डिराक माप: Difference between revisions

Revision as of 00:08, 30 May 2023

3-बिंदु समुच्चय के सभी संभावित उपसमुच्चयों को प्रदर्शित करने वाला आरेख

{x, y, z

}. डिराक माप

δ x

आरेख के ऊपरी-बाएँ आधे भाग में सभी समुच्चयों के लिए 1 और निचले-दाएँ आधे भाग में सभी समुच्चयों के लिए 0 का आकार निर्दिष्ट करता है।

गणित में, डायराक माप केवल एक समुच्चय के आधार पर आकार निर्दिष्ट करता है कि इसमें एक निश्चित तत्व x उपस्थित है या नहीं। यह डिराक डेल्टा फलन, भौतिकी और अन्य तकनीकी क्षेत्रों में महत्वपूर्ण उपकरण के विचार को औपचारिक रूप प्रदान करने का एक उपाय है।

परिभाषा

डायराक माप एक समुच्चय $X$ पर माप $δ x$ (किसी भी $σ$ -बीजगणित के साथ उपसमुच्चय $X$ का) दिए गए $x \in X$ के लिए और कोई भी (मापने योग्य समुच्चय) समुच्चय $A \subseteq X$ के द्वारा परिभाषित करता है।

\delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A.\end{cases}}

जहाँ $1 A$ , $A$ का सूचक फलन है।

डायराक माप एक संभाव्यता माप है और संभाव्यता के संदर्भ में यह लगभग सुनिश्चित परिणाम प्रतिदर्श समष्टि X में परिणाम x का प्रतिनिधित्व करता है। हम यह भी कह सकते हैं कि माप $x$ पर एक एकल परमाणु (माप सिद्धांत) है। चूंकि डायराक माप को परमाणु माप के रूप में मानना सही नहीं है। जब हम डायराक डेल्टा की अनुक्रमिक परिभाषा पर विचार करते हैं। डेल्टा अनुक्रम की सीमा के रूप में डायराक उपाय संभाव्यता उपायों के उत्तल समुच्चय के एक्सट्रीम प्वॉइंट $X$ पर उपस्थित हैं।

इसका नाम डायराक डेल्टा फलन से बैक-फॉर्मेशन है। जिसे एक वितरण (गणित) के रूप में माना जाता है, उदाहरण के लिए वास्तविक रेखा पर, विशेष प्रकार के वितरण के लिए उपाय किए जा सकते हैं। पहचान-

\int _{X}f(y)\,\mathrm {d} \delta _{x}(y)=f(x),

जो निम्नलिखित रूप में है-

\int _{X}f(y)\delta _{x}(y)\,\mathrm {d} y=f(x),

डेल्टा फलन की परिभाषा का भाग बनने के लिए अधिकांशतः प्राप्त किया जाता है, जिसको लेबेसेग एकीकरण के प्रमेय के रूप में होता है।

डायराक माप के गुण

माना कि δx कुछ मापने योग्य स्थान $(X, Σ)$ में कुछ निश्चित बिंदु $x$ पर केंद्रित डायराक माप को प्रदर्शित करता है।

$δ x$ एक प्रायिकता माप है और इसलिए यह परिमित माप है।

मान लीजिए कि $(X, T)$ एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान है और Σ कम से कम $X$ पर बोरेल σ-बीजगणित $σ (T)$ के रूप में सही प्रतीत होता है।

$δ x$ यदि और केवल यदि टोपोलॉजी $T$ एक सख्त सकारात्मक उपाय है। इस प्रकार कि $x$ प्रत्येक गैर-खाली संवृत समुच्चय में उपस्थित है। उदा ट्रिवियल टोपोलॉजी की स्थिति में ${\emptyset, X}$ स्थित है।
तब से $δ x$ संभाव्यता माप है, यह स्थानीय परिमित माप भी है।
यदि $X$ अपने बोरेल के साथ एक हॉसडॉर्फ स्पेस टोपोलॉजिकल स्पेस है $σ$ -बीजगणित, तब $δ x$ एक आंतरिक नियमित माप होने की स्थिति को संतुष्ट करता है, क्योंकि सिंगलटन (गणित) जैसे समुच्चय करता है ${x}$ हमेशा कॉम्पैक्ट जगह होते हैं। इस तरह, $δ x$ भी एक रेडॉन माप है।
यह मानते हुए कि टोपोलॉजी $T$ इतना ही काफी है ${x}$ बंद है, जो अधिकांश अनुप्रयोगों में मामला है, का समर्थन (माप सिद्धांत)। $δ x$ है ${x}$ . (अन्यथा, $supp(δ x)$ का समापन है ${x}$ में $(X, T)$ ।) आगे, $δ x$ एकमात्र प्रायिकता माप है जिसका समर्थन है ${x}$ .
यदि $X$ है $n$ -आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $R n$ अपने सामान्य के साथ $σ$ -बीजगणित और $n$ -आयामी लेबेस्ग उपाय $λ n$ , तब $δ x$ के संबंध में एक विलक्षण उपाय है $λ n$ : बस विघटित करें $R n$ जैसा $A = Rn \ {x}$ और $B = {x}$ और उसका निरीक्षण करें $δ x (A) = λ n (B) = 0$ .
डायराक माप एक σ-परिमित माप | सिग्मा-परिमित माप है।

