाप के साथ, उस क्षेत्र के नीचे जहां इस तरह के त्रिभुज के तीन आंतरिक कोणों में से एक शून्य तक पहुंच जाता है। उस क्षेत्र के नीचे, वक्र ''एंटीना'' के साथ एक वृत्ताकार त्रिभुज में पतित हो जाता है, सीधे खंड इसके शीर्ष से एक या अधिक निर्दिष्ट बिंदुओं तक पहुंचते हैं। क्षेत्र के शून्य हो जाने की सीमा में, वृत्ताकार त्रिभुज दिए गए तीन बिंदुओं के फर्मेट बिंदु की ओर परिसीमित हो जाता है।^[5]

यह भी देखें

*हार्ट वृत्त, कुछ वृत्ताकार त्रिभुजों से जुड़ा एक वृत्त

अतिपरवलयिक त्रिभुज, एक त्रिभुज जिसकी अतिपरवलयिक ज्यामिति में सीधी भुजाएँ होती हैं, लेकिन अतिपरवलयिक ज्यामिति के कुछ प्रतिरूपों में वृत्ताकार रूप में खींचा जाता है
लून और लेंस, वृत्ताकार चापों से घिरी दो-तरफ़ा आकृतियाँ
त्रिपर्ण चाप (ट्रेफॉइल), एक वृत्ताकार त्रिभुज जो इसके तीन शीर्षों से बाहर की ओर उभरा हुआ है, जिसका उपयोग आर्किटेक्चर में किया जाता है

संदर्भ

↑ Kasner, Edward; Kalish, Aida (1944), "The geometry of the circular horn triangle", National Mathematics Magazine, 18: 299–304, doi:10.2307/3030080, JSTOR 3030080, MR 0010442
↑ Boas, Harold P. (2006), "Reflections on the arbelos" (PDF), American Mathematical Monthly, 113 (3): 236–249, doi:10.2307/27641891, JSTOR 27641891, MR 2204487.
↑ Banchoff, Thomas; Giblin, Peter (1994), "On the geometry of piecewise circular curves", The American Mathematical Monthly, 101 (5): 403–416, doi:10.2307/2974900, JSTOR 2974900, MR 1272938
↑ Eppstein, David; Frishberg, Daniel; Osegueda, Martha C. (June 2023), "Angles of arc-polygons and Lombardi drawings of cacti", Computational Geometry, 112: 101982, arXiv:2107.03615, doi:10.1016/j.comgeo.2023.101982
↑ Courant, Richard; Robbins, Herbert (1996), What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (2nd ed.), Oxford University Press, pp. 378–379

[1] Kasner, Edward; Kalish, Aida (1944), "The geometry of the circular horn triangle", National Mathematics Magazine, 18: 299–304, doi:10.2307/3030080, JSTOR 3030080, MR 0010442

[2] Boas, Harold P. (2006), "Reflections on the arbelos" (PDF), American Mathematical Monthly, 113 (3): 236–249, doi:10.2307/27641891, JSTOR 27641891, MR 2204487.

[3] Banchoff, Thomas; Giblin, Peter (1994), "On the geometry of piecewise circular curves", The American Mathematical Monthly, 101 (5): 403–416, doi:10.2307/2974900, JSTOR 2974900, MR 1272938

[4] Eppstein, David; Frishberg, Daniel; Osegueda, Martha C. (June 2023), "Angles of arc-polygons and Lombardi drawings of cacti", Computational Geometry, 112: 101982, arXiv:2107.03615, doi:10.1016/j.comgeo.2023.101982

[5] Courant, Richard; Robbins, Herbert (1996), What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (2nd ed.), Oxford University Press, pp. 378–379

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-तीन वृत्ताकार डिस्क का प्रतिच्छेदन एक उत्तल वृत्ताकार त्रिभुज बनाता है। उदाहरण के लिए, एक [[रेलेक्स त्रिकोण|रेलेक्स त्रिभुज]] इस निर्माण की एक विशेष स्थिति है जहां तीन डिस्क एक [[समबाहु त्रिभुज]] के शीर्षो पर केंद्रित होती हैं, जिसकी त्रिज्या त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के तुल्यहोती है। हालाँकि, प्रत्येक उत्तल वृत्ताकार त्रिभुज इस तरह से डिस्क के प्रतिच्छेदन के रूप में नहीं बनते है।
+तीन वृत्ताकार चक्रों का प्रतिच्छेदन एक उत्तल वृत्ताकार त्रिभुज बनाता है। उदाहरण के लिए, एक [[रेलेक्स त्रिकोण|रेलेक्स त्रिभुज]] इस निर्माण की एक विशेष स्थिति है जहां तीन चक्र एक [[समबाहु त्रिभुज]] के शीर्षो पर केंद्रित होते हैं, जिसकी त्रिज्या त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के तुल्य होती है। हालाँकि, प्रत्येक उत्तल वृत्ताकार त्रिभुज इस तरह से चक्र के प्रतिच्छेदन के रूप में नहीं बनते है।
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 == आइसोपेरिमेट्री ==
 वृत्ताकार त्रिभुज एक [[आइसोपरमेट्रिक समस्या]] का समाधान देते हैं जिसमें एक न्यूनतम लंबाई के वक्र की खोज करता है जो तीन दिए गए बिंदुओं को घेरता है और एक नियत क्षेत्र है। जब क्षेत्रफल कम से कम बिंदुओं के [[परिवृत्त]] जितना बड़ा हो, तो समाधान बिंदुओं के चारों ओर उस क्षेत्र का कोई भी वृत्त होता है। छोटे क्षेत्रों के लिए, इष्टतम वक्र तीन बिंदुओं के साथ एक वृत्ताकार त्रिभुज होगा, और इसके किनारों के तुल्य त्रिज्या के वृत्ताकार चाप के साथ, उस क्षेत्र के नीचे जहां इस तरह के त्रिभुज के तीन आंतरिक कोणों में से एक शून्य तक पहुंच जाता है। उस क्षेत्र के नीचे, वक्र <nowiki>''एंटीना''</nowiki> के साथ एक वृत्ताकार त्रिभुज में पतित हो जाता है, सीधे खंड इसके शीर्ष से एक या अधिक निर्दिष्ट बिंदुओं तक पहुंचते हैं। क्षेत्र के शून्य हो जाने की सीमा में, वृत्ताकार त्रिभुज दिए गए तीन बिंदुओं के [[फर्मेट बिंदु]] की ओर परिसीमित हो जाता है।<ref>{{citation
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 * [[अतिपरवलयिक त्रिभुज]], एक त्रिभुज जिसकी अतिपरवलयिक ज्यामिति में सीधी भुजाएँ होती हैं, लेकिन अतिपरवलयिक ज्यामिति के कुछ प्रतिरूपों में वृत्ताकार रूप में खींचा जाता है
 * [[लून]] और [[लेंस]], वृत्ताकार चापों से घिरी दो-तरफ़ा आकृतियाँ
-* [[तिपतिया घास|त्रिपर्ण चाप]] (ट्रेफॉइल), एक वृत्ताकार त्रिभुज जो इसके तीन शीर्षों से बाहर की ओर उभरा हुआ है, जिसका उपयोग आर्किटेक्चर में किया जाता है
+* [[तिपतिया घास|त्रिपर्ण चाप]] ([[ट्रेफॉइल]]), एक वृत्ताकार त्रिभुज जो इसके तीन शीर्षों से बाहर की ओर उभरा हुआ है, जिसका उपयोग आर्किटेक्चर में किया जाता है
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