सामान्यीकरण

एक असतत माप डायराक माप के समान है, सिवाय इसके कि यह एक बिंदु के बजाय कई बिंदुओं पर केंद्रित है। अधिक औपचारिक रूप से, वास्तविक रेखा पर एक माप (गणित) को असतत माप कहा जाता है (लेबेसेग माप के संबंध में) यदि इसका समर्थन (माप सिद्धांत) अधिक से अधिक एक गणनीय समुच्चय है।

यह भी देखें

असतत उपाय
डिराक डेल्टा फलन

संदर्भ

Dieudonné, Jean (1976). "Examples of measures". Treatise on analysis, Part 2. Academic Press. p. 100. ISBN 0-12-215502-5.
Benedetto, John (1997). "§2.1.3 Definition, $δ$ [[Category: Templates Vigyan Ready]]". Harmonic analysis and applications. CRC Press. p. 72. ISBN 0-8493-7879-6. {{cite book}}: URL–wikilink conflict (help)

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 * तब से {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} संभाव्यता माप है, यह [[स्थानीय परिमित माप]] भी है।
-* अगर {{math|''X''}} अपने बोरेल के साथ एक [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] टोपोलॉजिकल स्पेस है {{math|''σ''}}-बीजगणित, तब {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} एक [[आंतरिक नियमित माप]] होने की स्थिति को संतुष्ट करता है, क्योंकि [[सिंगलटन (गणित)]] जैसे  समुच्चय करता है {{math|{''x''}<nowiki/>}} हमेशा [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] होते हैं। इस तरह, {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} भी एक [[रेडॉन माप]] है।
+* यदि {{math|''X''}} अपने बोरेल के साथ एक [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] टोपोलॉजिकल स्पेस है {{math|''σ''}}-बीजगणित, तब {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} एक [[आंतरिक नियमित माप]] होने की स्थिति को संतुष्ट करता है, क्योंकि [[सिंगलटन (गणित)]] जैसे  समुच्चय करता है {{math|{''x''}<nowiki/>}} हमेशा [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] होते हैं। इस तरह, {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} भी एक [[रेडॉन माप]] है।
 * यह मानते हुए कि टोपोलॉजी {{math|''T''}} इतना ही काफी है {{math|{''x''}<nowiki/>}} बंद है, जो अधिकांश अनुप्रयोगों में मामला है, का [[समर्थन (माप सिद्धांत)]]। {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} है {{math|{''x''}<nowiki/>}}. (अन्यथा, {{math|supp(''δ''<sub>''x''</sub>)}} का समापन है {{math|{''x''}<nowiki/>}} में {{math|(''X'', ''T'')}}।) आगे, {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} एकमात्र प्रायिकता माप है जिसका समर्थन है {{math|{''x''}<nowiki/>}}.
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 * डायराक माप एक σ-परिमित माप | सिग्मा-परिमित माप है।

v t e Measure theory
Basic concepts	Absolute continuity Lebesgue integration L^p spaces Measure Measure space Probability space Measurable space/function
Sets	Almost everywhere Baire set Borel set Carathéodory's criterion Convergence in measure 𝜆-system Essential range infimum/supremum Locally measurable [[Pi-system\| $π$ -system]] σ-algebra Non-measurable set Vitali set Null set Support Transverse measure
Types of Measures	Baire Banach Besov Borel Complex Complete Content (Logarithmically) Convex Discrete Finite Inner (Quasi-) Invariant Locally finite Maximising Metric outer Outer Perfect Pre-measure (Sub-) Probability Projection-valued Radon Random Regular Borel regular Inner regular Outer regular Saturated Set function σ-finite s-finite Signed Singular Spectral Strictly positive Tight Vector
Particular measures	Counting Dirac Euler Gaussian Haar Harmonic Hausdorff Intensity Lebesgue Logarithmic Product Pushforward Spherical measure Tangent Trivial Young
Main results	Carathéodory's extension theorem Convergence theorems Dominated Monotone Vitali Decomposition theorems Hahn Jordan Maharam's Egorov's Fatou's lemma Fubini's Fubini–Tonelli Hölder's inequality Minkowski inequality Radon–Nikodym Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
Other results	Disintegration theorem Lifting theory Lebesgue's density theorem Lebesgue differentiation theorem Sard's theorem
Applications & related	Probability theory Real analysis Spectral theory

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